Элементы теории неравенств_ПО

Методические рекомендации по курсу
Б2.ДВ1.2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕРАВЕНСТВ
подготовки бакалавриата 050100.62 «Педагогическое образование»
профиль «Математика, Информатика»
Цели освоения дисциплины
научить студентов
доказывать неравенства, от простейших до более сложных, часто встречающихся в
различного рода олимпиадах;
познакомить
с большим числом известных и ставших классическими неравенствами,
с различными методами доказательства неравенств,
с применением неравенств при решении задач на экстремум.
Ознакомить студентов с методикой организации научно-исследовательской работы
школьников, с работами, занявшим призовые места на конкурсе “Шаг в будущее”.
6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины*
Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
- способностью разрабатывать и реализовывать учебные программы базовых и
элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1)
Знать основные методы доказательства неравенств, уметь решать задачи на
доказательство неравенств.
8. Содержание дисциплины
ЛК
108/3
36
8
16
ПР/
ЛБ
СМ
20
-
Часы на СРС
(для дисц. с экзаменом
включая часы на
экзамен)
Часов в интеракт.
форме (из ауд.)
5
Всего аудит.
3
050100
«Педагогическое
образование», профиль
«Математика,
Информатика», очная
Трудоемкость в
часах/ЗЕТ
1
№
Семестр
Шифр и наименование
направления с
указанием профиля
п
(названием
/
магистерской
п программы), формы
обучения
Курс
Виды учебной работы в часах
72
Вид итогового контроля (форма
отчетности)
7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на
которых обеспечивается данная дисциплина).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц
(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);
108 часов.
зачет
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
времени:
учебного
Количество часов
№
п/п
Наименование
раздела, темы
Доказательство неравенств
Доказательство простейших неравенств
Условные неравенства
Соотношения между средними
гармоническим, геометрическим,
арифметическим и
квадратичным
4) Теорема Мюрхеда (доказательство
симметрических неравенств)
5) Доказательство неравенств с помощью
метода математической индукции
6) Использование производной при
доказательстве неравенств
7) Использование выпуклости и
вогнутости функций при доказательстве
8) неравенств
9) Неравенство Иенсена
10) Перестановочное неравенство
11) Неравенство Чебышёва
12) Введение в теорию мажоризации
Обращение классических неравенств
1)
2)
3)
Всего
ауд.ч./в
интеракт.ф.
36/8
3/1
2/0
4/1
ЛК
ПР/
СМ
16
1
1
2
20
2
1
2
2/0
1
1
4/1
2
2
2/1
1
1
3/1
1/0
2/1
2/0
2/1
2/1
2/0
1/0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
ЛБ
Часов на СРС
-
72
1
1
1
1
1
Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
1
Наименование раздела
дисциплины (модуля)
Форма самостоятельной
работы
Кол-во
часов
Различные доказательства
неравенства Коши
1) Доказательство
Якобсталя
2) Доказательство Элерса
3) Доказательство с
помощью
логарифмической функции
4) Анализ и множители
Лагранжа
5) Тождество Лагранжа
домашняя работа
32
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Проверка домашних
заданий
Индивидуальное
собеседование
2
Классические неравенства
1) Неравенство КошиБуняковского
2) Неравенство Гёльдера
3) Неравенство
Минковского
4) Неравенство Ки Фана
5) Неравенство Поповичу
6) Неравенство Ньютона
Маклорена
7) Монгольское
неравенство
8) Неравенство Шапиро
домашняя работа
40
Проверка домашних
заданий
Индивидуальное
собеседование
Планы проведения практических занятий
Практическое занятие № 1
Тема: Доказательство простейших неравенств. Условные неравенства.
Вопросы для обсуждения:
1. Доказательство простейших неравенств.
2. Условные неравенства.
Литература: [18], стр. 41– 55.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[18]. Примеры 1 – 17, §1, примеры 1 – 13, §2.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [18], стр. 41 – 48.
Практическая часть: [18], задачи для самостоятельного решения §1, № 1 – 16; §2, № 1 –
12.
Практическое занятие № 2
Тема: Соотношения между средними гармоническим, геометрическим, арифметическим и
квадратичным. Теорема Мюрхеда (доказательство симметрических неравенств).
Вопросы для обсуждения:
1. Соотношения между средними гармоническим, геометрическим, арифметическим и
квадратичным.
2. Теорема Мюрхеда (доказательство симметрических неравенств).
Литература: [1-3, 23].
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
[9], стр. 29 - 31, [12], № 1 – 11.
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [1], стр. 27 – 31.
Практическая часть: [18], стр. 48 – 50, [3], стр. 19 – 20, [23], стр. 126-127.
Практическое занятие № 3
Тема: Доказательство неравенств с помощью метода математической индукции.
Использование производной при доказательстве неравенств.
Вопросы для обсуждения:
1. Доказательство неравенств с помощью метода математической индукции.
2. Использование производной при доказательстве неравенств.
Литература: [3], стр. 15 – 18; [2], стр. 85 – 100; [20], стр. 1 – 15 .
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
Теоретический материал: Литература: [3], стр. 15 – 18; [2], стр. 85 – 100; [20], стр. 1 – 15
.
Практическая часть: [3], стр. 15 – 18; [2], стр. 85 – 100; [20], стр. 1 – 15 .
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [3], стр. 15 – 18; [2], стр. 85 – 100; [20], стр. 1 – 15
