ПРИМЕР ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ ПО ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧАСТЬ 1. МИКРОЭКОНОМИКИКА

ПРИМЕР ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ
ПО ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
(С РЕШЕНИЕМ)
ЧАСТЬ 1. МИКРОЭКОНОМИКИКА
ЗАДАЧА 1. ОЛИГОПОЛИЯ
Пусть четыре фирмы производят однородный продукт, используя идентичные технологии,
представимые производственной функцией вида F ( K , L )  min( 2 K , L ) . Известно, что ставка
заработной платы составляет $2 за час, а цена единицы капитала равна $4. Функция спроса
на продукцию отрасли имеет вид P( Q )  64  Q .
(a) Предположим, что каждая фирма ожидает, что другие фирмы будут вести себя как
конкуренты в модели Курно на рынке готовой продукции, но на рынках факторов
производства все агенты ведут себя как ценополучатели. Найдите равновесные выпуски,
рыночную цену и прибыль каждой фирмы.
(б) Теперь предположим, что три из четырех фирм объединились в одну и агенты ожидают
конкуренцию по Курно между объединившейся фирмой и фирмой, не вступившей в
коалицию. Принесет ли объединение увеличение совокупной прибыли для фирм-участников
объединения? Упадет ли прибыль фирмы, не участвовавшей в коалиции?
(в) Предположим, что в отличии от (б), объединившиеся фирмы ожидают, что конкурент
будет вести себя в духе Курно, а не вступившая в коалицию фирма ожидает, что
образовавшаяся в результате слияния фирма будет вести себя как лидер в модели
Штакельберга. Принесет ли объединение увеличение совокупной прибыли для фирмучастников объединения? Упадет ли прибыль фирмы, не участвовавшей в коалиции?
Объясните.
РЕШЕНИЕ
(a) В модели Курно каждая фирма выбирает выпуск, максимизирующий ее прибыль,
рассматривая выпуски конкурентов как экзогенные параметры. Поскольку на рынках
факторов фирмы ведут себя совершенно конкурентно, то минимизация издержек является
необходимым условием максимизации прибыли для каждой фирмы. Поскольку технологии
фирм идентичны, то все фирмы имеют одинаковые функции издержек. Найдем функцию
издержек фирмы, решив задачу минимизации издержек
min
L ,K 0
2  L  4K
min( 2 K , L )  q
.
Заметим, что в оптимуме L  2 K . Действительно, если бы это условие нарушалось, то один
из факторов не использовался бы полностью и, соответственно, сократив его количество до
уровня, обеспечивающего данное равенство, мы произведи бы такой же объем продукции, но
с меньшими издержками. Кроме того, бессмысленно производить выпуск, превышающий q ,
поскольку, сократив количество обоих факторов можно произвести выпуск, равный q (тем
самым удовлетворив ограничению задачи), но с меньшими издержками.
Итак, минимизация издержек влечет L  2 K  q или L( q )  q и K ( q )  0.5 q .
Подставляя
в
целевую
функцию,
находим
функцию
издержек
c( q )  2 L( q )  4 K ( q )  2q  2q  4 q .
Таким образом, задача фирмы i примет вид
4


max  64   q j qi  4 qi  max
qi 0
qi 0
j 1




 64   q j  qi qi  4 qi .


