Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА»
«ИНЖЕНЕРНАЯ ШКОЛА ОДЕЖДЫ (КОЛЛЕДЖ)»
МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕ
по выполнению практических работ
по дисциплине Математика
для студентов по специальности:
260901.51 «Технология швейных изделий»,
Составила:
Преподаватель: Л.Н. Барабашова
Рассмотрено на заседании
цикловой комиссии
математических и общих
естественнонаучных дисциплин
Протокол № __________
«_____»________ 20 ___ г.
Председатель комиссии:
___________ Л.Н. Барабашова
2009
Практическая работа № 1
Неопределенный интеграл. Метод непосредственного интегрирования
Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления
неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание работы
Определение неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблицы основных интегралов.
Примеры на применение формул.
Примеры для самостоятельного вычисления.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1. Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала
f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом:
2. А) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная
 f ( x)dx  F ( x)  C
Б) Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций
алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций
равен
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
B) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за
знак неопределенного интеграла
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx
3. Таблицы основных интегралов
x n 1
C
n 1
1.  dx  x  C
2.  x n dx 
dx
 ln x  C
x
ax
C
5.  a x dx 
ln a
4.  e x dx  e x  c
7.  cos xdx  sin x  C
8.
3.
9.

dx
 sin
11.
2
x
 ctgx  C
dx
1 x
2
 arctgx  C
6.  sin xdx   cos x  C
dx
 cos
10.

2
x
dx
 tgx  C
1 x2
 arcsin x  C
4. Рассмотрим примеры на применение формул:
1.  (5 x 3  3x 2  2 x  1)dx
Решение:
Применяя свойства Б) и В) и формулы (1, 2), получим:
 (5 x
3
 3x 2  2 x  1)dx 
5 x 3 dx  3 x 2 dx  2 xdx   dx  5
x4
x3
x2
5
 3  2  x  C  x4  x3  x2  x  C
4
3
2
4
1
x
2.  (4 cos x   4 x )dx
Решение:
Применяя свойства Б) и В) и формулы (3,5, 7), получим:
 (4 cos x 
1
dx
4x
 4 x )dx = 4 cos xdx     4 x dx  4 sin x  ln x 
C
x
x
ln 4
5. Примеры для самостоятельного вычисления.
1.  ( x 3  6 x  3)dx
2.
3.
 xdx
 (sin x  6
3
x
 e x )dx
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 2
Неопределенный интеграл. Метод подстановки
Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления
неопределенного интеграла методом подстановки.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание работы
Определение неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблицы основных интегралов.
Примеры на применение формул.
Примеры для самостоятельного вычисления.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1. Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала
f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом:
2. А) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная
 f ( x)dx  F ( x)  C
Б) Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций
алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций
равен
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
B) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за
знак неопределенного интеграла
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx
3. Таблицы основных интегралов
x n 1
C
n 1
1.  dx  x  C
2.  x n dx 
dx
 ln x  C
x
ax
C
5.  a x dx 
ln a
4.  e x dx  e x  c
7.  cos xdx  sin x  C
8.
3.
9.

dx
 sin
11.
2
x
 ctgx  C
dx
1 x
2
 arctgx  C
6.  sin xdx   cos x  C
dx
 cos
10.

2
x
dx
 tgx  C
1 x2
 arcsin x  C
4. Рассмотрим примеры на применение формул:
1.  cos 4 x sin xdx
Решение:
Введем новую переменную и сделаем подстановку
cosx= t
dcosx =dt
-sinx dx=dt откуда dx=
dt
 sin x
После подстановки получим:
4
 t sin x
dt
t5
   t 4 dt    C 
 sin x
5
Вернемся к старой переменной:

2.
cos 5 x
C
5
x 2 dx
 5  2x3
Решение:
Введем новую переменную и сделаем подстановку
5-2х3= t
d(5-2х3)=dt
-6x2 dx=dt откуда dx=
dt
 6x 2
После подстановки получим:

x2
dt
 6 x 2   1 dt   1 ln t  C
t
6 t
6
Вернемся к старой переменной:
1
  ln( 5  2 x 3 )  C
6
5.Выполнить самостоятельно
1.  4 2  sin x 3 cos xdx
e x dx
2. 
3  ex
2
3.  32 x xdx
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 3
Определенный интеграл. Методы непосредственного интегрирования и
подстановки
Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления
определенного интеграла методами непосредственного интегрирования и
подстановки.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание работы
Определение определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Таблицы основных интегралов.
Примеры на применение формул.
Примеры для самостоятельного вычисления.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1. Приращение F(b) – F(a) любой первообразной для функции f(x) при
изменении аргумента от x=a до x=b называется определенным интегралом от
функции f(x) и обозначается:
b
 f ( x)dx
a
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
2.
А) Определенный интеграл алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме определенных интегралов этих функций
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)
Б) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за
знак определенного интеграла
b
b
a
a
 cf ( x)dx  c f ( x)dx
В) При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на
противоположный,
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
3. Таблицы основных интегралов применяется и для определенного интеграла
1.  dx  x  C
3.

