ЕН.Ф.1 Математика и Информатика математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
“Мурманский государственный педагогический университет”
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.01 МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА: МАТЕМАТИКА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРА
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ
050300.62 – Филологическое образование
050700.62 – Педагогика
Утверждено на заседании кафедры
математического анализа и методики
преподавания математики
физико-математического факультета
(протокол № 8 от 30.04.2009 г.)
Зав. кафедрой
_______________________________
Структура учебно-методического комплекса дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Автор программы: Побойкин Владимир Яковлевич, старший преподаватель кафедры
МА и МПМ МГПУ.
1.2 Рецензенты: Зотиков Сергей Васильевич, кандидат физико-математических наук,
доцент, зав. кафедрой МА и МПМ МГПУ, Бродский Исай Лазаревич, кандидат
технических наук, профессор кафедры естественно-математического образования
МОИПКРОиК.
1.3 Пояснительная записка:
Программа составлена в соответствии с государственными образовательными
стандартами высшего профессионального образования.
Математика является универсальным языком науки, а также элементом
общечеловеческой культуры. Поскольку в настоящее время происходит стремительная
математизация и информатизация практически всех областей знаний, математика выступает
как необходимый аппарат для решения формализованных задач по любой дисциплине. Цель
данного курса по математике – научить студентов классифицировать возникающие
математические задачи и применять необходимые способы решения, а также уметь
воспользоваться математической литературой.
Практические занятия по данной дисциплине включают в себя решение задач по
различным разделам курса, самостоятельные и контрольные работы, а также серию
домашних работ. Для практических занятий рекомендуется использовать лекционный
материал, специальные сборники упражнений и несколько учебников по математике для
высших учебных заведений (см. список литературы).
Цель:
В результате изучения курса студенты должны приобрести навыки в употреблении
математической символики для выражения количественных и качественных отношений
объектов исследования, научиться классифицировать возникающие математические задачи и
применять необходимые способы решения, а также уметь воспользоваться математической
литературой.
Задачи:
В результате изучения курса студенты должны иметь представление об основных
математических структурах, овладеть основными понятиями теории вероятностей и
математической статистики, аналитической геометрии и линейной алгебры.
Место курса:
В результате изучения курса студенты должны иметь представление о математике как
особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате изучения курса студенты
должны знать:
основные положения:
математического анализа;
высшей алгебры и аналитической геометрии;
линейной алгебры; последовательностей и рядов;
теории функции комплексного переменного;
должны уметь:
находить производные элементарных функций;
вычислять неопределенные и определенные интегралы от элементарных функций;
использовать матричную запись;
определять экстремумы простейших функций;
используя основы аналитической геометрии решать соответствующие задачи;
находить сумму и исследовать на сходимость ряды.
1.4 Извлечение (в виде ксерокопии) из ГОС ВПО.
ЕН.Ф.01
Математика и информатика
114
Аксиоматический метод, основные математические структуры,
вероятность и статистика, математические модели, алгоритмы и языки
программирования,
стандартное
программное
обеспечение
профессиональной деятельности.
1.5 Объем дисциплины и виды учебной работы.
№
п/
п
1
2
Шифр и наименование
специальности
050300.62 –
Филологическое
образование
050700.62 –
педагогика
Ку
рс
Семес
тр
Виды учебной работы в часах
Трудое Всего ЛК ПР/ Л Сам
мкость аудит.
СМ Б .
Раб
ота
Вид
итогово
го
контрол
я
(форма
отчетно
сти)
1
2
54
26
16
10
-
28
ЗАЧЕТ
1
2
50
26
16
10
-
24
ЗАЧЕТ
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1 Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование раздела, темы
Основные математические понятия.
Элементы линейной алгебры.
Теория множеств. Элементы алгебры логики
высказываний.
Производная и интеграл.
Вероятность и статистика
ВСЕГО:
Количество часов
Вариант 1(2)
Всего
ЛК ПР/ ЛБ
ауд.
СМ
Сам.
Раб
2
6
2
4
2
-
4
6(4)
6
4
2
-
6(4)
4
8
26
2
4
16
2
4
10
-
6
6
28(24)
Примечание.
Вариант 1 – для специальности 050300.62 – Филологическое образование
Вариант 2 – для специальности 050300.62 – Педагогика
1.6.2 Содержание разделов дисциплины.
Основные понятия математики.
Математическая логика. Аксиоматический подход. Математические доказательства.
Множество и его элементы. Подмножества. Пересечение множеств, объединение,
вычитание, дополнение до множества. Примеры множеств: рациональные, действительные,
иррациональные числа.
Основные математические структуры:
Структуры линейной алгебры.
Матрицы и операции над ними: сложение, умножение, транспонирование. Единичная
матрица. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.
Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений и неравенств. Решение
систем линейных уравнений. Метод Гаусса, Крамера, матричный метод.
Теория множеств. Элементы алгебры логики высказываний.
Множества, подмножества, операции над ними. Основные понятия темы. Суждения.
Высказывания. Высказывательные формы. Таблицы истинности. Отрицание простых и
составных высказываний. Высказывания с кванторами. Их отрицание. Отношение
логического следования и равносильности. Дедуктивные и индуктивные умозаключения.
Правила вывода. Полная и неполная индукция.
Производная и интеграл.
Производная. Понятие производной. Задачи, приводящие к понятию производной.
Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Исследование функции с
помощью производной. Интеграл. Неопределенный интеграл и его свойства. Первообразная.
Основные свойства неопределенного интеграла. Определенный интеграл. Приложения
определенных интегралов.
Вероятность и статистика.
Элементы комбинаторики. Случайные события. Различные определения вероятности
события. Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса. Случайные
величины и функции распределения. Плотность распределения. Нормальное распределение
(распределение Гаусса). Основные понятия математической статистики (варианты, частоты,
понятие среднего, дисперсия, квадратичное отклонение). Доверительный интервал.
Доверительная вероятность. Проверка статистических гипотез.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
Наименование раздела
Дисциплины.
Тема.
Основные
математические
понятия.
Элементы
алгебры.
линейной
Форма
самостоятельной
работы
Овладение
основными
математическими
понятиями.
Работа с
конспектами
лекций.
Выполнение
домашнего задания
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Количество
Часов
Проверка
конспектов
лекций.
4
Проверка
конспектов
лекций,
домашнего
задания.
6(4)
3
4
5
Теория множеств.
Элементы алгебры
логики высказываний.
Производная и
интеграл.
Вероятность и
статистика
Работа с
конспектами
лекций.
Выполнение
домашнего задания
Работа с
конспектами
лекций.
Выполнение
домашнего задания
Работа с
конспектами
лекций.
Выполнение
домашнего задания
ВСЕГО:
Проверка
конспектов
лекций,
домашнего
задания.
Проверка
конспектов
лекций,
домашнего
задания.
6(4)
6
Контрольная
работа. Интернет
тестирование.
6
28(24)
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7
1.7.1 Тематика и планы аудиторной работы на практических занятиях
Практическое занятие 1.

Тема: Элементы линейной алгебры.
План:
1. Повторение основных понятий темы по содержанию лекции.
2. Решение задач по теме занятия.

литература (основная, дополнительная): (2, часть 1) по списку литературы.

Практическое занятие 2.

Тема: Теория множеств. Элементы алгебры логики высказываний.
План:
1. Повторение основных понятий темы по содержанию лекции.
2. Решение задач по теме занятия.

литература (основная, дополнительная): (1) по списку литературы.
Практическое занятие 3.

Тема: Производная и интеграл.

План:
1. Повторение основных понятий темы по содержанию лекции.
2. Решение задач по теме занятия.

литература (основная, дополнительная): (2, часть 1) по списку литературы.
Практическое занятие 4.

Тема: Элементы теории вероятностей

План:
1. Повторение основных понятий темы по содержанию лекции.
2. Решение задач по теме занятия.

литература (основная, дополнительная): (5) по списку литературы.
Практическое занятие 5.

Тема: Элементы математической статистики

План:
1. Повторение основных понятий темы по содержанию лекции.
2. Решение задач по теме занятия.