j i


Таким образом, каждая фирма максимизирует прибыль на кривой остаточного спроса
64   q j . Заметим, что нулевой выпуск дает нулевую прибыль. Если при положительном
j i
выпуске фирма имеет положительную прибыль, то решение внутреннее.
Условие первого порядка для внутреннего решения- равенство предельной выручки для
остаточного спроса и предельных издержек, причем кривая предельной выручки будет в два
раза круче обратной функции остаточного спроса в силу его линейности, то есть
MRi  64   q j  2qi  MC i  4 i  1, ,4 .
j i
Поскольку в равновесии по Нэшу выпуск каждой фирмы должен быть наилучшим ответом
на выбор остальных агентов, то равновесные выпуски могут быть найдены как решение
вышеописанной системы 4-х уравнений с 4-мя неизвестными.
4
Пусть Q   q j , тогда 64  Q  qi  4 . Сложив эти уравнения, находим 256  4Q  Q  16
j 1
или Q  48 и qi  64  4  Q  12 . Соответственно, P  64  Q  16 и
i  ( P  c )qi  12  12  144 .
Таким образом, мы получили симметричное поведение фирм в равновесии, что обусловлено
идентичностью их технологий.
(б) Объединение фирм не принесет объединившейся фирме никакого выигрыша в терминах
экономии на издержках. В силу постоянства предельных издержках при идентичности
технологий не имеет никакого значения, где будет производиться каждая дополнительная
единица, и в результате функция издержек объединенной фирмы будет иметь тот же вид, что
и у каждой фирмы в отдельности.
В результате задача максимизации прибыли объединенной фирмы будет иметь такой же вид
как и конкурента
2


