Начало документа

1
Часть 2
СТАТИКА
(Конспект лекций)
Кафедра теоретической механики Уральского государственного технического университета
(Уральский политехнический институт):
Е.А. Митюшов, С.А. Берестова
МОСКВА-ЕКАТЕРИНБУРГ 2006
СОДЕРЖАНИЕ
01
1.1. Основные понятия статики
02
1.2. Аксиомы статики
03
1.3. Связи и их реакции
04
2.1. Теорема о существовании равнодействующей сходящихся сил
05
3.1. Момент силы относительно центра и оси
06
3.2. Пара сил
07
3.3. Теоремы о парах
08
4.1. Основная теорема статики
09
4.2. Частные случаи условий равновесия твердого тела
10
4.4. Равновесие при наличии трения скольжения (законы Амонтона − Кулона)
11
4.5. Равновесие при наличии трения качения
12
5.1. Первый и второй инварианты статики
13
5.2. Частные случаи приведения произвольной системы сил
14
6.1. Центр параллельных сил
15
6.2. Центр тяжести твердого тела
2
ВВЕДЕНИЕ
3
Механика − это наука, изучающая основные законы механического движения и взаимодействия материальных тел,
т.е. законы взаимного расположения твердых тел или частиц в сплошной деформируемой среде, газах и жидкостях с течением времени. Механика одна из древнейших областей знания и некоторые ее законы были установлены во времена
античности. Период ее современного становления охватывает XVII–XIX века, когда она была мощным стимулом для
появления многих математических дисциплин, а также непосредственно стала служить развитию технического прогресса. Новый импульс в ее развитие связан с интенсивным освоением в XX веке космического пространства и созданием
теории управляемых космических полетов, а также автоматизированных производств. Остается непреходящей роль механики и в развитии современной техники и технологий.
Содержанием курса теоретической механики в техническом вузе является изучение равновесия и движения абсолютно твердых тел, материальных точек и их систем. Теоретическая механика является базой для многих общетехнических дисциплин (сопротивление материалов, детали машин, теория машин и механизмов и др.), а также имеет самостоятельное мировоззренческое и методологическое значение. Иллюстрирует научный метод познания закономерностей
окружающего нас мира − от наблюдения к математической модели, её анализ, получение решений и их применение в
практической деятельности.
Курс теоретической механики традиционно делится на три части: статика − изучает правила эквивалентного преобразования и условия равновесия систем сил; кинематика − рассматривает геометрию движения тел; динамика −
изучает движение тел в связи с действующими на них силами.
4
Глава 1. ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ
СТАТИКИ
5
Начало документа
1.1. Основные понятия статики
Основными задачами статики являются:
1.Изучение методов преобразования одних
систем сил, приложенных к абсолютно твердому телу, в другие, эквивалентные данным.
2.Установление условий равновесия тел при
действии различных систем сил.
Сила − это мера механического воздействия
на материальное тело. Математически ее можно
задать как вектор, характеризующийся числовым
значением (модулем), направлением и точкой
приложения (рис. 1.1). Обозначаются силы
 
большими буквами латинского алфавита: F , R,

N ,  Для модуля силы принято обозначение: F или
F . Аналитически силу, как любой вектор, можно
задать проекциями на оси координат: Fx , F y , Fz .
Тогда модуль силы определяется равенством:
F
2
Fx
2
 Fy
2
 Fz ,
6

F
A
z

F




y
x
а направление в пространстве  направляющими косинусами
(рис. 1.2):
Fy
Fz
Fx
cos


cos


cos  
F .
F ,
F ,
Совокупность нескольких сил, например,
 

F1 , F2 , , Fn ,

на тело, называется системой сил (обозначается
7
действующих
 

F1 ,F2 ,,Fn
).
Говорят, что две системы сил эквивалентны (обозначается знаком )
между собой, если, не нарушая состояния тела, одну систему сил
можно заменить другой.
Сила,
эквивалентная
данной
системе
сил,
равнодействующей:

 

F1 ,F2 ,,Fn  R
.
называется
Систему сил, приложенную к свободному твердому телу,
8
находящемуся в равновесии, и не выводящую его из этого
состояния, называют уравновешенной системой сил

 

F1 ,F2 ,,Fn
 ~ 0.
Абсолютно твердое тело − тело, у которого расстояние
между любыми двумя точками остается неизменным.
Далее см.
Курс-Кинетика
9
1.2. Аксиомы статики
1. Абсолютно твердое тело находится в равнове-

F1
сии под действием двух сил тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют
по одной прямой и направлены в противополож
ные стороны (рис. 1.3).
F2
2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать уравновешенную
систему сил.
Следствие. Силу можно переносить вдоль линии

ее действия.
F
A
Доказательство. К телу в точке A приложена

F (рис. 1.4). Добавим в точке B систему сил
сила

B
 
F
F ,F ~ 0 , полагая при этом F  F  F  . Из второй  

  
F 
аксиомы F ~F , F , F , а из первой F , F ~ 0 , следовательно: F ~ F  .
10

R
Две силы, приложенные к 
F2
телу в одной точке, имеют


равнодействующую, прохо- B
F
дящую через эту точку и
равную их геометрической сумме (рис. 1.5),