.
Практическая часть: [3], стр. 15 – 18; [2], стр. 85 – 100; [20], стр. 1 – 15 .
Практическое занятие № 4
Тема: Использование выпуклости и вогнутости функций при доказательстве неравенств.
Неравенство Иенсена.
Вопросы для обсуждения:
1. Использование выпуклости и вогнутости функций при доказательстве неравенств.
2. Неравенство Иенсена.
Литература: [2], стр. 156 – 171; [24], стр. 294 - 303; [7], стр. 382 – 385.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
Теоретический материал: Литература: [2], стр. 156 – 171; [24], стр. 294 – 303;
[7], стр. 382 – 385.
Практическая часть: [2], стр. 156 – 171; [24], стр. 294 – 303 .
Домашнее задание:
Теоретический материал: Литература: [2], стр. 156 – 171; [24], стр. 294 - 303.
Практическая часть: [2], стр. 156 – 171; [24], стр. 294 - 303.
Практическое занятие № 5
Тема: Перестановочное неравенство и его применение.
Неравенство Чебышёва.
Вопросы для обсуждения:
1. Перестановочное неравенство и его применение.
2. Неравенство Чебышёва.
Литература: [5], стр. 210 – 224, [7], стр. 385.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
Теоретический материал: Литература: [5], стр. 210 – 224; [7], стр. 382 – 385.
Практическая часть: [5], стр. 210 – 224; [7], стр. 385 .
Домашнее задание:
Теоретический материал: [5], стр. 210 – 224; [7], стр. 382 – 385.
Практическая часть: [5], стр. 210 – 224; [7], стр. 382 – 385.
Практическое занятие № 6
Тема: Введение в теорию мажоризации. Обращение классических неравенств.
Вопросы для обсуждения:
1. Введение в теорию мажоризации.
2. Обращение классических неравенств.
Литература: [7], стр. 382 – 423; [8], стр. 424 – 438.
Задания для самостоятельной работы в аудитории:
Теоретический материал: Литература: [8], стр. 424 –438; [7], стр. 382 – 423.
Практическая часть: [7], стр. 382 – 423; [8], стр. 424 – 438.
Домашнее задание:
Теоретический материал: [7], стр. 382 – 423; [8], стр. 424 – 438.
Практическая часть: [7], стр. 382 – 423; [8], стр. 424 – 438.
Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины
(модуля)
Основная
1. Беккенбах Э., Беллман. Неравенства. М.: Мир, 1965.
2. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. М.: Физматлит, 2002.
3. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. М.: Наука, 1967.
4. Коровкин П.П. Неравенства. М., 1956.
5. Радзивиловский Л.В. Обобщение перестановочного неравенства и монгольское
неравенство. Математическое просвещение, сер. 3, вып. 10, 2006 с. 210-224.
6. Храбров А.И. Доказательство неравенств при помощи квазилинеаризации.
Петербургские
олимпиады школьников по математике: 2000-2002. Санкт-Петербург, 2006. с. 374-381
7. Храбров А.И. Элементарное введение в теорию мажоризации. Петербургские
олимпиады школьников по математике: 2000-2002. Санкт-Петербург, 2006. с. 382-423
8. Храбров А.И. Обращение классических неравенств. Петербургские
олимпиады школьников по математике: 2000-2002. Санкт-Петербург, 2006. с. 424-439
9. Храбров А.И. Неравенство Швейцера. Петербургские олимпиады школьников по
математике: 2003-2005. Санкт-Петербург, 2007. с. 361-367
10. Храбров А.И. И снова неравенство Коши-Буняковского. Петербургские олимпиады
школьников по математике: 2003-2005. Санкт-Петербург, 2007. с. 484-516
Дополнительная
11. Беккенбах Э., Беллман. Введение в неравенства. М.: Мир, 1965.
12. Блох А.Ш. Неравенства. Минск, 1972.
13. Гомонов С.А. Замечательные неравенства. Методические рекомендации. Учебное
пособие.
14. Григорьев Н.И. Неравенства в курсе алгебры 10 класса. М.: Учпедгиз, 1959.
15. Давыдов А.К. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. М.: Учпедгиз,
1955.
16. Дворянинов С., Ясиновый Э. Как получаются симметричные неравенства //
Приложение
к журналу Квант, №3, 1999, с. 120 – 127.
17. Калинин С.И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана.
Учебное пособие по спецкурсу. Киров, 2002.
18. Куликова Н.В., Попов В.А. Неравенства. Сыктывкар, 1999.
19. Локоть В.В. Доказательство неравенств. Сборник олимпиадных задач по математике.
Мурманск, 1995, с. 41-55.
20. Мартынов О.М. Применение производной: Учебное пособие. Ч.1. Доказательство
тождеств и неравенств, решение уравнений, вычисление сумм. Мурманск: МГПУ,
2007.
21. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её приложения. М.: Мир,
1983.
22. Соловьёв Ю.П. Неравенства. М., 2005.
23. Суконник Я.Н. Математические задачи повышенной трудности. Киев. 1968.
24. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. 1958,
с. 294 – 303.
25. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.
26. Bullen P.S., Mitrinovic D.S. and Vasic P.M. Means and their inequalities.
Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)
1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — Электронная библиотека сайта EqWorld.
14. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
 перечень используемых технических средств
Ноутбук, проектор, экран.
 программное обеспечение
программы Mathematica, Microsoft Word, Microsoft Excel.
Примерные зачётные тестовые задания
Докажите, что
1. 2a  2b   a  b  . 2. a  b  1  ab  a  b. 3. a  b  c  3  2(a  b  c).
2
2
2
2
2
2
2
2
4. 2a  2a  a  1  0. 5. a  ab  b  0. 6. a  2ab  4b  0.
2
2
2
2
2
7. 7a  4ab  5b  12a  16b  28  0. 8. a  b  c  2a  4b  6c  18  0.
4
9.
a
3
2
2
2
2
2
 1 b 2  1 c 2  1  8abc. 10.  a  b  c   3 ab  bc  ca .
2
2

