НИС Симплектическая геометрия

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Симплектическая геометрия»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Авторы программы:
Пушкарь П.Е., к.ф.-м.н., доцент, petya.pushkar@gmail.com
Тюрин Н.А., д.ф.-м.н., доцент, ntyurin@theor.jinr.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС «Симплектическая геометрия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра,
направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика»
подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины "Симплектическая геометрия" являются знакомство с
основами симплектической геометрии - важнейшего предмета современной математики,
происходящей из гамильтоновой механики; знакомство с главными задачами, стоящими перед
специалистами по симплектической геометрии; знакомство и овладение основными методами
работы симплектической геометрии, соединяющими в себе элементы дифференциальной
геометрии и топологии, комплексного анализа, алгебраической геометрии и др.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основы классической механики, симплектической геометрии, симплектической
топологии;
 Уметь вычислять простейшие инварианты симплектических многообразий, строить
простейшие или стандартные лагранжевы подмногообразия, уметь вычислять
инварианты лагранжевых многообразий, уметь решать задачи классической
механики на топологически нетривиальных фазовых пространствах;
 Иметь навыки (приобрести опыт) работы профессионального математика —
исследователя в области классической механики, симплектической геометрии,
лагранжевой геометрии.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ, Алгебра, Геометрия, Дифференциальная геометрия,
Комплексный анализ, Топология, Дифференциальные уравнения
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС «Симплектическая геометрия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра

владеть основами математического анализа, алгебры, геометрии, комплексного
анализа,
топологии,
теории
дифференциальных
уравнений;
быть инициативными, жаждущими новых знаний, стремиться расширить свой
научный
кругозор
уметь внимательно слушать на лекциях и творчески перерабатывать усваиваемый
материал

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 Квантовая
механика,
Методы
естествознания,
Дополнительные
главы
дифференциальной
геометрии,
Алгебраическая
геометрия.
Современная
математическая физика
5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
6
Название раздела
Симплектические векторные пространства
Компактные симплектические
многообразия
Лагранжевы подмногообразия
Итого:
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
14
26
162/288
32
72
90/216
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Контрольная работа
6.1
Всего
часов
1 год
*
8
8
Зачет
Параметры **
8
домашняя письменная работа
v
в форме собеседования по
письменной работе
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
В качестве контрольных работ студентам предлагается решить исследовательские задачи
соответствующего уровня. Мы называем это Контрольно — Исследовательской работой. При
этом задача не должна быть слишком сложной, чтобы не конкурировать с курсовой работой,
однако должна требовать исследовательской самостоятельной работы.
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС «Симплектическая геометрия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Контроль осуществляется в смешанном режиме: письменная работа дополняется устным
собеседованием. Цель такой новации — моделировать работу ученого по написанию научной
статьи и дискуссию с оппонентом. В результате студент должен научиться не только грамотно
решать задачу, но выстраивать изложение материала наиболее подходящим образом и затем
отстаивать свои результаты при очном собеседовании с рецензентом.
Содержание дисциплины
7
1. Раздел 1 Симплектические векторные пространства
Тема 1.1 Гамильтонова механика — 4 часа.
Второй закон Ньютона, его выражение дифференциальным уравнением. Сведение его к
уравнению первого порядка. Понятие фазового пространства и гамильтониана. Гамильтоново
векторное поле функции. Скобка Пуассона. Гамильтонов поток.
Тема 1.2 Определение и простейшие свойства — 6 часов
Симплектическое векторное пространство. Теорема Дарбу. Алгебра Пуассона.
Симплектические подпространства. Симплектическая группа преобразований. Гамильтоновы
изотопии. Кокасательное расслоение и каноническая форма.
Тема 1.3 Интегрируемость по Лиувиллю — 4 часа
Коммутирующие функции. Действие тора. Теорема Лиувилля. Переменные действие —
угол. Лагранжевы торы. Редукция.
Литература по разделу
Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, «Современная геометрия», Москва,
«Наука» 1984 г.
