УДК 637.5 Математическая модель процесса обвалки реберного мяса Д.т.н. Пеленко В.В., асп. Азаев Р.А., магистрант Иванов Р.А., студентка Фукс Е.В. Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий В статье рассматривается модель работы установки для обвалки реберного мяса. Определены величин перемещения и усилий тяговых штанг, кривизны поверхности толкателя установки, мощности привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье. Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать геометрические и другие параметры установки для обвалки реберного мяса. Рассматривая физическую модель работы установки для обвалки реберного мяса, можно составить схему действия сил и нагружения реберной кости. Определение величин перемещения и усилий тяговых штанг ( P ), кривизну поверхности толкателя установки и его усилия ( N ), мощности привода установки, напряжений, возникающих в элементах, узлах, костном и мясном сырье, связано с решением дифференциального уравнения упругой линии балки. В связи с тем что интенсивность “q” нагрузки на реберную кость со стороны мясного сырья пропорциональна вертикальному перемещению “y” и направлена в сторону, противоположную оси “y” можно записать: q ny , (1) где n – коэффициент пропорциональности, представляющий собой текущее значение напряжения, отрывающего соединительную ткань от кости. Дифференциальное уравнение упругой линии имеет следующий известный вид [1]: d2y EI M изг . dx 2 (2) Дифференцируя уравнение (2) дважды, получим: d 4 y d 2 M изг EI 4 . dx dx 2 (3) Учитывая дифференциальную зависимость: d 2 M изг q dx 2 (4) и уравнение (1), запишем (2) в следующей форме: d4y EI 4 ny 0 . dx (5) n 4k 4 y , получим известное уравнение изогнутой оси EI балки на упругом основании Обозначим d4y 4 4 k y 0. dx 4 (6) Как известно [2] решениями уравнения (6) являются произведения тригонометрических и гиперболических функций Sinkx * shkx, Coskx*chkx, Shkx*Coskx, chkx*Sinkx, а так же любые их линейные комбинации. Наиболее удобными для решения следует выбрать функции Крылова – комбинации, предложенные А.Н. Крыловым. Они удобны тем, что производная от каждой из этих функций дает какую – либо другую из этих же функций. Таблица функций Крылова имеет [2] нижеследующий вид. Таблица 1. n 1 2 3 4 Yn (kx) YnI (kx) YnII (kx) YnIII (kx) YnIV (kx) Chkx*Coskx ½(chkx*Sinkx+shkx*Coskx) 1/2shkx*Sinkx ¼(chkxSinkx-shkxCoskx) 4kY4 4k 2Y3 4k 3Y2 4k 4Y4 kY1 4k 2Y4 4k 3Y3 4k 4Y2 kY2 k 2Y1 4k 3Y4 4k 4Y3 kY3 k 2Y2 k 3Y1 4 k 4 Y4 В таком случае в результате дифференцирования уравнения (6), выражение для вертикального перемещения “y” запишется: M 1 Q 1 1 (7) y y0Y1 (kx) y0 Y2 (kx) 0 2 Y3 (kx) 0 3 Y4 (kx) , k EI k EI k где y0 , y 0 , M 0 , Q0 — соответственно перемещения, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила при х=0. Если принять за начало отсчета левый край бруса, то, с учетом малой кривизны, очевидно, Q0 0 ; M 0 0 . Величины y0 и y 0 определим из граничных условий: l N x при , y0 0 , Q . 2 2 С учетом соотношений таблицы 1 получаем: 1 1 y 4 y0Y4 (kx) y0 Y1 (kx) ; k k 1 4 y 4 y Y ( kx ) y Y4 (kx) ; 0 3 0 k2 k 1 4 y 4 y Y ( kx ) y Y3 (kx) . 