МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
ТАРАЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.Х. ДУЛАТИ
УТВЕРЖДАЮ
Председатель комитета по рабочим
программам института ТиИС
_____________ С.Матеева
« 02 »
09
2013 г.
ПРОГРАММА ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТА
(СИЛЛАБУС)
Математика-1
Кафедра: «Прикладная математика»
2013/2014 учебный год, 1 семестр
Пререквизиты: учебная программа средней школы по арифметике, алгебре, геометрии
Постреквизиты: Математика-2
Специальность: 5В073100-«Безопасность жизнедеятельности и защита окружающей среды» , 5В071900-«Радиотехника электроника и телекоммуникации»
Количество кредитов: 3 кредита
Ф.И.О.преподавателя:
Шевцов Александр Николаевич
Адрес: ул. Толе би 60, 2 корпус, аудитория 405, кафедра.
Телефон: рабочий 45-49-06.
Сайт: http://www.Matematika-Targu.ru
Тараз 2013
Цель и задачи дисциплины:
- изучение основных понятий высшей математики(Математика-1) и их приложений
в различных областях;
- овладение фундаментальными понятиями, законами и теориями классической и
современной математики (Математика -1), приемами и методами решения конкретных задач;
- умение использовать изученные математические методы при моделировании задач
технического характера;
- развитие математической интуиции;
- воспитание математической культуры;
- формирование научного мировоззрения и логического мышления.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- уметь строить математические модели; ставить математические задачи; подбирать
подходящие математические методы и алгоритмы решения задач; применять для
решения задачи численные методы с использованием современной вычислительной
техники, проводить качественные математические исследования, на основе проведенного математического анализа выработать практические рекомендации.
Содержание дисциплины
№
занятия
№
Недели
1
1
2
1
3
2
4
2
5
3
Темы занятий
Модуль№1. «Линейная и векторная алгебра»
Лекция №1. Вводная лекция, знакомство с дисциплиной. Матрицы и операции над ними. Квадратные
матрицы 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей. Определитель n –го порядка.
Практическое занятие №1.Действия над матрицами. Квадратные матрицы 2-го и 3-го порядка. Методы вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.
ИДЗ № 1. Вычисление определителей 3-го порядка.
Лекция №2. Обратная матрица. Решение систем n
линейных уравнений c n неизвестными: формулы
Крамера, матричный метод, метод Гаусса. Матричные уравнения.
Практическое занятие №2. Методы решение систем 3 линейных уравнений c 3 неизвестными.
ИРК №1. Действие над матрицами.
Лекция №3. Ранг матрицы. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными: теорема Кронекерра - Капелли. Однородная СЛАУ.
2
Примечания
[ 2] стр.
508-513
[ 6] т.1, стр.
32-37
[ 2] стр.
519-525
[ 2] стр.
536-537
[ 7] стр. 1821
6
3
7
4
8
4
9
5
Практическое занятие№3. Методы вычисления
ранга матрицы. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными.
ИДЗ №2. Ранг матрицы.
Лекция №4. Векторы и линейные операции над векторами. Базис векторов. Линейная зависимость и
независимость векторов. Скалярное произведение
векторов.
Практическое занятие №4.Скалярное произведение
векторов.
ИРК №2. Векторы в координатной форме.
ИДЗ №3. Нелинейные действия над векторами в декартовых координатах-1: скалярное произведение
векторов
Лекция №5. Векторное, смешанное произведения
векторов.
[ 6] т.1, стр.
41-42
[ 7]
стр. 40-52
[ 6] т.1, стр.
68-70
[ 7]
стр. 52-59
Практическое занятие №5. Решение задач на применение векторного и смешанного произведений
векторов.
[ 6] т.1, стр.
ИДЗ №4. Нелинейные действия над векторами в де75-77
картовых координатах-2: векторное и смешанное
произведения векторов
!!! Тестовый опрос по теме « Линейная и векторная алгебра»
Коллоквиум на тему «Векторная алгебра»
Модуль №2 «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»
11
6
Лекция №6. Прямая на плоскости. Различные виды [ 7] стр. 89задания прямой на плоскости.
90,92-97
12
6
Практическое занятие №6. Взаимное расположение
прямых на плоскости.
[ 6] т.1, стр.
ИРК №3. Выражение векторного и смешанного про106
изведений в координатной форме.
ИДЗ №5. Прямая на плоскости.
13
7
Лекция №7. Кривые второго порядка: окружность,
[ 7]
эллипс, гипербола и парабола. Полярная система ко- стр. 121-128
ординат.
14
7
Практическое занятие№7. Решение задач на составление канонических уравнений кривых второго
порядка.
15
8
Лекция №8. Плоскость и прямая и их взаимное рас[ 7]
положение в пространстве.
стр. 99-113
МД №1. Аналитическая геометрия на плоскости.
16
8
Практическое занятие №8. Взаимное расположение
прямой и плоскости в пространстве.
10
5
3
ИРК №4. Плоскость в пространстве
!!! ТО: «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Модуль №3. «Дифференциальное исчисление функций одной
переменной»
9
Лекция №9. Множества. Числовые последователь[ 1]
ности: предел, свойства. Функция: задание, предел,
стр. 31-47,
свойства. Замечательные пределы.
60-63
9
Практическое занятие №9. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности.
10
Лекция №10. Бесконечно малые и большие функ[ 1]
ции: определение, свойства, сравнение порядков бесстр. 47-60,
конечно малых. Односторонние пределы. Непрерыв66-110
ность функции. Производная и дифференциал функции в точке.
10
Практическое занятие №10. Замечательные преде[ 6] т.1, стр.
лы. Исследование функции на непрерывность. Про158-165
изводная и дифференциал функции в точке.
(9 примеров)
ИДЗ №6. Вычисление пределов функций.
11
Лекция №11. Производные и дифференциалы выс[ 1]
ших порядков. Основные теоремы о дифференциру- стр. 111-118,
емости функции в интервале.
131-143
11
Практическое занятие №11. Применение основных
теорем о дифференцируемости функции в интервале.
[ 6] т.1, стр.
Вычисление пределов по правилу Лопиталя. Решение
205-210
задач на нахождение производных и дифференциа(6 примеров)
лов функции высших порядков.
ИДЗ №7. Производная функции.
12
Лекция №12. Исследование поведения функции.
[ 1]
Наименьшее и наибольшее значение функции.
стр. 152-187
12
Практическое занятие №12. Полное исследование
функций.
МД № 2. Исследование функций.
!!! Коллоквиум на тему «Дифференциальное исчисление»
Модуль №4. Интегральное исчисление функций одной переменной
13
Лекция №13. Неопределенный интеграл. Классиче[ 1]
ские методы интегрирования неопределенных интестр. 335гралов. Интегрирование тригонометрических выра341, 347жений.
350, 364369
Практическое занятие №13. Методы вычисления
[ 6] т.2, стр.
13
неопределенного интеграла. Интегрирование триго43-49
нометрических выражений.
(8 примеров)
4
27
14
28
14
29
15
30
15
ИДЗ №8. Классические методы интегрирования неопределенного интеграла.
Лекция №14. Интегрирование иррациональных вы[ 1]
ражений. Интегрирование простейших и рациональстр. 350-364
ных дробей.
Практическое занятие №14. Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование простейших и рациональных дробей.
Лекция №15. Определенный интеграл: свойства,
[ 1]
формула Ньютона-Лейбница, приложения в геометстр. 380-411,
рии и механике. Несобственные интегралы.
429-446
Практическое занятие № 15. Методы интегрирования, приложения определенного интеграла в геометрии.
Политика выставления оценок
№
Компоненты курса
1.
Математический
диктант (МД)
Индивидуальная работа по карточкам
(ИРК)
Индивидуальное домашнее задание
(ИДЗ)
Тестовый опрос (ТО)
Коллоквиум
Самостоятельная
работа студентов
(СРС)
Активность
Итоговый экзамен
( тест)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Количество заданий
Максимальный
балл за 1 задание
Вес оценки в
общей, %
2
2
4
4
2
8
8
2
16
2
2
4
5
8
10
2
5
10
4
1
40
40
Политика выставления оценок для заочников
КоличеМаксимальный
Вес оценки в
№
Компоненты курса
ство задабалл за 1 задание
общей, %
ний
1 Самостоятельная
работа студентов
2
20
40
(СРС)
5
2 Активность
3 Итоговый экзамен
(тест)
№
СРС
№1
20
1
40
Описание заданий на СРС
Срок выСрок
дачи
приема
СРС
РГЗ №1 на тему
2 неделя
5 неделя
«Решение систем n
линейных уравнений c n неизвестными»
РГЗ №2 на тему
6 неделя
9 неделя
«Аналитическая
геометрия на плоскости»
Наименование
СРС
40
Условия выполнения и
объем
Выполнить в тетради для
самостоятельной работы,
записываются
условия
задач по порядку, после
записи – решение с разъяснениями
студента,
СРС
обязательно надо указать
№2
все формулы, определения и основные теоремы,
которые были использованы при выполнении
СРС.
+Примечание: При выполнении СРС используется учебное пособие автора Рябушко А.П. « Сборник индивидуальных заданий по высшей математике »(том 1) ,
Минск: Вышейшая школа,2001.
Список основной и дополнительной литературы
№ Авторы
Название
Издательс Библиотека кол-во
учебника,
тво,
год
экз.
учебного
издания
пособия
1 Пискунов Н.С.
ДифференциМ: Наука, Корпус 2-2
10
альное и инте- 1985
гральное исчисление для втузов. Т.1
2 Пискунов Н.С.
ДифференциМ: Наука, Корпус 2-2
10
альное и инте- 1985
гральное исчисление для втузов. Т.2
3 Бугров Я.С., Ни- ДифференциМ: Наука, Корпус 2-1
18
кольский С.М.
альные уравне- 1985
ния.
Кратные
интегралы. Ряды.
6
4 Ильин В.А., Позняк
Э.Г.
Основы мате- М: Наука, Корпус 2-1
матического
1982
анализа
5 Бермант А.Ф., Ара- Краткий курс М: Наука, Корпус 2-1
манович И.Г.
математическо- 1971
го анализа для
втузов
6 Рябушко А.П.
Сборник инди- Минск:
Корпус 4-3,
видуальных
Вышейшая 2-2
заданий
по школа,
высшей матем 2001
атике
7 Гурский Е.И.
Руководство к Минск:
Корпус 2-1
решению задач Вышейшая
по высшей ма- школа,
тематики
1989
Интернет ресурс: http://www.ph4s.ru/book_mat_reshebn.html
7
45
9
Модуль№1 «Линейная и векторная алгебра»
Лекция №1 Вводная лекция, знакомство с дисциплиной. Матрицы и
операции над ними. Квадратные матрицы 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей. Определитель n –го порядка.
Матрицей называется прямоугольная таблица размером m n , заполненная
математическими объектами:
 a11

a
A   21


a
 m1
a12
a22

am 2
 a1n 

 a2 n  , где
 

 amn 
amn - элементы матрицы, m- номер строки, содержащей элемент, n- номер
столбца.
Виды матриц.
Если число строк в матрице равно числу столбцов, матрица называется
квадратной, а число строк – её порядком.
 а11

а
А   21
....

а
 n1
а12
а22
....
аn 2
.... а1n 

.... а2 n  ,
.... .... 

.... аnn 
элементы а11 , а22 …… ann - элементы главной диагонали.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.
7
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, имеющая все
элементы равные нулю, кроме элементов главной диагонали.
Единичной матрицей Е называется диагональная матрица, элементами
главной диагонали которой являются единицы.
Квадратная матрица называется симметричной если аmn  аnm
Матрица, которая состоит из одного столбца называется столбцевой
 а11 


 а 21 
  


а 
 m1 
Матрица, состоящая из одной строки называется строчной
а11 а12 ..... а1n 
Матрица, AT называется транспонированной по отношению к матрице А,
если столбцы матрицы А являются строками матрицы AT , т.е.
 а11

Если А   а21
 ....

а
 m1
а12
а22
....
аm 2
а1n 
 а11 а 21


а2n  , тогда T  а12 а 22
А

 .... ....
.... .... 



а
.... аmn 
 1n а 2 n
....
....
.... а m1 

.... а m 2 
.... .... 