1.8
литература (основная, дополнительная): (5) по списку литературы.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1 Рекомендуемая литература, учебные издания: Учебники и учебные пособия:
Основная:
1. Бузаев В.В. И др. Математика и информатика. С-Пб, изд-во РГПУ, 2001.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
В 2-х частях. М., 1980.
3. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.,
Просвещение, 1985.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для
вузов. М. Высшая школа. Изд 7-е, 2001.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М.Высшая школа
Дополнительная:
6. История математики. Под ред. А.П. Юшкевича. Т. 1–3. М., Наука, 1970 – 1972.
7. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М, Наука, 1991.
8. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М., Наука, 1985.
9. Локоть Н.В. Математика для нематематиков. Учебное пособие для студентовгуманитариев. Мурманск, 1997.
10. Математика в современном мире. М., Мир, 1967.
11. Турецкий В.Я. Математика и информатика. Екатеринбург, 1999.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Не предусмотрено учебным планом.
1.10 Примерные зачетные тестовые задания:
Вариант 1.
1. Абонент забыл шестизначный телефонный номер (первая цифра – не 0). Помнит
только, что первые 2 цифры одинаковые, а другие – разные. Найти вероятность, что
он дозвонится с первого раза.
Вероятность, что он отгадает первую цифру – 1/9. Вторую угадывать не надо (она
совпадает с первой). Вероятности угадать каждую из последних чётырёх цифр – по 1/10.
Таким образом, вероятность угадать все цифры одновременно:
1 1 1 1 1
1
p     
9 10 10 10 10 90000
2. Вероятность того, что нужная деталь лежит в первом ящике, составляет 0.7, во втором
– 0.8, в третьем – 0.9. Найти вероятность того, что деталь лежит: а) только в одном
ящике; б) не больше, чем в двух ящиках.
а) Итак, деталь может лежать либо в первом ящике и одновременно – не лежать во
втором и третьем ( p1  0.7 * (1  0.8) * (1  0.9)  0.014 ), либо лежать во втором ящике и не
лежать в первом и третьем ( p2  (1  0.7) * 0.8 * (1  0.9)  0.024 ), либо лежать в третьем и
не лежать в первом и втором ( p3  (1  0.7) * (1  0.8) * 0.9  0.054 ).
Складывая эти вероятности, получим:
р=0.014+0.024+0.054=0.092
б) Единственный случай, когда условие не выполняется – когда деталь лежит в трёх
ящиках одновременно. Поэтому вероятность того, что деталь лежит не более чем в двух
ящиках, это, по сути, вероятность, того, что деталь НЕ лежит в трёх ящиках
одновременно.
Вероятность того, что деталь лежит в трёх ящика одновременно, равна 0.7*0.8*0.9=0.504.
Тогда нужная нам вероятность составляет 1-0.504=0.496.
3. Абонент пейджинговой связи не получает отправленное сообщение с вероятностью
0.1. Найти вероятность, что среди 80 отправленных сообщений будет а) ровно 6 не
полученных; б) не больше 4 таких сообщений.
Поскольку количество независимых событий в серии велико (80), будем пользоваться
приближённой формулой Пуассона:
Pn (k ) 
k
e  ( ãäå  n  p)
k!
а) Согласно формуле
(80  0.1) 6 800.1
P80 (6) 
e
, т.к. n – количество испытаний в серии (80), k - количество
6!
успехов (6, в нашем случае успехом будем считать неполучение сообщения), а
вероятность успеха каждого испытания – p (0.1 т.к., опять же, успехом считаем
неполучение сообщения).
Тогда P≈0,1221
б) Надо найти вероятность того, что недошедших сообщений будет или 0, или 1, или 2,
или 3. Тогда
P=P80(0)+ P80(1) + P80(2) + P80(3)=
(80  0.1) 0 (80  0.1)1 (80  0.1) 2 (80  0.1) 3



) ≈0,042380
= e 800.1 (
0!
1!
2!
3!
4. В коробке 2 красных, 3 чёрных и 3 синих ручки. Наугад выбирают 2 ручки, и Y –
количество синих среди них. Найти распределение Y, его математическое ожидание и
дисперсию.
Для того, чтобы найти функцию распределения, найдём вероятности того, что Y равно 0,
1 и 2.
Вероятность того, что Y=0
5 4 20
P( H 0 )   
, т.к., когда мы вытаскиваем первую ручку – их в коробке 8, из них 5 –
8 7 56
не синих, а когда вытаскиваем вторую – всего 7 ручек, из которых не синих – 4.
Вероятность того, что Y=1
3 5 5 3 30
P( H 0 )     
, т.к.:
8 7 8 7 56
1) либо, когда мы вытаскиваем первую (синюю) ручку – их в коробке 8, из них 3 – синих,
а когда вытаскиваем вторую (уже не синюю) – всего 7 ручек, из которых не синих – 5;
2) либо, когда мы вытаскиваем первую (не синюю) ручку – их в коробке 8, из них 5 – не
синих, а когда вытаскиваем вторую (уже синюю) – всего 7 ручек, из которых синих – 3.
Вероятность того, что Y=2
3 2 6
P( H 0 )   
, т.к., когда мы вытаскиваем первую ручку – их в коробке 8, из них 3 –
8 7 56
синих, а когда вытаскиваем вторую – всего 7 ручек, из которых синих осталось – 2.
Так как значение функции распределения – это сумма вероятностей появления величин,
умноженных на отрезок, на котором достигается величина (все такие отрезки у нас равны
1, т.к. у нас вероятности посчитаны для величин Y, которые отличаются на единицу), то,
для х<0, F(x)=0,
20
для 0<=x<=1, F(x)=
56
20 30 50


для 1<x<=2, F(x)=
56 56 56
50 6

1
для x>2, F(x)=
56 56
Окончательно:
x0
 0,
5
 , 0  x  1
F ( x)  14
25
 , 1 x  2
 28
x2
 1,
Для математического ожидания и дисперсии воспользуемся следующими формулами:
M   xi p i и D   ( xi  M ) 2 p i
i
M  0
i
20
30
6 42 21
 1  2 


56
56
56 56 28
D  (0 
21 2 20
21 30
21 6
840 105
)
 (1  ) 2
 (2  ) 2


28 56
28 56
28 56 1568 71
5. Фермер выращивает цыплят. Месячные цыплята в среднем весят 0.8 кг, а
среднеквадратичное отклонение веса 0.2. Найти вероятность того, что каждый из двух
наугад выбранных цыплят весит больше, чем 0.75.
Для начала найдём вероятность того, что один наугад выбранный цыплёнок весит
меньше, чем 0.75. Вероятность этого – значение функции распределения F(x) (в данном
случае – распределения веса) в точке 0.75.
Так как
xa
F ( x)   (
),

где Φ – функция нормального распределения с мат. ожиданием=0 и дисперсией=1,
a – мат. ожидание нашего распределения (среднее)
σ – среднеквадратичное отклонение нашего распределения
0.75  0.8
)   (0.25)  1   (0.25) ={определяем по таблице}=
Тогда F (0.75)   (
0.2
=1-0,5987=0,4013.
/*в таблицах учебников можно встретить функцию распределения Φ, для которой
Φ(0.25)=0.0987. Будьте внимательны: там интеграл от нуля до х, а нам нужна функция с
интегралом от (–бесконечности) до х, и её значение равно 0.5 + (значение функции, где
интеграл взят от нуля до х)*/
Это мы нашли вероятность того, что цыплёнок весит меньше, чем 0.75. А вероятность
того, что он весит больше, равна
p1=1-F(0.75)=0.5987.
А вероятность того, что из двух наугад выбранных цыплят оба одновременно весят
меньше, чем 0.75, равна
p=p1*p1=0.5987*0.5987=0,35844169
6. Проводилось измерение веса 36 наугад выбранных студентов 1-го курса: (кг): 69, 75,
59, 80, 52, 53, 60, 73, 52, 63, 71, 69, 58, 53, 65, 61, 67, 65, 74, 63, 68, 70, 72, 66, 62, 54,
58, 60, 72, 62, 64, 68, 59, 58, 55, 54. Построить вариационный ряд, эмпирическую
функцию распределения, интервальное распределение, гистограмму частот.
Вычислить среднее, выборочную дисперсию, среднеквадратичное распределение,
медиану. Найти доверительный интервал для среднего.
Вариационный ряд – это отсортированный по возрастанию ряд выборочных значений:
52, 52, 53, 53, 54, 54, 55, 58, 58, 58, 59, 59, 60, 60, 61, 62, 62, 63, 63, 64, 65, 65, 66, 67, 68,
68, 69, 69, 70, 71, 72, 72, 73, 74, 75, 80.
Эмпирическая функция (правила построения смотри в зад.4):
 0,
1
 ,
 18
 1,
9
1
 6,
7
 ,
 36
5
 18 ,
1
 ,
3
7,
 18
5
 ,
6
17 ,
 36
 19
 ,
 36
 5,

F ( x)   9
11
 ,
 18
 23
 36 ,
2
 ,
3
 13 ,
 18
7
 ,
9
 29 ,
 36
5
 ,
6
 8,
9
 11
 12 ,
17
 ,
 18
 35
 36 ,
 1,

