ИДЗ №1

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ №1
1. Общие методические указания
Решение задач необходимо для закрепления теоретических знаний и
приобретения практических навыков.
Порядковый номер варианта ИДЗ соответствует последним двум
цифрам в номере зачетной книжки студента. Если эта цифра превышает
20, то от нее необходимо вычесть 20*n, где n – число от 1 до ∞. Например,
если номер зачетной книжки З-1Б10/06, то вариант ИДЗ – 6, если номер
зачетной книжки З-1Б10/23, то вариант ИДЗ – 3.
2. Варианты ИДЗ и методические указания
Задача 1
(3 балла)
Записать выражения для плотности вероятности f(x) и функцию
распределения F(x) закона распределения соответственно варианту
(таблица 1).
Построить графики плотности распределения и функции распределения
(в одной системе координат), обозначить на графике (если это возможно)
параметры данного распределения.
Определить вероятность попадания значения случайной величины в
интервал (x1; x2), заштриховать на графике область, соответствующую
найденному значению.
Определить по графику моду и медиану для данного закона
распределения.
Рассчитать числовые характеристики заданного закона распределения
через параметры распределения: математического ожидания m(x), оценку
дисперсии D(x), оценки коэффициентов асимметрии А и эксцесса Е.
Таблица 1
№Вар
1
Закон
распределен
ия
Нормальный
Парамет
ры
x1
x2
№Вар
m=0, σ=1
-1
0,2
11
a=5,
b=10
λ=0,5
7
9
12
0,5
1
13
m=5, σ=1
4
7
14
Закон
распределени
я
Биноминальн
ый
Нормальный
Парамет
ры
x1
x2
2
Равномерный
3
4
Экспоненциа
льный
Нормальный
5
Равномерный
a=-5, b=5
-1
2
15
6
λ=1
0
0,5
16
7
Экспоненциа
льный
Нормальный
p=0,5,
k=10
m=-3,
σ=0,5
Равномерный a=5,
b=12
Экспоненциал λ=2,5
ьный
Биноминальн p=0,7,
ый
k=15
Нормальный
m=0, σ=1
2
5
-3,5
-2,5
9
13
0
0,2
10
12
-1
-0,2
0
2
17
Равномерный
8
Равномерный
m=2,
σ=0,1
a=1, b=4
1
5
0,5
2,5
18
9
Экспоненциа
λ=2
0
0,5
19
Экспоненциал λ=1,2
ьный
Биноминальн p=0,25,
0,5
1
3
6
a=2, b=8
№Вар
10
Закон
распределен
ия
льный
Нормальный
Парамет
ры
x1
x2
№Вар
m=4, σ=2
2
4
20
Закон
Парамет
распределени
ры
я
ый
k=7
Нормальный
m=0,5,
σ=2
x1
x2
1
2,5
Задача 2
(3 балла)
В таблице. 2 (по вариантам) представлен вариационный дискретный ряд
случайной величины X.
Построить полигон и гистограмму относительных частот (выбирая xi, за
центры интервалов), определить оценку математического ожидания m,
оценку дисперсии S2, оценки коэффициентов асимметрии А и эксцесса Е.
Построить доверительный интервал для математического ожидания m и
доверительный интервал для дисперсии σ2 для имеющейся выборки.
Таблица 2
№Вар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№Вар
xi
5 10
ni
4
6
xi 130 140
ni
5 10
xi 25 30
ni
8 12
xi 30 40
ni 10 20
xi 24 26
ni
6 15
xi
0
2
ni
6
9
xi 10 15
ni
5 10
xi 15 18
ni
6
8
xi -7,5 -5
ni
2
3
xi 45 50
ni
2
3
15
10
150
25
35
20
50
60
28
56
4
15
20
30
21
12
-2,5
6
55
5
20
40
160
30
40
80
60
50
30
17
6
60
25
25
24
42
0
18
60
20
25
20
170
15
45
40
70
30
32
3
8
30
30
15
27
17
2,5
12
65
10
30
12
180
10
50
24
80
20
34
2
10
18
35
10
30
10
5
6
70
6
35
8
190
5
55
16
90
10
36
1
12
12
40
5
33
5
7,5
3
75
4
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
xi
ni
0,5
6
1
10
10
2
-1,5
15
-30
6
15
6
-15
5
2
5
20
10
-5
5
1
10
2
17
20
6
-1
12
-20
15
25
9
-10
10
4
10
40
20
-4
10
1,5
12
3
22
30
4
-0,5
10
-10
56
35
15
-5
25
6
25
60
60
-3
12
2 2,5 3
14 13 11
4
5
6
25 18 20
40 50 60
10 8
7
0 0,5 1
13 17 15
0 10 20
17 3
2
45 55 65
60 30 18
0
5 10
30 15 10
8 10 12
30 15 10
80 100 120
50 30 20
-2 -1 0
14 4
3
3,5
4
7
13
70
3
1,5
18
30
1
75
12
15
5
14
5
140
10
1
2
Задача 3
(2 балла)
Задачи выбирается по вариантам в соответствии с таблицей. 3.