11.  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  . 12. 3 1  a  a
2
2
  1  a  a  .
2 2
2  a 2  b2 . 14. 2a8  2a7  2a6  2a5  a 4  a3  a 2  a  2  0.
13. | a  b |

15. a  a  a  a  1  0. 16.  ab  cd   a  c
12
4
9
2
4
2
2
b
2
 c 2 .
Ответы, указания, решения.
1. 2a  2b   a  b   a  2ab  b   a  b   0.
2

2
2
2
2
2

2. 2 a  b  1  ab  a  b   a  b    a  1   b  1  0.
2
2
2
2
2
3. a  b  c  3  2  a  b  c    a  1   b  1   c  1  0.
2
2
2
2

4. 2a  2a  a  1  a  2a  a
4
3
2
4
3
2
  a
2
4
2
 2a 2  1   a 2  a    a 2  1 .
2
2
1 2
1
1
1
2
a  b2    a 2  2ab  b2    a 2  b2    a  b  .

2
2
2
2
2
2
2
2
6. a  2ab  4b   a  b   3b .
5. a  ab  b 
2
2
7. 7a  4ab  5b  12a  16b  28   2a  b   3 a  2    2b  4  .
2
2
2
2
2
8. a  b  c  2a  4b  6c  18   a  1   b  2    c  3  4.
2
2
2
2
2
2
9. Перемножить неравенства a  1  2 | a |, b  1  2 | b |, c  1  2 | c | .
2
2

2

10.  a  b  c   3 ab  bc  ca   0,5  a  b    b  c    c  a  .
2
2

2
2

11.  ab  bc  ca   3abc  a  b  c   0,5  ab  bc    bc  ac    ac  ab  .
2

12. 3 1  a  a
2
4
  1  a  a 
2 2
2
2
2
 2  a 4  a 3  a  1  2  a  1  a 2  a  1.
2

13. 2ab  a  b  a  2ab  b  2 a  b
2
2
2
2
2
 | a  b | 2  a
2
 b 2 .
14. Разбить числовую ось на промежутки  ; 1 , [1; 0],  0;  .
15. Разбить числовую ось на промежутки  ; 0  , [0; 1], 1;  .