.... а mn 
T
Переход от А к A называется транспонированием.
Матрицей треугольного вида (треугольная матрица) называется квадратная матрица, в которой элементы под(над) главной диагональю равны нулю.
Две матрицы считаются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.
Произведением элемента с К на матрицу
 a11 a12  a1n 
 сa11 сa12  сa1n 




называется
матрица
a
a

a

22
2n 
 сa21 сa22  сa2 n 
A   21
сA

 
   
   




a

 сa

 m1 am 2  amn 
 m1 сam 2  сamn 
Для матриц одинаковой размерности, т.е. имеющих одинаковое число строк
и столбцов, определяется сложение по правилу:
Если
 a11  a1n 
 b11  b1n 




А      , B      , то
a

b

 m1  amn 
 m1  bmn 
 a11  b11  a1n  b1n 


А 

 ,
a  b

 m1 m1  amn  bmn 
т.е. элементами суммы двух матриц является сумма соответствующих элементов слагаемых матриц.
8
Умножение матрицы на матрицу. Предварительно рассмотрим на частном
случае. Произведением строки А на столбец В той же длины
 b11 
 
b 
А  a11 , a12 ,..., a1n , В   21 ,

 
b 
 n1 
называется число a11b11  a12b21  ...  a1nbn1 (или элемент кольца, которому принадлежат элементы рассматриваемых матриц).
Для прямоугольных матриц А и В произведение определено, если число
столбцов А равно числу строк В.
Произведением матрицы А на матрицу В А  В , где
 a11

a
A   21


a
 m1
a12
a22

am 2
 a1k 
 b11 b12


 a2 k 
 b21 b22
,
B

 
 



b
 amk 
 k1 bk 2
 b1n 

 b2 n 
,
 

 bkn 
называется матрица С, элемент cij равен сумме произведений элементов i -строки
матрицы А на элементы
j -го столбца матрицы В. Таким образом,
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aik bkj
При умножении матриц свойство коммутативности не имеет места, т.е. AB  BA .
Матрицы А и В , для которых A  B  B  A , называются коммутатирующими.
Квадратные матрицы.
Пусть A квадратная матрица второго порядка
a
A   11
 a21
a12 
.
a22 
Определение 1:Определителем (или детерминантом) второго порядка
называют выражение (число), обозначаемое символом
венством  =
а11
а12
а21 а22
и определяемое ра-
а11 а12
 а11а22  а12 а21 . Числа аij : а11 , а22 , а12 , а21 - называют элементаа21 а22
ми определителя. Индекс i указывает на номер строки, индекс j указывает на номер столбца. Элементы а11 , а22 образуют главную диагональ определителя, а элементы а12 , а21 образуют побочную диагональ определителя.
Пусть A квадратная матрица третьего порядка
 а11

А   а21
а
 31
а12
а22
а32
9
а13 

а23 
а33 
Определение 2. Определителем (или детерминантом) третьего поряда11 а12 а13
ка называют выражение(число), обозначаемое символом  А  а21
а31
определяемое
а22 а23 и
а32 а33
равенством:
а 11
а 12
а 13
а 21
а 31
а 22
а 32
а 23  а 11 а 22 а 33  а 12 а 23 а 31  а 13 а 21 а 32  а 13 а 22 а 31  а 12 а 21 а 33  а 11 а 23 а 32
а 33
Выражение стоящее с правой стороны определителя третьего порядка
называется правилом треугольника. Числа аij называют элементами определителя. Индекс i указывает на номер строки, индекс j указывает на номер столбца.
а11 , а22 , а33 элементы главной диагонали определителя третьего порядка, а13 , а22 , а31
элементы побочной диагонали определителя третьего порядка.
Если из определителя третьего порядка  А вычеркнуть i -ю строку и j -й
столбец, на пересечении которых стоит элемент aij , и сдвинуть оставшиеся ряды, то
получим определитель второго порядка, называемый минором определителя  А .
Минор определителя  А соответствует элементу aij , обозначают М ij и говорят минор М ij элемента aij
Определение 3. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется его минор, взятый со знаком 1i  j : Aij   1i  j M ij
Определители третьего порядка обладают свойствами:
1. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами,
а столбцы – соответствующими строками.
2. Определитель от перестановки двух строк (столбцов) меняет знак на обратный.
3. Общий множитель элементов какой-нибудь строки(или столбца) можно вынести за знак определителя.
4. Определитель с двумя одинаковыми строками(столбцами) равен нулю.
5. Определитель, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно
пропорциональны, равен нулю.
6. Если одна из строк (столбца) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
7. Определитель не изменится, если к элементам какой- либо строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на
одно и то же число.
8. Определитель равен сумме произведений элементов, какой- либо строки
(столбца) на их алгебраические дополнения.
Методы вычисления определителей третьего порядка:
1) по правилу треугольника, 2) методом разложения по элементам какой – либо строки (столбца) -используется свойство 8 определителей, 3) методом зануления
10
(метод понижением порядка определителя)- используется свойство 7 определителей.
Пусть A квадратная матрица n-го порядка
 а11 а12

а22
а
А   21
.... ....

а
 n1 аn 2
а1n 

.... а2 n  .
.... .... 

.... аnn 
....
Квадратной матрице n-го порядка A соответствует определитель n-го порядка.
А 
а11
а21
а12
а22
....
аn1
....
аn 2
.... а1n
.... а2 n .
.... ....
.... аnn
Определитель матрицы треугольного вида( определитель треугольного
вида)равен произведению элементов главной диагонали.
Лекция №2. Обратная матрица. Решение систем n линейных уравнений
c n неизвестными: формулы Крамера, матричный метод, метод Гаусса.
Обратная матрица.
Матрица А называется неособенной (невырожденной), если  А  0 . Матрица А называется особенной (вырожденной), если  А  0 .
Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица
1
1
(обозначается А1 ), что À  A  A  À  E .
Теорема 1. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу.
Пусть матрица A квадратная матрица 2-го порядка:
a
A   11
 a21
a12 
,
a22 
A 
à11 à12
.
à21 à22
Обратная матрица А1 для квадратной матрицы 2-го порядка находится по
формулам:
A1 
1  A11

 A  A12
A21 

A22 
или
11
(1)
A1
 A11

A

 A12

 A
A21 
A 
,
A22 
 A 
(2)
где  A - определитель матрицы А, Àij - алгебраические дополнения элементов
aij матрицы А.
Пусть матрица A квадратная матрица 3-го порядка
 а11 а12

А   а21 а22
а
 31 а32
а13 

а23 
а33 
а11 а12
 А  а21 а22
а31 а32
а13
а23
а33
Обратная матрица А1 для квадратной матрицы 3-го порядка А находится
по формулам:
 A11
1 
À 
A12
 À 
 A13
1
A31 

A32 
A33 
A21
A22
A23
(3)
или
 À11

 À
À
À1   12
 À
 À13

 À
À21
À
À22
À
À23
À
À31 

À 
À32 

À 
À33 

À 
(4)
где  A - определитель матрицы А, Àij - алгебраические дополнения элементов aij
матрицы А.
Пусть матрица A квадратная матрица 3-го порядка
 а11 а12

А   а21 а22
а
 31 а32
а13 

а23 
а33 
а11 а12
 А  а21 а22
а31 а32
а13
а23
а33
Обратная матрица А1 для квадратной матрицы 3-го порядка А находится
по формуле
12
 А11 А21 А31 


 А А А 
А
А22 А32 
А1   12

 А А А 
 А13 А23 А33 


 А А А 
где Аmn - алгебраическое дополнение элемента amn в её определителе.
Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными (СЛАУ ).
Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными:
 а11 х1  а12 х2  ...  а1n хn  b1
а х  а х  ...  а х  b
 21 1 22 2
2n n
2

 .......... .......... .......... ..........
аn1 х1  аn 2 х2  ...  аnn хn  bn
(5)
x1, x2 ,..., xn - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, b1, b2 ,..., bn - свободные члены.
Решением системы уравнений (5) называется совокупность n чисел х1 , х2 ,..., хn  , которые, будучи поставлены вместо неизвестных уравнения (5),
обращают эти уравнения в тождества.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение. Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение. Совместная система называется неопределенной, если она имеет
больше одного решения. Система уравнений называется несовместной, если она не
имеет ни одного решения.
Матрицей системы (5) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:
 a11

a
A   21


a
 n1
a12
a22

an 2
 a1n 

 a2 n 
 

 ann 
Определителем системы (5) называется определитель матрицы системы (5):
а11
D
а12 
a1n
а21 а22 
  
a2 n

an1 an 2  ann
Решение систем из 3 линейных алгебраических уравнений c 3 неизвестными (СЛАУ ).
Пусть дана линейная система 3 уравнений с 3 неизвестными:
13
 а11 х1  а12 х2  а13 х3  b1

а21 х1  а22 х2  а23 х3  b2
а х  а х  а х  b
33 3
3
 31 1 32 2
(6)
x1 , x2 , x3 - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, b1 , b2 , b3 - свободные
члены. Матрица системы (6) :
 а11 а12

А   а 21 а 22
а
 31 а32
а13 

а 23 
а33 
.
Определителем системы (6)):
а11 а12
 А  а 21 а 22
а31 а32
а13
а 23 .
а33
1) Решение СЛАУ: по формулам Крамера. Если заменить столбец из коэффициентов при х1 в определителе системы  А столбцом свободных членов системы (6) получим определитель  х1 :
а12
а 22
а32
b1
x1  b2
b3
а13
а 23
а33
Продолжая аналогичный процесс можно получить
a11
b1
x 2  a 21 b2
a31
b3
а13
а 23 ;
а33
а11 а12
x3  а 21 а 22
а31 а32
 х2 ,  х3 :
b1
b2 .
b3
Правило Крамера. Если определитель системы (6) отличен от нуля, то система линейных уравнений (6) всегда имеет решение. Это решение единственное и
может быть получено по формулам Крамера:
x1 
 x1
A
, x2 
 x2
A
,. x 3 
 x3
(7)
A
2) решение СЛАУ матричным методом. СЛАУ (6) в матричном виде записывается следующим образом : A·X=B , где
 а11 а12

А   а21 а22
а
 31 а32
а13 

а23 ,
а33 
 х1 
 
Х   х2 ,
х 
 3
14
 b1 
 
В   b2  .
b 
 3
Решим матричное уравнение:
A 1  AX  A 1  B
EX  A 1  B
Решение системы (6) имеет вид:
Х  А1В , где А1 обратная матрица.
3) решение СЛАУ по методу Гаусса. Пусть дана система (6).
Уравнение
с1 a11x1  a12 x2  a13 x3   ... 
 с3 a31x1  a32 x2  a33 x3   c1b1  c2b2  c3b3
называется линейной комбинацией уравнений данной системы.
Две системы линейных уравнений называется линейно эквивалентными,
если каждое уравнение первой системы есть линейная комбинация уравнений второй системы и каждое уравнение второй системы есть линейная комбинация уравнений первой системы.
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений назовем умножение на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другого умноженного на некоторое число.
Элементарные преобразования переводят систему в линейно эквивалентную.
Матрицей треугольного вида (треугольная матрица) называется квадратная матрица, в которой элементы под(над) главной диагональю равны нулю.
Теорема 2 . Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными с неравным
нулю определителем коэффициентов матрицы приводится посредством элементарных преобразований к системе с треугольной матрицей.
Лекция №3. Ранг матрицы. Решение систем m линейных уравнений c n
неизвестными: теорема Кронекера - Капелли. Однородная СЛАУ.
Ранг матрицы. Пусть дана матрица А, содержащая m строк и n столбцов
 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2 n 
.
A
   


a

 m1 am 2  amn 
Пусть в матрице произвольно выделено к-строк и к-столбцов. Элементы,
стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка к, определитель которой называется минором к-го порядка.
Определение. Рангом матрицы называется наибольший порядок минора,
величина которого отлична от нуля.
15
Ранг матрицы имеет всякая матрица. Существуют различные методы вычисления ранга матрицы: метод «окаймляющих » миноров, с помощью элементарных
преобразований матрицы.
Метод «окаймляющих » миноров. Используют правило вычисления ранга
матрицы: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших
порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D,
отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Для вычисления ранга матрицы существует метод не связанный с теоремой о ранге
и не требующий вычисления определителей – метод элементарных преобразований.
Элементарные преобразования матрицы: 1) замена строк столбцами, а
столбцов – соответствующими строками (транспонирование); 2) перестановка строк
(столбцов) матрицы местами ; 3) умножение какой –либо строки (столбца) на число, отличное от нуля; 4) сложение к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженные на число, отличное от
нуля; 5) вычеркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.
Теорема. Ранг матрицы не изменится от элементарных преобразований
матрицы.
Пусть дана произвольная система линейных уравнений

 а11х1  а12 х2  ...  а1n хn  b1

1
 а21х1  а22 х2  ...  а2 n хn  b2
 ...........................................

аm1 х1  аm 2 х2  ...  аmn хn  bm
 а11

а
А   21
....

а
 m1
а12
а 22
....
аm 2
а1n 

а2n 
.... .... 

.... аmn 
....
....
 а11

а
B   21
....

а
 m1
а12
а22
....
аm 2
а1n b1 

а2 n b2 
.... .... ... 

.... а mn bm 
....
....
Матрица А – матрица системы уравнений (1). Матрица В- расширенная матрица
системы уравнений (1).
Теорема Кронекерра-Капелли. Для совместности системы линейных уравнений (1)
необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы (1)был равен рангу расширенной матрицы системы (1).
Возможны случаи:
1 сл.) r B   r  A , то система (1) не имеет решений.
2 сл.) r B   r  A  r , то система (1) имеет решение.
Если r(А)=r(В)=r=п, то система (1) имеет единственное решение ( совместная определенная система ), а если r(А)=r(В)=r<n, в этом случае система (1) имеет бесконечное множество решений зависящее от (n – r) произвольных постоянных (совместная неопределенная система).
СЛАУ называется однородной, если свободные члены равны нулю:
16
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  0
 a x  a x  ...  a x  0
 21 1
22 2
2n n

 .......... .......... .......... .......... .
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  0
(2)
Однородная СЛАУ (2) всегда совместна., это следует из теоремы Кронекерра –
Капелли. Значение неизвестных x1, x2 ,..., xn образует нулевое (тривиальное) решение системы. Для однородной СЛАУ важно установить, имеет ли она ненулевые
решения.
Теорема . Для того чтобы система линейных однородных уравнений (2)
имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.
Лекция №4. Векторы и линейные операции над векторами. Базис векторов. Скалярное произведение векторов.
Вектором называется направленный отрезок. Расстояние между началом и кон

цом вектора называется его длинной и обозначается так: АВ , а . Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на прямой называются коллинеарными. Векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоско

сти называются компланарными. Два вектора АВ и СD называются равными,
если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине. Все нулевые векторы считаются равными. Векторы, изучаемые в геометрии называют свободными.
(Они определены с точностью до приложения).
Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.
Теорема 1. Если вектор b коллинеарен не нулевому вектору a , то существует вещественное число  такое, что b  a .

