08-09-01

Тема 9 «Выражения с радикалами»
Цель темы – выработать у учащихся навыки преобразований выражений, содержащих
радикалы и степени с рациональными показателями.
Вы вспомните квадратные корни и их свойства, узнаете про обобщение понятия корня,
будут определены степени положительных чисел с рациональными показателями и рассмотрены их свойства. Вы узнаете общие методы решения уравнений третьей и четвертой
степени и как построить отрезок по формуле, выражающей его длину.
08-09-01. Квадратные иррациональности
1. Напомним, что квадратным корнем из числа a называется каждое из чисел b , квадрат которого равен a . В третьей главе было показано, что если число a положительно, то
существует два различных квадратных корня из числа a : одно положительное число,
квадрат которого равен a , и одно отрицательное число, квадрат которого равен a .
Неотрицательное значение квадратного корня из неотрицательного числа a
называется арифметическим квадратным корнем из a и обозначается
называется радикалом.
a . Знак
С его помощью можно записывать значения квадратных корней. Например, квадратные
корни из числа 3 можно записать в следующем виде: 3 и  3 .
2. Правила для преобразования выражений с квадратными корнями.
Действия с арифметическими корнями из неотрицательных чисел основаны на правилах, которые были доказаны в третьей главе. Напомним эти правила.
Правило 1. Корень квадратный из произведения двух неотрицательных чисел равен
произведению квадратных корней из этих чисел.
a  0 b  0
ab  a  b
Правило 2. Корень квадратный из частного, у которого делимое неотрицательно, а делитель положительный, равен частному квадратных корней из этих чисел.
a  0 b  0
a
b

a
b
Правило 3. Корень квадратный из квадрата произвольного действительного числа равен
модулю этого числа.
a 2  a  С помощью этих правил можно выполнять тождественные преобразования
буквенных выражений, содержащих квадратные корни.
Пример 1.
28 x 2  4  7  x 2  4  7  x 2  2 7   x  
Пример 2. Пусть a  1 . Тогда
a 1
(a  1) 2

a 1

 a 1
Так как
 a  1 если a  1  0;
 a  1  
 a  1 если a  1  0
то
1 если a  1

(a  1)2  1 если a  1
a 1
3. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
При выполнении тождественных преобразований иногда бывает удобно записывать
выражения в виде, когда в знаменателе нет квадратных коней. Для этого числитель и знаменатель одновременно умножают на такое ненулевое выражение, что в результате дальнейших преобразований в знаменателе получается выражение, не содержащее квадратных
корней.
В этом случае иногда говорят, что в записи выражения избавились от иррациональности в знаменателе.
Пример 3.

1
1 2
2



2
2
2t 2
Пример 4.
3 1
( 3  1) 2

 2  3
3  1 ( 3  1)( 3  1)
Пример 5.
1
1  ( 13  5)


5  13 ( 13  5)( 13  5)

13  5
13  5


2
2
13  5
( 13)  ( 5)
13  5

8
4.* Взаимная сопряженность выражений A  B и A  B .
Выражение вида A  B иногда называют сопряженным выражению A  B . Соответственно выражение A  B называют сопряженным выражению A  B . Поэтому выражения вида A  B и A  B называют взаимно сопряженнымии. Произведение двух
взаимно сопряженных выражений A  B и A  B равно A2  B .
В предыдущем пункте было показано, что в некоторых случаях одновременное умножение и деление алгебраической дроби на выражение, сопряженное знаменателю, позволяет избавиться от иррациональности в знаменателе. В этом пункте рассмотрим еще одно
применение одновременного умножения и деления на сопряженное выражение.