16. a  c
2
2
b
2
 c2    ab  cd    ad  bc   0.
2
2
2
Докажите, что
1
3
3
 a 6 , если a  0. 2. a  b  ab(a  b), если a  0, b  0.
a
4 4
4
4
5
5
4
4
3. a  b  a b  ab , если a  0, b  0. 4. a b  1  a  b , если
1. 1  a 
5
a  1, b  1.
5. a(a  a  1)  b(b  b  1)  b(a  a  1)  a(b  b  1), если
2
2
2
2
a  0, b  0.
2(a3  b3  c3 )  ab(a  b)  bc(b  c)  ac(a  c),
a  0, b  0, c  0.
3
3
3
7. a  b  c  3abc, если a  0, b  0, c  0.
6.
если
Примерный перечень вопросов к зачёту
1) Соотношения между средними гармоническим, геометрическим, арифметическим и
квадратичным.
2) Теорема Мюрхеда (доказательство симметрических неравенств).
3) Доказательство неравенств с помощью метода математической индукции.
4) Использование производной при доказательстве неравенств.
5) Использование выпуклости и вогнутости функций при доказательстве неравенств.
Неравенство Иенсена.
6) Перестановочное неравенство и его применение.
7) Неравенство Чебышёва.
8) Введение в теорию мажоризации. Неравенство Караматы.
9) Обращение классических неравенств. Неравенство Швейцера.
10) Различные доказательства неравенства Коши (доказательство Якобсталя и Элерса).
11) Различные доказательства неравенства Коши (доказательство с помощью
логарифмической функции и тождество Лагранжа).
12) Неравенство Коши-Буняковского.
13) Неравенство Гёльдера.
14) Неравенство Минковского.
Словарь терминов (глоссарий)
ФУНКЦИЯ
Возрастающая функция – функция, у которой большему значению аргумента
соответствует большее значение функции, то есть x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
Выпуклая (вогнутая) на промежутке кривая – такая кривая, все точки которой лежат
ниже (выше) касательной кривой, проведённой в каждой тоске этого промежутка.
Дифференцирование функции – вычисление её производной.
Дифференцируемая в точке функция – функция, которая имеет производную в этой
точке; дифференцируемая на промежутке функция – функция, которая имеет
производную в каждой точке этого промежутка.
Критические точки – точки из области определения функции, в которых производная
f '( x )  0 , бесконечна или не существует.
Максимум (минимум) функции f ( x ) в точке x0 - это значение функции в точке x0
такое, для которого существует окрестность U ( x0 ) такая, что в каждой её точке
выполняется неравенство f ( x )  f ( x0 ) ( f ( x )  f ( x0 )) .
Монотонная функция – возрастающая или убывающая, или невозрастающая, или
неубывающая функция.
Неубывающая функция – функция, у которой большему значению аргумента
соответствует не меньшее значение функции, то есть x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
Невозрастающая функция – функция, у которой большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции, то есть x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
Непрерывная в точке x0 функция – это функция, у которой предел в точке x0 равен её
lim f ( x )  f ( x0 )
значению в этой точке:
x  x0
Непрерывная на промежутке функция – функция, непрерывная в каждой точке этого
промежутка.
Нечётная функция – это функция f ( x ) , определённая на симметричном множестве X ,
для любого элемента x  X которой справедливо равенство f (  x )   f ( x ) .
Общего вида функция – это функция, которая не является ни чётной, ни нечётной.
Окрестность точки x0 радиуса   0 – любой интервал ( x0   ; x0   ) .
Отображение множества X в множество Y – это закон, по которому каждому элементу
x  X соответствует единственный элемент y  Y .
Обозначения: f : X  Y или y  f ( x ) .
Периодическая функция – функция, для которой существует число T  0 такое, что для
любого элемента x  X справедливы условия
а) если x  T  X , то и x  T  X ;
б) f ( x  T )  f ( x  T )  f ( x ) .
Обозначения: f ( x )  A при x  x0  0 или
lim
x  x0  0
f ( x )  A .
Предел функции в точке. Число A называется пределом функции f ( x ) в точке x0 ,
если для любого сколь угодно малого числа   0 найдётся такой число   0 , что для
всех x , удовлетворяющих неравенству
0  x  x0   , выполняется неравенство
f ( x)  A   .
Обозначения: f ( x )  A при x  x0 или
lim f ( x )  A .
x  x0