 
 

2
2


R
~
F
,
F
R

F

F
R

F

F
т.е.
1 2 ,
1
2,
1
2  2 F1F2 cos  .
Из этой аксиомы следует, что силу можно
разложить на любое число составляющих
сил по заранее выбранным направлениям.
3.
1
11
Силы взаимодействия двух тел равны по
модулю и направлены по одной прямой в
противоположные стороны.
4. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если это тело отвердеет.
Иными словами, необходимые условия равновесия деформируемых и абсолютно твердых
тел совпадают, что позволяет применять получаемые результаты для реальных тел и конструкций, не являющихся абсолютно твердыми.
12
Начало документа
1.3. Связи и их реакции
Тело называется свободным, если его перемещение в пространстве ничем не ограничено.
В противном случае тело называется
несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, − связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. Силы, действующие на твердое тело и не являющиеся реакциями, называются активными.
13
Основные виды связей и их реакции:
Гладкая
поверхность
(рис. 1.6). Реакция гладкой поверхности направлена по нормали к этой
поверхности (перпендикулярна общей касательной).
1.
2. Опорная точка (рис. 1.7). Реакция перпендикулярна опирающейся поверхности

N

N
14
3.Идеальная нить (рис. 1.8). Идеальной называется гибкая, невесомая и нерастяжимая нить. В
определенных условиях ею
моделируют трос, канат, цепь,
ремень. Реакция идеальной нити T
направлена по нити от закрепленного
тела.
4. Идеальный стержень (рис. 1.9).
Идеальным называется жесткий,
невесомый стержень, на концах которого шарниры. Реакция связи

S направлена по стержню. В
отличие от нити стержень может быть сжат.
T

S
15
5.Цилиндрический шарнир (рис. 1.10). Такая связь позволяет телу
перемещаться вдоль оси, поворачиваться вокруг оси шарнира, но не
позволяет точке закрепления перемещаться в плоскости,
перпендикулярной оси шарнира. Реакция RA лежит в этой плоскости
и проходит через ось. Направление этой реакции не определено, но
она может быть представлена двумя взаимно перпендикулярными
составляющими.
X A ,Y A;

RA

YA

XA
16
6.Сферический шарнир (рис. 1.11). Такая
z
связь не дает точке закрепления тела
перемещаться ни в одном из направлений.
Направление реакции не определено, но
она может быть представлена тремя
взаимно
перпендикулярными 
составляющими.
  
X A YA ZA

ZA
A

YA
XA
x
ZA
7.Подпятник (рис. 1.12). Реакция
данной связи задается аналогично
предыдущему случаю.
YA
XA
y
17
8. Жесткая заделка (рис.
1.13). Такая связь препятствует перемещению и
повороту вокруг точки
закрепления. Тело
взаимодействует со связью
по контактной поверхности.
y

YA
A
mA

RA

XA
x
В данном случае имеем распределенную систему сил
реакции, которая может быть заменена одной силой и
парой . На расчетной схеме задаются три составляющие
 
X A YA
mA
18
Аксиома освобождаемости от
связей. Всякое несвободное тело
можно считать свободным, если
мысленно освободить его от связей, а их действие заменить соответствующими реакциями.
19
Глава 2. СИСТЕМА
СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
20
Начало документа
2.1. Теорема о существовании равнодействующей сходящихся сил
Силы, действующие на тело, называются сходящимися,
если линии их действия пересекаются в одной точке (рис.
2.1).
Теорема. Система сходящихся сил, действующих на
твердое тело, имеет равнодействующую, которая равна
геометрической сумме этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия. 


R

F

12

F3
F
F
1
2
F1
2
С

Fn
С

F2

F4

F1

R
Доказательство. Перенесем все силы по линиям их действия в точку пересечения (рис. 2.2). Последо n 






R123  R12  F3 и т.д., находим R   Fk .
вательно складывая по аксиоме 3: R12  F1  F2 ,
k 1
Геометрически равнодействующая может быть найдена
как замыкающая сторона силового многоугольника (рис.
2.3). Аналитически − по проекциям на оси координат
n
Rx   Fkx
k 1
,
Ry 
n
 Fky
k 1
n
,
Rz   Fkz
k 1
.
Модуль и направление равнодействующей определяются формулами:
R  R x 2  R y 2  Rz 2

