Лекция № 6.

Лекция № 6.
Ограничение тока пространственным зарядом в диоде. Формула Ленгмюра и
Богуславского для плоских и цилиндрических электродов. Учет начальных скоростей
частиц. Образование виртуального катода. Предельная плотность тока пучка частиц в
пролетном промежутке в вакууме.
VI. ВЛИЯНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОННЫХ И
ИОННЫХ ПУЧКОВ.
§ 6.1. Ограничение тока пространственным зарядом в диоде
В промежутке длиной d между плоскими катодом и анодом распределение потенциала
в вакууме линейно:  (x)=U(a)
x
(это распределение является решением уравнения
d
Лапласа   = 0). По мере увеличения плотности тока объемный заряд (x) в промежутке
растет, изменяя распределение потенциала и приводя к возникновению вблизи
поверхности катода потенциального барьера -«виртуального катода», от которого
электроны отражаются обратно на катод (рис. 6.1). Для определения распределения
потенциала в промежутке необходимо решать уравнение Пуассона   = -4(x) с учетом
того, что плотность тока в промежутке j = - V, где V – скорость заряженных частиц. Если
считать, что электроны эмитируются с катода с нулевой скоростью (тепловая энергия
эмиссионных электронов много меньше энергии, приобретаемой в промежутке), то
устойчивым является режим, когда «виртуальный катод» не образуется, а электрическое
поле на поверхности катода равно нулю:
d
| x 0  0 . При таком граничном условии в
dx
режиме ограничения тока объемным зарядом будем искать решение уравнения Пуассона:
d 2
4j
4j 1
 4 

, здесь было учтено, что при нулевой начальной скорости:
2
dx
V
2e 
m
mV 2
 e . Домножим левую и правую часть уравнения и приведем к виду:
2
2


d 2
4j 1
d
2m
 d 

| 2
dx  d 
  . Проинтегрируем последнее
  d  8 j
2
dx
e
dx
2e 
 dx 


m
K
уравнение:
A
e
Константа интегрирования C  0 , т.к.
Ua
je
0
2m
 d 
 C .

  8 j
e
 dx 
2
бесконечная эмиссионная
способность
d
|x 0  0 . Получим дифференциальное
dx
x
уравнение:
d
d
2m 1 4
 8j 4
 . После
dx
e
его интегрирования с тем же граничным
Рис. 6.1. Распределение потенциала в плоском
диоде в режиме возникновения виртуального
катода
условием, получим распределение
потенциала в промежутке в виде:
4
x 3
  x  Ua   .
d 
(6.1)
Распределение в промежутке абсолютного значения напряженности электрического поля:
4 Ua
E x  
3 d
x
 
d 
1
3
.
(6.2)
Плотность электронного тока, который можно пропустить через промежуток ограничена
величиной, зависящей от напряжения на аноде Ua и от расстояния между катодам и
анодом d:
j 3 / 2 [ А / см 2 ] 
2
9
3/ 2
e U a3 / 2
6 U a [ В]

2
.
33

10
.
me d 2
d 2 [см]
(6.3)
Это соотношение получило название закона Чайльда-Ленгмюра, или закона «3/2». Для
ионного тока:
U a3 / 2 [ В]
2 e U a3 / 2
.
(6.4)
ji [ А / см] 

5
.
46
9 M i d 2
M i [а.е.м.]d 2 [см]
Для цилиндрического диода (рис.6.2) уравнение Пуассона присеет вид:
l
ra
rk
Рис. 6.2. Цилиндрический диод.
1 1  d 
d 2 1 d

 4 . В
r
  4 или
r dr  dr 
dr 2 r dr
d
 0 r  rk  и с учетом
приближении
dr
2e
j   V , V0  0 , V 
, получим уравнение
m
d 2 4 j 1