max  64   q j qi  4 qi  max
qi 0
qi 0
j 1


64  q
j
 qi qi  4 qi .
(*) MRi  64  q j  2qi  MC i  4 . Пусть Q  qi  q j , тогда 64  Q  qi  4 . Сложив эти
уравнения, находим 120  2Q  Q  0 или Q  40 и qi  64  4  Q  20 . Соответственно,
P  64  Q  24 и i  ( P  c )qi  20  20  400 .
Таким образом, прибыль фирмы, не вступившей в коалицию, возросла со 144 до 400, а
участники коалиции понесли убытки, так как их прибыль после объединения оказалась ниже
400<144*3=432. Данный парадокс объясняется тем, что уменьшение количества игроков в
отрасли привело к ослаблению конкуренции, что выразилось в росте рыночной цены. Но при
этом изменились и выпуски, причем в силу симметричности издержек фирмы поделили
рынок поровну, что увеличило рыночную долю агента, не вступившего в коалицию с ¼ до ½
и, напротив, сократило долю остальных с ¾ до ½. В результате роста рыночной доли и
повышения цены продукции неприсоединившаяся фирма выиграла, а для фирм-участников
коалиции эффект от снижения рыночной доли оказался доминирующим, и их совокупная
прибыль сократилась. Причина подобного парадокса в том, что объединившаяся фирма не
получила экономии на издержках в связи со спецификой их технологий.
(в) Если объединение фирм повлечет изменение модели конкуренции, то, имея
преимущество первого хода объединившаяся фирма получает возможность увеличить свою
прибыль. Итак, лидер, принимая решение о выпуске, учитывает последующую реакцию
другого игрока. Функция реакции последователя находится из решения задачи
максимизации прибыли, рассмотренной в предыдущем пункте. Пусть фирма j -лидер, а i последователь. Тогда согласно (*) с учетом неотрицательности выпуска функция реакции
последователя имеет вид qi ( q j )  max{ 0 ,( 60  q j ) / 2 } .
Выпишем задачу фирмы-лидера
max
q j 0
64  q ( q
i
j
)  q j q j  4 q j 
qi ( q j )  max{ 0 , 30  0.5q j }
.
Итак, рассмотрим два промежутка для q j : от 0 до 60 и свыше 60.
Если q j  60 , то qi  0 , то есть лидер-монополист, но монопольный выпуск оказывается
меньше 60:
64  2q j  4 или q j  30  60 . Таким образом, решение следует искать на первом интервале,
тогда qi ( q j )  30  0.5 q j и условие первого порядка примет вид 64  qi (  )  q j qi(  )  2q j  4
или 60  30  0.5 q j  0.5 q j  2q j  0 , откуда q j  30 . Соответственно, qi  30  0.5 q j  15 ,
i  ( P  c )qi  15  15  225  144 ,
P  64  45  19 ,
 j  ( P  c )q j  15  30  450  144  3  432 Таким образом, как участники коалиции, так и
фирма, не входящаая в коалицию оказались в выигрыше от ее образования. В данном случае,
не смотря на то, что образование коалиции не принесло фирмам выгоды в терминах
экономии на издержках увеличение прибыли имело место в результате преимущества
первого хода, которое получила образовавшаяся коалиция. Выигрыш неприсоединившейся
фирмы объясняется ростом цены на производимую продукцию при одновременном росте
рыночной доли фирмы (ее доля возросла с ¼ до 1/3 в силу ослабления конкуренции,
вызванном уменьшением количества игроков на рынке).
ЗАДАЧА 2. ВЫБОР В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Инвестор с богатством, равным 10000, рассматривает возможность вложения своих средств в
рисковый проект. Проект А может принести инвестору чистый доход в размере 200 или
чистые потери в размере 100, причем оба исхода равновероятны. Проект B может принести
чистый доход в размере 20000 или же чистые убытки в размере 10000. Проекты не являются
взаимоисключаемыми.
(а) Пусть инвестор нейтрален к риску. Будет ли инвестор вкладывать средства в оба проект,
один из проектов или же откажется от обоих?
(б) Будет ли инвестор вкладывать средства в оба проект, один из проектов или же откажется
от обоих, если его предпочтения представимы функцией ожидаемой полезности с
элементарной функцией вида u( w )  w ?
(в) Сравните результаты, полученные в пунктах (а) и (б) и объясните.
РЕШЕНИЕ
(а) Заметим, что ожидаемая доходность для каждого проекта положительна
и
По
определению
EV A  0.5( 200  100 )  50
EV B  0.5( 20000  10000 )  5000 .
нейтральный к риску агент безразличен между вложениями средств в рисковый проект и
получением суммы, равной его ожидаемой доходности, с определенностью. Таким образом,
вложения в проект B эквивалентны получению суммы, равной 5000, а вложения в проект А