R
cos( R, Ox )  x ,
R

Ry
cos( R, Oy ) 
R ,

R
cos( R, Oz )  z .
R
,
21
22
2.2. Условия равновесия системы сходящихся сил.
Теорема о трех силах
Условие равновесия в геометрической форме. Для равновесия системы сходящихся сил,
действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник,
построенный на этих силах, был замкнут.
Условие равновесия в аналитической форме. Для равновесия системы сходящихся сил
необходимо и достаточно равенство нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной системы на каждую из координатных осей.
Доказательство условия равновесия в аналитической форме. Из теоремы о существова
нии равнодействующей условие равновесия эквивалентно равенству R  0 . То есть R x  0 ,
Ry  0 ,
n
Rz  0 ,
Или
 Fkx  0 ,
k 1
n
 Fky  0 ,
k 1
n
 Fkz  0 .
k 1
Эти равенства позволяют определять неизвестные величины, в частности реакции связей.
Задача статики о равновесии называется статически определимой, если число неизвестных не превышает числа уравнений. Иначе задача статически неопределима и для ее решения используются методы, учитывающие деформацию тел. Для плоской системы сходящихся сил число независимых уравнений равновесия равно двум:
n
 Fkx  0 ,
k 1
n
 Fky  0 .
k 1
Теорема о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех не-
23
параллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в
одной точке.


Доказательство. Пусть силы F1 и F2



F12  F1  F2 .

не параллельны (рис. 2.11), тогда



  
 

F
,
F
,
F
~
0
F
,
F
~
0
По условию 1 2 3
, следовательно, 3 12
и сила F3 проходит через
точку
C.

F1

F12

F2
С

F3
Глава 3.
3.1 МОМЕНТ СИЛЫ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА
И ОСИ.
3.2 ПАРЫ СИЛ
24
25
Начало документа
3.1. Момент силы относительно центра и оси
 
Моментом силы относительно
 
mO F
 
центра (обозначается mO F )
называется векторное произведе
ние радиус-вектора r , проведенного из точки O в точку приложе-
 

ния силы, на вектор силы F
(рис. 3.1)
 

F

r
O




mO F  r  F
h
.
26
Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в
которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от
действия силы виден происходящим против хода часовой
стрелки. Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также
дает меру этого действия:
 
 
 
mO F  rF sin( F , r )  Fh
, где h − плечо силы
(кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы).
Если линия действия силы проходит через центр момента,
то ее момент относительно этой точки равен нулю.

F
Если силы расположены в одной плоскости
27
(плоская система сил), то используется понятие алгебраического момента силы. Алгебраи-
h
O
ческим моментом силы относительно центра
называется взятое со знаком плюс или минус
произведение модуля силы на плечо. Знак плюс берется в том случае,
если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра
против хода часовой стрелки (рис. 3.2).
 
mO F  Fh;
28
Для характеристики вращательного
z
действия силы на тело, закрепленное
на оси, служит момент силы отно-
 

сительно оси (обозначается m z F )
 
 
mO F
 

mz F

F

r
(рис. 3.3). Моментом силы относи-
O
тельно оси называется алгебраическая величина, равная проекции век-
y
x
тора момента силы относительно произвольной точки оси на эту
 
 

 
m
F

пр
m
F
z
z O
ось:
.
29
Рассмотрим основные способы вычисления момента силы относительно оси.
1. Аналитический
По правилу вычисления векторного произведения:

i
   
mO F  r  F  x
Fx


j
y
Fy

k



z  yFz  zF y i  zFx  xFz  j  xFy  yFx k .
Fz


Откуда
  
 
  



m x F  yFz  zFy ,

m y F  zFx  xFz  ,

m z F  xFy  yFx .


30
2. Геометрический
Для вычисления момента силы относительно оси необходимо провести
плоскость  (рис. 3.4), перпендикулярную данной оси Oz  , спроецировать силу
на эту плоскость и вычислить момент

F

F
z
h

F

O
проекции
относительно точки O −
точки пересечения оси Oz с плоскостью  . Эквивалентность
этих двух способов вытекает из равенств
 
 
mz F   xFy  yFx    xF y  yF x   mz F   F  h; .
Момент положителен, если, глядя с положительного направления оси, вращение видно происходящим против хода часовой
стрелки. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила
параллельна оси или линия действия силы пересекает ось.
31
При вычислении моF1
ментов силы относиh
F2
тельно координатных
F
h
осей ее бывает удобно
предварительно разложить на составляющие, параллельные координатным осям, и находить момент каждой составляющей отдельно.
1
2
M z ( F )  M z ( F 1 )  M z ( F 2 );
Начало документа
32
3.2. Пара сил

Система двух равных по моF
h
 
дулю параллельных сил F , F ,
направленных в противоположные стороны называет- F
ся парой сил (рис. 3.5). Расстояние h между линиями действия сил −
плечо пары.
Для характеристики действия пары сил на
твердое тело вводится понятие момента пары.
Вектор момента пары сил равен векторному моменту одной из
сил пары относительно точки приложения другой силы (рис. 3.6):


 
 
  ,
  
 
 
m F ,F   m A F  mB F 



m F , F   F AB sin   F h .