В.И. Арнольд, А.Б. Гивенталь, «Симплектическая геометрия», Итоги Науки и Техники,
ВИНИТИ, том 4, стр 5 — 139, Москва 1985
2.
Раздел 2 Компактные симплектические многообразия
Тема 2.1
Симплектическая форма — 6 часов
Формы на компактных многообразиях. Симплектические формы. Симплектические
подмногообразия.
Топологические
ограничения.
Симплектические
расслоения
и
симплектические связности. Расслоени и связность предквантования в целочисленном случае.
Тема 2.2. Согласованная комплексная геометрия — 10 часов
Согласованная почти комплексная структура и риманова метрика. Эрмитовы и кэлеровы
тройки. Канонический класс. Псевдоголоморфные кривые.
Тема 2.3
Вполне интегрируемые системы — 10 часов
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС «Симплектическая геометрия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Примеры интегрируемости на компактных фазовых простравах.
Проективные
пространства как результат симплектической редукции. Отображения моментов. Выпуклые
многогранники. Примеры неинтегрируемых систем.
Литература по разделу
В.И. Арнольд, А.Б. Гивенталь, «Симплектическая геометрия», Итоги Науки и Техники,
ВИНИТИ, том 4, стр 5 — 139, Москва 1985
M.Audin, A. Cannas da Silva, E. Lerman, «Symplectic geometry of Intergable Hamiltonian
systems», CRM, Barcelona, Birkhauser, Basel, 2003
V.Guillemin, «Moment maps and combinatorial invariants of hamiltonian T^m spaces», Progress in Mathematics, 122, Birkhauser Boston, 1994
3. Раздел 3 Лагранжевы подмногообразия
Тема 3.1
Лагранжевы торы и их деформации — 10 часов
Лагранжевы торы — первые примеры. Теорема Дарбу — Вейнстейна. Изодрастические
деформации. Лагранжевы семейства. Периоды относительно целочисленной симплектической
формы. Подъемы периодов до отображений моментов. Условия Бора — Зоммерфельда.
Гамильтоновы изотопии. Проблемы классификации.
Тема 3.2 Класс Маслова и индекс Маслова — 12 часов
Лагранжев грассманиан. Три определения класса Маслова для многообразий с
тривиальным каноническим классом. Метрики Кэлера — Эйнштейна и форма Арнольда.
Индекс Маслова. Монотонные симплектические многообразия и монотонные лагранжевы
подмногообразия. Бор — зоммерфельдовость относительно канонического класса. Класс
Маслова бор — зоммерфельдова лагранжева подмногообразия монотонного симплектического
многообразия. Стабильность относительно гамильтоновых деформаций.
Тема 3.3 Экзотические торы Чеканова в проективной плоскости — 10 часов
Стандартные торы в торических симплектических многообразиях. Подъемы периодов.
Два определения экзотического тора Чеканова в четырехмерном симплектическом векторном
пространстве. Определения для проективных пространств и квадрики. Неэквивалетнность
стандартным
торам
Клиффорда.
Другая
конструкция
—
псевдоторические
структуры.Приложение: специальные лагранжевы торы на многообразиях Калаби — Яу и
Фано.
Литература по разделу
В.И. Арнольд, А.Б. Гивенталь, «Симплектическая геометрия», Итоги Науки и Техники,
ВИНИТИ, том 4, стр 5 — 139, Москва 1985
R. Hartshorne, «Algebraic geometry», Graduate texts in Math., 52, Springer — Verlag, NY, 1977
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС «Симплектическая геометрия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Б.А. Дубровин, И.М. Кричевер, С.П. Новиков, «Интегрируемые системы». Итоги
науки и техники, ВИНИТИ, том 4, стр. 179 — 284, Москва 1985
S. Donaldson, P. Kronheimer, «The geometry of 4 — manifolds», Clarendon press, Oxford,
1990
Н.А. Тюрин, «Универсальный класс Маслова бор-зоммерфельдова лагранжева вложения
в псевдоэйнштейново многообразие», ТМФ, 150:2 (2007), 325–337
Н.А. Тюрин, «Псевдоторические лагранжевы слоения торических и неторических
многообразий Фано» ТМФ, 162:3 (2010), 307–333 5.