Проекцией вектора АВ на ось Ох называется длина отрезка СД этой оси,
заключенного между основаниями перпендикуляров, проведенных из начальной и

конечной точек вектора АВ , взятая со знаком плюс, если направление отрезка СД
совпадает с направлением оси проекции, и со знаком минус, если эти направления

противоположны. Записывают : СД  прОх АВ
Теорема 2. Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на


косинус угла между вектором и осью: прОх АВ  АВ соs
17
Основные свойства проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов (на произвольную ось).

Теорема 3. При умножении вектора АВ на число m его проекция на ось
умножается на то же число:

  
прОх  m АВ   m  прОх АВ


Теорема 4. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций
составляющих на ту же ось:


   
прОх  АВ  ВС   прОх АВ  прОх ВС


Теоремы 3 и 4 называют линейными свойствами проекции .
Базисом на плоскости называют два неколлинеарных вектора на этой
плоскости, взятых в определенном порядке.
 
Теорема 5. Пусть на плоскости выбран базис e(е1 , е2 ) тогда любой вектор

а этой плоскости можно представить единственным образом, как линейную ком


бинацию векторов базиса а  1 е1   2 е2 .
Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно
ортогональны и имеют длину, равную единице.
Декартовой системой координат на плоскости называется совокупность
 
фиксированной точки О и базиса e(е1 , е2 ) , векторы базиса взаимно ортогональны и
имеют длину равную единице.
Декартова система координат на плоскости с ортонормированным базисом,
 
обозначают через i , j называется прямоугольной системой координат.
Базисом в пространстве называют три некомпланарных вектора, взятых в
определенном порядке.
  
Теорема 6. Пусть в пространстве выбран базис e(е1 , е2 , е3 ) тогда любой

вектор а пространства можно представить единственным образом, как линейную




комбинацию векторов базиса а  1 е1   2 е2   3 е3 , 1, 2 ,3 - координаты вектора

а в данном базисе.
Декартовой системой координат в пространстве называется совокуп  
ность фиксированной точки О и базиса e(е1 , е2 , е3 ) , векторы базиса взаимно ортогональны и имеют длину равную единице.
18
Декартова система координат в пространстве с ортонормированным бази  
сом, который обозначают через i , j , k называется прямоугольной системой координат.

  
Разложение вектора а по осям координат i , j , k в пространстве:

а  ахi  a y j  az k , где
ах , a y , az - координаты вектора. Координатами вектора называют его проекции на
_


координатные оси Ох,Оу,Оz и пишут а а х , а y , а z .
Теорема 7. Декартовы прямоугольные координаты ах , a y , az вектора a
равны проекциям этого вектора на оси Ох, Оу, и Оz соответственно.
_

Длина вектора а а х , а y , а z

в пространстве вычисляется по формуле:
a  a x2  a 2y  a z2

Направление вектора а определяется углами  ,  ,  образованным им с
осями координат Ох,Оу,Оz косинусы этих углов определяются по формулам:
ay
a
a
cos   x , cos    , cos   z
a
a
a
и называются направляющими косинусами вектора, Направляющие косинусы вектора связаны соотношением cos2   cos2   cos2   1


Теорема 8. При сложении двух векторов а и b их координаты (относи
тельно любого базиса) складываются, при умножении вектора а на любое число
m все его координаты умножаются на это число.

Вектор ОМ начало которого находится в начале координат, а конец – в
М(х,y,z) называют радиусом-вектором точки
М и обозначают
точке



rm  x i  y j  z k .
  

Система векторов а1 , а2 , а3 ,..., аm называется линейно зависимой, если
существуют такие постоянные с1 , с2 ,..., сm одновременно не равные нулю, что имеет



место равенство: с1 а1  с2 а2  ...  сm аm  0 , если же постоянные с1, с2 ,..., сm одновременно равны нулю, то система называется линейно независимой.
Теорема 9. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости
двух векторов является их коллинеарность.
19
Следствие 1. Если векторы а и b не коллинеарны, то они линейно независимы.
Теорема 10. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости
трех векторов является их компланарность.
Следствие 1. Если векторы а , b и c не компланарны, то они линейно независимы.
Скалярное произведение векторов.


Углом между двумя векторами а и b называется наименьший угол АОВ
между этими векторами, приведенными к общему началу О.
Определениие 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов- сомножителей на косинус угла между ними:

 
a  a b cos
(1)
 
2
Формула (1) может иметь вид a b  b пра
b
Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называется
число, равное произведению длинны одного их этих векторов на проекцию другого
вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
Геометрические свойства скалярного произведения двух векторов:
1) Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является
равенство нулю их скалярного произведения.
2) Два ненулевых вектора а и b составляют острый(тупой) угол тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение положительно(отрицательно).
Алгебраические свойства скалярного произведения двух векторов:
1. a  b  b  a

2. Для любого вектора a скалярный квадрат равен квадрату длины:


2
3 .
a a  a2  a


Из (3) следует а  а 2
4
Перечисленные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия
почленно, не заботясь при этом о порядке векторных множителей и сочетая числовые множители.
20
Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах.
Пусть
вектора а и b , заданны в координатной форме




а  ax , a y , az , b  bx , by , bz , тогда :
1) скалярное произведение векторов а и b равно сумме попарных произведений их
 
a  b  a x bx  a y b y  a z b z
соответствующих координат, т.е.
2) условие ортогональности векторов а и b , является равенство нулю их скалярного произведения a x bx  a y b y  a z bz  0
3) угол
cos  
 между векторами а и b определяется по формуле
a x bx  a y b y  a z bz
ax  a y  az
2
2
bx  b y  bz
2
2
2
2
Лекция №5. Векторное, смешанное произведения векторов.
Определение 1. Три вектора называют упорядоченной тройкой, если указано какой из этих векторов является первым, какой- вторым и какой – третьим.
  
Определение 2.Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а , b , c с
общим началом называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора

с кратчайший поворот от первого ко второму виден в направлении, в противоположном направлении движения часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются
левыми, то говорят, что эти тройки одной ориентации. В противном случае говорят, что рассматриваемые две тройки противоположной ориентации.
Декартова система координат называется правой(левой), если три
базисных вектора образуют правую(левую), тройку.


Определение 3. Векторным произведением вектора а на вектор b


 
называется вектор с который: 1) имеет длину с  a b sin  , 2) перпендикулярен к





плоскости векторов a и b , 3) направлен так, чтобы тройка векторов a , b и с была
 
правой. Обозначение: а  b
Геометрические свойства векторного произведения векторов.
1) Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является
равенство нулю их векторного произведения.
21


2) Длина (или модуль) векторного произведения a  b равняется площади

S парал
лелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b .
Алгебраические свойства векторного произведения векторов.




1) а b   b а (свойство антиперестановочности сомножителей),
 
2) а  a = 0.
Применение векторного произведения основано на геометрических свойствах векторного произведения.
S ABCD  AB  AC
S ABC 
(3),
1
AB  AC (4)
2
(3)– формула вычисления площади параллелограмма,
(4)– формула вычисления треугольника.
Выражение векторного произведения векторов в декартовых координатах.
Пусть вектора а и b , заданны в координатной форме




а  a x , a y , a z , b  bx , by , bz , тогда :
1) векторное произведение этих векторов имеет вид.




a b  a у bz  az by ; az bx  axbz ; axby  a y bx .
Для запоминания формулы удобно использовать символ определителя:



i
j k
 
 a y az  ax az  ax a y
а b  ax a y az  i 
 j
k 
b y bz
bx b y
b x bz
bx b y bz


2) условие коллинеарности a и b , является пропорциональность координат этих
векторов, т.е. ax  a y  az
bx
by
bz
Смешанное произведение трех векторов.




Пусть даны три произвольных вектора a , b и с . Если вектор a векторно

умножается на вектор b , а затем получившийся при этом вектор a  b скалярно



умножается на вектор с , то в результате получается число a  b  c , называемое



смешанным произведением векторов a , b и с .
Геометрические свойства смешанного произведения векторов.
1) Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является
равенство нулю их смешанного произведения a  b  c =0
 



2) Смешанное произведение не компланарных векторов a , b и с равно объему параллелепипеда построенного на приведенных к общему началу векторах
22
 

 

a , b и с взятому со знаком плюс, если тройка векторов a , b и с правая и со знаком
«минус», если она левая :

V  аbc

Из формулы объема куба вытекает формула объема пирамиды: Vпирамиды  1 ab c .
6
Алгебраические свойства смешанного произведения векторов.
1) Справедливо равенство a  b c  a b  c
2) Круговая перестановка трех сомножителей смешанного произведения не меняет
его значения. Перестановка же двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный.
Выражение смешанного произведения векторов в декартовых координатах
   

Пусть вектора а , b и с , заданны в координатной форме
а  a x , a y , a z , b  bx , b y , bz , c  c x , c y , c z , тогда :
1) смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.
ax
ay
az
a b c  bx
by
bz
cx
cy
cz

2) условие компланарности трех векторов является равенство нулю определителя,
строками которого служат координаты этих векторов, т.е.
ax
bx
cx
ay
by
cy
az
bz  0
cz
Модуль №2 «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»
Лекция №6. Прямая на плоскости. Различные виды задания прямой на
плоскости.
Пусть имеется прямоугольная система координат. Положение прямой на
плоскости относительно выбранной системы координат определяется какой-либо
точкой
М 0 ( х0 , у0 ) этой прямой и ненулевым вектором n A, B , перпендикуляр-
ным к прямой. Вектор
произвольной точки
и
n A, B называется нормальным вектором прямой. Для
M x, y  на прямой скалярное произведение векторов n A, B
M 0 M равно нулю. На основании выражения скалярного произведения векторов
23
через их координаты, получим уравнение :
Ax  x0   B y  y0   0
(1),
которое называется уравнением прямой, заданной точкой и нормальным вектором . Из (1) , раскрывая скобки и делая преобразования получим уравнение:
(2),
Ax  By  C  0
которое называется общим уравнением прямой.
Частные случаи расположения прямой на плоскости:
1) если С=0, то прямая проходит через начало координат,
2) если В =0, то прямая параллельна оси Оу,
3) если А=0, то прямая параллельна оси Ох,
4) если В= С=0 , то прямая совпадает с осью Оу,
5) если А = С=0, то прямая совпадает с осью Ох.
Если в общем уравнении прямой (2) В  0 , то разрешив его относительно у,
получим уравнение вида
(3)
y  kx  b ,
A
C
, b   . (3) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом,
B
B
поскольку k  tg , где  - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох. Свободный член b равен ординате точки пересечения прямой с Оу
осью.
Если в общем уравнении прямой (2) С  0 , то разделив все его члены на (–
С), получим уравнение вида
x y
  1,
(4)
a b
C
C
здесь a   , b   . (4) называют уравнением прямой в отрезках, где а – абсA
B
цисса точки пересечения прямой с осью Ох, b – ордината точки пересечения прямой
с осью Оу, поэтому a и b называют отрезками прямой на осях координат.
Если обе части общего уравнения прямой (2) умножить на число  , то получится уравнение
(5),
х cos  y sin  p  0
(5) – нормальное уравнение прямой. В (5) p - длина перпендикуляра, опущенного
из начала координат на прямую, а  - угол, образованный этим перпендикуляром с
положительным направлением оси Ох. Число  называется нормирующим многде k  
жителем:   
1
Знак нормирующего множителя
А  В2
2
положным знаку свободного члена С общего уравнения (2).
24
 выбирается противо-
Уравнение прямой, проходящей через две точки
х  х1
у  у1

х2  х1 у2  у1
вид:
М1 х1 , у1  и М 2 х2 , у2  , имеет
(6)
Положение прямой на плоскости относительно прямоугольной системы
координат может определяться какой-либо точкой М 0 ( х0 , у0 ) этой прямой и
ненулевым вектором s m, n  , параллельным этой прямой. Вектор s m, n  называют
направляющим вектором прямой, а точку
любом положении переменной точки
М 0 ( х0 , у0 ) - начальной точкой. При
M x, y  на прямой справедливо равенство:
M 0M = s t
(7),
которое называется векторным параметрическим уравнением прямой, где t числовой множитель, который может быть любым действительным числом в зависимости от положения точки M на прямой. Записав, обе части равенства (7) через
координаты получим:
(8),
х  х0  mt y  y0  nt
(8)- параметрическое уравнение прямой. Исключив из уравнения (8) параметр t ,
можно записать уравнение прямой:
х  х0 y  y0