Ii
mi
x  52
52  x  53
53  x  54
54  x  55
55  x  58
58  x  59
59  x  60
60  x  61
61  x  62
62  x  63
63  x  64
64  x  65
65  x  66
66  x  67
67  x  68
68  x  69
69  x  70
70  x  71
71  x  72
72  x  73
73  x  74
74  x  75
75  x  80
x  80
Интервальное распределение:
52:55
55:58
58:61
7
3
5
61:64
5
64:67
4
67:70
5
70:73
4
73:76
2
76:80
1
Wi=mi/n 0.1944
0.0833
0.1389
0.1389
0.1111
0.1389
0.1111
0.2222
0.1111
Гистограмма частот:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
52:55
55:58
58:61
61:64
64:67
67:70
70:73
73:76
76:80
Выборочное среднее:
1
x   xi =63.4444
n i
Выборочная дисперсия:
1
D   ( xi  x ) 2 =52,1358
n i
Среднее квадратическое отклонение:
  D =7,220513
Медианой называется такое значение варьирующего признака, которое приходится на
середину вариационного ряда. В нашем случае число вариант – чётно, поэтому берётся
среднее двух серединных элементов вариационного ряда:
63  63
Me 
 63
2
Доверительный интервал для среднего (при заданной надёжности γ) имеет вид
(x t

n
;x t

n
), где t – значение аргумента функции Лапласа Φ(t), при котором Φ(t)=
γ/2
/*тут имеется в виду функция распределения, у которой интеграл берётся от нуля до х*/
Возьмём надёжность 0.95. Тогда (по находим по таблице) Φ(1.96)=0.95/2, значит t=1.96 и
доверительный интервал будет
7,220513
7,220513
( 63.4444  1.96
) или a принадлежит интервалу
;63.4444  1.96
36
36
( 61,0857;65,8031 )
Вариант 2.
1. На книжной полке расположено 5 книжек по математике и 3 – по физике. Наугад
выбирают 2 книжки. Найти вероятность того, что а) выбранные книжки – по
математике; б) одна книжка по математике, а вторая – по физике.
5 4 5
а) p    т.к. когда берём первую книгу, на полке стоят 8 книг, 5 из которых – по
8 7 14
математике, а когда берём вторую – 7 книг, из которых осталось 4 по математике.
5 3 3 5 15
б) p     
, т.к. мы
8 7 8 7 28
либо первой достаём первой одну из 5 книг по математике среди 8ми на полке, а второй –
одну из 3х книг по физике среди оставшихся 7ми на полке,
либо первой достаём одну из 3 книг по физике среди 8ми на полке, а второй – одну из 5ти
книг по математике среди оставшихся 7ми на полке.
2. Хлебопекарня выпекает 70% продукции из пшеницы высшего сорта и 25% из
пшеницы первого сорта. Какая вероятность того, что среди двух наугад выбранных
изделий будет: а) только одно изделие из пшеницы первого сорта; б) два одного и
того же сорта.
а) Т.к. одно должно быть первого сорта, и, одновременно, второе – не первого сорта,
перемножаем вероятности этих событий:
p=0.25*(1-0.25)
б) Аналогично, вероятность, что оба – высшего сорта, = 0.7*0.7, что оба – первого сорта,
= 0.25*0.25, и что оба – «оставшегося» сорта, = 0.05*0.05 (раз 95% продукции – либо
первый, либо высший сорт, то должны быть ещё 5% какого-то «третьего» сорта), тогда
вероятность, что произойдёт одно из этих событий – сумма их вероятностей:
p=0.72+0.252+0.052=0.555
3. Вероятность попадания при одном выстреле стрелка равняется 0.7. Какая вероятность
того, что: а) при 7 выстрелах один промах; б) при 70 выстрелах 5 промахов.
а) Очевидно, что вероятность одного промаха и, одновременно с этим, шести попаданий
равна:
p=(1-0.7)*0.76=0,0352947
б) Так как количество событий велико, воспользуемся приближённой формулой
Пуассона:
Pn (k ) 
k
e  ( ãäå  n  p)
k!
Получим
(70  0.3) 5 700.3
P70 (5) 
e
, т.к. n=70 – количество испытаний в серии, k=5 - количество
5!
успехов (успехом будем считать промах), а вероятность успеха каждого испытания –
p=0.7.
Вычисляя, получим:
P70(5)≈0.0000258
4. Подкидывают 3 монеты. Вероятность выпадения «герба» для одной монеты 0.6, а для
других – 0.5; Х – количество выпадений «герба». Найти распределение Х, его
математическое ожидание и дисперсию.
Для того, чтобы найти функцию распределения, найдём вероятности того, что Х равно 0,
1, 2 и 3.
Вероятность того, что Х=0
Р(Н0)=0.4*0.5*0.5=0.1 – все монеты выпали «решкой»
Р(Н1)=0.6*0.5*0.5 + 0.4*0.5*0.5 + 0.4*0.5*0.5=0.35 – либо первая выпала решкой
(остальные - гербами), либо вторая (остальные - гербами), либо третья (остальные гербами).
Р(Н2)=0.6*0.5*0.5 + 0.4*0.5*0.5 + 0.6*0.5*0.5=0.4 – либо первая и вторая выпали решкой
(третья - гербом), либо вторая и третья (первая - гербом), либо первая и третья (вторая гербом).
Р(Н3)=0.6*0.5*0.5=0.15 – все выпали гербом
Так как значение функции распределения – это сумма вероятностей появления величин,
умноженных на отрезок, на котором достигается величина (все такие отрезки у нас равны
1, т.к. у нас вероятности посчитаны для величин Х, которые отличаются на единицу), то,
для х<0, F(x)=0,
для 0<=x<=1, F(x)= 0.1
для 1<x<=2, F(x)= 0.35+0.1=0.45
для 2<x<=3, F(x)= 0.4+0.45=0.85
для x>3, F(x)= 1
Окончательно:
x0
 0,
 0.1, 0  x  1

F ( x)  0.45, 1  x  2
0.85, 2  x  3

x3
 1,
Для математического ожидания и дисперсии воспользуемся следующими формулами:
M   xi p i и D   ( xi  M ) 2 p i
i
i
М=0*0.1+1*0.35+2*0.4+3*0.15=1.6
D=(0-1.6)20.1+(1-1.6)20.35+(2-1.6)20.4+(3-1.6)20.15=0,584
5. Найти вероятность события {2<x<2.5}, если случайная величина Х имеет функцию
x2
 0,

2
распределения: F ( x)  ( x  2) , 2  x  3
 1,
x3

По определению
Р{2<x<2.5}=F(2.5)-F(2)=(2.5-2)2-0=0.25
6. (см. выше - вариант 1)
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету
1. Множество и его элементы. Подмножества.
2. Матрицы и операции над ними.
3. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.
Обратная матрица. Ранг матрицы.
4. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса,
Крамера, матричный метод.
5. Функции. Числовые функции. Последовательности. Предел последова-тельности.
Предел функции. Теоремы о пределах. Односторонние пределы.
6. Элементарные функции. Показательные, логарифмические, тригонометри-ческие
функции.
7. Производная. Понятие производной.
8. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
9. Исследование функции с помощью производной.
10. Интеграл. Неопределенный интеграл и его свойства. Первообразная.
11. Определенный интеграл.
12. Приложения определенных интегралов.
13. Случайные события. Различные определения вероятности события.
14. Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса.
15. Случайные величины и функции распределения.
16. Нормальное распределение (распределение Гаусса).
17. Основные понятия математической статистики (варианты, частоты, понятие
среднего, дисперсия, квадратичное отклонение).
1.12 Комплект экзаменационных билетов:
Экзамен по дисциплине не предусмотрен учебным планом
1.13 Примерная тематика рефератов.
Не предусмотрено учебным планом.
1.14 Примерная тематика курсовых работ:
Не предусмотрено учебным планом.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ:
Не предусмотрено учебным планом.
1.16 Методика исследования – изучение студентами рекомендуемой литературы и
консультации с преподавателем.
1.17 Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания
знаний студентов по данной дисциплине: “зачтено”, “не зачтено”
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные
задания для студентов заочной формы обучения.
Данная дисциплина не предусмотрена для заочной формы обучения.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала
Лекция №1
Основные определения.
Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов,
называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются
элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и
столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где iномер строки, а j- номер столбца.
 a11

a
А =  21
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m3
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a mn 
Основные действия над матрицами.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще
говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица
называется квадратной.
Определение. Матрица вида:
1

0
 ...

0

0 ... 0 

1 ... 0 
= E,
... ... ...

0 ... 1 
называется единичной матрицей.
Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.
Пример.
 2 1 5


 1 3 6  - симметрическая матрица
 5 6 4


Определение.
Квадратная
матрица
вида
 a11

 0
 ...