для потенциала:
, приближенное
dr 2
2e 
m
решение которого аналогично решению для
плоского диода:
j
2
9
3
e  2
.
m r2
Линейная
плотность
тока
через
диод
на
расстоянии
3
r:
3
2 e a 2
2 2 e  2
, а полный ток, приходящий на анод: I a  J a l 
Sa , где
I  2rj 
9 m ra2
9
m r
S a  2ra l - площадь анода. Точное решение было получено Богуславским в 1923г.:
I3 
2
2
9
3
e U a 2 Sa
m 2 2  ra
ra  
 rk



- формула Ленгмюра-Богуславского, где
(6.5)
r
rk
 ( a ) - функция Богуславского, где ra и rk –
радиусы анода и катода соответственно. Таким
2
образом,
1,1
1
0
.
для
цилиндрического
диода
предельная величина тока, который можно
r
rk
10
100
пропустить через диод, так же как и для
плоского диода, зависит от напряжения на
аноде, как степень «3/2», но, помимо обратной
Рис.6.3. Квадрат функции Богуславского.
зависимости от квадрата расстояния между
катодом и анодом, есть еще зависимость,
описываемая функцией Богуславского. Зависимость квадрата функции Богуславского от
отношения радиусов показана на рис.6.3. Из графика видно, что при
r
 8   const  1 .
rk
§ 6.2. Образование виртуального катода.
В случае, когда начальная скорость эмитированных электронов не равна нулю,
минимум распределения потенциала будет находиться на некотором расстоянии x m от
поверхности катода (рис. 6.4), т.е. возникает так называемый «виртуальный катод». Это
название возникло
с точки зрения места, с которого как бы происходит эмиссия
электронов. Электроны, покидающие катод, как будет показано позднее, имеют
модифицированное распределение максвелла. Часть электронов, имеющих энергию более
высоты потенциального барьера (значения потенциала в минимуме), продолжают
движение к аноду, другая часть отражается от барьера обратно к катоду.
потенциальной ямы «виртуальный катода» равна средней кинетической энергии
Глубина

V0  0
U0
xm
0
вид:
Ua
e
электронов. Уравнение Пуассона с учетом V0 ≠ 0 примет
x

mV02
m 
2e
d 2 4j


V
dx 2
2e e

mV02 W0
начальная
Рис.6.4. «Виртуальный катод»
4j
V0
-
энергия
2e
1
mV02
Сделаем
.
безразмерный
электронов.
замену:
потенциал,
Чтобы
W0 -
получить
безразмерное уравнение, нужно обезразмерить
и координату x , например, на расстояние до «виртуального катода» x m . Определим x m из
mV03
2 e 34
1  2e  4  m  4 3 2
j
условия:
.
 xm 
m 
V

  0
9
9 j m
9 j m 14  2e 
18 ej
x
Безразмерное расстояние  
. Перепишем уравнение Пуассона в безразмерных
xm
2
d 2 4 1
d

. Домножим его на 2
d
2
d
9 1 
d
величинах:
2
3
e  m2
m x m2
1
3
и запишем в виде:
 d  16
d 4
d
 1   C , причем С=0
  d 1  . После интегрирования получим
9
d
 d 
4
d
4
d
,т.к.
| 1  0 . Тогда
  d , после интегрирования получим   (  1) 3  1 .
4 1 
d
3
Возвращаясь к размерным величинам, получим распределение потенциала
4

3


W
x

x
W0


m
 U a  0  
, x  xm
 
e   d  xm 
e

  x  
.
4
3



W0 x  xm


 , x  xm
e  xm 



§ 6.3. Транспорт потока заряженных частиц в пролетном промежутке (задача
Бурсиана).
Плотность тока заряженных частиц в пролетном промежутке между электродами с
одинаковым потенциалом также ограничена из-за собственного объемного заряда и,
соответственно, потенциала пучка. Рассмотрим эту задачу (задачу Бурсиана) на примере
потока в пролетном промежутке длины d ионов массы M, ускоренных до этого в плоском
диоде потенциалом U0 (рис. 6.5). Распределение потенциала в промежутке задается
уравнением Пуассона:
M 
Mi
4 j  i 
4 j
2e  
 2e 
   4  
U0  
U0
i
U0
Введем

1
3
U0

4
d
0
d
x
x
.
rd
Размерность
2
Рис.6.5. Транспорт потока ионов.
1

1
.