  
m F ,F 

F
33

A
h

B

Он направлен перпендикуF

лярно плоскости  действия
пары в ту сторону, откуда видно, что вращение происходит против хода часовой стрелки.
Момент пары − это свободный вектор, и он
полностью определяет действие пары на твердое тело.
34
Для пар, расположенных в одной плоскости, используется
понятие алгебраического момента пары.
Алгебраический момент пары сил равен алгебраическому моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы или, то же самое, равен взятому со знаком плюс или
минус произведению модуля одной из сил пары на плечо. Момент пары положителен, если пара стремится повернуть плоскость против хода часовой стрелки.
m 0
m 0
35
Суммарное вращательное действие сил, составляющих пару, определяется следующей
теоремой:
Теорема. Сумма моментов сил пары относительно произвольной точки равна моменту пары.
Доказательство. Выберем произвольную
точку O (рис. 3.7) . Сумма моментов сил пары
относительно точки O :


  
m F ,F 


F
A
O
B

F
 


   
mO F  mO F   OA  F  OB  F  ,



   
   
так как F   F  , то mO F   mO F   OA  OB  F  BA  F  mF ,F  .
Следствие: Момент пары не зависит от
выбора центра.
Начало документа
3.3. Теоремы о парах
Теорема 1. Пару
сил, приложенную к
твердому телу, можно перемещать в
плоскости действия, сохраняя при
этом ее момент.
Доказательство. Выберем в плоскости действия
 
пары сил F , F  произвольный отрезок A1B1 и восстановим перпендикуляры в его концах до пересечения с ли-


ниями действия сил F и F  (рис. 3.8). Перенесем си-
A

F
h1

F
B
36

Q
A1
h2
D
D
 C
Q

 P 
F
P

F
E
B1

Q


F
F
лы
и  по линиям их действия в точки С и E и разF

 

 
ложим на составляющие F ~ P , Q и F  ~ P , Q . Си 
 
стема сил P , P ~ 0 , а силы Q и Q  образуют пару сил и могут быть перенесены по линиям их
 
действия в точки A1 и B1 . В результате эквивалентных преобразований пара сил F , F  за 
менена парой сил Q ,Q , момент которой равен моменту заданной пары. Действительно, рассматривая площадь параллелограмма CDEF SCDEF  h1CF  h2CD , из подобия соответ

CF CD
ствующих треугольников F  Q  h1 F  h2 Q .





Q
Теорема 2. Пару
сил, действующую на твердое
тело, можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия.
 
AB
Доказательство. Плечо
пары сил F ,F , лежащей в
1

F
A
37

F
B

R

R
плоскости 1 , переместим параллельно в положение A1B1 на

F1
плоскости 2 (рис. 3.9) и приложим систему сил
A
2
1

   







F2
F2
F1 , F1, F2 , F2 ~ 0 , F1  F2  F ,
F1  F2  F  .

 
B1
F
Силы F , F1 имеют равнодействующую R  2 F , которая
приложена в точке пересечения диагоналей параллелограмма
 
F
ABA1B1 . Силы , F1 также имеют равнодействующую R   2 F , которая направлена в противо-


1
положную сторону. То есть F , F1 , F , F1~ R , R ~ 0 . По второй аксиоме статики
     
   
 
   
 
F ,F ~ F ,F ,F1 ,F1,F2 ,F2 ~ R , R , F2 ,F2 ~ F2 ,F2 . В результате эквивалентных преобразований
 
 
пары сил F ,F  заменена парой сил F2 , F2  в параллельной плоскости, которая имеет тот же
 
момент и стремится повернуть тело в том же направлении.

  
m R ,R
пары, действующие на твердое тело
и лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих
пар.

38
Теорема 3. Две

m2

m1
 1
F1

R

P
пары
 
с моментами

P
A

m1 и

F2

F1

Q
Доказательство. Рассмотрим две
F1 , F1 и F2 ,F2 
B

Q

R

F2
2

m2 , лежащие в пересекающихся
плоскостях 1 и 2 . Пользуясь теоремой 1, перенесем пары так, чтобы силы были
приложены в точках A и B на линии пересечения плоскостей (рис. 3.10). По правилу сложе


 
 





R
~
P
,
Q



R
R
~
P
,
Q
ния сил имеем
и
. Система сил , R  образует пару. Момент этой пары




 



  
m R, R  BA  R  BA  Q  P  BA  Q  BA  P ,
где
 
BA  Q  m1 ,
 
BA  P  m2 ,
т.е.


  


m R , R   m1  m2 .
В частном случае две
пары, лежащие в одной плоскости, эквива-
39
лентны одной паре, момент которой равен алгебраической сумме
моментов составляющих пар.
Из теоремы следует, что любую систему пар
можно заменить одной парой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар. Это
позволяет получить условие равновесия системы пар.
Для равновесия системы
пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно,
чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:
n

 mk  0
k 1
− в случае пространственной системы пар;
n
 mk  0
k 1
плоскостях.
− для системы пар, расположенных в одной плоскости или в параллельных
40
Глава 4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
СТАТИКИ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
41
Начало документа
4.1. Основная теорема статики
Лемма. Не

  
m F , F 
изменяя действия силы на

твердое тело, ее можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела,
добавляя при этом пару, момент которой
равен моменту данной силы относитель-

F

F

F 
B
A
но новой точки приложения.
Доказательство. Пусть к телу в точке
точке
B

уравновешенную систему сил:
   