(9),
m
n
(9) - каноническое уравнение прямой.
Пусть M 0 - точка, не лежащая на прямой l , заданной общим уравнением
Ах  Ву  С  0 . Расстояние d от точки М 0 ( х0 , у0 ) до прямой, определяется по
формуле:
d
Ax0  By0  C
(10)
A2  B 2
Взаимное расположение прямых на плоскости. При пересечении прямые
образуют четыре попарно равных угла. Углом между двумя прямыми называют
любой из двух смежных углов. Один из них равен углу между нормальными векто
рами

n1 и n2 . Второй угол дополняет его до  .
Пусть в декартовой системе координат заданы две прямые l1 и l2 общими
уравнениями:
l1 : A1x  B1 y  C1  0
(11),
l2 : A2 x  B2 y  C2  0


нормальные векторы этих прямых n1  A1 , B1 , n2  A2 , B2  , то угол между прямыми l1
и l2 находится по формуле:
25
cos 
A1 A2  B1 B2
A1  B1
2
2
A2  B2
2
(12)
2
условие перпендикулярности двух прямых: А1 А2  В1В2  0
(13)
условие параллельности двух прямых: А1  В1  C1
(14)
А2
В2
C2
Пусть в декартовой системе координат заданы две прямые l1 и l2 уравнениями с угловым коэффициентом::
(15)
у  k1 x  b1 у  k 2 x  b2 ,
то угол  между прямыми l1 и l2 определяется по формуле:
k k
(16)
tg  2 1
1  k1k2
В формуле (16) за k1 принимается угловой коэффициент той их двух данных прямых которая должна вращаться вокруг точки их пересечения против часовой стрелки до совмещения с другой прямой, «заметай» при этом искомый угол.
условие перпендикулярности двух прямых: k1k2  1
(17)
условие параллельности двух прямых: k1  k2
(18).
Если прямая проходит через точку М 0 ( х0 , у0 ) и её угловой коэффициент ра-
вен k , то она задается уравнением:
(19),
y  y0  k x  x0 
которое называется уравнением прямой, проходящей через точку в заданном
направлении.
Между нормальным и направляющим векторами прямой существует связь, а
именно, если n A, B  , то s B, A .
Деление отрезка в данном отношении.
Если точка M ( x; y ) лежит на прямой, проходящей через данные точки
M1 ( x1; y1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ) , и делит отрезок M1M 2 в отношении  
M 1M
, то
MM 2
координаты точки M определяются по формулам
x1   x2
y   y2
, yM  1
.
(20)
1 
1 
В частности, если точка M ( x; y ) делит отрезок M 1M 2 пополам, то
x x
y  y2
xM  1 2 , y M  1
(21)
2
2
xM 
Лекция №7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабо26
ла. Полярная система координат.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, которые аналитически определяются уравнениями второй степени относительно переменных координат х и у. К ним относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола. Общее алгебраическое
уравнение
2-й
степени
записываются
так:
2
2
(1)
Ах  2Bxy  Cy  2Dx  2Ey  F  0
Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных
от центра той плоскости. Если в (1)
А  С  0 и В=0, то
Ах2  Аy 2  2 Dx  2 Ey  F  0 (2), (2)- общее уравнение окружности.
Запомнить! Если в уравнении второй степени при квадратах переменных одинаковые коэффициенты, а члена с произведением переменных нет, то данное уравнение
есть уравнение окружности .
Уравнение (2) с помощью метода выделения полного квадрата приводится к виду:
х  а 2   у  b 2  R 2 (3),
(3) –уравнение окружности с центром в точке О(а,b); R – радиус окружности, х и у –
текущие координаты, а и b – координаты центра окружности О. Если центр
окружности лежит в начале координат, то уравнение (3) принимает простейший вид
(4)
x2  y2  R2
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 , есть величина постоянная(большая, чем расстояние между фокусами). Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а расстояние между ними – фокальным расстоянием.
Если обозначить постоянную величину через 2а, а расстояние между фокусами через 2с и выбрать систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а
начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 , то уравнение эллипса примет вид:
x2 y2

1
a2 b2
(5)-
каноническое
уравнение
эллипса;
(5),
b2  a2  c2
a  c  , фокусы эллипса
F1 c,0, F2  c,0 .
Начало координат О является центром симметрии эллипса, а оси координат – осями симметрии эллипса (две оси симметрии). Прямая, проходящая через
фокусы, называется первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к
ней ось – второй осью симметрии. Точки А1 а,0, А2  а,0, В1 0, b, B2 0,b
называются вершинами эллипса, а длины отрезков a  OA2 большой полуосью,
b  OB1 малой полуосью .
Вытянутость эллипса характеризуется величиной называемой эксцентрис
ситетом эллипса  ,   1 :  
(6)
а
27
Гиперболой называется множество точек плоскости, модули разности расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2 , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная(не равная нулю и меньшая, чем расстояние между
фокусами). Если обозначить постоянную величину через 2с и выбрать систему координат так же, как и для эллипса, то уравнение гиперболы примет вид:
x2 y2

1
a2 b2
(7)
(7) - каноническое уравнение гиперболы; b 2  c 2  a 2
c  a  , фокусы гипербо-
лы F1  c,0, F2 c,0 .
Оси координат являются осями симметрии гиперболы: ось симметрии,
проходящая через фокусы – первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось, проходящая через центр – второй или мнимой осью симметрии.
Точка О- её центром симметрии. Гипербола пересекает ось абсцисс в точках
А1 а,0 и А2  а,0 , которые называются действительными вершинами, а величина а  ОА1 - действительной полуосью гиперболы. Точки В1 0, b, B2 0,b называются мнимыми вершинами гиперболы, а величина b  OB2 мнимой полуосью.
Прямоугольник с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям и проходящими через вершины гиперболы называются основным
прямоугольником гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты т.е. прямые к которым неограниченно
приближаются ветви гиперболы. Уравнения асимптот: у  
b
x
a
(8).
Асимптоты
гиперболы являются диагоналями основного прямоугольника. Для построения гиперболы сначала нужно построить её асимптоты, а затем уже саму кривую.
Эксцентриситет гиперболы  характеризует вытянутость основного
прямоугольника гиперболы:
 1 и   с .
а
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от
данной точки F, называемой фокусом параболы, и данной прямой DD1 , называемой
её директрисой. Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы ось
Ох проходила через фокус F и была перпендикулярна к директрисе, и ось Оу проходила посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы: у 2  2 рх
(9), (9)–каноническое уравнение параболы; р - расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение директрисы х   р , фокус F  p ,0  . Начало координат является
2
2 
вершиной параболы, а ось абсцисс – её осью симметрии. Эксцентриситет параболы   1 .
Если ось симметрии параболы служит ось ординат Оу, то уравнение параболы имеет вид
(10)
х 2  2 ру  p  0 
28
Уравнение директрисы в этом случае y   p , фокус F  0, p  .
2
 2
Полярная система координат определятся заданием некоторой точки О,
луча Ох, исходящего из этой точки, и единицы масштаба. Точка О называется полюсом, а луч Ох – полярной осью. Если М- произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом, то её положение на плоскости определяется заданием двух

чисел: расстоянием r  OM
от полюса и углом  между полярной осью и вектором

OM . Угол  называется полярным углом, а расстояние r- полярным радиусом
точки. Полярный радиус r и полярный угол  точки М называют её полярными
координатами и записывают М r ,   . Полярный радиус r  0 , угол  заключен в
пределах 0    2 .
Если выбрать декартову систему координат так, чтобы её начало совпало с
полюсом, а ось Ох –с полярной осью, то между полярными координатами r ,  и
декартовыми координатами х,у каждой точки М существует следующая связь:
õ  r cos   (11),
y
r  x 2  y 2 (12), tg   (13).

x
y  r sin  
x
y
Из этих формул следует: cos  
(14)
sin  
2
2
2
x y
x  y2
Полярные уравнения линий. В полярных координатах линия задаётся
уравнением Ô (  ,  )  0 , связывающим полярные координат её текущей точки.
Если возможно, это уравнение разрешают обычно относительно  , и тогда полярное уравнение линии принимает вид    ( ) . Если функция  ( ) непериодическая, то углу  , обычно придают все возможные для данной функции значения,
не ограничиваясь изменением его только в пределах первого периода.
Чтобы перейти от уравнения линии F ( x, y )  0 в декартовых координатах
к её полярному уравнению, нужно подставить в декартово уравнение вместо x , y
их выражения из формулы (11). Обратный переход от полярного уравнения
Ô (  ,  )  0 к декартову уравнению той же линии осуществляется с помощью
формул (12)-(14).
Лекция №8. Плоскость и прямая и их взаимное расположение в пространстве.
Плоскость в пространстве. Положение плоскости в пространстве относительно выбранной прямоугольной системы координат определяется какой- либо

точкой этой плоскости и ненулевым вектором N  A, B, C  , перпендикулярным к плос29



кости A2  B2  C 2  0 . Вектор N называется нормальным вектором плоскости.


Для произвольной точки М(х,у,z) на плоскости N и М 0 М взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю, тогда:
Ах  х0   B y  y0   C z  z0   0 (1),
(1) - уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором.
Из (1), раскрыв скобки и сделав преобразования, получим уравнение:
(2),
Ах  Ву  Cz  D  0
(2)- общее уравнение плоскости.
Если в (2) ни один из коэффициентов А,В,С,D не равен нулю, то плоскость
отсекает на осях координат отрезки, обозначив их через а,b,с из (2) получим уравнение:
x y z
   1 (3),
a
b
c
(3)-уравнение плоскости в отрезках.
Чтобы определить уравнение плоскости, проходящей через три точки
М 1 x1 , y1 , z1 , М 2 x2 , y 2 , z 2 , М 3 x3 , y3 , z3  не лежащие на одной прямой, необходимо
М x, y, z  . Тогда векторы
взять на этой плоскости произвольную точку



M 1 M , M 1 M 2 , M 1 M 3 компланарны и их смешанное произведение равно нулю, отсю-
да получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
х  х1 у  у1 z  z1
(4)
х2  х1 у2  у1 z2  z1  0
х3  х1 у3  у1 z3  z1
Прямая в пространстве. Положение прямой относительно выбранной
прямоугольной системы координат определяется какой-либо точкой М 0 x0 , y0 , z0 

принадлежащей этой прямой и ненулевым вектором s m, n, p  параллельным этой

прямой ( m2  n 2  p 2  0 ); s -направляющий вектор прямой, а точка M 0 начальной точкой.
При любом положении переменной точки М x, y, z  на прямой имеет место
равенство:

М 0 М  t s (5),
где t – числовой множитель(параметр), который в зависимости от положения точки
М на прямой может быть любым действительным числом. Разложив по координатам обе части уравнения(1), получим:
 х  х0  mt

 y  y0  nt
 z  z  pt
0

30
(6),
(6) - параметрическое уравнение прямой. Исключив из них параметр t, получим
уравнение:
х  х0 y  y 0 z  z 0
(7),


m
n
p
(7) - каноническое уравнение прямой.
Прямую в пространстве можно представить как пересечение плоскостей А
и В , поэтому аналитически её можно задать системой двух уравнений первой степени вида:
А1 х  В1 у  С1 z  D1  0 

А2 х  В2 у  С2 z  D2  0
(8),
(8) – общие уравнения прямой.
Для того, чтобы привести уравнения (8) к каноническому виду, нужно определить
координаты х0 , у0 , z0 какой- либо точки M 0 , лежащий на прямой, и координаты


m, n, p направляющего вектора s прямой, за s берется вектор, равный векторно




му произведению векторов, n1  A1 , B1 , C1 , n2  A2 , B2 , C2  , т.е. s  n1 n2 :
i
s  A1
A2

j
B1
B2
k
B
C1  1
B2
C2
C1
A
i 1
C2
A2
C1
A
j 1
C2
A2
B1
k
B2
Прямая, проходящая через две точки М1 x1, y1, z1 , М 2 x2 , y2 , z2  , определяется уравнениями:
х  х1
у  у1
z  z1
(9).