U0

и
U0
определяется
rd
1
2
величины: 
безразмерные
M 
4j  i 
 2e 
соотношения:
3
U0 2
1
из
2

1
rd2
. С учетом
j  neV0 , получим:
3
U0 4
rd 
M 
4 j  i 
 2e 
1

4
 M iV02 


 2e 
3
4
M 
4 j  i 
 2e 
1

4
M iV02
- дебаевский радиус пучка.
4 ne2
(6.5)
Перепишем уравнение Пуассона в безразмерных величинах и домножим на 2   d  :
1
   
| 2   d . После интегрирования получим    4 1   C . Константу
2
1 
интегрирования определяем из граничного условия:   | 0  E0  C  E0  4 . С учетом


этого    4 1   1  E02 . Советский физик В.Р. Бурсиан показал, что решение
2
устойчиво, если E 0 
3
d
|0  2 . При E0  2 , т.е.  max  развивается неустойчивость
4
d
Бурсиана, и потенциал скачком возрастает до   1
  U 0  ,
ток обрывается.
Распределение потенциала до развития неустойчивости задается уравнением:

d


4 1   1  E
Условие
2
0
 d , которое можно переписать в виде:   
устойчивости
0
E0  2 соответствует
пролетного промежутка: d 
условию
на

d

4 1   1  E
максимальную
.
2
0
длину
4 2
rd  d m . Экстремальное значение dm соответствует
3
критическому значению максимума потенциала: Um = (3/4)U0.
При возрастании
плотности ионного тока дебаевский радиус пучка согласно (6.5) уменьшается, потенциал в
пролетном промежутке будет возрастать до Um, затем скачком возникает «виртуальный
анод» с Um = U0, от которого произойдет отражение части ионов обратно в сторону
источника, в результате чего ток на коллектор уменьшится в 4.5 раза. Таким образом, ток
в пролетном промежутке ограничен током Бурсиана:
jmax
8
 jБ 
9
3
2e U 0 2
 8 j3 .
2
Mi d 2
(6.6)
Механизм неустойчивости Бурсиана связан с положительной обратной связью
между частицами пучка и внешней электрической цепью, когда повышение потенциала
пучка на малую величину автоматически вызывает дальнейшее его повышение. Эта связь
возникает, когда дебаевский радиус пучка становится меньше расстояния между
электродами. Точно такое же ограничение существует и для потока электронов в вакууме.
§ 6.4. Транспорт компенсированного потока заряженных частиц (задача Пирса).
Даже в случае скомпенсированного пучка электронов, когда пространственный
заряд
электронов в пролетном промежутке скомпенсирован ионами (задача Пирса),
возникает ограничение на максимально возможную плотность тока из-за неустойчивости,
также приводящей к образованию виртуального катода и запиранию пучка. Физическая
причина неустойчивости Пирса та же, что и неустойчивости Бурсиана, – положительная
обратная связь электронов пучка с электронами внешней электрической цепи, которая
возникает, если дебаевский радиус пучка становится меньше расстояния между
электродами. Качественно эти неустойчивости сродни пучковой неустойчивости, при
которой энергия направленного движения передается в энергию плазменных колебаний.
e
Пучковая неустойчивость возникает, когда kVe  0 ,
+ +
+
+
+
где
k
2
,
Lхар
характерная длина развития
Lхар -
неустойчивости, 0 - плазменная частота (частота
d
Рис.6.6. Компенсированный
поток электронов.
ленгмюровских колебаний). Максимальная плотность
потока электронов, ограниченная неустойчивостью
Пирса: jП  jmax  enкрит Ve , где критическое значение
nкрит определяется из соотношения
4 nкрит e2
m
предельная плотность тока (ток Пирса) равна:

2
0 крит

 kVe 
2
m 
1  e 
 Mi 
1
, где k 
3
2
, в итоге
d

3
2e U 0 2 9 2
jП 

j3
2
4
  m  13  me d 2
4 1   e  
  Mi  


(6.7)