эквивалентны получению суммы в 50 с определенностью, то есть следующие наборы
контингентных благ для инвестора эквивалентны: ( 0 , 30000 ) ~ ( 15000 , 15000 ) и
( 9900 , 10200 ) ~ ( 10050 , 10050 ) . Предполагая, что «больше-лучше», получение суммы денег,
равной 5000, лучше, чем получение 50, что, в свою очередь, лучше, чем ничего, то есть
( 0 , 30000 )  ( 15000 , 15000 )  ( 10000 , 10000 ) . С учетом транзитивности предпочтений
можем сделать вывод, что инвестор предпочтет вложить свои средства в проект B.
c2
c1  c2
Выбор
B
30000
-2
-1
10200
A
10000
кривые безразличия
c1
9900
10000
c1 - потребление (доход) в случае провала проекта
c2 - потребление (доход) в случае успеха
(б) Заметим, что элементарная функция полезности строго вогнута, поскольку
u   0.25 w 1.5  0 .
По
определению
строго
вогнутой
функции
pu( c1 )  ( 1  p )u( c2 )  u( pc1  ( 1  p )c2 ) . Поскольку по условию предпочтения агента
представимы функцией ожидаемой полезности, то выражение в левой части представляет
собой полезность от лотереи, которая оказывается меньше полезности от ожидаемого
выигрыша этой лотереи, что характеризует агента как рискофоба. Если бы ему предложили
проект с нулевой или отрицательной чистой доходностью, то он бы однозначно отказался от
участия. Однако в данном случае предлагаются проекты с положительной чистой
доходностью и возможно агент сочтет эту доходность достаточной компенсацией за
принимаемый риск.
Для того, чтобы проверить, так ли это вычислим и сравним ожидаемую полезность от
каждого проекта с полезностью от первоначального запаса. Для начала сопоставим проекты
между собой, а затем наилучший сопоставим с первоначальным запасом.
EU A  0.5( 10200  9900 )  0.5( 30000  0 )  EU B или
102  99  300 .
Поскольку 102  99  2 10098  401  300 , то инвестор предпочтет проект А.
Заметим, что проект А приносит инвестору большую полезность, нежели его первоначальное
богатство
EU A  0.5( 10200  9900 )  10000 или 102  99  20 .
Поскольку 102  99  2 102 99  201  2 10098  401  400 инвестор будет вкладывать
средства в проект А.
c2
c1  c2
B
30000
-2
Выбор
10200
A
10000
-1
c1
9900
10000
(в) Как было показано выше инвесторы в пунктах (а) и (б) сделали разный выбор. Это
объясняется разным отношением к риску. Нейтральный к риску инвестор из пункта (а)
выбирал проект с максимальной положительной чистой доходностью (проект В). С точки
зрения инвестора-рискофоба при одинаковой доходности на единицу вложений проект В
является слишком рисковым. Можно заметить, что он был бы отвергнут даже, если бы не
было
возможности
вложения
в
проект
А,
поскольку
B
EU  0.5( 30000  0 )  50 3  100  10000
ЧАСТЬ 2. МАКРОЭКОНОМИКИКА
ЗАДАЧА 1. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПОЛИТИКИ В МОДЕЛИ
ЭКОНОМИКИ С ГИБКИМИ ЦЕНАМИ (ЭКОНОМИКИ ПОЛНОЙ ЗАНЯТОСТИ)
В закрытой экономике с абсолютно гибкими ценами реальное потребление задано
функцией c  40  0,5( y   )  500r (где y – реальный доход,  - реальные чистые налоги, r –
реальная ставка процента), реальные инвестиции имеют вид i  40  100r , спрос на реальные
денежные остатки ( M / P) d  0,5 y  100R (R – номинальная ставка процента), предложение
труда Ls  25w 2 (L - количество труда, w – реальная заработная плата), производственная
функция y  10 L , ожидаемый уровень инфляция  e  0,05 .
Первоначально экономика находилась в состоянии равновесия,
номинальное
предложение денег было равно 100, бюджет государства был сбалансирован, причем g = τ
=10 (g – реальные государственные закупки).
Допустив, что реальные государственные закупки, финансируемые за счет реальных
чистых налогов, выросли до 20, используя модель IS-LM-FE (IS-LM-Full Employment),
найдите новые значения реального равновесного объема выпуска, реальной ставки процента
и уровня цен, а также изменения равновесного уровня потребления и инвестиций и эффект
вытеснения, произошедший в результате проведения политики в экономике.
Проанализируйте полученные результаты: объясните, наблюдался ли при проведении
государственной политики эффект вытеснения, какой он имел характер и почему имел
место, раскройте механизм приспособления экономики к новому состоянию равновесия,
используя модель IS-LM-FE и AD-AS.
РЕШЕНИЕ
I. Модель экономики полной занятости в общем виде описывается системой уравнений (1)
 FL ( K , L)  w
 s
 L  Lw