 0

0 

0 
... 0 

... a nn 
0 ...
a 22 ...
...
0
называется
диагональной матрицей.
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их
элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены
только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции
сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой
являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
cij = aij  bij
С = А + В = В + А.
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A  
...
...
...
... 


 a

 m1 a m 2 ... a mn 
 (А+В) =А  В
А() = А  А
Операция умножения матриц.
Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут
быть вычислены по следующим формулам:
AB = C;
n
сij   aik  bkj .
k 1
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена
только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Свойства операции умножения матриц.
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба
произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то
такие матрицы называются перестановочными.
Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является
перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
АЕ = ЕА = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
AO = O; OA = O,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения
АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если
имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:
(AB) = (A)B = A(B).
5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и
выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.
Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.
Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от
А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же
порядке в столбцы матрицы В.
 а11 a12 ... a1n 
 a11 a 21 ... a m1 




a
a
...
a
 a 21 a 22 ... a 2 n 


12
22
m
2
А= 
;
В = АТ= 
;

...
... ... ...
... ... ... ... 




a

a

 m1 a m 2 ... a mn 
 1n a 2 n ... a mn 
другими словами, bji = aij.
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T = CTBTAT,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
Определители.( детерминанты).
 а11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
Определение. Определителем квадратной матрицы А= 
... ... ... ... 


a

 n1 a n 2 ... a nn 
называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
n
det A =
 (1)
k 1
k 1
a1k M 1k ,
где
М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го
столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные
матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке,
также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
n
det A =
 (1)
k 1
k 1
a k1 M k1
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу
матрицы, т.е. справедлива формула:
n
detA =
 (1)
k i
k 1
aik M ik ,
i = 1,2,…,n.
Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором
элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы
имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в
квадратных матрицах.
Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной
матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой
строки и j-го столбца.
Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:
det A = det AT;
Свойство 2.
det (AB) = detAdetB
Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки
(или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной
величине.
Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель
умножается на это число.
Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их
линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.
Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее
определитель равен нулю.
Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее
определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно
именно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его
строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какоелибо число, не равное нулю.
Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно
соотношение: d = d1  d2 , e = e1  e2 , f = f1  f2 , то верно:
a b c
a b c
a b c
d
k
e f  d1
l m
k
e1
l
f1  d 2
m
k
e2
l
f2
m
Лекция №2
Элементарные преобразования матрицы.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие
преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование;
Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.
С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу
прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).
Миноры.
Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим
определение минора матрицы.
Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько
же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на
пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк
и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.
Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к
прямоугольным.
Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы,
то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.
Алгебраические дополнения.
Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его
дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и
номеров столбцов минора матрицы.
В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный
минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число
четное и с противоположным знаком, если нечетное.
Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то
определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в
выбранных строках на их алгебраические дополнения.
Обратная матрица.
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка,
удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х
называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную
матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
n
AX = E   aik  x kj  eij , i=(1,n), j=(1,n),
k 1
eij = 0,
i  j,
eij = 1,
i=j.
Таким образом, получаем систему уравнений:
a11 x1 j  a12 x 2 j ... a1n x nj  0

................................................

a j1 x1 j  a j 2 x 2 j ... a jn x nj  1 ,

................................................
a n1 x1 j  a n2 x 2 j ... a nn x nj  0

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших
порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
xij 
1i  j M ji
det A
,
где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.
Cвойства обратных матриц.
Укажем следующие свойства обратных матриц:
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (A-1)T.
В открывшемся окне программы введите элементы матрицы по строкам и
нажмите Enter.
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была
установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
Release 4.
Лекция №3
Базисный минор матрицы.
Ранг матрицы.
Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель
матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких
- либо выбранных s строк и s столбцов.
Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если
он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе,
т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются
базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих
одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и
обозначается Rg А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они
не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования,
называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно
различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу
линейно независимых строк.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно
упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу,
эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует
начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном
примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы
равен порядку этого минора.
Теорема о базисном миноре.
Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной
комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно
независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов –
линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное
утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений
равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
 a11 a12 ... a1n 
 b1 


 
 a 21 a 22 ... a 2 n 
b 
Составим матрицы: A = 
;
B =  2 ;

... ... ... ...
...


 
a

b 
 n1 a n 2 ... a nn 
 n
 x1 
 
x 
X=  2.
...
 
x 
 n
Систему уравнений можно записать:
AX = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,
т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В
Х = А-1В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может
быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность
вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка,
метод может быть легко реализован на ЭВМ.
Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где
число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести
ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно
независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A  0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных,
то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какоелибо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку.
Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение
и это решение находится по формулам:
xi = i/, где
 = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца
i столбцом свободных членов bi.
i =
a11...a1i 1
a 21...a 2i i
b1
b2
a1i 1 ...a1n
a 2i 1 ...a 2 n
...
a n1 ...a ni1
...
bn
...
a ni1 ...a nn
a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1

a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
 a11 a12

A =  a 21 a 22
a
 31 a32
a13 
b1

a 23  ; 1= b2
a33 
b3
a12
a13
a 22
a32
a 23 ; 2= a 21 b2
a33
a31 b3
x1 = 1/detA;
a11
b1
x2 = 2/detA;
a13
a11
a12
b1
a 23 ; 3= a 21
a33
a31
a 22
a32
b2 ;
b3
x3 = 3/detA;
Решение произвольных систем линейных уравнений.
Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только
к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу
уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается
следующим образом:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
,

...............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые
при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно
решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений матрица
 a11

a
А =  21
...

a
 m1
 a11

a
*  21
А=
...

a
 m1
...
am2
... a1n 

... a 2 n 
называется матрицей системы, а матрица
... ... 

... a mn 
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
am2
... ...
... a mn
a12
a 22
b1 

b2 
называется расширенной матрицей системы
... 

bm 
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная
система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
Элементарные преобразования систем.
К элементарным преобразованиям относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на
одно и то же число, не равное нулю.
2)Перестановка уравнений местами.
3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Теорема Кронекера – Капелли.
(условие совместности системы)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда,
когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
 a12 
 a1n   b1 
 a11 



  


a 21 
 a 22 
 a 2 n   b2 

x1 
+ x2 
+ … + xn 

... 
...   ... 
... 



  


a 
 a  b 
a 
 m2 
 mn   m 
 m1 
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация
столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не
изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор.
Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна
запись, приведенная выше.
Метод Гаусса.
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть
применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и
неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Разделим обе части 1–го уравнения на a11  0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения
и т.д.
Получим:
 x1  d12 x 2  ...  d1n x n  d1
d x  d x  ...  d x  d
 22 2
23 3
2n n
2
, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