dx
 ln x  C
x
2.  x n dx 
x n 1
C
n 1
4.  e x dx  e x  c
ax
C
ln a
5.  a x dx 
6.  sin xdx   cos x  C
7.  cos xdx  sin x  C
9.
dx
 sin
2
 ctgx  C
x
dx
1 x
11.
8.
dx
 cos
10.

2
x
dx
 tgx  C
1 x2
 arcsin x  C
 arctgx  C
2
4. Рассмотрим примеры на применение формул:
А) Метод непосредственного интегрирования
1. Вычислить
3
x
2
dx
1
Решение:
3
2
 x dx 
1
x3
3
3
1

33 13
1
2 26
 9 8 
3 3
3
3 3
Б) Метод подстановки
2
2.
x 2 dx
1 5  2 x 3
Решение:
Введем новую переменную и сделаем подстановку
5+2х3= t
d(5+2х3)=dt
6x2 dx=dt откуда dx=
dt
6x 2
После подстановки получим:
2
x
2
2
 5  2x
3
dx  
1
dt
2
6 x 2  1 dt  1 ln t
t
6 1 t
6
x2
1
2
1

Вернемся к старой переменной:

1
ln( 5  2 x 3 )
6
2
1



1
1
1 21 1
ln( 5  2  2 3 )  ln( 5  2  13 )  (ln 21  ln 7)  ln
 ln 3
6
6
6 7 6
5.Выполнить самостоятельно

2
1.
3
 x dx
1
4
2.  sin xdx
0

2
3.
xdx
0 1  x 2
2
sin x
dx
1  3 cos x
0
4. 
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 4
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Цель - закрепление теоретического материала по изучению решения
дифференциальных уравнений 1-го порядка.
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание работы
Определение дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными.
Таблицы основных интегралов.
Примеры решения уравнения.
Примеры для самостоятельного решения.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1. Уравнение вида f(x)dx + g(y) dy=0 называется уравнением с разделенными
переменными.
Решение такого уравнения можно найти непосредственным интегрированием.
2. Таблицы основных интегралов
x n 1
C
n 1
1.  dx  x  C
2.  x n dx 
dx
 ln x  C
x
ax
C
5.  a x dx 
ln a
4.  e x dx  e x  c
7.  cos xdx  sin x  C
8.
3.
9.

dx
 sin
11.
2
x
 ctgx  C
dx
1 x
2
6.  sin xdx   cos x  C
dx
 cos
10.

2
x
dx
 tgx  C
1 x2
 arcsin x  C
 arctgx  C
3. Примеры решения уравнения.
Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения:
1). xdx + ydy=0
Решение:
Переменные здесь разделены. Интегрируя, получим:
xdx = - ydy
 xdx   ydy
x2
y2
C  
2
2
2). (y +1)dx=(x-1)dy
Решение:
Разделим обе части уравнения на (y +1)(x-1), получим:
dx
dy