0 2 0 k3 k (8) (9) (10) Граничные условия примут следующий вид: kl 1 kl 4 y 0Y4 ( ) y 0 Y1 ( ) 0 ; 2 k 2 kl 4 kl N 4 y0Y2 ( ) y0 Y3 ( ) 2 k 2 2 EIk 3 . (11) (12) Из уравнений (11) и (12) найдем перемещение y 0 угол поворота y 0 балки при x=0. kl Y1 ( ) N 2 y0 (13) 3 8EIk Y ( kl )Y ( kl ) 4Y ( kl )Y ( kl ) ; 2 1 3 4 2 2 2 2 kl Y4 ( ) y0 N 2 (14) 3 kl kl kl kl . k 8EIk Y2 ( )Y1 ( ) 4Y3 ( )Y4 ( ) 2 2 2 2 Величины y , y и y принимают в таком случае вид: kl kl y N 0 [Y1 ( )Y1 (kx) Y4 ( )Y2 (kx)] ; 2 2 kl kl y 4 N 0 k[Y1 ( )Y4 (kx) Y4 ( )Y2 (kx)] ; 2 2 kl kl y 4 N 0 k 2 [Y1 ( )Y3 (kx) Y4 ( )Y4 (kx)] , 2 2 (15) (16) (17) где N0 N 8 EIk 3 1 kl kl kl kl . Y1 ( )Y2 ( ) 4Y3 ( )Y4 ( ) 2 2 2 2 (18) Неопределенной величиной в полученной модели является коэффициент пропорциональности “n” в уравнении (5), входящий в выражение для “k”. Найти значение “n” позволяет граничное условие, записанное для уравнения (1) в арифметческой форме при x=0, q ny0 c , где c - адгезионная прочность связи соединительной ткани мясного сырья с поверхностью реберной кости. Таким образом, имеем следующее соотношение для определения коэффициента “n”: n c c y0 (19) ; c (20) . 4EIk 4 4 EI Подставляя уравнение (20) в (13) и приводя к арифметическому виду, получаем: k4 ; y0 kl Y1 ( ) c N 2 4 3 4 EIk 8EIk Y ( kl )Y ( kl ) 4Y ( kl )Y ( kl ) . 2 1 3 4 2 2 2 2 Откуда находим выражение для “k” kl kl kl kl 2 c [Y2 ( )Y1 ( ) 4Y3 ( )Y4 ( )] 2 2 2 2 k (21) . kl NY1 ( ) 2 Уравнение (21) является трансцендентным относительно “k”. Решая его методом итераций, определяем величину “k”. Далее, в соответствии с принятым обозначением для уравнения (5), находим искомое значение “n”: n 4EIk 4 . Проведем численную оценку полученных результатов. Для реальных значений N 50 Н , с 100Н / М , из уравнения (21) находим величину k 4,7 м 1 для материала кости E 10 Па . Для поперечного сечения кости эллиптической формы имеем: ab3 I , 64 где a, b – большая и малая полуоси эллипса. Статистические исследования размерных характеристик определенного вида реберных костей дают величины: а = 0,0146 м , b = 0,0035 м. В этом случае получаем: I 30,7 10 12 10 n 600 q 600 y Величина N 0 запишется: 10 N0 kl kl kl kl . (23) 51[Y1 ( )Y2 ( ) 4Y3 ( )Y4 ( )] 2 2 2 2 Пользуясь значениями тригонометрических и гиперболических функций, в соответствии с выражениями Yn (kx) таблицы 1, найдем при l 0,4 м : kl kl Y1 ( ) 0,870 ; Y2 ( ) 0,916 ; 2 2 kl kl Y3 ( ) 0,438 ; Y4 ( ) 0,138 . 2 2 Уравнения 15-19 примут следующий вид: N 0 3,78 10 3 N (24) Для N = 50 Н имеем N 0 0,189 : y 0,189[0,870Y1 (kx) 0,552Y2 (kx)] . (25) y 3,553[0,870Y4 (kx) 0,138Y1 (kx)] ; (26) Угол поворота сечения : M EIy 5,1[0,870Y3 (kx) 0,552Y4 (kx)] . (27) Пользуясь полученными соотношениями представляется возможным рассчитать кривизну y опорной цилиндрической поверхности установки для обвалки реберного мяса, а так же величину “y” хода элементов привода для перемещения краевых сечений установочной пластины. В частности: y max y0 y (0) 0.167 м l M max M ( ) 2.343 H м 2 R 0.128 м 1 7.813 м 1 R Список литературы 1. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.744 с. 2. В.И. Феодосьев. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.