..............................................
d m 2 x 2  d m3  ...  d mn x n  d m
dij = aij – ai1d1j
i = 2, 3, … , n;
j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для
третьего и т.д.
Лекция №4
Элементы математической логики.
Математическая логика – разновидность формаьной логики, т.е. науки, которая
изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно
применить понятия истинно или ложно.
В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется
только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.
Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие
множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя
простые высказывания союзами “и”, “или”.
Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого
математического аппарата.
Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями
1) Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое
истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.
Обозначается  Р или P .
Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем
случае эта таблица имеет вид:
P
И
Л
Р
Л
И
2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание,
истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Обозначается P&Q или РQ.
P
Q
И
И
И
Л
P&
Q
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание,
ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Обозначается PQ.
Q
И
Л
И
Л
P
И
И
Л
Л
PQ
И
И
И
Л
4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание,
истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.
Обозначается PQ (или РQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а
высказывание Q – следствием.
Q
И
Л
И
Л
P
И
И
Л
Л
PQ
И
Л
И
И
5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется
высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.
Обозначается РQ или РQ.
Q
И
Л
И
Л
P
И
И
Л
Л
PQ
И
Л
Л
И
С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности
сложных формул.
Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными
формулы  и .
  p  ( p  r)
  p  (p  r)
Составим таблицы истинности для каждой формулы:
p
И
И
r
И
Л
p
Л
Л
(pr)
И
Л
p  ( p  r)
И
И
Л
Л
p
И
И
Л
Л
И
Л
И
И
p
Л
Л
И
И
r
И
Л
И
Л
Л
Л
Л
Л
(p  r)
Л
И
И
И
r
Л
И
Л
И
p  (p  r)
И
И
И
И
Данные формулы не являются эквивалентными.
Составим таблицы истинности для заданных формул.
p
И
И
И
И
Л
Л
Л
Л
p
И
И
И
И
Л
Л
Л
Л
q
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
r
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
q
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
pq
И
И
Л
Л
И
И
И
И
r
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
qp
И
И
И
И
Л
Л
И
И
pq
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
(pq)r
И
И
И
Л
И
Л
И
И
(pq)(qp)
И
И
И
И
И
И
И
И
(pq)(qp)r
И
И
И
И
И
И
И
И
Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.
Основные равносильности.
Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:
A & B  B & A;
A & A  A;
A & (B & C)  (A & B) & C;
A  B  B  A;
A  A  A;
A  (B  C)  (A  B)  C;
A  (B & C)  (A  B) & (A  C);
A & (B  C)  (A & B)  (A & C);
A & (A  B)  A; A  (A & B)  A; A  A; (A & B)  A  B;
A  (A & B)  (A & B);
A  (A  B) & (A  B);
Булевы функции.
Определение. Булевой функцией
f(X1, X2, …, Xn) называется называется
произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству
{0, 1}.
Вообще говоря между логическими высказываниями, логическими связками и
булевыми функциями просматривается явная аналогия. Если логические функции могут
принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений
будут значения 0 или 1.
Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим
основным логическим операциям.
X1
1
1
0
0
X2
1
0
1
0
X1
0
0
1
1
X1&X2
1
0
0
0
X1X2
1
1
1
0
X1X2
1
0
1
1
X1X2
1
0
0
1
Исчисление предикатов.
Определение. Предикатом P(x1, x2, …, xn) называется функция, переменные которой
принимают значения из некоторого множества М, а сама функция принимает два значения:
И (истина) и Л (ложь), т.е.
P( x1 , x 2 ,..., x n ) : M n  {И , Л }
Предикат от п аргументов называется п – местным предикатом. Высказывания
считаются нуль – местными предикатами.
Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате
которых получаются новые предикаты.
Кроме обычных логических операций к предикатам применяются также специальные
операции, называемые кванторами.
Кванторы бывают двух видов:
1) Квантор общности. Обозначается (х)Р(х). Квантором общности называется
высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и
ложное – в противном случае.
2) Квантор существования. Обозначается (х)Р(х). Квантором существования
называется высказывание, истинное, когда существует элемент из множества М, для
которого Р(х) истинно, и ложное в противном случае.
Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего
числа переменных.
Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил
равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие
свойства:
1) Перенос квантора через отрицание.
(x)A(x)  (x)A(x);
(x)A(x)  (x)A(x);
2) Вынесение квантора за скобки.
(х)(А(х) & B)  (x)A(x) & B;
(x)(A(x) & B)  (x)A(x) & B;
(х)(А(х)  B)  (x)A(x)  B;
(x)(A(x)  B)  (x)A(x)  B;
3) Перестановка одноименных кванторов.
(y)(x)A(x,y)  (x)(y)A(x,y);
(y)(x)A(x,y)  (x)(y)A(x,y);
4) Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную
формулы А другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области
действия квантора получаем формулу, равносильную А.
Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах,
называемых аксиомами.
Какими бы ни были формулы А и В для них справедливы следующие аксиомы:
1) A  (B  A);
2) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C));
3) (B  A)  ((B  A)  B);
4) (xi)A(xi)  A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi.
5) A(xi)  (xj)A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi.
Лекция №5
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел
отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
f ( x)  lim
x 0
f ( x  x)  f ( x)
x
у
f(x)
f(x0 +x)
P
f
f(x0)

M

0
x0
x
x0 + x
x
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда tg 
f
 тангенс угла
x
наклона секущей МР к графику функции.
f
 f ( x0 )  tg ,
x 0 x
lim tg  lim
x 0
где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными,
проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой: y  y0  f ( x0 )( x  x0 )
Уравнение нормали к кривой: y  y 0  
1
( x  x0 ) .
f ( x0 )
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции,
как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения
(изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е.
ускорение.
Односторонние производные функции в точке.
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется
f
правое (левое) значение предела отношения
при условии, что это отношение существует.
x
f
 x  0  x
f  ( x 0 )  lim
f
x  0  x
f  ( x 0 )  lim
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х 0, то она имеет в этой
точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых
функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в
точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна
в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x)
имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u  v) = u  v
2) (uv) = uv + uv

 u  u v  v u
3)   
, если v  0
v2
v
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.

9) sin x   cos x

10) cos x    sin x
1

11) tgx  
cos 2 x
1)С = 0;
2)(xm) = mxm-1;

1
3) x 
2 x

1
1
4)     2
x
 x

5) e x  e x
 

12) ctgx   
 
   a
6) a x
x
13)
ln a
 1
7) ln x  
x

8) log a x  
14)
15)
1
x ln a
16)
1
sin 2 x
arcsin x   1 2
1 x
arccos x    1 2
1 x
arctgx  1 2
1 x
arcctgx   1 2
1 x
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в
область определения функции f.
Тогда
y   f (u )  u 
Доказательство.
y y u


x u x
y
y
u
lim
 lim
 lim
x 0 x
u 0 u x  0 x
( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда
dy dy du


dx du dx
Теорема доказана.
Логарифмическое дифференцирование.
ln x, при x  0
Рассмотрим функцию y  ln x  
.
ln(  x), при x  0
1
( x) 1
 1
 .
Тогда (lnx)= , т.к. ln x   ; (ln(  x)) 
х
x
x
x
 f ( x)
Учитывая полученный результат, можно записать ln f ( x)  
.
f ( x)
f ( x )
Отношение
называется логарифмической производной функции f(x).
f ( x)
Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят
логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле
f ( x)  (ln f ( x) )  f ( x)
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения
производных сложных, особенно показательных и показательно-степенных функций, для
которых непосредственное вычисление производной с использованием правил
дифференцирования представляется трудоемким.
Производная показательно- степенной функции.
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в
показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и
основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет
показательно – степенной.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu
y
u
 v  ln u  v
y
u
 u

y   u v  v  v  ln u 
 u

u   vu
v
u   u v v ln u
v 1
Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей
функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
т.к. g(y)  0
1  g ( y ) y 
1
y 
g ( y )
dy
1

dx dx
dy
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может
быть найдена следующим образом:
y  tgx;
x  arctgy;
1
;
cos 2 x
По приведенной выше формуле получаем:
1
y 
;
d (arctgy) / dx
Известно, что y   (tgx) 
d (arctgy)
1

dy
1 / cos 2 x
1
 1  tg 2 x  1  y 2 ; то можно записать окончательную формулу для производной
2
cos x
арктангенса:
1
(arctgy) 
;
1 y2
Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и
других обратных функций, приведенных в таблице производных.
Т.к.
Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
y
lim
 f ( x)
x 0 x
y
 f (x )   , где 0, при х0.
Тогда можно записать:
x
Следовательно: y  f ( x)  x    x .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная
часть приращения у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная
часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или
dy = f(x)dx.
Можно также записать: f ( x) 
dy
dx
Геометрический смысл дифференциала.
y
f(x)
K
dy
y
M
L

x
x + x
x
Из треугольника MKL: KL = dy = tgx = yx
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты
касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно
из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv
2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
 u  vdu  udv
4) d   
v2
v
Дифференциал сложной функции.
Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция.
dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.
Тогда
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х
независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта
форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Однако, если х - независимая переменная, то
dx = x, но
если х зависит от t, то
х  dx.
Таким образом, форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.
Интегральное исчисление.
Первообразная функция.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на
отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть
бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
Лекция №6
Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность
первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают:
 f ( x)dx  F ( x)  C;
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является
непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:
 f ( x)dx  ( F ( x)  C )  f ( x);
2. d  f ( x)dx   f ( x)dx;
1.
3.  dF ( x)  F ( x)  C ;
4.  (u  v  w)dx   udx   vdx   wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.
1.
 C  f ( x)dx  C   f ( x)dx;
Пример:  ( x 2  2 sin x  1)dx   x 2 dx  2 sin xdx   dx 
1 3
x  2 cos x  x  C ;
3
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с
нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная
задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для
основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических,
показательных и др.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных
функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма
объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации
функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями
друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой
можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
Интеграл
Значение
Интеграл
Значение
1
 tgxdx
2
 ctgxdx
3
a
4
a
2
x
2
5
6
x
9
e
lnsinx+ C
10
 cos xdx
sinx + C
ax
C
ln a
11
 sin xdx
-cosx + C
dx
 x2
1
x
arctg  C
a
a
12
 cos
dx
 a2
1
xa
ln
C
2a x  a
13
ln x  x 2  a 2  C
14
x  1
 C ,   1
 1
15
 cos x dx
16
 sin x dx
dx
dx

x2  a2
7
x
8


dx
x
dx
-lncosx+C
ln x  C
x
ex + C
dx
1
2
x
1
 sin

2
x
dx
tgx + C
dx
-ctgx + C
dx
a2  x2
1
1
arcsin
x
+C
a
 x 
ln tg    C
2 4
ln tg
x
C
2
Методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном
значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения
дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным
инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла

dx
. На основе известной формулы
x
 1
дифференцирования ln x   можно сделать вывод, что искомый интеграл равен ln x  C ,
x
1
1