A
приложена сила
F , F ~ 0 ,
 
(рис. 4.1). Добавим в



F  F . Тогда

 

  
 
  
 
F ~ F , F  , F ~ F , F , F , но F , F  − пара сил с моментом m F , F   m B F  .
Пусть на твердое тело действует произвольная система сил. Введем определения.
Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма всех сил системы
 n 
R   Fk
k 1
Rx 
n
 Fkx ,
42
. Главный вектор определяется своими проекциями на оси координат:
Ry 
k 1
n
 Fky ,
Rz 
k 1
n
 Fkz ,
R  R x2  R 2y  R z2 .
k 1
Главным моментом системы сил относительно данного центра называется сумма моментов
всех сил системы относительно этого центра:

MO 
n
 .
 
 mO Fk
k 1
Главный момент определяется своими проекциями на оси координат:
n
n

M Ox
 

  m x Fk
k 1
,
M Oy 
 m y Fk 
k 1
,
2
2
2
M O  M Ox
 M Oy
 M Oz
M Oz
.
n
 

  m z Fk
k 1
,
43
Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей
из силы и пары сил. Сила равна главному
вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному моменту
системы сил относительно этой точки.
Теорема
Пуансо.
44
Доказательство. Пусть точка O − центр приведения. Пользуясь доказанной леммой, перенесем си

 
 


O
F
F

F
m

m
лу 1 в точку
, добавляя при этом пару с моментом m1 (рис. 4.2): 1
1, 1
O ( F1 ) . Аналогично
перенесем в точку O остальные силы. В результате получим систему сходящихся в точке O сил (рис. 4.3)



 

Fk  Fk , k  1, 2 ,  ,n и систему пар сил с моментами mk  mO ( Fk ) , k  1, 2 ,  ,n . По теореме о су n 
ществовании равнодействующей системы сходящихся сил их можно заменить одной силой R   Fk ,
k 1
равной главному вектору. Систему пар по теореме о сложении пар можно заменить одной парой, момент

MO 
которой равен главному моменту (рис. 4.4)

m1
 
 
 mO Fk .
k 1

m1

F1

Fn
n

mn

F1

m2

F1

Fn
O

F2

F3
O

F2

MO
O
A

R
45
Из основной теоремы статики вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил.
Для равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент систе-

мы равнялись нулю: R  0 ,

MO  0 .
Проектируя эти равенства на оси координат,
получаем условие равновесия в аналитической форме.
Для равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю:
n
 Fkx  0
k 1
n
 

 m x Fk  0
k 1
n
n
 Fky  0
,
k 1
n
,
 

 m y Fk  0
k 1
 Fkz  0
,
k 1
n
,
 

 mz Fk  0
k 1
.
,
46
Начало документа
4.2. Частные случаи условий равновесия твердого тела
Если на твердое тело действует система параллельных сил (рис. 4.6), то условие
равновесия записывается в виде
n
 Fkz  0 ,
k 1
n
 

 m x Fk  0 ,
k 1
n
 

m
F
 y k  0.
k 1
При этом остальные уравнения равновесия обращаются в тождества.

F1
z
O
x

F2

Fn
y
Пусть на твердое тело действует плоская система сил. В результате при-
47
ведения плоской системы сил к заданному центру получаем силу и пару, лежащие в заданной плоскости.
Главный момент в этом случае определяется как алгебраическая сумма
моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения
n
 .

M O   mO Fk
k 1
Главный вектор плоской системы сил определяется его проекциями на
две координатные оси
Rx 
n
 Fkx ,
k 1
Ry 
n
 Fky .
k 1
48
Тогда:
Для равновесия плоской системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и
достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:
n
n
n
k 1
k 1
 

 mO Fk  0 .
 Fky  0 ,
 Fkx  0 ,
k 1
Условие равновесия плоской системы сил может быть записано в следующих эквивалентn
ных формах:
 Fkx  0
k 1
n
n
,
 

m
F
 B k 0.
 

 m A Fk  0 ,
k 1
k 1
(отрезок AB не перпендикулярен оси Ox , при этом исключается случай приведения системы сил к равнодействующей, проходящей через точки A и B ).
n
 

 m A Fk  0 ,
k 1
n
 

m
F
 B k 0,
k 1
n
 

 mC Fk  0 .
k 1
(точки A , B , C не лежат на одной прямой, при этом исключается случай приведения системы сил к равнодействующей, проходящей через точки A , B и C ).
49
Если в равновесии находится не одно тело, а система тел, то для определения всех неиз-
вестных величин необходимо расчленять систему, вводя в рассмотрение реакции внутренних
связей. При этом возможны два способа составлений уравнений равновесия. Проиллюстрируем их применение на примере равновесия двух тел.
Первый способ заключается в рассмотрении равновесия системы тел под действием заданной системы сил и реакций внешних связей (рис. 4.7), а также одного тела под действием
приложенной к нему системы заданных сил и реакций внешних и внутренних
свя-
зей (рис. 4.8). Второй способ заключается в составлении условий равновесия для каждого тела системы.
C

