Общие свойства идеальных квантовых газов

Общие свойства идеальных квантовых газов
Построение последовательной схемы вывода распределений для квантовых
идеальных газов удобно начать в логике БКР Гиббса. В идеальном квантовом
газе нельзя указать, какая частица находится в каком либо квантовом состоянии,
но можно указать, какие одночастичные квантовые состояния есть в идеальном
газе и сколько частиц в них находится. Вспомним, что уже в атомной системе
мы сталкивались с этим явлением, когда волновые функции многоэлектронной
системы строились из одночастичных, при этом состояние системы задавались
фактически числами заполнения одночастичных состояний. Для идеального
газа такой подход ещё более естественен, поскольку нет никакого прямого
взаимодействия между частицами. В атоме оно есть - это неучтённое
самосогласованным полем кулоновское взаимодействие между электронами. В
реальных газах оно, конечно, так же присутствует, но в рамках нашей
идеализированной модели мы его игнорируем. Одночастичные состояния для
идеального газа порождаются исходным гамильтонианом идеального газа.
N
 
H   h i
i 1

   
 
h   k    k k 
(5.1)
Соответственно само состояние системы и матричные элементы операторов
определяются набором чисел заполнения n k  .
 n k 
H   k  n k 

E n k     k  n k , N   n k
k
k
(5.2)
k
Можно переписать гамильтониан, на данном этапе хотя бы формально, как
сумму гамильтонианов вида:
H    k  n k , где оператор n k можно определить n k  n k   n k  n k  (5.3)
k
Теперь можно переосмыслить рассматриваемую систему, как совокупность
открытых независимых подсистем, представляющих собой одночастичные
квантовые состояния. Таким образом, k-номер или сорт подсистемы, а её
состояние задаётся числом заполнения n k , которое одновременно задаёт и
число частиц в подсистеме. Термостатом можно считать, например, все
остальные состояния. В этой логике легко найти средне число частиц в данной
подсистеме, т.е. квантовом одночастичном состоянии, для ферми- частиц,
используя БКР.
1
e 0 k   T
e 1 k   T
nk  0 
 1
, где  k  T,     e  n k  k   T  1  e  k   T
 k  T,  
 k  T,  
nk 0
(5.4)
nk 
1
e k   T  1
Итак, распределение Ферми-Дирака получилось прямым следствием БКР и
запрета Паули.
Тот же результат можно получить, вычислив омега потенциал для k-ого
квантового состояния:
  k 
   T
 k  T ln  k  T ln 1  e  k 
 nk   
(5.5)

  T


Эти способом проще получить распределение для бозе-частиц.
 k  T,   

e
nk 0
 n k  k   T




 1 1  e  k   T   k  T ln  k  T ln 1  e   k    T (5.6)
Оба распределения тогда получаются дифференцированием (5.5) и (5.6).
  k 
1
nk   
     T
,
(5.7)

k
1
  T e
где верхний знак соответствует
статистики Ферми-Дирака, а нижний Бозе Эйнштейна. Из формулы для чисел заполнения сразу следует, что для бозонов
 0    0 или    0 , поскольку числа заполнения могут быть только
положительными. Если отсчёт энергии идет от основного одночастичного
состояния, принятого за нуль (  0  0 ), то говорят, что химический потенциал
бозе - газа отрицательный. Для статистики Ферми-Дирака химический
потенциал меняет знак, как функция температуры. При высоких температурах
оба распределения должны переходить в больцмановское, при этом единицей в
(5.7) можно пренебречь, поскольку:
1
n k  e k    T и, в частности при  0  0   T 1
(5.8)
Условие  T 1 является критерием для перехода квантовых статистик в
больцмановскую, поэтому при высоких температурах химический потенциал
должен быть отрицательным и возрастать по абсолютной величине быстрее
линейной функции. Из этих соображений уже можно построить качественную
картину поведения химических потенциалов. Для построения точных кривых
необходимо разрешить уравнение, связывающее химический потенциал с
полным числом частиц.
 p2 
p  ri
V
N   nk   n( pi2 )  i


n
(5.9)
3
3
  2m   dp
(2  )
(2  )
k
pi ,r
i
Переходя к интегрированию по энергии частицы = p2/(2m), приходим к

N  A  V     n(  )  d
0
(5.10)
Из этого выражения легко понять, что среднее число частиц, обладающих
энергией в интервале d около величины 
dN  A    n (  )d ,
где
m
A  g
3
2
(5.11)
2  2  3
Равенства (5.10) записывается, как уравнение для химического потенциала:

3
  d

(5.12)
N  V  A    
 V  A  T 2  1   ,
2T 
0
e T 1

z dz 1
в котором   x    z  x
.
e

1
0
Можно разрешить (5.12) относительно температуры через параметр x   T :
23
T x 
2
m
 N V
23
 2  2 
 ,   x   x T  x 

 g  1  x  
2


и по параметру x построить зависимость
  T  . Такие зависимости представлена на
рисунке. При высоких температурах, когда
  T  T 1 , газ становиться классическим
больцмановским
1
и
средние
d 
  x      1  x  для   0 .
dx
числа
(5.13)
заполнения (5.7)
1 . Для бозе- газа характерной температурой , при
nk
которой существенны квантовые эффекты, можно взять максимальную Tc , где
химический потенциал обращается в нуль, тогда, согласно (5.13) имеем:
23
23
 2  2 
2
N


3.3
  (5.14)
 g  1  0  
mV
2


Как увидим в дальнейшем Tc это температура бозе - конденсации, когда
макроскопическое количество частиц скапливается в основном состоянии.
Для идеального ферми-газа масштабом температур, при которых
существенны квантовые эффекты, может быть химический потенциал при
T  0 , эту энергию называют энергией Ферми, выше которой числа заполнения
обращаются в нуль.
2
T  0  x   , 1  x 1  x 3 2       limx  T  x 
2
3
x 
N
  x   x  T  x   0  x  0  Tc   
mV
2
23
23
 2
 2  2  
23

 
 0   F  lim   N V  x  

 g  1  x   
x   m
2

 

0   F   3 2 
2
23
2m
 N V
(5.15)
23
Аналогичным образом, можно записать формулу для внутренней энергии,
домножив в формуле (4) подынтегральное выражение на , тогда:

5
  d

E  V  A    
 V  A T 2  3   (5.16)
2 T 
0
e T 1
Более подробно получим выражение для -потенциала.
    k  T  ln  k 
k
k
 T  ln(1  e
k

 
T

)  V  A   ln(1  e

 
T
)    d  (5.17)
0
После интегрирования по частям формулу для -потенциала можно привести к
виду:

3
2
  T  V  A     2 
3 0
e

 
T

 

5
d
2
   V  A T 2  3   T  ,
2
T
3
(5.18)
1 e T
из которого следует общая для всех идеальных газов формула.
2
(5.19)
    E  P  V
3
Дифференцируя
- потенциал по объему, химическому потенциалу и
температуре, получаем:
P  A  T
5
2
 3   T  и N  V  A  T
2
3
2
 1   T  ,
(5.20)
2
которые естественно согласуются с формулами (8) и (7), и формулой (4). Для
энтропии получается соотношение:
 5 3 2  T   
3 5
    
  
 
2
S  
  V  A  T    3 2      12     N          ,(5.21)
  T   ,V
T T
 T 
3
 3 12  T  T 
из которого следует, что при постоянной энтропии и числе частиц должно
оставаться постоянным и отношение  / T. При этом давление, как функция
плотности P   NV  3 , как и у адиабаты больцмановского газа. Из формулы для
энтропии легко получить выражение для теплоёмкости:
5
C V,N
 
 
 


   
 
 5 3 12  T  5 1 32  T   12  T       T  
 S 
 T   N   
 
 1
 
2
 
 
 T  V,N
 T  V,N
 3 2 12  T  3 2
1   



2 T 
(5.22)
 
 

   
N
 5 32  T   12  T       T  
  T  3  


2
 
2
 T  V,N
 3
1   



2 T 
Выражение для производной от химического потенциала в (5.22), получается из
уравнения (5.12) простым дифференцированием.
3
N
 3 1
 1 3
     T  
 T 2  1    T 2 1    T 2 1   
 0
2T 
2T 
2T 
VA
2
2
 T V , N


1  
1  


T
 

2T 
2T 
1

  

или 
 3

  3

 T

 T V , N T
 T V , N
1  
 1  
2T 
2T 
Теплоёмкость на одну частицу выражается через параметр x   T :


C V,N 5  3 2  x  9  1 2  x 
  

,
N
2  1  x  2  1  x 
2
(5.23)
(5.24)
2
и её зависимость от температуры можно построить, используя формулу (5.13).
Таким образом, любая графическая компьютерная программа, которая
предусматривает возможность параметрического построения кривых, по
формулам (5.13), (5.16), (5.18), (5.20), (5.21) и (5.24) позволит построить и
проанализировать поведение термодинамических функций от любых
параметров. В заключение этого параграфа следует заметить, что
упоминавшаяся ранее бозе- конденсация внесёт некоторые поправки в
приведённые здесь формулы, но для ферми- систем и бозе – газа выше
температуру Tc все результаты для идеального газа полностью справедливы.