Пример 6. Рассмотрим число A   2000  1900 . Покажем, как можно найти рациональное число, которое с достаточно высокой точностью дает приближенное значение
числа A .
Сначала выполним следующие преобразования:
A  2000  1900 

( 2000  1900)( 2000  1900)

2000  1900

2000  1900
100


2000  1900
2000  1900
Так как
43  1900  44
44  2000  45
то
100
100
100
100

 A


89 45  44
44  43 87
Отсюда следует, что
0  A
100 100 100
200



 0 03
89
87 89 87  89
0
100
100 100
 A

 0 03
87
87 89
A по недостатку с точностью
Значит, число 100
89 дает приближенное значение числа
A с избытком с точностью 0,03.
0,03, а число 100
87 дает приближенное значение числа
5.** Сложение, умножение и деление чисел вида a  b 2  c 5  d 10 , где a , b , c ,
d — рациональные числа.
Рассмотрим множество M всех действительных чисел вида a  b 2  c 5  d 10 , где
,
a b , c , d — рациональные числа. Покажем на примерах, что операции сложения, вычитания, умножения и деления на ненулевое число, выполняемые для чисел из множества
M , также приводят к числам из множества M . Это значит, что множество M можно
рассматривать как числовую прямую, в которой определены основные арифметические
операции с такими же законами, как и во множестве действительных чисел.
Пример 7.






1 1
4
 
2
5  2 10  

2 3
5



1 1
1
 1 1
  
2
5  3 10       
2

3
5
 2 2


1 1
4 1
    2     5  (2  3) 10 
3 3
5 5
 0  0  2  1 5  1 10
Пример 8.
(1  2 2  5 5  10 10) 
(2  3 5  4 5  5 10)  1  2 2  5 5 
10 10  2  3 2  4 5  5 10 
 1  (1) 2  9 5  15 10 .
Пример 9.
(1  2 2  3 5  10) 
(1  2 2  3 5  10)  (1  2 2)(1  2 2) 
(1  2 2)(3 5  10)  (3 5  10) 
(1  2 2)  (3 5  10)  (3 5  10) 
 (1  8)  (3 5  10  6 10  2 2 10) 
(3 5  10  6 10  2 2 10)  (45  10) 
 9  6 5  4 2 10  35  26  2 5 
 26  0 2  2 5  0  10 .
Пример 10.
1
1  2  5  10

5  10  1  2

( 5  10) 2  (1  2) 2
5  10  1  2

12  8 2



( 5  10  1  2)(3  2 2)

4(3  2 2)(3  2 2)
1  2  5  10

4
6. В седьмом классе вы изучали степени сначала с натуральными, а затем с целыми показателями. Определим для неотрицательного числа a степень с показателем 12 как число,

равное
a , то есть
1
a 2  a
Например, (64) 2  64  8 , (27) 2   27  9  3  9  3  3 3 .
Определение степени с показателем 12 позволяет основные свойства квадратного корня
записать в следующем виде:
1
1




1
2
1 2
a 2   a  a1  a 2 

1
1
1
(a  b) 2  a 2  b 2 
1
1
 a 2 a2
   12 
b b
еслиb  0
В результате для положительных чисел получаем свойства степеней с показателем
которые аналогичны свойствам степеней с целыми показателями.
7. ** Пусть a  0 и m — целое число. Определим степень числа a с показателем
следующим образом:
m
a 2  ( a )m 
1
2
m
2
,
Например,
3
32  ( 3)3  ( 3)2  3  3 3
2
 52
 ( 2) 5 
1
1


5
( 2)
4 2
4
52  ( 5)4  ( 5)2  ( 5)2  52  25
Понятие степени определенное для положительных чисел и показателей степени вида
, где m — целое число, обладает свойствами, которые аналогичны свойствам степеней с
целыми показателями.
Свойство 1. Пусть a  0 и m — целое число. Тогда
m
2





m
2
m 2
a 2   a 2  a m 

m
Доказательство. Так как a 2   ( a ) m , то




m

2








2
a 2    ( a ) m   ( a ) 2 m 

m
  ( a )2   a m 
Свойство 2. Пусть a  0 и m , n — целые числа. Тогда
m
n
mn
a 2  a2  a 2 2 
Доказательство. Из свойств степеней с целым показателем и свойства 1 следуют равенства