где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны ln(  x)     (1)  .
x
x
Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

dx
 ln x  C
x
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной
использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец
определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при
нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами,
которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении
первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и
первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для
некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу
найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы,
описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл
 f ( x)dx , но сложно отыскать
первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
 f ( x)dx   f ((t ))(t )dt
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
d  f ( x)dx  d
 f [(t )](t )dt 
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[(t)] (t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема
доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл

sin x cos xdx .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

t dt   t 1 / 2 dt 
Пример.
2 3/ 2
2
t  C  sin 3 / 2 x  C.
3
3
 x( x
2
 1) 3 / 2 dx.
Замена t  x 2  1; dt  2 xdx; dx 
3/ 2
t
dt
; Получаем:
2x
dt 1 3 / 2
1 2
t 5/ 2
( x 2  1) 5 / 2
  t dt   t 5 / 2  C 
C 
 C;
2 2
2 5
5
5
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для
различных типов функций.
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv) = uv + vu
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем:
 d (uv)   udv   vdu , а в соответствии с приведенными выше
свойствами неопределенного интеграла:
uv   udv   vdu
или
 udv  uv   vdu ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы
многих элементарных функций.
Лекция №7
Элементы теории вероятностей.
В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат
каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно
исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или
цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей
массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.
Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное
событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на
три вида:
а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.
Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа
очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3
очков.
Алгебра событий.
Определение 1.1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что
произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно,
называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.
Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание
первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при
двух выстрелах.
Пример 2. Если при броске игральной кости событием Аi назвать выпадение i очков, то
выпадение нечетного числа очков является суммой событий А1+А2+А3.
Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что
множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных
событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество
исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов,
благоприятных событиям А или В (рис. 1).
А
В
А+В
Рис.1.
Определение 1.2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том,
что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий
называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.
Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих
стрелков.
Пример 4. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти,
а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из
колоды дамы пик.
Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению
произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам,
благоприятным А и В.
А
В
Рис.2.
АВ
Определение 1.3. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А
произошло, а В – нет.
Пример 5. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахе
второго.
Пример 6. В примере 4 А\В – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме
дамы. Наоборот, В \А – извлечение дамы любой масти, кроме пик.
А
В
А-В
Рис.3.
Введем еще несколько категорий событий.
Определение 1.4. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в
результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти
одновременно) события называются несовместными.
Примеры: совместными событиями являются попадания двух стрелков в примере 1 и
появление карты пиковой масти и дамы в примере 4; несовместными – события А1 – А6 в
примере 2.
Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных
несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.
Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является
невозможным событием.
Определение 1.5. Говорят, что события А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если в
результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.
Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны,
то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют
элементарными событиями.
Пример. В примере 2 события А1 – А6 (выпадение одного, двух,…, шести очков при одном
броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.
Определение 1.6. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что
одно из них является более возможным, чем другое.
Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой
карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броске монеты
и т.п.
Классическое определение вероятности.
При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать
возможность их появления в результате опыта. Например, при последовательном извлечении
из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем
появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование
гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому с каждым таким
событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем
более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым
основным понятием теории вероятностей.
Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является
аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем
будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы
вычисления этой величины.
Определение 1.7. Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,
а) попарно несовместны;
б) равновозможны;
в) образуют полную группу,
то говорят, что имеет место схема случаев.
Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их
число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие А
(число благоприятных исходов).
Определение 1.8. Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта,
благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:
т
р ( А) 
(1.1)
п
- классическое определение вероятности.
Свойства вероятности.
Из определения 1.8 вытекают следующие свойства вероятности:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все
исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,
Р(А) = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное
между нулем и единицей.
Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при
всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.
Пример. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти
вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать элементарными событиями, или исходами опыта, извлечение из
урны каждого из имеющихся в ней шаров. Очевидно, что эти события удовлетворяют всем
условиям, позволяющим считать их схемой случаев. Следовательно, число возможных
исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появлению белого шара) – 6
(таково количество белых шаров в урне). Значит,
т 6
р ( А)  
 0,6.
п 10
Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач, где
все возможные исходы опыта можно свести к схеме случаев. В большинстве реальных задач
эта схема неприменима. В таких ситуациях требуется определять вероятность собы-тия
иным образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты W(A) события A
как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству
проведенных испытаний:
M
W ( A) 
,
(1.2)
N
где N – общее число опытов, М – число появлений события А.
Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковых
условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало,
колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью
рассматриваемого события.
Определение 1.9. Статистической вероятностью события считают его относительную
частоту или число, близкое к ней.
Замечание 1. Из формулы (1.2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ее
классического определения, справедливы и для статистического определения вероят-ности.
Замечание 2. Для существования статистической вероятности события А требуется:
1) возможность производить неограниченное число испытаний;
2) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно
большого числа опытов.
Замечание 3. Недостатком статистического определения является неоднозначность
статистической вероятности.
Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка
(скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого
количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесяти раз
из каждой сотни выстрелов.
Основные формулы комбинаторики.
При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы
комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по
определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим
основные такие комбинации.
Определение 1.10. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов
данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех
возможных перестановок
Рп = п!
(1.3)
Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить
из 7 различных фамилий?
Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.
Определение 1.11. Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п
различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число
всех возможных размещений
Апт  п(п  1)( п  2)...( п  т  1).
(1.4)
Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье
места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?
Решение. А103  10  9  8  720.
Определение 1.12. Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества,
содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом
элементов). Число сочетаний
п!
(1.5)
С пт 
.
т!(п  т)!
Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал
выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?
Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов,
следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:
10! 8  9  10
С103 

 120.
3!7!
6
Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно
неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно
воспользоваться понятием геометрической вероятности.
Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на
отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом
вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой
части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошен-ная
точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:
l
p ,
(2.1)
L
где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.
Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и
вероятности того, что она попадет на часть этой области s:
s
p ,
(2.1`)
S
где s – площадь части области, а S – площадь всей области.
В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле
V, попадет в его часть v, задается формулой:
v
p ,
(2.1``)
V
где v – объем части тела, а V – объем всего тела.
Пример 1. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в
правильный шестиугольник, вписанный в него.
Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При
3 3 2
R . Следовательно,
этом площадь круга S  R 2 , а площадь шестиугольника s 
2
3 3 2
R
S s
 3 3
2
p


 0,174.
2
S
2
R
Пример 2. На отрезок АВ случайным образом брошены три точки: С, D и М. Найти
вероятность того, что из отрезков АС, АD и АМ можно построить треугольник.
Решение. Обозначим длины отрезков АС, АD и АМ через x, y и z и рассмотрим в качестве
возможных исходов множество точек трехмерного пространства с координатами (х, у, z).
Если принять длину отрезка равной 1, то эти множество возможных исходов представляет
собой куб с ребром, равным 1. Тогда множество благоприятных исходов состоит из точек,
для координат которых выполнены неравенства треугольника: x + y > z, x + z > y,
y+
z > x. Это часть куба, отрезанная от него плоскостями x + y = z, x + z = y, y + z = x
R 2 
х
Рис.1.
(одна из них, плоскость x + y = z, проведена на рис.1). Каждая такая плоскость отделяет от
1 1
1
куба пирамиду, объем которой равен   1  . Следовательно, объем оставшейся части
3 2
6
1 1
v 1
1
v  1  3   . Тогда p   : 1  .
6 2
V 2
2
Теорема сложения вероятностей.
Теорема 2.1 (теорема сложения). Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна
Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).
(2.2)
Доказательство.
Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта,
тА – число исходов, благоприятных событию А, тВ – число исходов, благопри-ятных
событию В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть
исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место
событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как
исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы
можно определить по формуле (1.1):
т  тВ  т АВ т А тВ т АВ
р ( А  В)  А



 р( А)  р( В)  р( АВ),
п
п
п
п
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий.
Например, для суммы трех событий А, В и С
Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)
(2.3)
и т.д.
Следствие 2. Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятность
суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А + В) = р(А) + р(В).
(2.4)
Определение 2.1. Противоположными событиями называют два несовместных события,
образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать А .
Замечание. Таким образом, А заключается в том, что событие А не произошло.
Теорема 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
р(А) + р( А ) = 1.
(2.5)
Доказательство.
Так как А и А образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате
опыта, то есть событие А + А является достоверным. Следовательно,
Р( А + А ) = 1. Но, так как А и А несовместны, из (2.4) следует, что Р(А + А ) = р(А) + р( А ).
Значит, р(А) + р( А ) = 1, что и требовалось доказать.
Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность
события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).
Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлека-ются
5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.
Решение. Событие А , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто
5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только
черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле (1.5):
8!
67 8
п  С85 

 56,
5!3!
6
а множество исходов, благоприятных событию А - это число возможных наборов по 5
шаров только из шести черных:
т А  С65  6.
Тогда р ( А ) 
6
3
3 25