х2  х1
у2  у1
z2  z1
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Углом
 между прямой и плоскостью называют острый угол, между прямой l и её проекцией на плоскость. Если плоскость задана общим уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, а
прямая каноническими уравнениями х  х0  y  y0  z  z0 тогда угол  между пряm
n
p
мой и плоскостью вычисляется:
sin  
Am  Bn  Cp
A  B 2  C 2 m2  n2  p 2
(10)
2
Условие параллельности прямой и плоскости: Аm  Bn  Cp  0 (11)
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
A B C
 
m n p
(12)
Если условие (11) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются, чтобы
найти точку их пересечения, надо решить систему:
х  х0 y  y0 z  z0 



m
n
p 
Ax  By  Cz  D  0 
31
(13).
Модуль №3 «Дифференциальное исчисление функций одной переменной».
Лекция №9. Множества. Числовые последовательности: предел, свойства. Функция: задание, предел, свойства. Замечательные пределы
В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой, множестве
натуральных чисел и т.д. Множество обозначают прописными буквами А,В,С,…, а
их элементы – малыми a, b, c,... . Утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: a  A или A  a ; запись a  A означает
, что элемент a не принадлежит А. Если все элементы, из которых состоит А, входят и в В то мы называем А подмножеством множества В и пишем A  B . Целесообразно ввести понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента, которое обозначают символом . Любое множество содержит  в
качестве подмножества.
Пусть А и В – произвольные множества; Суммой или объединением
С  А  В называется множество, состоящее из всех элементов принадлежащих, их
хотя бы одному из множеств А и В. Пересечением С  А  В множеств А и В множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В. Разностью
С  А \ В множеств А и В совокупность тех элементов из А, которое не содержится
в В. Иногда удобно рассматривать так называемую симметрическую разность
двух множеств А и В, которая определяется как сумма разностей А\В и В\А. Симметрическую разность С множеств А и В обозначают символом АВ . Таким образом АВ   А \ В   В \ А .
Последовательность. Переменная считается заданной, если указано множество Х  x значений, которое она может принять. Постоянную величину удобно рассматривать как частный случай переменной; она отвечает предположению,
что множество Х  x состоит из одного элемента.
/
Представим себе натуральный ряд: 1,2,3,…, n ,…, n ,…
(1),
/
в котором числа расположены в порядке возрастания, так что большее число n
следует за меньшим числом n . Если теперь заменить в ряде (1), по какому-нибудь
закону, каждое натуральное число n некоторым вещественным числом an , то получится числовая последовательность:
(2)
a1, a2 ,...,an ,...,an / ,...,
члены и элементы которой an занумерованы всеми натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров. При n  n , член an/ следует за членом
/
an независимо от того будет ли само число an/ больше или меньше или равно числу an . Иногда, нам может быть неизвестно выражение для общего члена an последовательности (2). Тем не менее, последовательность (2), а с нею и отвечающая
ей варианта, считается заданной, если мы все же владеем правилом, по которому
32
может быть вычислено любое значение последовательности, лишь только известен
его номер.
Пусть даны произвольные последовательности an , bn  . Суммой этих последовательностей называется an  bn  ; разностью - последовательность an  bn 
; произведением – последовательность an bn  ; частным – последовательность
 an 
  , где все элементы bn последовательности bn  должны быть отличны от ну bn 
ля.
Последовательность a n  называется ограниченной сверху, если существует
такое вещественное число М, что каждый элемент an последовательности a n 
 
удовлетворяет неравенству an  M . Например, M последовательности  n 2 равно
любому числу не меньше 1.
Последовательность a n  называется ограниченной снизу, если существует
такое вещественное число m , что каждый элемент an последовательности a n 
1 
удовлетворяет неравенству an  m . Например, за m последовательности  2 
n 
можно взять любое число меньше или равное нуля.
Последовательность a n  называется ограниченной, если она ограничена и
сверху. и снизу, т.е. для любого элемента этой последовательности m  an  M .
Определение 1. Постоянное число а называется пределом последовательности
an  , если для любого произвольного малого числа   0 существует такой номер
N, что для всех членов последовательности, номер которых
неравенство:
(3)
an  a  
Факт, что
n  N , выполняется
а является пределом последовательности, записывают так:
Lim a n  a
n
и говорят, то эта последовательность сходится к a . Если последовательность имеет предел, то ее называют сходящейся, в противном случае – расходящейся. Номер
N, вообще говоря, не может быть указан раз навсегда: он зависит от выбора числа
 . Для того чтобы подчеркнуть это, мы иной раз вместо N будем писать N  . При

N  N , вообще говоря увеличивается; чем большей близости значений последовательности an к a мы требуем, тем
уменьшении числа
соответствующий номер
более далекие значения её – в ряду (2) – приходится рассматривать. Исключение
представляет собой тот случай, когда все значения последовательности an равны
постоянному числу a .
Основные свойства сходящихся последовательностей.
1) Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2) Сходящаяся последовательность ограничена.
33
3) Для сходящихся последовательностей имеет место:
Lim an  bn   Lim an  Lim bn
n
n
n
Lim an bn   Lim an Lim bn
n
a
Lim  n
n  bn
n
n
Lim an
 n
 
, если Lim an  0
n
 Lim bn
n
Функция. Действительными(вещественными) числами называются рациональные и иррациональные числа. Множество всех действительных чисел обозначается буквой R. Каждое действительное число может быть изображено точкой
на числовой прямой.
Пусть даны два непустых множества Х и У. Если каждому элементу х из
множества Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только
один элемент у из У, то говорят, что на множестве Х задана функция со множеством
значении У: записывают так: f : Х  У , где множество Х – область определения
функции, множество У – множество значений функции. Если У является функцией
от х, то пишут у  f x  . Буква f , характеризует то правило, по которому получается значение у, соответствующие заданному аргументу х. Область определения
функции f обозначается через Д(f), а множество значений – через Е  f  , аргумент х
называют независимой переменной, функцию у- зависимой переменной, соответствие между х и у представляет функциональную зависимость.
Функция называется числовой, если область определения и множество значений числовые множества. Существуют различные способы задания функции:
функция может быть задана аналитически, графически и табличным способом.
Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента
найти соответствующее значение функции. Если функция задана формулой, то под
её областью определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.
Замечание 1. Функцию не следует отождествлять с формулой с помощью
которой она задана. Например, функции у  х 2 , х   ,   и у  х 2 , х  2,4 , выраженные одной и той же формулой у  х 2 различны, так как они имеют разные
области определения.
Задать функцию графически – это значит построить её график. График
функции дает наглядное представление о свойствах функции. Графиком числовой
функции у  f х  называется множество точек плоскости с координатами х, f x  ,
абсциссы которых – числа из области определения функции, а ординаты – соответствующие значения функции. Графический способ задания функции удобен тогда,
когда функцию трудно задать аналитически. При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующие значе34
ния функции. Недостатком табличного способа задания функции является то, что в
таблице могут быть указаны отдельные значения аргумента и функции.
Две функции равны только в том случае, когда их области определения
совпадают, и эти функции принимают одинаковые значения при одних и тех же
значениях аргумента.
Функция у  f x  называется четной, если 1) область определения функции симметрична относительно точки О числовой оси; 2) для любого значения независимой переменной, принадлежащего области определения функции, выполняется равенство: f  x   f x , x  D . График четной функции симметричен относительно оси Оу (так как по определению с любой своей точкой (х,у) он содержит и
точку (-х,у)).
Функция у  f x  называется нечетной, если 1) область определения
функции симметрична относительно точки О числовой оси; 2) для любого значения
независимой переменной, принадлежащего области определения функции, выполняется равенство: f  x   f x, x  D . График четной функции симметричен относительно начала координат(так как по определению с любой своей точкой (х,у) он
содержит и точку(-х,-у)).
Функция называется возрастающей на интервале ]a,b[, принадлежащем
области определения функции, если большим значениям независимой переменной х
из этого интервала соответствуют большие значения функции; т.е. если
х2  х1 , то
f х2   f х1  х1 , х2  ]a, b[
Функция называется убывающей на интервале ]a,b[ , принадлежащем области определения функции, если большим значениям независимой переменной х из
этого интервала соответствуют меньшие значения функции; т.е. если
х2  х1 , то
f х2   f х1  х1 , х2  ]a, b[
Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными.
Функция f x  называется периодической, если существует такое положительное число Т такое, что при х  D f  и x  T  D f  выполняется равенство
f  x  T   f  x  x  D f  .
Если функция у зависит от переменной u, т.е. у  f u , u U , а u в свою
очередь является какой-либо функцией независимой переменной х, т.е.
u  g x , x  X ,то переменная у называется сложной функцией от х и записывается:
у  f u , u  g x  или у  f g x 
Другое определение сложной функции звучит так: Сложной функцией называется
функция, аргументом которой является не независимая переменная, а некоторая
функция от неё. Переменную u называют промежуточным аргументом. Область
определения сложной функции – это множество тех значений х Х , для которых
35
соответствующие значения u принадлежат области определения U функции
y  f u  .
Если функция задана уравнением f ( x, y )  0 , не разрешенным относительно у, то она называется неявной функцией аргумента х.
Пусть задана некоторая функция у  f x , т.е. некоторое соответствие между множеством D f  и E  f  . Если обратное соответствие, т.е. каждому значению
y  E f  соответствует одно единственное значение x D f  , то её называют обратной функцией по отношению к функции f x  . В этом случае уравнение
у  f x  определяет х как неявную функцию от у. Если это уравнение разрешимо
относительно х, то получим явное выражение обратной функции: х  g  y  . Если
функция g является обратной по отношению к функции f ,то и функция f является обратной по отношению к функции g и эти две функции – взаимнообратные. Одна и та же кривая у  f x  представляет собой график функции
у  f x  и график обратной функции х  g  y  (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматривают на оси Оу, а значения функции – на
оси Ох.
Основными элементарными функциями являются следующие функции:
y  x n , y  a x , y  log a x , y  sin x , y  cos x ,
y  tgx, y  ctgx, y  arcsin x , y  arccos x , y  arctgx, y  arcctgx
Определение 2. Число А называется пределом функции у  f x  при х, стремящемся к a
x  a  , если для любого сколь угодно малого   0 , найдется такое
число     0 ,что при 0  x  a   выполняется неравенство
f x   A  
В этом случае пишут, Lim f x   A
xa
Определение3. Число А называется пределом функции у  f x  при х, стремящемся
к бесконечности x   , если для любого сколь угодно малого   0 , найдется
такое число M    0 ,что при x  M   выполняется неравенство
f x   A  
В этом случае пишут, Lim f  x   A .
x 
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:
1) LimC  C , где С – постоянная
(1)
x a
2) LimCf x  C Lim f x , где С – постоянная
x a
x a
Если существует Lim f x  и Lim g x  ,то
xa
x a
36
(2)
3) Lim f x  g x  Lim f x  Lim g x
(3)
4) Lim f x  g x  Lim f x  Lim g x
(4)
5) Lim f x g x  Lim f x  Lim g x
(5)
f x 
 f x   Lim
  x  a
6) Lim
, если Lim g x   0
x  a  g x  
xa
Lim g x 
xa
(6)
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
 х 
7) Lim f x  х   Lim f x Lim
xa
x a
(7)
x a
8) Lim f  x   f ( Lim x)
x a
(8)
x a
В практике широко используются пределы, известные как первый и второй
замечательные пределы. Первым замечательным пределом называется предел
отношения бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:
lim
x 0
sin x
1
x
(9)
Вторым замечательным пределом называется предел
1
lim (1  ) x  e
x 
x
Этот предел может быть записан в другом виде:
(10)
1
lim (1  x ) x  e
x 0
Лекция №10. Бесконечно малые и большие функции: определение, свойства, сравнение порядков бесконечно малых. Односторонние пределы. Непрерывность функции. Производная и дифференциал функции в точке.
Бесконечно малые функции (б. м. ф.).
Определение1. у  f x 
называется
lim f ( x )  0
xa
x a  ,
т.е.
любое
б.
  0 существует
м.
ф.
   ( ) ,
x a,
если
что
при
f ( x)   . Аналогично определяется б.м.ф. при х стремящимся к бес-
конечности.
Б.м.ф. обладают свойствами:
1) алгебраическая сумма (разность) любого конечного числа б.м.ф. есть б.м.ф..
2) произведение конечного числа б.м.ф. есть б.м.ф..
3) если f1 ( x) - б.м.ф, а f 2 ( x) - ограниченная функция при x  a , то произведение
f1 ( x)  f 2 ( x) - б.м.ф ( x  a)
Отношение двух б.м.величин в зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе может быть или числом, или б.м., или беско37
0
» и вычисление
0
предела сводится к «раскрытию» этой неопределенности. В таких случаях, прежде
чем перейти к пределу, нужно преобразовать данное выражение.
Сравнение бесконечно малых функций.
Б.м.ф.  x  и  x  называются бесконечно малыми одного порядка, если
предел их отношения равен некоторыми числу С, отличному от нуля, т.е.
 x 
Lim
 C, C  0 .
x a   x 
Если же С=0, то б.м.  x  называется более высокого порядка по сравнению с
 x  . Иногда возникает необходимость в более точном сравнении б.м.ф. – в выражении их порядков числами. В таких случаях используют следующее определение:
Если их двух б.м.ф.  x  и  x  вторая принята за основную, то б.м.ф.  x 
называется б.м. порядка p по сравнению с б.м. ф.  x  ), если
 x 
Lim
 C, C  0 .
xa   x  p
 x 
Lim
1
Б.м.ф.  x  и  x  называются эквивалентными, если
x a   x 
и при этом записывают  x  ~  x  .
При вычислении пределов используют теоремы об эквивалентных б.м.ф..
Теорема 1. Предел отношения двух б.м.ф. не изменится, если каждую из
них или только одну заменить другой эквивалентной б.м.ф..
Теорема 2. Если  x  ~ 1 x  и  x  ~ 1 x  , при x  a , то
 x   x  ~ 1 x  1 x  при x  a .
Заменяют б.м.ф. при x  a эквивалентными пользуясь таблицей эквивалентных б.м.ф. при x  a .
Таблица эквивалентных б.м.ф. при x  a .
Пусть  (x) - б. м. ф. при x  a , тогда
нечностью. В этом случае говорят о «неопределенности вида
1. sin  ( x) ~  (x)
5. arctg( x) ~ (x)
2. tg(x) ~ (x)
6. a ( x)  1 ~  (x)ln a
1
7. e ( x)  1 ~  (x)
( ( x)) 2
2
4. arcsin ( x ) ~ (x)
8. ln(1  (x)) ~ (x)
Бесконечно большие функции (б.б.ф.).
Определение 2.Функция у  f x  называется б.б.ф. при х стремящимся к а ,
3. 1  cos ( x) ~
если для любого M существует число  M  такое , что при 0  x  a   M  выполняется неравенство f x   M .
38
Аналогично определяются б.б.ф. при x   .
Замечание 2. Бесконечный предел не является пределом в прежнем смысле слова,
так как он означает не число, а неограниченное возрастание (убывание) функции.
Замечание 3. Бесконечно большой может быть переменная величина. Никакая постоянная не является бесконечно большой, так как ее предел равен самой постоянной, а не бесконечности.
Отношение и разность двух б.б.ф. в зависимости от характера изменения
б.б. может быть или числом, или б.м., или б.б. В этом случае говорят о «неопреде
ленности вида
» или «неопределенности вида    », соответственно. Для рас