(1)
 y  F K , L 
 y  y ( r ,  e , , g )

M s / P  m d ( R, g )
Учитывая условия задачи, система (1) примет вид


5 / L  w
 Ls  25w2


(2)
 y  10 L
 y  40  0,5( y  10)  500r   40  100r   10

  

g
i
c

100 / P  0,5 y  100r  0,05



R
Поскольку в экономике с абсолютно гибкими ценами существует дихотомия, т.е.
система (2) является примером блочно-рекурсивной системы уравнений (системой, где хотя
бы один набор уравнений является независимым от других), то это позволяет найти
параметры, характеризующие равновесное состояние данной модели в два этапа: сначала из
первых трех уравнений системы определить равновесный уровень выпуска, равновесную
реальную зарплату, равновесный уровень занятости, а затем, подставив значение
равновесного уровня выпуска в остальные уравнения определить равновесный уровень цен и
равновесное значение реальной процентной ставки.
Сначала определим из первых двух уравнений равновесную реальную зарплату и
равновесный уровень занятости
5 / L  w w  1
5 / L  w
,


 s

 L  25w 2
 L  5w
 L  25
а, затем, подставив равновесный уровень занятости в третье уравнение системы,
определим потенциальный уровень выпуска:
y*  10 L  10 25  50 .
(3)
Учитывая (3) запишем для экономики, описываемой условиями нашей задачи, модель ISLM-FE:
5 / L  w
 s
2
 L  25w FE

 y  10 L


40  0,5( y   )  500r   40  100r   g IS
 y  


 

i
c


r  0,05 LM
M / P  0,5 y  100


R



 y*  50

 y*  80  0,5  0,5 y * 600r  g
M / P  0,5 y * 100r  5

или
55  0,5  g  600r

M / P  100r  30
(4).
Учитывая, что в первоначальном состоянии экономики номинальное предложение
денег равно 100, бюджет государства сбалансирован, причем g = τ =10, из системы (4)
определим уровень цен и реальную ставку процента в первоначальном равновесии:
60  600r0
r0  0,1
(5)
 

100 / P0  100r0  30
P0  5
Полученные значения равновесного уровня выпуска и реальной ставки процента
используем для определения уровня потребительских и инвестиционных расходов данной
экономики, соответствующих первоначальному состоянию экономики:
c0  40  0,5( y *  0 )  500r0  40  0,5(50  10)  500  0,1  10
i0  40  100r0  40  100  0,1  30
II. Определим теперь, какие изменения произошли в экономике после проведения политики,
при которой dg  d  10 , а dM  0 .
Поскольку в экономике полной занятости выпуск всегда остается на потенциальном
уровне, то для анализа изменений, произошедших в экономике достаточно обратиться опять
к системе (4), подставив в нее новые значения:
65

55  0,5 1  g1  600r1
55  0,5  20  20  600r1
r1 
(6).