x 1 y 1
Теперь интегрируем:
dx
dy
 x 1   y 1
ln( x  1)  C  ln( y  1)
Так как С произвольно, можно положить С=lnC, то получим:
ln(x-1)+lnC=ln(y+1)
lnC(x-1)=ln(y+1)
Cx-C=y+1
y=Cx-C-1
4. Примеры для самостоятельного решения.
1. 2dy x  ydx
2. x dy  y dx
2
2
3. ( x  2)dx  y dy
4
5. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 5
Дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами
Цель - закрепление теоретического материала по изучению решения
дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание работы
Определение дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
Три случая решения уравнения.
Примеры решения уравнения.
Примеры для самостоятельного решения.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1.Уравнение вида y´´+py´+qy=0 называется дифференциальным уравнением
2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение,
заменив в уравнении y´´, y´ и y на k2, k, 1 соответственно. Таким образом
необходимо решить уравнение k2+p k+q=0.
2. Три случая решения уравнения:
1 случай. Корни характеристического уравнения действительные и разные
по величине. Тогда исходное уравнение будет иметь два линейно независимых
частных решения:
y  e k1x
y  e k2 x
А общее решение будет y  C1e 1  C 2 e 2
2 случай. Корни характеристического уравнения действительные и равные
по величине. Тогда исходное уравнение будет иметь два линейно независимых
частных решения:
y  e k1x
kx
k x
y  xek2 x
А общее решение будет y  C1e 1  C2 xe 2
3 случай. . Корни характеристического уравнения комплексные, а именно
k1=a+bi , k2=a-bi. Тогда исходное уравнение будет иметь два линейно
независимых частных решения:
y  e ( a bi) x
kx
k x
y  e ( a bi) x
А общее решение будет y  e (C1 cos bx  C2 sin bx)
ax
3. Примеры решения уравнения.
Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения:
1). y´´- 6y´+13y=0
Решение:
Составим характеристическое уравнение
k2 -6k+13=0
Оно имеет корни k1=3+2i и k2=3-2i
y  e (32i ) x
Следовательно частными решениями будут
y  e (32i ) x
Общим решением будет y  e (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x)
3x
4. Примеры для самостоятельного решения.
1. y´´- 4y´+3y=0
2. y´´- 6y´+9y=0
3. y´´+2y´+2y=0
5. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 6
Сходимость рядов
Цель - закрепление теоретического материала по изучению рядов и их
сходимости.
Содержание работы
1.
2.
3.
4.
5.
Определение ряда.
Признаки сходимости рядов.
Примеры на определения сходимости ряда.
Примеры для самостоятельного решения.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1. Числовым рядом называется выражение вида
а1+а2+а3+…+аn+…,
в котором а1, а2, а3,…аn… - определенные числа, для которых известен закон,
позволяющий определить каждый член аn по заданному номеру n.
Сумма n первых членов ряда Sn= а1+а2+а3+…+аn называется n-й частичной
суммой.
Числовой ряд называется сходящимся, если сумма n первых его членов
Sn= а1+а2+а3+…+аn при n→∞ имеет предел. Если же lim S n не существует, то
n 
ряд называется расходящимся.
Первый признак сходимости рядов
Пусть
u1+u2+u3+u4+…+un+…
(1)
и
v1+v2+v3+v4+…+vn+…
(2)
- два ряда с положительными членами. Если ряд (2) сходится, а члены ряда (1),
начиная с некоторого, меньше соответствующих членов ряда (2), то ряд (1)
также сходится.
Если ряд (2) расходится, а члены ряда (1), начиная с некоторого, больше
соответствующих членов ряда (2), то ряд (1) также расходится.
Второй признак сходимости рядов (признак Даламбера)
2.
Если члены ряда

a
n 1
n
положительны, и
lim
n 
a n1
 k , то при k<1 ряд сходится,
an
а при k>1 расходится. При k=1 требуется дополнительное исследование.
Третий признак сходимости рядов (признак Коши)
Если члены ряда

a
n 1
n
положительны, и
lim
n 
n
a n  k , то при k<1 ряд сходится,
а при k>1 расходится. При k=1 требуется дополнительное исследование.
3. Рассмотрим примеры на исследование сходимости рядов:
1). Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда

n5

n
n 1 2
Решение:
Зная n-й член ряда, находим следующий за ним (n+1)-й член, заменяя в
выражении общего члена n на n+1. Затем находим предел отношения
последующего члена аn+1 к предыдущему аn при n→∞:
an 
n5
,
2n
(n  1) 5
2 n 1
a n 1 
an 1
 lim  (n  1)
lim
 2
n   an
n 1
n 
k
5
n5 
1  n  1
1
1
1
 1
: n   lim 
  lim 1     1 
2 n   n 
2
2
2  n  2  n 
5
5
1
. Так как k<1 , то согласно признаку Даламбера, данный ряд сходится.
2
2). Исследовать по признаку Коши сходимость ряда
1
1
1
1
 3  4  
2
2
3
4
Решение:
Общий член ряда a n 
lim
n
n
an  lim n
n 
1
nn
1
1
 lim  0
n
n
n n
Т.е. k=0 <1, поэтому данный ряд сходится.
4. Решить самостоятельно.
Исследовать сходимость рядов:
1. 1 
2.
5 5 2 53

  ...
2! 3! 4!
1 2
3
4
 2  3  4  ...
3 3
3
3
5. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 7
Разложение функции в ряд Маклорена
Цель - закрепление теоретического материала по изучению рядов, их
сходимости и разложения функции в ряд Маклорена.
Содержание работы
Определение ряда Маклорена.
Примеры решения уравнения.
Примеры для самостоятельного решения.
Рекомендуемая литература.
1.
2.
3.
4.
Методические указания
1. Ряд
f ( x)  f (0)  f (0) x 
f (0) 2 f (0) 3
x 
x     называется рядом Маклорена.
2!
3!
Функция f(x) и ее производные любого порядка должны быть непрерывны при
x=0.
2. Рассмотрим пример разложения функции в ряд Маклорена
f(x)=sinx
Решение:
f ( x)  sin x
f ( x)  cos x
f ( x)   sin x
f ( x)   cos x
f
IV
( x)  sin x
Полагая x=0, получим
f (0)  0
f (0)  1
f (0)  0
f (0)  1
f
IV
(0)  0
Подставим эти значения в ряд Маклорена, получим:
x x3 x5 x7
x 2 n1
n 1
sin x  