Н.А. Тюрин, «Специальные лагранжевы слоения многообразия флагов F3», ТМФ, 167:2
(2011), 193–205
Н.А. Тюрин, «Торы Чеканова и псевдоторические структуры», УМН, 66:1(397) (2011),
185–186
8
Образовательные технологии
Основой курса является классическая образовательная технология. При этом
планируются
мастер - классы (доклады) ведущих специалистов по симплектической
геометрии, а также тренинги (собеседования) таковых специалистов с наиболее успевающими
студентами.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для Контрольно - Исследовательской работы:
1. Вычислить индекс Маслова экзотического тора Чеканова на проективной плоскости
Тема Контрольно - Исследовательской работы для каждого студента утверждается
преподавателем в индивидуальном порядке.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность
решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель
выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед
промежуточным (итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления
накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС «Симплектическая геометрия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из
результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой
составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, «Современная геометрия»,
«Наука» 1984 г.
Москва,
11.2 Основная литература
В.И. Арнольд, А.Б. Гивенталь, «Симплектическая геометрия», Итоги Науки и Техники,
ВИНИТИ, том 4, стр 5 — 139, Москва 1985
R. Abraham, J.E. Marsden, «Foundations of Mechanics», Addison Wesley, Redwood city, 1985
V. Guillemin, S. Sternebrg, «Geometric asymptotics», Math surveys, vol 14, AMS,
idence,RI, 1977
Prov-
В.И. Арнольд, «Математические методы классической механики», Москва, «Наука»,
1979
M.Audin, A. Cannas da Silva, E. Lerman, «Symplectic geometry of Intergable Hamiltonian systems», CRM, Barcelona, Birkhauser, Basel, 2003
V.Guillemin, «Moment maps and combinatorial invariants of hamiltonian T^m spaces», Progress in Mathematics, 122, Birkhauser Boston, 1994
R. Hartshorne, «Algebraic geometry», Graduate texts in Math., 52, Springer — Verlag, NY,
1977
Б.А. Дубровин, И.М. Кричевер, С.П. Новиков, «Интегрируемые системы». Итоги
науки и техники, ВИНИТИ, том 4, стр. 179 — 284, Москва 1985
S. Donaldson, P. Kronheimer, «The geometry of 4 — manifolds», Clarendon press, Oxford,
1990
A.N. Tyurin, «Qunatization, Classical and Quantum Field theory and theta functions», CRM
University of Montreal, vol 21, AMS, Providence, RI 2003
A. Weinstein, «Symplectic geometry», BAMS, v.5, N 1, pp. 1- 13
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС «Симплектическая геометрия» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Yu. Chekanov, «Lagrangian tori in a symplectic vector space and global
symplectomorphisms», Math. Z., 223 (1996), 547 - 559.
11.3 Дополнительная литература
Н.А. Тюрин, «Универсальный класс Маслова бор-зоммерфельдова лагранжева вложения
в псевдоэйнштейново многообразие», ТМФ, 150:2 (2007), 325–337
Н.А. Тюрин, «Псевдоторические лагранжевы слоения торических и неторических
многообразий Фано» ТМФ, 162:3 (2010), 307–333 5.
Н.А. Тюрин, «Специальные лагранжевы слоения многообразия флагов F3», ТМФ, 167:2
(2011), 193–205
Н.А. Тюрин, «Торы Чеканова и псевдоторические структуры», УМН, 66:1(397) (2011),
185–186
11.4 Справочники, словари, энциклопедии
www.arXiv.com
www.lib.mipt.ru
11.5 Программные средства
Для успешного освоения дисциплины, студент использует следующие программные
средства:
 пакет программ Maple
 пакет программ Mathematica
11.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Лекции по данной дисциплине участвуют в программе Независимого университета
«Открытая математика», то есть записываются в режиме реального времени и
передаются в библиотеку, которой моэет пользоваться каждый студент
12 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Доска, мел, записывающая аппаратура, установленная в аудитории математического
факультета НИУ — ВШЭ.
8