, а р ( А)  1 
 .
56 28
28 28
Теорема умножения вероятностей.
Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятность события
В при условии, что событие А произошло.
Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда
осуществление события А изменяет вероятность события В.
Примеры:
1) пусть событие А – извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие В – то, что и
вторая вынутая из колоды карта окажется тузом. Тогда, если после первого раза карта
была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется:
4 1
р ( В)  р ( А) 
  0,125. Если же первая карта в колоду не возвращается, то
32 8
осуществление события А приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из
3
 0,097.
которых только 3 туза. Поэтому р ( В / А) 
31
2) если событие А – попадание в самолет противника при первом выстреле из орудия, а
В – при втором, то первое попадание уменьшает маневренность самолета, поэтому
р(В/А) увеличится по сравнению с р(А).
Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что
первое событие произошло:
р (АВ) = р (А) · р (В/А).
(2.6)
Доказательство.
Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством
возможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а множеством благоприятных
исходов – те, при которых произошли и А, и В ( тАВ ). Следовательно,
р( В / А) 
т АВ т АВ п


 р( АВ) : р( А), откуда следует утверждение теоремы.
тА
п тА
Пример. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого
попадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания
увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя
выстрелами.
Решение. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, а событие В – попадание при
втором. Тогда р (А) = 0,2, р (В/А) = 0,4, р (АВ) = 0,2·0,4 = 0,08.
Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с
событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно,
р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В).
(2.7)
Определение 2.3. Событие В называется независимым от события А, если появление
события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).
Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7)
следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство
независимости событий взаимно.
Теорема умножения для независимых событий имеет вид:
р (АВ) = р (А) · р (В) ,
(2.8)
то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.
При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.
Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при
одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятности следующих событий:
А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах;
В – ровно одно попадание при двух выстрелах;
С – два попадания;
D – ни одного попадания.
Решение. Пусть событие Н1 – попадание первого стрелка, Н2 – попадание второго. Тогда
А = Н1 + Н2, В =Н1  Н 2  Н1  Н 2 , С  Н 1  Н 2 , D  H 1  H 2 . События Н1 и Н2 совместны и
независимы, поэтому теорема сложения применяется в общем виде, а теорема умножения – в
виде (2.8). Следовательно, р(С) = 0,6·0,7 = 0,42,
р(А) = 0,6 + 0,7 – 0,42 = 0,88,
р(B) = 0,6·0,3 + 0,7·0,4 = 0,46 (так как события Н 1  Н 2 и Н 1  Н 2 несовместны),
р(D) = 0,4·0,3 = 0,12. Заметим, что события А и D являются противоположными, поэтому
р(А) = 1 – р(D).
Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема 2.4. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий
А1, А2,…, Ап равна
р (А) = 1 – q1q2…qn ,
(2.9)
где qi – вероятность события Аi , противоположного событию Аi .
Доказательство.
Если событие А заключается в появлении хотя бы одного события из А1, А2,…, Ап, то события
А и А1 А2 ... Ап противоположны, поэтому по теореме 2.2 сумма их вероятностей равна 1.
Кроме того, поскольку А1, А2,…, Ап независимы, то независимы и А1 , А2 ,..., Ап ,
следовательно, р( А1 А2 ... Ап ) = р ( А1 ) р( А2 )... р ( Ап )  q1 q 2 ...q n . Отсюда следует справедливость
формулы (2.9).
Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9
выпал хотя бы один герб?
Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противоположного события (выпадения цифры) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения хотя бы
одного герба при п выстрелах равна 1- (0,5)п . Тогда из решения неравенства 1- (0,5)п > 0,9
следует, что п > log210 ≥ 4.
Лекция №8
Элементы математической статистики
Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым
подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных,
полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики
являются:
- определение способов сбора и группировки этих статистических данных;
- разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к
которым относятся:
а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения;
оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других
случайных величин и т.д.;
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях
параметров известного распределения.
Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов
ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз
относительно исследуемого признака этих объектов.
Определим основные понятия математической статистики.
Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.
Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.
Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой
совокупности.
Виды выборки:
Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в
генеральную совокупность;
Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Замечание. Для того, чтобы по исследованию выборки можно было сделать выводы о поведении интересующего нас признака генеральной совокупности, нужно, чтобы выборка правиль-но
представляла пропорции генеральной совокупности, то есть была репрезентативной
(представительной). Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что это условие
выполняется, если каждый объект выбран случайно, причем для любого объекта вероятность
попасть в выборку одинакова.
Первичная обработка результатов.
Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х1 п1 раз, х2 – п2
раз, …, хк – пк раз, причем
k
n
i 1
k
 n, где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения
случайной величины х1, х2,…, хк называют вариантами, а п1, п2,…, пк – частотами. Если
ni
.
n
Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным
рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом:
xi
x1
x2
…
xk
ni
n1
n2
…
nk
wi
w1
w2
…
wk
разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты wi 
Пример.
При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков
оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5.
Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:
xi
0
1
2
3
4
5
ni
3
6
5
3
2
1
wi
0,15
0,3
0,25
0,15
0,1
0,05
Если исследуется некоторый непрерывный признак, то вариационный ряд может состоять из
очень большого количества чисел. В этом случае удобнее использовать группированную
выборку. Для ее получения интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения
признака, разбивают на несколько равных частичных интервалов длиной h, а затем находят для
каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.
Составленная по этим результатам таблица называется группированным статистическим
рядом:
Номера
1
2
…
k
интервалов
Границы
(a, a + h)
(a + h, a + 2h)
…
(b – h, b)
интервалов
Сумма частот
вариант, попавn1
n2
…
nk
ших в интервал
Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.
Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно
строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой
соединяют точки с координатами (x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xi откладываются на оси абсцисс,
а ni – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относительные (wi)
частоты, то получим полигон относительных частот (рис.1).
Рис. 1.
По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую
функцию, относительную частоту события X < x.
Определение 15.1. Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию
F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события
X < x. Таким
образом,
n
(15.1)
F * ( x)  x ,
n
где пх – число вариант, меньших х, п – объем выборки.
Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем,
функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией
распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную
частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по
вероятности к F(x).
Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со
свойствами F(x), а именно:
1) 0 ≤ F*(x) ≤ 1.
2) F*(x) – неубывающая функция.
3) Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х1; если хк – наибольшая варианта, то
F*(x) = 1 при х > хк .
Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть
ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные
интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной ni /h (гистограмма частот) или wi /h
(гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему
выборки, во втором – единице (рис.2).
Рис.2.
Одна из задач математической статистики: по имеющейся выборке оценить значения
числовых характеристик исследуемой случайной величины.
Определение 16.1. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений
случайной величины, принимаемых в выборке:
k
ni x i
х1  х 2  ...  х п n1 x1  n2 x 2  ...  nk x k 
i 1
,
(16.1)
хВ 


п
n
n
где xi – варианты, ni - частоты.
Замечание. Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой
случайной величины. В дальнейшем будет рассмотрен вопрос, насколько точной является такая
оценка.
Определение 16.2. Выборочной дисперсией называется
n
DB 
 ( xi  x B ) 2
i 1
k

 n (x
i 1
i
i
 xB ) 2
,
(16.2)
n
n
а выборочным средним квадратическим отклонением –
(16.3)
 В  DB .
Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая формула
для вычисления выборочной дисперсии:
(16.4)
D  x 2  (x ) 2 .
Пример 1. Найдем числовые характеристики выборки, заданной статистическим рядом
xi
2
5
7
8
ni
3
8
7
2
23  58  7 7  8 2
4  3  25  8  49  7  64  2
 5,55; DB 
 5,55 2  3,3475;  B  3,3475  1,83.
20
20
Другими характеристиками вариационного ряда являются:
- мода М0 – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыдущем примере М0 = 5 ).
- медиана те - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу
вариант. Если число вариант нечетно ( n = 2k + 1 ), то me = xk+1, а при четном n =2k
x  xk 1
57
 6.
. В частности, в примере 1 me 
те  k
2
2
Оценки начальных и центральных моментов (так называемые эмпирические моменты)
определяются аналогично соответствующим теоретическим моментам:
- начальным эмпирическим моментом порядка k называется
 ni xik .
(16.5)
Mk 
n
 ni xi  x , то есть начальный эмпирический момент первого порядка равен
В частности, M 1 
B
n
выборочному среднему.
- центральным эмпирическим моментом порядка k называется
ni ( xi  х В ) k