 
600

100 / P1  100r1  30
100 / P1  100r1  30
 P1  5,217
Учитывая (6) найдем потребительские и инвестиционные расходы, соответствующие
новому равновесному состоянию экономики:
65
c1  40  0,5( y *  1 )  500r1  40  0,5(50  20)  500 
 0,83
600
65
i1  40  100r1  40  100 
 29,17
600
Таким образом эффект вытеснения в экономике полный, так как
dc  8,3
di  1,7
III. В условии задачи предполагается, что экономика является экономикой с абсолютно
гибкими ценами, то есть кривая совокупного предложения в этой модели имеет вид
вертикальной прямой расположенной на уровне потенциального выпуска.
Это обусловлено тем, что монетарные факторы не оказывают никакого воздействия на
равновесие на рынке труда (в модели существует дихотомия). Равновесие всегда
устанавливается на уровне полной занятости L* (см. Рис.1).
W/P
Ld
Ls
(W/P)*
L*
L
Рис.1.
Рост уровня цен сопровождается ростом номинальной заработной платы, которая
также как и цены в этой модели является абсолютно гибкой величиной.
Допустим, при неком уровне цен Р1 на рынке труда установилось состояние
равновесия. Равновесный уровень заработной платы в этом случае будет w*=W1/P1 , а
соответствующее равновесное количество труда L*. Тогда уровень производства, согласно
производственной функции, будет равен Y*=F(L1). Этот уровень выпуска является
выпуском при полной занятости (потенциальным ВВП). Предположим, что затем произошел
рост цен. Уровень цен стал Р2> Р1, а реальная заработная плата стала меньше равновесного
уровня. Рынок труда пришел в состояние избыточного спроса, поскольку величина
совокупного спроса на труд при новом меньшем уровне реальной заработной платы стал
больше, чем величина совокупного предложения труда, т.е., равновесие нарушилось. Но так
как рынок труда – рынок совершенной конкуренции, а реальная заработная плата абсолютно гибкая величина, то рынок будет возвращаться в состояние равновесия.
Номинальная заработная плата будет увеличиваться до тех пор, пока реальная заработная
W W
плата не вернется к прежнему значению, т.е. пока 2  1  w *
P2
P1
Равновесный уровень реальной заработной платы w* вернет занятость к уровню
полной занятости, а объем производства установится на уровне потенциального выпуска
(Рис.2).
y
y
y=y
y = F(L)
y*
y*
450
L*
L
W/P
y*
P
y
AS
LS(W/P)
P2
w*=W1/P1
LD(W/P)
P1
W1/P2
L*
L
y*
y
Рис.2
Вертикальный вид кривой совокупного предложения означает, что в данной
экономике предложение никак не реагирует на изменение цен, то есть в экономике
существует нейтральность денег. Любое изменение совокупных расходов влияет только на
совокупный спрос. Этот вывод можно наглядно продемонстрировать, анализируя механизм
воздействия на экономику государственной политики, предложенной в условии задачи.
При проведении стимулирующей фискальной политики за счет увеличения
государственных расходов, финансируемых увеличением налогов, первоначально в
экономике происходит увеличение совокупных расходов, что приводит изначально к сдвигу
IS вправо и вверх.
В модели IS-LM при той же ставке процента (r0) возникает ситуация неравновесия
(Рис.3), поскольку на рынке денег в результате роста совокупных расходов, спрос на деньги
растет и возникает ситуация избытка спроса на деньги. Денежный рынок реагирует на
неравновесие повышением ставки процента, которое приводит к уменьшению величины
спроса на деньги и установлению равновесия на денежном рынке (графически это можно
проиллюстрировать как переход с новой кривой IS1 из точки 1 на прежнею кривую LM0 в
точку 2) . Рост ставки процента восстанавливает равновесие на денежном рынке, но
приводит к неравновесию совокупных расходов и совокупных доходов в экономике,
поскольку при новой ставке процента (уравновешивающей денежный рынок) возникают
положительные инвестиции в запасы. Экономика реагирует на неравновесие совокупных
расходов и совокупных доходов, сокращением планируемых инвестиций. Происходит
сокращение уровня совокупных расходов домохозяйств (графически это можно
проиллюстрировать параллельным сдвигом влево из точки 2), но при малейшем сдвиге с
кривой LM денежный рынок опять оказывается в состоянии неравновесия и процесс
подстройки начинается заново. В конце концов, в результате описываемых процессов, в
модели IS-LM устанавливается новое равновесие (В).
Поскольку произошедшее изменение равновесия в модели IS-LM (переход из точки А в
точку В) означает, что величина совокупных расходов, которую может себе позволить
домохозяйство, выросла, хотя уровень цен в экономике остался неизменным, то графически
это событие можно изобразить как сдвиг кривой AD вправо (Рис.4).
Так как величина совокупного спроса в экономике выросла при том же уровне цен, а
величина совокупного предложения осталась в экономике прежней, то на рынке благ в
экономике возникла ситуация неравновесия: избыток совокупного спроса.
r
r
r1
С
FE
r0
А
LM1
LM0
В
IS1
FE
2
IS0
LM0
y*
В
rВ
r0
А
1
IS1
IS0
y*
Рис.3.
y
P
Р1
AS
P0
А
y
С
В
AD1
AD0
y*
y
Рис.4.
Экономика возвращается в равновесие при увеличении уровня цен (цены в этой
экономике абсолютно гибкие). Поскольку при росте цен реальное предложение денег
сокращается, это приводит к ситуация избытка спроса на деньги. Денежный рынок приходит
в равновесие посредством повышения ставки процента. Но поскольку в данном случае
изменение равновесной ставки процента происходило без изменения уровня дохода в
экономике, то есть без изменения спроса на деньги, то данный процесс графически может
быть проиллюстрирован как сдвиг LM влево и вверх. При ставке процента rB в экономике
опять возникает ситуация неравновесия в модели IS-LM , схожая с описанной выше.
Равновесная ставка процента в экономике растет, а величина равновесных совокупных
расходов в модели IS-LM сокращается. Это ведет к уменьшению величины совокупного
спроса на рынке благ при росте цен (происходит движение по кривой AD1). Уменьшение
величины совокупного спроса происходит до тех пор, пока величина совокупного спроса не
станет равной потенциальному уровню производства (при этом равновесие в модели IS-LM
также будет соответствовать потенциальному уровню выпуска). В итоге рынок благ придет
в новое состояние равновесия (С) с более высокой ставкой процента r1 и новым более
высоким уровнем цен P1 , но прежним потенциальным уровнем производства (рис.4).
В результате проведения данной государственной политики экономика перешла в
новое состояние равновесия с более высоким равновесным уровнем цен и более высокой
равновесной ставкой процента, но при этом не произошло изменения величины
совокупного спроса, следовательно, и величины равновесного уровня дохода. Такой эффект
может быть получен только в том случае если увеличение государственных расходов будет
полностью компенсироваться уменьшением частных расходов: инвестиций и
потребительских расходов. Т.е. данное воздействие государственной политики
сопровождалось полным эффектом вытеснения. Результатом воздействия на реальные
показатели явился лишь эффект вытеснения. Произошло перераспределение расходов от
частного сектора к государственному сектору в результате роста ставки процента и
повышения налогов.
ЗАДАЧА 2. МОДЕЛЬ АКСЕЛЕРАТОРА ИНВЕСТИЦИЙ
Рассматривается модель акселератора в дискретном времени. Капитал является
единственным
фактором
производства.
Амортизация
капитала
отсутствует.