P1

YA
A

XA

YC

P2
C

P1

YB
B

XB

YA
A

XA

XC
50
Начало документа
4.4. Равновесие при наличии трения скольжения (законы Амонтона − Кулона)
При стремлении сдвинуть тело, лежащее на шероховатой поверхности, возникает сила
реакции, которая имеет две составляющие – нормальную и силу трения скольжения (рис.
4.34). В результате экспериментальных исследований были установлены законы Амонтона
− Кулона:
1. Сила трения скольжения при равновесии тела меняется от нуля до некоторого максимального значения.
2. Максимальное значение силы трения скольжения не зависит от площади контакта, а определяется величиной нормальной реакции, материалом и состоянием контактирующих поmax
верхностей Fтр  fN ,
где f − коэффициент трения скольжения. Конусом трения называется поверхность, образованная линией действия максимальной реакции при стремлении сдвинуть тело в различFтрmax
fN
ных направлениях (рис. 4.35): tg  N  N  f , tg  f .

Fтр

N

R
 max
Fтр

N

Рассмотрим тело (рис. 4.36), которое лежит на шероховатой поверхности, пренебрегая
51
его весом. В некоторой точке контакта тела с поверхностью при известном коэффициенте

трения f построим конус трения и приложим произвольную по величине силу P , проходящую внутри конуса трения. Так как    , то tg  tg и
P sin   fP cos 
или
P sin 
 f
P cos 
. Откуда
P sin   Fтрmax . Это означает, что тело находится в равновесии и ни-
какая сила, лежащая внутри конуса трения, не может сдвинуть тело по поверхности.

P


52
Начало документа
4.5. Равновесие при наличии трения качения
Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по
поверхности другого (рис. 4.37). Вследствие деформации тел их касание происходит вдоль
площадки AB , на которой имеем распределенную систему сил реакции. Эта система сил по
теореме Пуансо может быть заменена силой и парой. Сила раскладывается на две
составляющие − нормальную и силу трения скольжения. При равновесии тела момент
сопротивления качению определяется из условия равновесия приложенной к телу системы
сил. При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до
максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления, соответствующее
max
началу качения, определяется равенством M с  N , где  − коэффициент трения качения (по аналогии с трением скольжения). Коэффициент трения качения имеет размерность
длины, зависит от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.

F2

F1

F1

F2
A
B

 F1
Fn 
F1

F2
A
B

 F1
Fn 
F
1
Fтр

N

Fn
Mс
53
Глава 5. ИНВАРИАНТЫ СТАТИКИ
54
Начало документа
5.1. Первый и второй инварианты статики
Инвариантами статики называются характеристики системы сил, не зависящие от выбора центра
приведения.
Существуют два инварианта. Первым инвариантом является главный вектор системы сил (по его
определению он не зависит от выбора центра приведения). Вторым инвариантом статики является скалярное произведение главного вектора и главного момента.
Для доказательства этого, рассмотрим предварительно связь между главными моментами относительно двух центров приведения O и O1 . Главный момент зависит от выбора центра приведения. Рас 

F
,
F
,

,
F
n (рис. 5.1). Главный момент системы сил относительно
смотрим произвольную систему сил 1 2


M
O
O 
центра :

M O1 
где
n
n
   rk  Fk ,главный момент относительно нового центра приведения O1 :
 
m
 O Fk 
k 1
n


rk  O1O  rk .
k 1

k 1
   rk  Fk
 
m
 O1 Fk 
k 1
n


,

F1
O

F2

rk
O1

rk

Fk
n


n
n
n
55
n
M O1   O1O  rk  Fk   O1O  Fk   rk  Fk  O1O   Fk   rk  Fk  O1O  R  M O
k 1
k 1
k 1
k 1
 k 1 
 
и M O1  M O  mO1 R − главный момент системы сил относительно нового центра приведе-

ния равен сумме главного момента относительно старого центра приведения и момента
главного вектора, приложенного в старом центре приведения, относительно нового центра.
Умножив скалярно обе части последнего равенства на главный вектор, получим

 

 
 


M O1  R  M O  R  O1O  R  R .причем O1O  R  R  0 , так как
O1O  R  R ,

 



M

R

M

R
O1
O
следовательно,
, т.е. M O  R  const − второй инвариант статики.
Инвариантом является и проекция главного момента на направление главного вектора

(рис. 5.2)




M O  R  M O R cos  ,

M O cos   const .

R

MO

O


56
Начало документа
5.2. Частные случаи приведения произвольной системы сил
По инвариантам статики можно судить о возможных частных случаях приведения исходной системы сил.
Возможны следующие случаи:

1. R  0 ,

MO  0 .
В этом случае система сил приводится к одной силе − равнодействующей, при этом линия действия равнодействующей проходит через центр приведения.
2.

R  0,

MO  0 .
В этом случае исходную систему сил можно заменить двумя силами, образующими пару сил.
57

3. R  0 ,

MO  0 .
Система сил приводится к силе и паре. При этом возможны два случая.
 