Таблица 3
№Вар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№
Параметры
№Вар
№
Параметры
задачи
задачи
1
x1=6,8; x2=7,3; n1=20; n2=8;
11
4
x=1,56%; S=0,52%; n=25;
S1=0,08; S2=0,6; P=0,9
m0=1,5%; P=0,95
2
2
7
σ0 =8,8;
S =8,4;
n=32;
2
x1=106,4; x2=102,3; n1=15;
P=95%
n2=17; σ=1,8; P=0,95
2
x1=8,01; x2=9,35; n1=25;
12
5
x=104,3мм;
σ0=0,75мм;
n2=55; σ=0,3; P=0,96
n=15; m0=105мм; α=0,02
6
n1=11; n2=12; S12=15,4;
3
–
2
S2 =12,8; P=95%
3
–
13
6
n1=11; n2=12; S12=15,4;
S22=12,8; P=99%
5
x=54,23мм;
σ0=0,75мм;
1
x1=27,8; x2=31,4; n1=14;
n=15; m0=55мм; α=0,05
n2=18;
S1=1,2;
S2=1,8;
P=0,9
4
x=0,78%; S=0,015%; n=10;
14
7
σ02=0,23; S2=0,38; n=30;
m0=0,8%; P=0,9
P=95%
6
n1=17; n2=14; S12=62,4;
2
x1=54,9; x2=55,1; n1=12;
2
S2 =63,8; P=95%
n2=18; σ=0,7; P=0,95
5
x = 12,4 мм; σ0=0,1 мм; n =
15
1
x1=10,5; x2=6,4; n1=15;
54; m0=12,3 мм; α=0,01
n2=10
S1=0,8;
S2=0,6;
P=0,99
1
x1=6,8; x2=7,3; n1=20; n2=8;
7
σ02=2,7; S2=2,54; n=14;
S1=0,08; S2=0,6; P=0,9
P=98%
6
n1=16;
n2=19;
S12=8,5;
16
2
x1=104,6; x2=104,3; n1=25;
2
S2 =6,3; P=95%
n2=10; σ=0,5; P=0,9
2
x1=41,7;
x2=43,1;
6
n1=13; n2=18; S12=0,23;
n1=14;
n2=27;
σ=0,3;
S22=0,47; P=95%
P=0,96
7
σ02=0,15; S2=0,25; n=25;
17
4
x=1,5%; S=0,5%; n=12;
P=98%
m0=1,2%; P=0,95
1
x1=6,8;
x2=7,3;
n1=10;
3
–
n2=18;
S1=0,8;
S2=0,6;
P=0,95
1
x1=6,8; x2=7,3; n1=15; n2=8;
18
5
x=104,3мм;
σ0=1,1мм;
S1=0,7; S2=1,2; P=0,95
n=12; m0=105мм; α=0,05
5
x=64,7мм; σ0=1,7мм; n=17;
2
x1=89,4;
x2=86,5;
m0=64мм; α=0,05
n1=8; n2=11; σ=2,2; P=0,95
2
x1=15,6; x2=14,7; n1=10;
19
6
n1=9;
n2=16;
S12=26,4;
n2=15; σ=1,2; P=0,9
S22=18,9; P=95%
2
6
n1=16; n2=24; S1 =36,4;
1
x1=27,8; x2=25,3; n1=9;
2
S2 =32,9; P=99%
n2=12;
S1=0,9;
S2=1,1;
P=0,95
3
–
20
7
σ02=4,8;
S2=5,4;
n=26;
P=95%
7
σ02=0,7; S2=0,64; n=31;
3
–
P=95%
1. Для увеличения надежности была разработана новая конструкция
измерительного прибора. Средняя наработка на отказ прибора прежней
конструкции в n1 испытаниях составила в среднем x1 месяцев со средним
квадратическим отклонением S1 месяца. Приборы новой конструкции при n2
испытаниях проработали в среднем x2 месяца со средним квадратическим
отклонением S2 месяца. Требуется при доверительной вероятности P сделать
вывод действительно ли новая конструкция надежнее прежней, считая, что
12  22 .
2. В результате двух серий измерений случайной величины получены
следующие средние значения результатов измерения: x1; x2 (объем выборок в
сериях соответственно равны: n1, n2). Можно ли объяснить расхождение
между x1 и x2 случайными причинами (с вероятность P), если измерения
проводилось одним прибором со среднеквадратическим отклонением σ.
3. Два ряда измерения частоты сигнала одним и тем же прибором дали
следующие результаты:
f1, Гц 1416
1416
1420
1420
1416
1417
1415
1418
f2, Гц 1417
1427
1418
1425
1427
1429
1427
1423
Какова вероятность того, что расхождения между результатами является
случайным?
4. При проверке n экземпляров однотипных приборов выборочное
среднее для приведенной погрешности оказалось равным x, а выборочное
среднее квадратическое отклонение равно S. Техническими условиями на
прибор данного типа оговорено, что с вероятностью P погрешность не
должна превышать m0. Удовлетворяет ли техническим условиям данный тип
приборов?
5. Станок-автомат вытачивает детали диаметром m0 мм со
среднеквадратическим отклонением диаметра σ0 мм. Для проверки,
правильно ли настроен станок, были проведены контрольные замеры n
деталей и рассчитано значение диаметра x мм. При уровне значимости α
определить, нуждается ли станок в перенастройке.
6. На двух токарных станках обрабатываются втулки. Отобраны две
пробы: из втулок, сделанных на первом станке, n1 шт., на втором станке – n2
шт. По данным этих выборок рассчитаны выборочные смещенные дисперсии
S12 (для первого станка) и S22 (для второго станка). Можно ли считать, что
станки обладают различной точностью. Доверительная вероятность Р.
7. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии σ02
контролируемого размера изделий, которая не должна превышать m0 . По
данным из n отобранных изделий вычислена несмещенная дисперсия S 2 .
Выяснить, обеспечивает ли станок требуемую точность. Доверительная
вероятность P.