m
n




m

2


n
2
a 2  a 2    a 2    a 2  



 a m  a n  a m n 




mn
2
a2




2
a
( m2  n2 )2
 a m n 
Отсюда получаем равенство




m
n
m
n




mn
2
a 2  a 2    a 2
mn




2

Так как числа a 2  a 2 и a 2 2 положительны и их квадраты равны, то и сами эти числа
равны, а значит свойство 2 доказано.
Свойство 3. Пусть a  0 и m , n — целые числа. Тогда
mn
m
2
mn
a 2   a 2 



a n   a 2 
m

n





Доказательство. Из свойств степеней с целым показателем и свойства 1 следуют равенства:





m
 n 

 
2

m
 2n



m
 2 

 
n
  a 2     a 2 
a 2 


n
  a m   a mn 


 

m


m





n
m
m 2
m





Так как числа  a 2
2
a n  2    a n  2   a n   a mn 
mn
a2




2
mn 2
 a 2  a mn 
2
,  a n  , a 2 положительны и их квадраты равны, то и сами эти чис-
mn
ла равны, а значит свойство 3 доказано.
Свойство 4. Пусть a  0 , b  0 и m — целое число. Тогда
m
m
m
(ab) 2  a 2  b 2 
Доказательство.
m
(ab) 2  ( ab )m  ( a )m  ( b )m 
1
m
1
m
 ( a )m  ( b )m  (a 2 )m  (b 2 )m  a 2  b 2 
Свойство 5. Пусть a  1 , m , n — целые числа, и m  n . Тогда a 2  a 2 .
Доказательство. Из свойств степеней с целым показателем следует, что a m  a n . Поm
m
n
n
этому a m  a n или (a m ) 2  (a n ) 2 , a 2  a 2 , что и требовалось доказать.
Рассмотрим несколько примеров на применение свойств степеней с показателями вида
m
,
2 где m — целое число.
1
1

3
( 6)3  ( 10) 5  15   (2  3) 2  
1


1
 5
1

1

3 
1
3 
1
 5
 (2  5) 2   (3  5) 2   2 2    3 2    2 2  








5
3
3
1
1
1 1
 1 
5
5
 5 2   36  5 2  2 2  2 2  3 2  3 2  5 2  5 2 


2

32
9
 
2
25
50
Пример 11. Пусть a  0 , b  0 . Разложим на множители выражение a a  b b . На
основании свойств степеней получаем
1
1
3
3

1
3
a a  b b  a  a 2  b  b 2  a 2  b 2   a 2  



1
3



1
1

  b 2    a 2  b 2  


2


2 
   a 2  a 2  b 2   b 2   
1

1
1

1

 
 ( a  b )(a  ab  b)
Следовательно,
a a  b b  ( a  b )(a  ab  b)
8.** Логарифм положительного числа вида a m , где m — целое число, по положительному не равному единице основанию a мы определили как показатель m степени числа
a , то есть
log a (a m )  m
Например, log 2 (25 )  5 .
Аналогично определяется логарифм по основанию a , где a  0 и a  1 , для чисел вида
n
a 2 , где n — целое число:

n

log a  a 2   actn2


Например,
1
 1 
log 5 5  log 5  5 2   


2
5
 5 
log 2 (4 2)  log 2  2 2   


2

3

log 1 ( 27)  log 1  32  
3
3


  1  2 
3
 log 1       
3 

2
 3  
3
Для тех чисел, у которых мы определили логарифмы, выполняется следующее основное свойство:
log a ( AB)  log a A  log a B
Например, log5 5  12 , log5 25  2 и log5 (25 5)  52  log5 25  log5 5 .
9. Функция y  x и ее график.
Изученные свойства квадратного корня позволяют рассмотреть функцию y  x . Эта
функция определена для неотрицательных значений x , и для каждого такого x принимает неотрицательное значение y .
Начальные представления о функции y  x можно получить, если составить таблицу
приближенных значений и изобразить соответствующие точки графика.
012 3 45 6 7 8 9
011 1 22 2 2 2 3
,4 ,7
,2 ,4 ,6 ,8
Например, по приведенной таблице получаем рисунок 1.
На промежутке от 0 до 2 таблицу можно дополнить:
0 0 0 1 1 1
,25 ,5 ,75 ,25 ,5 ,75
0 0 0 1 1 1
,5 ,70 ,87 ,12 ,22 ,32
В результате приходим к рисунку 2.
Если поставленные точки графика соединим плавной линией, то получим рисунок 3.
Сравнив кривую, изображенную на этом рисунке, с частью параболы y  x 2 , изображенной на этом рисунке, можно заметить, что две кривые симметричны относительно биссектрисы координатного угла в первой четверти координатной плоскости.
Контрольные вопросы
1. Какое число называется квадратным корнем из числа a ?
2. Сколько решений может иметь уравнение x 2  a ?
3. Что такое арифметический квадратный корень? Как он обозначается?
4. Чему равен квадратный корень из 0?
5. Чему равен арифметический квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел?
6. Чему равен арифметический квадратный корень из частного двух чисел?
7. Чему равен арифметический квадратный корень из числа a 2 ?
8. Чему равно произведение a  b ?
9. Чему равно частное ba ?
10. Какое выражение сопряжено выражению A  B ?
11. Как определяется степень неотрицательного числа с показателем 12 ?
12. Как записать основные свойства квадратного корня, используя степень с показателем
1
2?
m
13. Как определяется a 2 ?
14. Какой смысл имеет обозначение
m
2
 log a b ?
1
15. Что можно сказать о сходстве и различии графиков функций y  x 2 и y  x ?
16. Что можно сказать о сходстве и различии кривых, заданных формулами y 2  x и
y x?
Задачи и упражнения
1. Объясните, которые из приведенных равенств верны, а которые нет:
а) 2  3  6 б) , 6  2  2 3 ,
в) 4  2 г) , 3  10  6  5 ,
д)
8  2 2 е) ,
(3) 2  3 .
2. При каких значениях x справедливы следующие равенства:
x  x  x ,
а)
x2  x е) ,
б)
x   x ж) ,
в)
x  x  x з) ,
г)
( x 2 )   x и) ,
д)
( x 2 )  x к) ,
2
( x  1) 2  1  x ,
( x  1) 2  x  1 ,
( x  1) 2  1  x ,
x2
 x
1.
3. Избавьтесь от иррациональностей в знаменателях следующих выражений:
а) 12 б) , 211 в) , 21 2 г) , 21 3 ,
д)
2 3
2 3
е) ,
2 6
3 1
ж) ,
2 8
2 1
.
4. Упростите следующие выражения:
а) ( 2  3)  6 б) , (2 2  3 3)  ( 6  1) ,
в) ( 2  1)  ( 2  1) г) , (2  3)  (2  3) ,
д) ( 2  1)  (2  2) е) , (2  2 3)  (2  3) .
5.** Вычислите следующие логарифмы:
а) log 2 2 б) , log 2 2 в) , log 2 4 ,
г) log2 8 д) , log 2 (2 2 е) , log 2 16 ,
ж) log3 3 з) , log3 3 и) , log3 (3 3 ,
к) log3 27 л) , log3 9 .
6. Определите, которое из чисел является большим, а которое — меньшим, в следующих
парах:
а) 2 и 32 б) , 3 и 74 в) , 3 и 53 ,
г)
2 и
7
2
, д)
3 2 и 2 3 е) , 2 5 и 3 2 .
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 2. Указания. а) x 2  x  x при x  0 ; б) x 2  x   x при x  0 ; в) при
x  0 ; г) должно выполняться условие ( x 2 )  0 , откуда следует, что x  0 ; д) при x  0 ;
е) при x  0 ;ж)
( x  1) 2  x  1  1  x при x  1; з)
( x  1) 2  x  1  x  1 при x  1;
( x  1) 2  x  1  1  x при x  1; к) при x  0 .
Задача 6. Указание. В каждой из задач требуется сравнить по величине два положительных числа a и b . Поэтому сначала можно сравнить квадраты этих чисел. В результате, если получим a 2  b 2 , то a  b , а если a 2  b 2 , то a  b .
и)