Предел функции на бесконечности. Число A называется пределом функции f ( x ) на
бесконечности, если для любого сколь угодно малого числа   0 найдётся такой число
выполняется
x M,
M  0 , что для всех x , удовлетворяющих неравенству
неравенство
f ( x)  A   .
Обозначения: f ( x )  A при x   или
lim f ( x)  A .
x 
Приращение аргумента – разность x  x0  x .
Приращение функции – разность y  y0  y .
Производная функции f ( x ) в точке x0 - предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
f ( x )  f ( x0 )
y
Обозначения: f '( x0 )  lim
или y '( x0 )  lim
.
x  x0
x  0 x
x  x0
Симметричное множество X – такое множество, для любого элемента x  X которого
элемент  x  X .
Точка перегиба – точка графика функции, отделяющая промежутки выпуклости от
промежутков вогнутости.
Точка разрыва f ( x ) – точка x0 , в которой функция не является непрерывной, причём:
1) если в точке x0 существуют конечные односторонние пределы A , A и A  A , то
точка x0 - точка разрыва I рода;
A  A  f ( x0 ) или функция в точке не
определена, то точка x0 - устранимая точка разрыва;
3) если в точке x0 хотя бы один из односторонних пределов не существует или
бесконечен, то точка x0 - точка разрыва II рода.
Убывающая функция – функция, у которой большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции, то есть x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
Чётная функция – это функция f ( x ) , определённая на симметричном множестве X , для
любого элемента x  X которой справедливо равенство f (  x )  f ( x ) .
Числовая функция y  f ( x ) - это отображение f : X  Y , в котором X и Y числовые множества.
Эквивалентные бесконечно малые - бесконечно малые функции, предел отношения
 ( x)
которых равен 1: lim 1
 1.
x  x0  2 ( x )
Экстремумы функции – её максимумы и минимумы.
2) если в точке x0 выполняется условие
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность – это последовательность,
у которой любой последующий её член не меньше (не больше) предыдущего.
Ограниченная последовательность – это последовательность, которая ограничена сверху
и снизу.
Ограниченная сверху (снизу) последовательность – это последовательность, для которой
существует число M (или m), что для любого её члена выполняется xn  M ( xn  m) .
Предел последовательности {xn } - число a , для которого выполняется, что для любого
сколь угодно малого числа   0 найдётся такой номер n0  N , что для всех элементов с
номерами n  n0 выполняется неравенство xn  a   .
Обозначения: {xn }  a при n   или
lim xn  a .
n 
Сходящаяся последовательность – последовательность, имеющая конечный предел.
Числовая последовательность – это функция, определённая на множестве натуральных
чисел.
Обозначение: {an } или {xn } .
НЕРАВЕНСТВА
Выпуклая функция. Функция f : (a, b) 
называется выпуклой, если для любых
точек
x, y  (a, b) и любого   (0,1) имеет место неравенство  f ( x)  (1   ) f ( y) 
 f   x  (1   ) y .
Вогнутая функция. Функция f : (a, b)  называется вогнутой, если для любых точек
x, y  (a, b) и любого   (0,1) имеет место неравенство  f ( x)  (1   ) f ( y) 
 f   x  (1   ) y .
Неравенство – пусть a и b  какие-нибудь два действительных числа. Тогда a  b в
том и
только том случае, когда число a  b положительно.
n
Неравенство Бернулли: (1  h)  1  nh, h  1, n  .
Неравенство Йенсена: Пусть f : (a, b)  выпуклая функция. Тогда для любых
i  0,

  1 и любых xi  (a, b) f
n
i 1 i
Неравенство Коши:


 x   i 1 i f ( xi ).
n
i 1 i i
n


1
(a1  a2  ...  an )  n a1  a2  ...  an , ai  0, i  1, n .
n
Неравенство Коши-Буняковского:
Неравенство Чебышёва:

n
i 1 i i

ab 
b1  b2  ...  bn ).
 i1 aibi
n

2
  i 1 ai2   i 1 bi2 , (ai , bi  ).
n
n
n
1 n
a
b , (a1  a2  ...  an и

i 1 i  i 1 i
n
1 (m  M ) 2 2
Неравенство Швейцера:  ai  

 n , (m  ai  M , i  1, n).
i 1
i 1
ai
4mn
1
Среднее арифметическое: An  (a1  a2  ...  an ), ai  0, i  1, n .
n
n
Среднее гармоническое: H n 
, ai  0, (i  1, n) .
1 1
1
  ... 
a1 a2
an
n
n




Среднее геометрическое: Gn 
n
Среднее квадратичное: Qn 
1 2
a1  a22  ...  an2 , ai 
n

,  i  1, n  .
a1  a2  ...  an , ai  0, i  1, n .