Производственная функция имеет вид: F ( K t )  K t . Фирма выбирает оптимальный капитал,
ожидая, что выпуск будет равен Yt e . Т.е., фирма максимизирует прибыль   F ( Kt )  rKt
при условии, что F ( K t )  Yt e .
1. Покажите, что оптимальный запас капитала K t пропорционален ожидаемому выпуску Yt e
и найдите этот коэффициент пропорциональности.
2. Предположим, что ожидания фирмы относительно выпуска носят наивный характер, т.е.
Yt e  Yt 1 . Запишите выражение, определяющее акселератор инвестиций.
3. Предположим, что выпуск находился на стационарном уровне Y0* . В момент времени t
выпуск дискретно возрастает до уровня Y1* . Опишите реакцию инвестиций и капитала и
постройте для них временную диаграмму. Какой тип акселератора представляет данная
модель: жесткого или гибкого? Почему?
РЕШЕНИЕ
1. Запишем задачу максимизации прибыли фирмы:
 t  F K t   rK t  max
Kt
 t  F K t   rK t  Yt  rK t  K t  rK t
e
Запишем условие первого порядка для внутреннего оптимума:
 t
 K  1  r  0
FOC:
K t
r
K  K

Y e
K *  t , т. е. мы показали, что оптимальный запас капитала пропорционален ожидаемому
r

выпуску Yt e с коэффициентом пропорциональности .
r
2. Если ожидания фирмы относительно выпуска являются наивными, то:
Y e 
Kt*  t  Yt 1
r
r
e
Y

Kt*1  t 1  Yt
r
r


I t  K t*1  K t*  Yt  Yt 1   Yt
r
r
3. Рассмотрим реакцию инвестиций и траекторию капитала в случае дискретного
перманентного увеличения объема выпуска:
Y
Y1*
Y0*
t
K
Y1* r
Y0* r
t
I
t
В данной задаче была представлена модель жесткого акселератора, потому что подстройка
уровня капитала происходит одномоментно. Другими словами, увеличение выпуска по
сравнению со значением предыдущего периода воспринимается инвестором как увеличение
будущего спроса, что заставляет фирму совершать положительные инвестиции.