     (1)
 
1! 3! 5! 7!
(2n  1)!
Этот ряд сходится при любом х.
3. Разложить в ряд Маклорена:
1. f(x)=cos x
2. f(x)=ex
4. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. Яковлева Г.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987
Практическая работа №8
Решение простейших задач на определение вероятности с
использованием теоремы сложения вероятностей
Цель - закрепление теоретического материала по изучению
вероятности.
теории
Содержание работы
1.
2.
3.
4.
5.
Определение вероятности
Теоремы сложения вероятностей
Примеры решения задач.
Примеры для самостоятельного решения.
Рекомендуемая литература.
Методические указания
1. Определение 1. Постоянная величина р, к которой все более
приближается частота событий А при достаточно большом повторении
опыта, называется вероятностью события А и обозначается р=Р(А).
Определение 2. Вероятностью Р(А) события А называется отношение
числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к
общему числу n равновозможных элементарных событий:
P( A) 
m
n
2. Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна
сумме вероятностей этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Теорема 2. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы
выражается формулой
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
3. Примеры:
Пример 1. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных
костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.
Решение: Обозначим события: А – «выпадение шести очков при
бросании первой игральной кости»; В – «выпадение шести очков при
бросании второй игральной кости». Так как события А и В совместны, то
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
1
6
1
6
1
, поэтому
36
1 1 1 11
P( A  B)   

.
6 6 36 36
Но Р(А)= , Р(В)= , Р(АВ)=
Пример 2. В ящике 40 деталей: 20 – первого сорта, 15 – второго сорта, 5 –
третьего сорта. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь
окажется не третьего сорта (событие А).
Решение: Событие А наступит, если извлеченная наугад деталь окажется
либо первого сорта (событие В), либо второго сорта (событие С), т.е.
событие А есть сумма несовместных событий В и С. Поэтому, применяя
теорему 1, получим
P( A)  P( B  C )  P( B)  P(C ) 
20 15 35 7



40 40 40 8
4. Примеры для самостоятельного решения.
1. В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской и
12 пар детской обуви. Найти вероятность того, что взятая наудачу
пара обуви окажется не детской.
2. В партии 10 деталей, из них 8 стандартных. Найти вероятность
того, что среди взятых наудачу двух деталей есть хотя бы одна
стандартная.
5. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. Яковлева Г.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987
Практическая работа № 9
Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия
случайной величины
Цель - закрепление теоретического материала по изучению
математического ожидания дискретной случайной величины и дисперсии
случайной величины
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание работы
Определение математического ожидания
Определение дисперсии случайной величины
Примеры решения задач.
Примеры для самостоятельного решения.
Рекомендуемая литература.
Методические указания
1. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х
называется сумма произведений всех ее возможных xi на их вероятности pi:
n
M ( X )  x1 p1  x 2 p 2    x n p n   xi pi
i 1
2. Отклонением называется разность между случайной величиной Х и ее
математическим ожиданием М(Х), т.е. Х-М(Х).
Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое
ожидание квадрата ее отклонения:
D( X )  M ( X  M ( X )) 2
Для вычисления дисперсий более удобной является формула
D( X )  M ( X 2 )  ( M ( X )) 2
3. Примеры:
1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее
распределения:
Х -8
-4 -1 1
3
7
р
1/12 1/6 1/4 1/6 1/12 1/4
Решение:
M ( X )  8 
1
1
1
1
1
1 7
 4   1  1  3   7  
12
6
4
6
12
4 12
2. Найти дисперсию дискретной случайной величины, распределенной по
закону
Х -1 0
1
2
р
0,2 0,1 0,3 0,4
Решение: Сначала найдем математическое ожидание
M ( X )  1  0,2  0  0,1  1  0,3  2  0,4  0,9 ,
а затем
M ( X 2 )  1  0,2  0  0,1  1  0,3  4  0,4  2,1
Теперь находим дисперсия:
D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X )  2,1  0,81  1,29
4. Примеры для самостоятельного решения
1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее
распределения:
Х
р
-2 -1 0
1
2
1/6 1/6 1/12 1/3 0
3
1/4
2. Найти дисперсию дискретной случайной величины, распределенной по
закону
Х 0
1
2
3
4
р
0,2 0,4 0,3 0,08 0,02
5. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. Яковлева Г.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987