крытия неопределенности вида
используют обратную зависимость, существую
1
щую между б.б. и б.м. функциями: если функция f x  - б.б. при x  a , то
f x 
является б.м.. поэтому если неопределенность вида задана отношением двух многочленов, то следует числитель и знаменатель почленно поделить на x n , где n - степень многочлена в знаменателе. Неопределенность вида    раскрывается с помощью тождественных преобразований.
Односторонние пределы функции в точке.
Определение 3. Число А называется правосторонним пределом или пределом справа функции y  f x  справа, если для любого сколь угодно малого
  0 найдётся такое число    ( ) , такое что при выполнении условия
a  x  a    , выполняется неравенство |f(x)-A|<  . Обозначение:
lim
x a  0
f ( x)  A
Определение 4. Число А называется левосторонним пределом или пределом слева функции y  f x  слева, если для любого сколь угодно малого
  0 найдётся такое число    ( ) , такое что при выполнении условия
a    x  a выполняется неравенство |f(x)-A|<  . Обозначение: lim f ( x)  A
x a - 0
Все свойства предела функции распространяются на односторонние пределы. Между пределом функции в точке и односторонними пределами существует связь:
1) если оба односторонних предела функции в точке существуют и равны между
собой, то предел функции в точке существует;
2) если оба односторонних предела функции в точке существуют, но не равны
между собой, то предел функции в точке не существует.
Непрерывность функции.
Определение 5. Функция у  f x  называется непрерывной в точке a ,
если:
1) у  f x  определена в этой точке; 2) существует предел функции у  f x  в этой
39
точке
lim f ( x)  A
x a
; 3) этот предел функции у  f x  равен значению
функции в этой точке lim f ( x)  f a 
x a
Если хотя бы одно из этих 3-х условий не выполняется, то функция называется
разрывной в этой точке, а сама точка
следующие виды разрывов:
1) если существует lim f ( x)
xa
x0 называется точкой разрыва. Различают
, но функция в точке a не определена, а если да-
же определена, то так, что lim f ( x)  f a 
x a
, в этом случае разрыв точки a
называется устранимым. В этом случае для устранения разрыва надо доопределить
функцию в точке a или изменить её значение так, чтобы выполнилось условие
lim f ( x)  f a 
x a
2) если lim f ( x)
xa
не существует, но существуют оба односторонних предела в
точке a (они не равны друг другу ), то разрыв в точке a называют разрывом 1-го
рода, а разность lim f ( x)  lim f ( x)
называется скачком функции
x a  0
x a  0
у  f x  в точке a .
3) если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности равен
бесконечности), то разрыв в точке a называется разрывом 2-го рода.
Разрывы 1 и 2-го рода являются не устранимыми.
Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна во
всех точках этого отрезка.
Важное значение имеют следующие теоремы:
Теорема 3. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках,
где они определены.
Теорема 4. Если в точке x0 функции
же точке непрерывными являются и функции
f  x
, если только  ( x0 )  0 .
 ( x)
f  x  и   x  непрерывны, то в этой
f  x    ( x) , f  x   ( x) , а также
u   ( x ) непрерывна в точке x0 , а функция
y  f (u ) непрерывна в точке u0   ( x0 ) , то сложная функция y  f ( ( x)) неТеорема 5. Если функция
прерывна в точке x0 .
Из теорем 3-5 вытекает такое следствие:
Всякая функция
f  x  , образованная конечным числом алгебраических
действий и взятий функции из основных элементарных функций, является непрерывной во всех точках, в которых определены все составляющие ее основные эле40
ментарные функции. За исключением точек, в которых какой-либо из знаменателей обращается в нуль.
В частности, всякий многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой оси; всякая дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов) непрерывна во всех точках, в которых знаменатель не обращается в нуль.
Производная и дифференциал функции в точке. Пусть функция
y  f x  определена в некоторой  - окрестности точки x0 .
x - приращение аргумента, x  x  x0 , где x  x0   , x0   
y - приращение функции в точке x0 , соответствующее приращению аргумента
x , y  f x0  x   f x0  .
Производной от функции y  f x  по аргументу x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю:
y
y /  lim
x  0 x
или
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x)  lim
 lim
x 0

x

0
( x0  x)  x0
x
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.
Если функции u  ux ; v  vx  имеют производные в некоторой точке x , то основные правила дифференцирования выражаются формулами:
/
1. с   0 , (с  соnst) ;
2. сu  cu / , (с  соnst) ;
/
3. u  v   u /  v / ;
/
4. uv  u / v  v / u ;
/
/
 u  u v  uv
5.   
.
v2
v
Геометрический смысл производной: производная функции f (x) , при
данном значении x0 аргумента равна угловому коэффициенту касательной к графи/
/
ку этой функции в точке M 0 x0 , f x0  , т.е. f / x0   tg , где  - величина угла,
образованного касательной с положительным направлением оси Ох. Поэтому уравнение касательной к графику функции y  f x  в точке M 0 x0 ; y0  , где y0  f x0  ,
имеет вид
y  y0  f / x0 x  x0 
Прямая, проходящая через точку M 0 x0 ; y0  , перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функций y  f x  в этой точке. Если
41
f / x0   0 , то уравнение нормали записывается в виде y  y0  
1
x  x0  .
f x0 
/
Если f / x0   0 , то нормаль имеет уравнение x  x0 .
Механический смысл производной. Если зависимость расстояния S движущейся точки от времени t выражается формулой S  f t  , тогда скорость v в
момент времени t выражается формулой:
S
v  lim
t 0 t
v  S / t   f / t  – скорость равна производной по времени t .
Таблица производных функций.
1.(x )    x 1  R 
 
 
2. a x  a x ln a a  R

3. e x  e x
1
4.log a x  
x ln a
1
5.ln x  
x



6. sin x  cos x
/
7.cos x    sin x
8.tg x  
1
cos2 x
1
9.ctg x   
sin 2 x
10 . shx/  chx
11 . chx/  shx
12 . thx/ 
1
ch 2 x
1
13 . cthx/   2
sh x
1
14 .arcsin x  
1 x2
1
15 .arccos x   
1  x2
42
16 .arctg x  
1
1 x2
1
17 .arcctg x   
1  x2
Дифференцирование сложной функции. Если функция u   x  имеет
производную в точке x , а функция y  f u  в соответствующей точке u , то производная сложной функции у  f ( ( x)) определяется равенством
y / x   f / u  / x  .
Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной от логарифма произведения, дроби, степени или корня. Способ логарифмического дифференцирования состоит в следующем: прежде чем дифференцировать заданную функцию, надо взять её логарифм, определить затем производную от
этого логарифма и по производной от логарифма отыскать производную от заданной функции.
Метод логарифмического дифференцирования применяется при нахождении производной от сложной функции вида y  u v , где u  u x  и v  vx  - функции аргумента x .
Дифференцирование неявных функций. Если y как функция от x задается
посредством соотношения F x, y   0 , где F x, y  - выражение содержащее x и y ,
то y называется неявной функцией от x . Производная от y по x при неявном
способе задания функции определяется следующим образом:
1. находим производную от левой части равенства F x, y   0 , рассматривая при
этом y как функцию от x и приравнивая ее к нулю.
2. решаем полученное уравнение относительно y / ; в результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде y /  f x, y  .
Дифференцирование функции, заданной в параметрической форме.
Пусть y , как функция аргумента x , задана в параметрической форме:
 x   t ,
,

 y   t ,
причем  t , t  - дифференцируемые функции по t и  / t   0 . Тогда ее производная записывается в виде y / 
 / t 
.
 / t 
Дифференциал функции. Функция y  f x  называется дифференцируемой в точке x , если её приращение y , соответствующее приращению аргумента
x в этой точке может быть представлено в виде y  Ax   x x , где
A  const;  x  -б.м.ф. при x  0 .
43
Главная часть Ax приращения y , линейная относительно x , называется дифференциалом функции y  f x  в точке x и обозначается dy или df .
Таким образом, dy  Ax коэффициент A равен f / x  , поэтому dy  f / xx .
Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента dx  x . Тогда
дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал
аргумента dy  f / x dx . Следовательно, вытекает представление производной в
dy
виде частного двух дифференциалов f / x  
т.е. для нахождения дифференциdx
ала функции достаточно найти производную этой функции и полученное выражение умножить на dx . Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке M x, y  .
Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Если приращение x аргумента мало по абсолютной величине, то y  dy или
f x0  x   f x0   f ( x0 )  x ,окончательно f x0  x   f x0   f ( x0 )  x .
Операция нахождения дифференциала функции так же, как и операция нахождения
производной называется дифференцированием. Основные правила нахождения
дифференциала, аналогичные основным правилам вычисления производных:
1. d c   0
2. d cu   cdu
 u  vdu  udv
3. d   
v2
v
4. d (u  v)  du  dv
5. d (u  v)  udv  vdu
(Здесь c - постоянная, а u и v - функции от x , имеющие производные).
Свойство дифференциала сохранять неизменной свою форму независимо от того,
задается ли функция f x  аргумента x , или функция от функции f u  называется
свойством инвариантности. Производная (в отличии от дифференциала) не обладает свойством инвариантности. y  f x  , то y /  f / x; y  f u   y /  f / u u / .
Дифференциал сложной
dy  f (u)   ( x)  dx
функции.
Если
y  f u , u   x , y  f  x  ,то
Лекция №11. Основные теоремы о дифференцируемости функции в интервале. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теорема Ролля. (Теорема о корнях производных). Если функция f x  не-
прерывна на отрезке a, b и дифференцируема в интервале a, b , а на концах отрезка имеет равные значения f a   f b  , то в интервале a, b найдется хотя бы
44
одна такая точка c , в которой производная равна нулю. f (c)  0
Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике непрерывной на отрезке и дифференцируемой на интервале функции с одинаковыми ординатами на
концах найдется хотя бы одна точка состоит c в интервала a, b , в которой касательная к кривой параллельна оси Ох.
Замечание: Если не выполнено хотя бы одно из условий теоремы, то может и не
выполняться заключение теоремы Ролля.
Теорема Лагранжа. (Теорема о конечных приращениях).Если функция
f x  непрерывна на отрезке a, b и дифференцируема на интервале a, b , то в
f b   f a 
интервале a, b найдется хотя бы одна точка c , в которой f / c  
.
ba
Теорема Коши. (Теорема об отношении приращений 2-х функций).Если функции f x  и g x  непрерывны на отрезке a, b и дифференцируемы на интервале a, b , причём g / x  0 , то в этом интервале найдется хотя бы
одно значение x  c , при котором f (b)  f (a)  f /(c) , где a  c  b .
g (b)  g (a)
g (c)

Раскрытие неопределённости вида  0  или   значительно упрощается с по
0
мощью правила Лопиталя.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть для функций f x  и g x  выполняются следующие условия:
1. Lim f x   Lim g x   0 или Lim f x   Lim g x   
x a
x a
x a
x a
2. f x  и g x  дифференцируемые и, кроме того, g / x  0 в некоторой окрестности точки a (за исключением, быть может, самой точки a )
3. существует (конечный или бесконечный) предел:
f / x 
Lim /
 A,
xa g  x 
f x 
f / x 
 Lim /
A
x a g  x 
x a g  x 
Правило Лопиталя имеет место и в тех случаях, когда x  a  и
x   . Когда отношение производных приводит к неопределенности вида
0

или
, то правило Лопиталя применяют к этому отношению. Перед его по0

вторным применением рекомендуется произвести все допустимые упрощения.
0
Неопределенность вида    приводится к неопределенности вида ,
0
0