R
а)  M O  0 − пара и сила лежат в одной плоскости (рис.
5.3).








R
,
R



Выбираем силы, составляющие пару
: R  R  R и

R

R
 
MO
R . Силы

R

hR

M
O,
находим ее плечо:
и R 
образуют уравновешенную систему сил. В результате исходная
h


MO
O
O
h
  
  





система сил приводится к равнодействующей R , R , R ~ R  ,
R 
O
1
которая проходит через точку , отстоящую от центра
приведения на расстоянии, равном отношению главного момента к главному вектору. С


 
M O  M O1  r  R 
учетом зависимости главного момента от выбора центра приведения
,где
радиус вектор, проведенный в точку на линии действия равнодействующей, и условия

 
M

r
R  0
O
векторное уравнение линии действия равнодействующей имеет вид:
или в координатной форме:
M Оx  yRz  zRy  0, M Оy  zRx  xRz  0, M Оz  xRy  yRx  0.
M O1  0
1

r
 
б) R  M O  0 − система сил приводится к силе и паре, не лежащих в одной плоскости.



 
Разложим главный момент (рис. 5.4) так, чтобы M O  M1  M 2 , M 1R . Для
составляющей
hR  M1 , h 

M1
58
проводим аналогичные предыдущему случаю рассуждения. Тогда
M 1 M O sin 

R
R
и в центре
O1 имеем силу и пару, лежащую в плоскости, перпен-
дикулярной силе, которые образуют силовой (динамический) винт (рис. 5.5). Момент этой
пары определяется проекцией главного момента на направление главного вектора (не зависит


 
R x M Ox  R y M Oy  Rz M Oz
от выбора центра приведения) M 2  m F , F   M O cos  . Или M 2 
.
R
Если знак M 2 положителен, то динамический винт называется правым (глядя с конца главного
вектора пара вращает тело против хода часовой стрелки), в противном случае динамический




 

M

M

r

R
винт называется левым. При перемене центра приведения O
, но M O1  M 2 ,
O1


 
следовательно, M 2  M O  r  R .

MO

M2

R

R


M1

R 

R
O h

r
O
1

F

F
 
Так как M 2 R , то


M 2  kR , где k 
 
M2 R
R2

59
M O cos 
.
R
Тогда, векторное уравнение центральной винтовой оси (линии в точках которой
заданная система сил приводится к динамическому винту) имеет вид
M O cos   
 
R  MO  r  R ,
R
или в координатной форме

M Оx  yRz  zR y
Rx

4. R  0 ,
  M Оy  zRx  xRz   M Оz  xRy  yRx   M O cos 
Ry
Rz

M O  0 − уравновешенная система сил.
R
.
Теорема Вариньона. Если
система сил имеет равнодействующую,
60
то ее момент относительно любого центра (или оси) равен сумме
моментов всех сил системы относительно того же центра (или
оси).


R

 


F
,
F
,

,
F
~
R
Доказательство. Пусть 1 2
и O1 − точка
n
на линии действия равнодействующей (рис. 5.7). Как было



 
доказано M O  M O1  mO R , но M O1  0 , следовательно,

n
   m O Fk 
 
mO R 

k 1
. В проекции на ось, проходящую через
n


m
R

m
F
 x k .
центр O , x

 
k 1
O1
O
61
Глава 6. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
62
Начало документа
6.1. Центр параллельных сил
F1 ,F2 ,...,Fn  (рис. 6.1), направленных в одну сторону.
 

Рассмотрим систему параллельных сил
При повороте всех сил системы на один и тот же угол линия действия равнодействующей системы
параллельных сил повернется в ту же сторону на тот же угол вокруг некоторой точки. Эта точка называется центром параллельных сил. Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся
теоремой Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси.
n
Относительно оси
Ox


(рис. 6.2) m x R 
n
 

 m x Fk ,
k 1
n
 yC R    y k Fk

k 1
yC 
 y k Fk
k 1
n
 Fk
.
k 1
n
Относительно оси
Oy


m
R
(рис. 6.2) y 
n
 

m
F
 y k ,
k 1
xC R 
n
 xk Fk

k 1
xC 
 xk Fk
k 1
n
 Fk
.
k 1
n


m
R
Относительно оси Oz (рис. 6.2) z 
n
 

m
F
 z k,
k 1
zC R 
n
 zk Fk
k 1

zC 
 zk Fk
k 1
n
 Fk
k 1
.
63
С
z
 
R


F1
 
Fk


F12

F1
zC
O

 F2
x

F2
С

R
xC

Fk
y
yC
Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид
n

rC 

 Fk rk
k 1
n
 Fk
k 1
.
64
Начало документа
6.2. Центр тяжести твердого тела
Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц данного тела
n

rC 

 Pk rk
k 1
P
. Для однородного тела положение центра тяжести тела определяется его геометрической
формой. Пусть
− удельный вес однородного тела, тогда Pk  Vk , P  V ,