а неопределенность вида 0   к неопределенности вида
или
путем алгеб0

Тогда Lim
45
раических преобразований исследуемой функции.
Производной второго порядка или второй производной , заданной функции y  f x  называется производная от ее производной y /  f / x  . Для обозначения второй производной пользуются символом y // или f // x  .
Производной n -го порядка от функции y  f x  называется производная
от производной n  1 -го порядка. Для производной n -го порядка принято обозначение у n  . Из определения производных высших порядков следует, что для получения производной n -го порядка надо предварительно найти все предшествующие
производные до n  1 -ой включительно.
Механическое значение второй производной. Пусть s , путь пройденный
ds
поступательно движущимся телом зависит от времени t s  f t  , тогда v 
dt
скорость,
dv d  ds  d 2 s
- ускорение.
a
  
dt dt  dt  dt 2
Таким образом, ускорение a прямолинейного движения равно второй производной
от пути s по времени t .
 x   (t )
Если функция y  f x  заданна в параметрической форме 
 y   (t )






 (t )

(
t
)


(
t
)


(
t
)


(
t
)
и t0  t  T ; yx 
, тогда y xx 
.
 (t )
( (t )) 3
Также можно находить вторую производную по следующей формуле: пусть
dy  (t )
yx 

  (t ) . тогда
dx  (t )
d
d 2 y d ( (t )) d (t ) dt dt
.


 
dx 2
dx
dt dx dx
dt
Дифференциалы высших
порядков. Дифференциал
dy
функции
y  f x  является функцией от x : dy  f x dx или dy  y dx . Дифференциал от
/
/
него d dy  d 2 y является дифференциалом второго порядка d 2 y  y // dx2 .
Дифференциал n -го порядка равен произведению производной n -го порядка на
n
n -ю степень дифференциала аргумента dx  dxn : d n y  y n dxn .
Лекция №12. Исследование поведения функции. Наименьшее
наибольшее значение функции.
46
и
Пусть дана функция y  f x  .
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции, экстремумы функции.
Теорема 1. Если во всех точках некоторого промежутка f / x  0 , то
функция y  f x  сохраняет в этом промежутке постоянное значение.
Следствие. Если две функции всюду в некотором промежутке имеют
равные производные, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Теорема 2.(достаточный признак возрастания.) Если функция
y  f x  непрерывная на a, b и дифференцируема на a, b  , причём f ( x)  0 ,
то эта функция возрастает на этом промежутке .
Теорема 3.(достаточный признак убывания.) Если функция y  f x 
непрерывная на a, b и дифференцируема на a, b  , причём f ( x)  0 , то эта
функция убывает на этом промежутке.
Установленная связь между знаком производной и характером изменения функции иллюстрируется графически, если учесть, что производная есть угловой коэффициент касательной к графику функции. Для возрастающей функции
касательная образует с осью Ох острые углы, а для убывающей функции - тупые.
Экстремумы функции.
Определение 1. Функция f x  имеет максимум в точке x  x0 , если
существует окрестность x0  h, x0  h  при h  0 , что для всех точек которой выполнено условие f x0   f x  .
Определение 2. Функция f x  имеет минимум в точке x  x0 , если существует окрестность x0  h, x0  h  при h  0 , что для всех точек которой вы-
полнено условие f x0   f x  .
В определении 1 и 2 h - малое, положительное число.
Для точек максимума и минимума существует объединяющий их термин –
точек экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Теорема Ферма.(необходимые условия существования экстремума).
Если функция f x  дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке экстремум, то её производная при x  x0 обращается в нуль, т.е. f ( x0 )  0
Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к кривой в точке экстремума дифференцируемой функции параллельна оси Ох .
Следствие. Дифференцируемая функция может иметь экстремум лишь в
тех точках, где производная равна нулю.
Если производная не существует в какой-либо точке, но существует
в близ лежащих точках, то в этой точке производная терпит разрыв.
Определение 3. Точка x  x0 называется критической точкой 1-го рода, если
имеет место одно из условий:
47
1. f / x0   0
2. f / x0   
3. f / x0  - не существует, при этом сама функция f x  в точке x  x0 определена.
Теорема 4.( первый достаточный признак экстремума). Если при переходе через критическую точку 1-го рода x  x0 первая производная функции y  f x  меняет знак, то данная критическая точка является точкой экстремума, причем
1) точкой максимума, если производная меняет свой знак с «плюса » на «минус»;
2) точкой минимума, если производная меняет свой знак с «минуса» на «плюс».
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции.
График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале
на a, b  , если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной.
График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале на
a, b  , если в этом интервале он расположен выше любой своей касательной.
Теорема 5. (достаточный признак вогнутости (выпуклости) графика
функции). Если для функции f x  во всех точках интервала a, b  f ( x)  0 , то
кривая y  f x  вогнута в этом интервале; если же f ( x)  0 во всех точках ин-
тервала a, b  , то кривая y  f x  выпукла в этом интервале.
Определение 4.Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот называется точкой перегиба.
В точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 6.(необходимое условие существование точки перегиба). Если M 0 x0 , f x0  - точка перегиба графика функции f x  , то при x  x0 вторая
производная равна нулю или не существует.
Определение 5.Точка x  x0 называется критической точкой 2-го рода, если в этой точке имеет место одно из следующих условий.
1. f // x0   0
2. f // x0   
3. f // x0  - не существует и при этом сама функция в точке x  x0 определена.
Точки перегиба функции находятся среди критических точек 2-го рода.
Теорема 7.(достаточное условие существование точки перегиба). Если функция f x  непрерывна в точке x0 и дважды дифференцируема в некоторой  -окрестности этой точки, кроме, быть может, самой точки x0 , и в пределах
указанной окрестности вторая производная f // x  имеет разные знаки слева и
справа от x0 , то M 0 x0 , f x0  - точка перегиба графика функции.
Чтобы установить является данная критическая точка 2-го рода точкой перегиба
48
кривой функции y  f x  , руководствуются правилом: если при переходе через
критическую точу 2-го рода, производная функции меняет свой знак, то данная
точка является точкой перегиба.
Асимптоты графика функции. Различают три вида асимптот: вертикальные, наклонные и горизонтальные.
Прямая x  a является вертикальной асимптотой графика функции y  f x 
если выполняется хотя бы одно из условий: Lim f x    или Lim f x    .
x a 
x a 
Замечание 1. 1) Вертикальные асимптоты кривой нужно искать в точках разрыва
и на границах области определения. 2) График функции непрерывной на всей
числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.
Прямая y  kx  b является наклонной асимптотой кривой y  f x  ,
если выполнены условия:
f x 
(1 сл.)
k  Lim
b  Lim  f x   kx
x
x
x
или
f x 
(2 сл.)
k  Lim
b  Lim  f x   kx
x
x
x
В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая.
Если пределы в первом случае или во втором совпадают, то прямая y  kx  b
является двусторонней асимптотой.
Прямая y  b является горизонтальной асимптотой кривой y  f x 
при x   x    , если выполнено условие Lim f x   b Lim f x   b .
x 

x

Замечание 2. 1) Если в каком либо направлении кривая имеет горизонтальную
асимптоту, то в этом направлении нет наклонной асимптоты, и наоборот.2) вертикальных асимптот может быть бесконечное число, а наклонных не более двух.
Общая схема исследования функции.
Определение общего характера графика функции:
1) нахождение области определения и множества значений функции;
2) исследование функции на четность(нечетность), периодичность;
3) нахождение точек пересечения графика функции с осями координат;
4) исследование функции на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установит характер разрыва;
5) нахождение асимптот кривой y  f x  ;
Уточнение характера графика функции с использованием первой производной функции:
6) нахождение интервалов монотонности функции;
7) нахождение точек экстремумов функции;
Уточнение характера графика функции с использованием второй производной функции:
8) нахождение интервалов выпуклости и вогнутости функции;
9) нахождение точек перегиба функции.
49
Наименьшее и наибольшее значение функции.
Теорема Вейрштрасса. Если функция f x  непрерывна на отрезке
a, b , то на этом отрезке она ограничена и достигает своих наименьшего и
наибольшего значений. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений
функции, непрерывной на отрезке a, b надо
1. найти критические точки, принадлежащие интервалу a, b 
2. вычислить значения функции в этих точках
3. вычислить значения функции в граничных точках отрезка
4. из всех полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.
Лекция №13. Неопределенный интеграл. Классические методы интегрирования неопределенных интегралов. Интегрирование тригонометрических выражений.
Определение 1. Функция F x  называется первообразной функции f x 
на интервале a, b  , F x  дифференцируема на интервале a, b  и F ( x)  f ( x)
для любого x  a, b  .
Теорема 1. Если F1 ( x) и F2 ( x) - первообразные для функции f x  , то они
отличаются на постоянное слагаемое.
Из теоремы вытекает, что если F x  - первообразная для функции f x  , то все ее
первообразные имеют вид F x   C .
Определение 2. Неопределенным интегралом функции f x  называется
совокупность всех ее первообразных.
При этом употребляется запись
 f x dx , где знак 
называется знаком инте-
гралом, функция f x  - подынтегральной функцией, а f x dx - подынтегральным
выражением, таким образом
 f xdx  F x  C
Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием
этой функции.
Свойства неопределённого интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции:
 f xdx  f x
/
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению d
 f xdx  f xdx
 f xdx  f x  C
4.  df x   f x   C
3.
/
50
5. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.
 Af xdx  A f xdx , где
A-
постоянный множитель.
6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы(разности)
конечного числа функции равен алгебраической сумме(разности) неопределенных интегралов этих функции, т.е.
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Таблица неопределённых интегралов.
1.
 0dx  C
2.

 x dx 
3.
 dx  x  C
4.

x  1
 C ; (  1)
 1
dx
 ln x  C
x
x
ax
x
x
 a dx  ln a  C
6.  e dx  e  C
7.  sin xdx   cos x  C
8.  cos xdx  sin x  C
5.
dx
 cos
 tgx  C
x
dx
10.  2  ctg x  C
sin x
9.
11.

12.

13.

14.

15.

2
dx
a x
2
 arcsin
2
x
x
x
 C   arccos  C
a
a
 ln x 
x2  a2  C
x a
dx
1
x
1
x
 arctg  C   arcctg  C
2
2
a x
a
a
a
a
dx
1
ax

ln
C
a 2  x 2 2a a  x
dx
1
xa

ln
C
2
2
2a x  a
x a
2
2
51
 shxdx  chx  C
17.  chxdx  shx  C
16.
dx
18.
 ch x  thx  C
19.
 sh x  cthx  C
2
dx
2
Классические методы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование – это интегрирование с применением свойств интеграла, тождественных преобразований подынтегральной функции, а также таблицы основных интегралов.
2) Подведение под знак дифференциала. По определению дифференциала функции  / xdx  d x переход в этом равенстве слева направо называют
подведением множителя  / x под знак дифференциала.
3) Метод замены переменной интегрирования ( метод подстановки)
состоит в том, что в интеграле  f ( x)dx , нахождение которого затруднительно,
вводят новую переменную t , связанную с переменной x соотношением x   t  ,
где  t  - непрерывная строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную  / t  на некотором интервале изменения t , после чего получают
 f ( x)dx   f ( (t ))   (t )dt (1)
При этом стремятся подобрать такую подстановку, чтобы интеграл в правой части равенства был табличным или путь его нахождения был ясен. После того как
этот интеграл найден, возвращаются к первоначальной переменной с помощью
обратной подстановки t   1 x  .
4) Интегрирование по частям основано на применении формулы
 udv  uv   vdu , где u  ux, v  vx - непрерывно дифференцируемые на некото-
ром интервале функции. Эта формула носит название формулы интегрирования по
частям. Она дает возможность свести нахождение интеграла
интеграла
 vdu , который оказывается более простым. За u
 udv к отысканию
берется такая функция,
которая при дифференцировании упрощается, а за dv - та часть подынтегрального
выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. К числу интегралов, вычисляемых интегрированием по частям, относятся интегралы вида
 Px  f x dx , где Px -многочлен(в частности, степенная функция
из следующих функций:
eax , sin ax, cosax, ln x, arctgx, arcsinx, arccosx .
52
x n , f x  - одна
Для интегралов вида
 Pxe
ax
dx, Px sin axdx, Px cos axdx , за u следует принять


Px  , а за dv - соответственно выражения e dx, sin axdx, cos axdx ; для интегралов
ax
вида
 Pxln xdx,  Pxarcsin xdx,  Pxarccos xdx за u
принимается соответственно
функции ln x, arcsinx, arccosx , а за dv - выражение Px dx .
Интегрирование тригонометрических выражений.
1) Интегрирование произведений синусов и косинусов осуществляется
с помощью следующих формул тригонометрии:
1
1
1. cos cos   cos(   )  cos(   )
2
2
1
1
2. sin  sin   cos(   )  cos(   )
2
2
1
1
3. sin  cos   sin(   )  sin(   )
2
2
Позволяют представлять произведения синусов и косинусов в виде линейных
комбинаций тех же функций(с другими аргументами) и могут быть использованы
для интегрирования в рассматриваемом случае.
2) Вычисление интеграла
 sin
m
x cosn xdx , где m и n - четные неот-
рицательные числа.
1  cos 2 x
1  cos 2 x
;
cos2 x 
2
2
позволяет повторным уменьшением вдвое показателей степени синуса и косинуса свести рассматриваемые интегралы к сумме интегралов от констант и нечетных степеней синуса и косинуса.
Применение формул тригонометрии sin 2 x 
3) Вычисление интеграла
 sin
m
x cosn xdx , где m или n - нечетное по-
ложительное целое число.
Если показатель степени одной из тригонометрических функций – нечетное положительное целое число, то, принимая другую функцию за t , рассматриваемый
интеграл сводится к табличному.
4) Интегралы вида
 Rsin x, cos xdx , где R - рациональная функция.
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций
x
с помощью подстановки tg  t .
2
Рациональной функцией Ru, v  двух переменных u и v называется
функция, представляющая частное двух многочленов относительно этих пере5u 2v  3uv2
x
менных. Например: Ru , v  
. Подстановка tg  t называется уни2
4u
2
версальной тригонометрической подстановкой. В результате этой подстановки
53
имеем:
 x
 x
2tg  
1  tg 2  
2
 2   2t ; cos x 
 2   1 t ;
sin x 
 x  1 t2
 x  1 t2
1  tg 2  
1  tg 2  
2
2
2dt
dx 
;
x  2arctgt
1 t2
Лекция №14. Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование простейших и рациональных дробей.
Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
dx
1) Интегралы вида
такие интегралы путем выделения
2
ax  bx  c
полного квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам:
dx
1) если a  0 , к табличному интегралу
2
x  A2
dx
2) если a  0 , к табличному интегралу
2
A  x2



r

,...., x s dx , где R - рациональная функция


своих аргументов, m, n, r, s - натуральные числа. Такие интегралы приводятся с
m r
помощью подстановки x  t k , где k - общий знаменатель дробей , , интеграn s
лу рациональной дроби.
3) Интегралы вида
2) Интегралы вида
 Rx,



 R x, x

m
n


a 2  x 2 dx,  R x, x 2  a 2 dx,  R x, x 2  a 2 dx, сводятся к интегралам функ-
ций, рационально зависящих от синуса и косинуса. Для этого достаточно в интегралах:
 Rx,
2)  R x,
1)
3)
 Rx,

 a dx сделать подстановку x  a tgt (или x  a ctgt )
a
a
 a dx сделать подстановку x 
(или x 
)
cos t
sin t
a 2  x 2 dx сделать подстановку x  a sin t (или x  a cost )
x2
x2
2
2
Интегрирование простейших и рациональных дробей.
54
Рациональной дробью называется дробь вида
Px 
, где Px  и Qx  Qx 
многочлены с действительными коэффициентами. Рациональная дробь называется
правильной, если степень многочлена P x ниже степени многочлена Q x , в
противном случае дробь называется неправильной .
Простейшими дробями называются правильные дроби следующих четырех типов:


А
xa
А
тип
, где m  целое число, большее единицы
x  a m
I-й тип
II-й
III-й тип
IV-й тип
p2
Mx  N
q  0
,
где
x 2  px  q
4
Mx  N
x
2
 px  q

n
, где
n - целое число, большее единицы,
p2
q  0
4
Интегрирование простейших дробей I и II типа не вызывает трудностей:
A
dx
 x  a dx  A x  a  A ln x  a  C
A
 x  a 
m
A
dx  A x  a  dx  A x  a  d x  a  
x  a  m 1  C  
 m 1
m
m
A
1
C
m  1  x  a m 1
Для того чтобы проинтегрировать простейшую дробь III-го типа
p2
 q  0 , рассмотрим
4
x
2
dx
 px  q
Mx  N
, где
x  px  q
2
(1)
Интеграл (1) представляет частный случай простейшей дроби III-го типа. Выделим
в знаменателе подынтегральной функции (1) полный квадрат:
55
p
p2
p2
x  px  q  x  2 x 
q

2
4
4
2
p 
p2 

  x     q  
2 
4 

2
2
Таким образом,
x
2
dx
2
2x  p

arctg
C
 px  q
4q  p 2
4q  p 2
(2)
Для интегрирования простейших дробей III-го типа

p2
Mx  N
,
где
q  0
x 2  px  q
4
(3)
выделяют в числителе дроби производную от знаменателя. После чего интеграл (3)
представит сумму двух интегралов: в первом интеграле числитель является производной знаменателя, поэтому
x
2
2x  p
dx  ln x 2  px  q  C , (4)
 px  q
второй интеграл находится по формуле (2).
При интегрировании простейшей дроби IV типа
p2
q  0
где
4
x
Mx  N
2
 px  q

n
,
(5)
Сначала поступают, как и при интегрировании простейшей дроби III-го типа, т.е.
выделяют в числителе дроби (5) производную от знаменателя. После чего интеграл
(5) представляет сумму двух интегралов: первый интеграл находится легко с помощью подстановки
 t
гралу вида
Для интеграла
 t
dt
2
 a2

n

2
x 2  px  q  t , а второй линейной подстановкой сводят к интеdt

n
 a2
dt
 t
2
 a2

n
имеет место следующая рекуррентная формула:

1
t

2  2
2n  2a  t  a 2

 2n  3
n 1

Интегрирование рациональных дробей.
56

 (6)
2
2 n 1 
t a


dt

Для интегрирования рациональных дробей
Px 
, где Px  и Qx  - многочлены
Qx 
с действительными коэффициентами, последовательно выполняют три шага.
Первый шаг. Если дробь неправильная выделяют целую часть рациоPx 
нальной дроби
, деля числитель Px  на знаменатель Qx  по правилу деQ x 
ления многочлена на многочлен. После этого рациональная дробь может быть
записана в виде суммы, выделенной целой части – многочлена M x  и правильP x 
ной остаточной дроби 1
:
Qx 
Px 
P x 
 M x   1
Qx 
Qx 
Второй шаг. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей четырех типов. ПраP x 
вильную остаточную дробь 1
разлагают на простейшие дроби. Для этого
Qx 
находят корни уравнения Qx   0 и разлагают знаменатель Qx  на множители
первой и второй степени с действительными коэффициентами. После этого праP x 
вильная остаточная дробь 1
разлагаются на простейшие дроби в числителе
Qx 
которых находятся неопределенные (неизвестные) коэффициенты. Для нахождения неопределенных коэффициентов используют способ сравнения коэффициентов, способ частных значений.
Третий шаг. Находят интегралы выделенной целой и всех простейших
дробей, которые затем складывают.
Лекция №15. Определенный интеграл: свойства, формула НьютонаЛейбница, приложения. Несобственные интегралы.
Пусть функция f x  определена на отрезке a, b . Разобьем этот отрезок
на n частей точками a  x0  x1  x2  x3  ....  xn  b на каждом из частичных
отрезков xi 1, xi  возьмем произвольную точку i и составим сумму
n
 f  x
i
i
где xi  xi  xi 1 , которая называется интегральной суммой функции
i 1
f x  на отрезке a, b .
Определение. Предел интегральной суммы при условии, что число отрезков n стремится к бесконечности, а длина наибольшего из них стремится к
нулю, называется определенным интегралом функции f x  в пределах от x  a
57
до x  b и обозначается
b

n
f x dx  Lim
maxxi  0
a
 f  x
i
i
i 1
Если f x  непрерывна на a, b , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенных интегралов.
1) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
a
равен нулю, т.е.
 f x dx  0
a
2) Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переb
менной интегрирования, т.е.

a
b
f x dx   f t dt
a
3) При перестановке пределов интегрирования величина определенного
b
интеграла не меняется, а изменяется лишь знак, т.е.

a
b
f x dx    f x dx
a
4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то определенный интеграл по этому отрезку равен сумме определенных интегралов по частям, т.е. если
c  a, b то
b

a
c
b
a
c
f x dx   f x dx   f x dx
5) Определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке c внутри его,
b
т.е.
 f xdx  b  a  f c,
acb
a
6) Если верхний предел интегрирования больше нижнего, а u подынтегральная функция положительна, то и определенный интеграл положителен, т.е.
если f x   0 для любого x  a, b и a  b , то
b
 f x dx  0 . Аналогично, если
a
f x   0 для любого x  a, b и a  b , то
b
 f x dx  0 .
a
7) Если верхний предел интегрирования больше нижнего функции f x 
и  x  непрерывны, то неравенство f x    x  можно почленно интегрировать,
b
т.е.

a
b
f x dx   x dx

a
8) Если функция f x  четна на  a, a , то
a

a
58
a
f x dx  2 f x dx
0
9) Если функция f x  нечетна на  a, a , то
a
 f x dx  0
a
10)
11)
b
b
a
a
 Af x dx  A f x dx
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Если F x  - одна из первообразных непрерывная на a, b функции f x  , то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
b
 f x dx  F x 
b
a
 F b   F a  .
a
Если функция f x  непрерывна на a, b , а функция x   t  непрерывно дифференцируема и строго возрастает на  ,   ,     a,     b , то справедлива
формула
b

 f x dx   f  t  t dt
/
a

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Кроме подстановки x   t  применяют также обратную подстановку
t   x  .
Если f x   0 на a, b , то определенный интеграл
b
 f x dx
геометриче-
a
ски представляет собой площадь криволинейной трапеции- фигуры, ограниченной линиями y  f x , x  a, x  b, y  0 .
Площади плоских фигур.
1) Вычисление площади в прямоугольных координатах. Если непрерывная
кривая задана уравнением y  f x  и f x   0 , то площадь криволинейной трапеции ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках x  a, x  b и отрезком оси абсцисс a  x  b вычисляется по формуле
b
S   f x dx
a
b
Если же f x   0 для любого x  a, b , то S   f x dx

a
Если площадь S ограничена двумя непрерывными кривыми y  f1 x  и
y  f 2 x  и двумя вертикалями x  a и x  b , где f1 x   f 2 x  при a  x  b , то
59
b
S    f 2 x   f1 x dx
a
2) Вычисление площади ограниченной кривой, заданной параметрическими
уравнениями. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме:
 x   t 

 y   t 
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями x  a и y  b и отрезком оси Ox , выражается интегралом
t2
S   t  / t dt

t1
где t1 и t2 определяются из уравнений a   t1  и b   t2  (  t   0 на отрезке
t1,t2  ).
3) Вычисление площади в полярных координатах.Если кривая задана уравнением в полярных координатах r  r   , то площадь сектора AOB , ограниченного
дугой кривой и двумя полярными радиусами OA и OB , соответствующими значениями 1   и 2   , выразится интегралом

S
1
r  2 d
2

Длина дуги плоской кривой.
1) Если кривая задана параметрическими уравнениями
x  xt , y  yt , t1  t  t2 , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
t2
2
2
 dx   dy 
L        dt
dt   dt 
t1 
где t1 и t2 - значения параметра, соответствующие концам дуги.
2) Если кривая задана уравнением вида y  f x , a  x  b , то приняв x за параметр, получим формулу
b
2
 dy 
1    dx
 dx 
a
Аналогично, если кривая задана уравнением вида x  g  y , c  y  d то
L

2
 dx 
L   1    dx
 dy 
c
3) Если кривая задана уравнением в полярных координатах:
r  r  ,     , то
d
60

2
 dr 
 d .
L   r 2  
 d 

Объем тела вращения.
1) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y  f x  осью Ox и двумя вертикалями
x  a, x  b вычисляется по формуле
b
Vx   f 2 x dx

a
2) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной
кривой x    y  , осью Oy и двумя вертикалями y  c, y  d вычисляется по формуле
d
Vy    2  y dy

c
Площадь поверхности тела вращения. 1) Площадь поверхности образованной
вращением вокруг оси Ox дуги кривой y  f x  между точками с абсциссами
x  a и x  b , выражается формулой
2
b
 dy 
Sпов  2 y 1    dx , где
 dx 
a
дуги кривой.

2
 dy 
1    dx 
 dx 
dx2  dy 2
2) Если кривая задана параметрическими уравнениями
t2
2
 ds - дифференциал
x  xt 
y  yt 
, то
2
 dx   dy 
Sпов   yt       dt , где t1 и t2 - значения параметра t , соответствую dt   dt 
t1
щие концам вращаемой дуги.
Приложение определенного интеграла.
1) Статистические моменты M x и M y дуги плоской кривой y  f x 
a  x  b , соединяющей точки Aa, f a и Bb, f b , относительно осей Ox и
Oy вычисляются по формулам
B
b
2
B
b
2
 dy 
M x   yds   y 1    dx
 dx 
A
a
 dy 
M y   xds   x 1    dx
 dx 
A
a
ds  dx  dy - дифференциал дуги.
2) Координаты центра тяжести той же дуги вычисляется так:
61
2
2
2
b
x
My
s

 dy 
a x 1   dx  dx
b

a
2
b
y
Mx

s
2
 dy 
1    dx
 dx 
 dy 
a y 1   dx  dx
2
b
 dy 
a 1   dx  dx
s - длина дуги AB .
Несобственные интегралы. Если функция f x  интегрируема на любом отрезке a, b , где a  b   , то полагают


a
b
f x dx  Lim  f x dx
b
a

Интегралы
 f x dx называются сходящимися, если существует предел в правой
a
части равенства, и называется расходящимся, если не существует предела в правой части равенства. Аналогично, если f x  интегрируема на любом отрезке
a, b , где
b
  a  b то полагают


b
f x dx  Lim  f x dx
a 
a
Рассмотрено на заседании кафедры протокол №____от «___»_______201__г.
Разработчик
А.Н. Шевцов
Зав. кафедрой
Н.А. Абиев
62