где Vk − элементарный объем,
n

r
ния C , имеем

rC 
V
− объем всего тела. Подставив эти значения в формулу для определе-

 Vk rk
k 1
V
. Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты
центра тяжести однородного объема:
1 n
1
xC  lim
Vk xk   xdV ,

Vk 0 V
V V 
k 1
yC
1
 lim
Vk  0 V
zC
1
 lim
Vk 0 V
M1
z
n
1

V
y

 k k V  ydV ,
k 1
V 

rC
n
1
 Vk zk  V  zdV .
k 1
V 
O
x

P1
С
Mk

Pk
y
65
Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности (рис. 6.4):
xC
1
 lim
S k 0 S
yC 
zC
n
 Sk xk
k 1
1
S k 0 S
lim

n
 Sk yk
k 1
1
 lim
S k 0 S
1
xdS ,
S 
S


Pk
1
ydS ,
S 
S
n
 Sk zk 
k 1
1
zdS ;
S 
S
Sk
z
O
y
x
и координат центра тяжести однородной линии (рис. 6.5):
1 n
1
xC  lim
 lk xk   xdl ,

 lk 0 L
L L 
k 1

Pk
n
1
1
 lk y k   ydl ,

 lk 0 L
L L 
k 1
yC  lim
O
1 n
1
zC  lim

l
z

 k k L  zdl .
 l k 0 L
k 1
L 
lk
z
x
y
На практике используются различные способы нахождения центра тяжести. К основ-
66
ным относятся следующие:
1. Аналитический (интегрированием).
2. Метод симметрии
Если тело имеет плоскость или ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости или оси.
Если тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит в точке пересечения этих
осей.
3. Экспериментальный (при подвешивании тела за любую точку его центр тяжести лежит на
линии подвеса).
4. Метод разбиения на части (если возможно провести разбиение тела на части с известным
положением центров тяжести, то координаты центра тяжести тела определяются с помощью конечных сумм).
Разновидностью метода разбиения на части является метод отрицательных площадей и
объемов (применяется для тел, имеющих полости).
67
Рассмотрим способы определения центров тяжести простейших фигур.
1. Треугольник. Центр тяжести площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан (рис.
6.6).
DM  MB ,
2. Дуга окружности.
Дуга радиуса
CM 
1
AM .
3
R с центральным углом 2 (рис. 6.7) имеет ось симметрии. Центр
тяжести лежит на этой оси, т.е. yC  0 . Координату
dl
 элемент дуги,

xC 
dl  Rd  ,
2
1
R
R cos  R d 
sin 

2R  
2R
x  R cos  ,

R

D
.
sin 
 .
L  2R ,
sin 
x

R
Следовательно, C

y
C
A
1
x

xdl
x C определяем аналитически C
L L  , где
d
M
O
B
dl


x
.
Круговой сектор. Рассмотрим круговой сектор радиуса R с центральным углом 2 (рис. 6.8). Сектор
имеет ось симметрии Ox , на которой находится центр тяжести. Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые в пределе, при увеличении количества элементов разбиения, можно принять за треуголь2
ники, центры тяжести которых располагаются на дуге окружности радиуса R . Тогда центр тяжести
3
68
2 sin 
x

R
C
сектора совпадает с центром тяжести дуги AB
3
 .
3.
Конус. Рассмотрим однородный конус с радиусом основания R и высотой H . Поместим начало координат в центр основания конуса и ось z совместим с осью конуса (рис. 6.9). Оси x и y лежат в
z
x  0 yC  0
плоскости основания конуса и из соображений симметрии C
,
. Координату C определяzC 
1
zdV
V 
V 
ем аналитически
. Разбиваем конус горизонтальными плоскостями на элементарные объемы, которые в пределе, при увеличении количества элементов разбиения, можно принять за диски
толщины
dz . Выделим элементарный диск на расстоянии z от основания конуса. Радиус элементарноr
го диска (из подобия треугольников)
dV   r 2 dz  
R H  z 
2
2
H
2
dz
. Тогда
H
1
zC 
V   R2H
4 .
3
Так как
, то
1
zC 
V
H
 z
0
R 2 H  z 2
H2
R H  z 
H
,
а его объем
H
1   R 2 z 2 2 R 2 z 3  R 2 z 4 
 R2H 2
dz 



V  2
3H
12V
4 H 2  0
.
69
4.
Шаровой сектор. Рассмотрим однородный шаровой сектор радиуса R с углом  между образующей
и осью симметрии (рис. 6.10). Поместим начало координат в центр шара и направим ось z по оси симy 0
метрии. Из соображений симметрии xC  0 , C
. Координату zC определяем аналитически
zC 
1
zdV
V 
V 
1
V
zC 
2
. Переходя к сферическим координатам ( z  r cos  ,

R
 d d r
0
0
3
cos  sin  dr
0
тра тяжести полушара
, где
V
dV  r 2 sin  d d dr ),
находим
3
2
zC  R 1  cos  
 R 3 1  cos 
8
3
. Откуда
. В частности, для цен-
3
zC  R
8 .
z
z
y
A

С
y
x
y
B
.
Начало документа
dz
С
O
 С
x
x