.
(16.6)
тk 
n
 ni ( xi  хВ ) 2  D , то есть центральный эмпирический момент второго
В частности, т2 
B
n
порядка равен выборочной дисперсии.
хВ 
Статистическое описание и вычисление характеристик
двумерного случайного вектора.
При статистическом исследовании двумерных случайных величин основной задачей является
обычно выявление связи между составляющими.
Двумерная выборка представляет собой набор значений случайного вектора: (х1, у1), (х2, у2), …,
 xi , y   y i
(хп, уп). Для нее можно определить выборочные средние составляющих: x B 
B
n
n
и соответствующие выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения. Кроме того,
можно вычислить условные средние: у х - среднее арифметическое наблюдав-шихся значений
Y, соответствующих Х = х, и х у - среднее значение наблюдавшихся значений Х,
соответствующих Y = y.
Если существует зависимость между составляющими двумерной случайной величины, она
может иметь разный вид: функциональная зависимость, если каждому возможному значению Х
соответствует одно значение Y, и статистическая, при которой изменение одной величины
приводит к изменению распределения другой. Если при этом в результате изменения одной
величины меняется среднее значение другой, то статистическую зависимость между ними
называют корреляционной.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий)
(страницы указаны в кн. Л.Д.Кудрявцева
"Курс математического анализа" . Все тома есть в электронной библиотеке факультета )
Часть 1
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 1
688 стр. М.: "Высшая школа", 1981
Абеля неравенство 582
- преобразование 582
- признак 585
- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624
Архимеда свойство действительных чисел 43
Архимеда спираль 511
Асимптота 236, 243
Асимптотическое равенство 146, 397
- разложение 661—664
Асимптотический ряд 657
Астроида 286, 501, 511
Безу теорема 400
Базис стандартный пространства 317
Бернулли неравенство 74
Биективное отображение (биекция) 10
Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297
Бонне теорема 481
Валлиса формула 478
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609
- теорема 121, 332
Вектор-функция 248, 320, 481, 653
Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90
Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83
Винтовая линия 272
Гамильтона символ (набла) 365
Гёльдера неравенство 465, 565
Гейне—Бореля лемма 314
Градиент функции 362, 364
Граница множества 306
График функции 8, 92, 239, 242, 321
Гульдина теорема 510
Даламбера признак 559, 578
Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446
- суммы 443, 444, 445
Двоичная запись чисел 81
Дедекинда принцип 19
- признак 591
Декарта лист 247
Десятичная дробь 77, 78
Десятичное приближение 77
Диаметр множества 340
Дини теорема 615
Дирихле признак 534, 583, 609
- функция 92, 326, 443
Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355, 362
Дифференциальный бином 426
Длина вектора 317
- кривой 268
Допустимое преобразование параметра 258
Дробь рациональная 95, 406, 410
Дуга кривой 263
Дю Буа Реймона признак 591
e (число) 62, 141, 159, 589
Евклида алгоритм 405
Евклидово пространство 317
Жордана теорема 309
Замена переменной 108, 121, 384, 474
Замыкание множества 302
Изоморфизм 30, 82, 677
Интеграл абсолютно сходящийся 530
- неопределенный 379
- несобственный 512
- определенный 440
Интегралы табличные 383
- эллиптические 437, 501
Интегральный признак к сходимости рядов 561
Интегрирование подстановкой 385
- по частям 387, 477
Интервал 34
- выпуклости вверх (вниз) 231
- сходимости ряда 634
Инъекция 9
Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85
- - о равномерной непрерывности 336, 340
Кардиоида 287, 497
Касательная 164, 265, 361
Колебание функции на множестве 340, 341
Компакт 309, 315
Компактности свойство 63
Композиция функций 11, 94
Контур 256
Координаты полярные 286
Корень из числа 23, 130, 392
- многочлена 399, 400
Коши—Адамара формула 629
- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606
- признак 560, 578
- теорема о среднем 199
- форма остаточного члена формулы Тейлора 213, 638
- Шварца неравенство 289, 319
Кратность корня 400
Кривая 255, 260, 263, 307
- гладкая 266
- кусочно-гладкая 266
- ориентированная 262
- параметрически заданная 259, 262
- плоская 256, 273
- спрямляемая 268
Кривизна кривой 278
Кривизны радиус 279
- центр 283
Круг сходимости степенного ряда 622
Лагранжа теорема 196
- форма остаточного члена в формуле Тейлора 213, 638
- формула 197, 200
Лейбница признак 567
- формула 186
Лемниската 511
Линейность интеграла 454
Логарифмическая спираль 502
Ломаная 267
Лопиталя правило 201, 202, 204
Мажоранта 526
Маклорена формула 212, 216
Максимальный элемент числового множества 36
Минимальный элемент числового множества 37
Минковского неравенство 465, 565
Многочлен(полином) 95, 131, 214
Множество замкнутое 302
- линейно связное 308
- неограниченное 35—37
- несчетное 84
- ограниченное 35—37
- открытое 299
- пустое 6
- счетное 83
Множества равномощные 82
Модуль действительного числа 29
- комплексного числа 390
- непрерывности 337
Морфизм 8
Набла (символ Гамильтона) 365
Наибольшее значение функции 91
Наименьшее значение функции 91
Неопределенности 201, 204, 219, 220
Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44
Неравенство треугольника 317
Нормаль главная 281
- к кривой 281
Носитель кривой 261
- точки кривой 261
Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517
Область 308, 309
- выпуклая 309
- замкнутая 309
- определения функции 8, 91
Образ 10
Общий делитель 403
- - наибольший 403
Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301
- - проколотая 96, 323
Окружность соприкасающаяся 287
Остаток ряда 547, 593
Остроградского метод 419
Отображение 8
- взаимно однозначное (инъекция) 9
- отрезка 255
Отрезок 5, 34
Пара 8
- упорядоченная 8
Пеано аксиомы 12
- форма остаточного члена формулы Тейлора 212
Первообразная 378, 474, 482
Период 645
Площадь (мера) открытого множества 485
- поверхности вращения 505
Подпоследовательность 58, 295
Покрытие множества 311
Поле 27
Поле действительных чисел 29, 31
- комплексных чисел 395
- упорядоченное 29
Полнота действительных чисел 31
Полуинтервал 34
Полукубическая парабола 234, 285
Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665
- бесконечно большая 53, 553
- - малая 67—68, 397
- кратная 665
- монотонная 61
- ограниченная 59, 297, 592
- стремящаяся к бесконечности 298, 666
- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595
- фундаментальная 65
Последовательности одного порядка 397
- эквивалентные 397
Предел вектор-функции 249
- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303
- функции 97—106, 249, 322, 323, 441
Представление кривой 257, 258, 260, 263
Признак сравнения 524, 555
- сходимости ряда, интегральный 561, 562
Принцип вложенных отрезков 43
Произведение множеств 8
- последовательностей 68
- ряда на число 548
Производная 157, 184, 186
- бесконечная 157
- вектор-функции 251
- логарифмическая 181
- обратной функции 173, 188
- параметрически заданной функции 189
- по направлению 363
- сложной функции 175, 188, 367
- функции, заданной неявно 180
- частная 341
- - смешанная 370
Промежуток 34
Прообраз 9, 10
Пространство n-мерное 289, 317
Равномерная непрерывность 334
Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634
Разбиение отрезка 267, 438
Расстояние 288, 289, 306
Расширенное множество действительных чисел 33
Римана интегральная сумма 439, 445
- теорема о перестановке членов ряда 580
Ролля теорема 194
Ряд 545
- гармонический 551, 587
- знакопеременный 567
- кратный 668, 672
- Лейбница 650
- степенной 621, 624
- суммируемый 590
- сходящийся 592, 666, 672
- - абсолютно 569, 592, 669
- - равномерно 602
- Тейлора 636, 637, 640, 655
- функциональный 591
Сечение 17
Символ всеобщности 13
- существования 13
Скалярное произведение векторов 317
Скорость вращения вектор-функции 276
Соответствие (отображение) 7, 8
Степень многочлена 399
- числа 23, 133
Стирлинга формула 651
Сужение функции 10
Сумма кривых 263
- (объединение) множеств 6
- последовательностей 67
Сумма ряда 546, 666
- - частичная 547, 592, 666
- - - прямоугольная 667
- - - сферическая 667
- - - треугольная 667
- рядов 549
Суперпозиция функций 11, 94
Сюръекция 9
Тейлора многочлен 212, 214
- ряд 636, 637, 640, 655
- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646
Точка 20
- возрастания (убывания) функции 225
- кривой 256, 261
- - кратная 256, 261
- - неособая 266
- - особая 266
- максимума(минимума) функции 222, 227
- множества внутренняя 299
- - граничная 306
- - изолированная 302
- - предельная 302
- перегиба 234
- прикосновения множества 303
- разрыва функции 118, 119
- устранимого разрыва 118
- экстремума 222
- n-мерного пространства 288
Ферма теорема 192
Френе формула 281
Френеля интегралы 543
Функции гиперболические 182, 183
- одного порядка 145
- тригонометрические 139
Функция 7, 8, 11, 89
- аналитическая 630, 635
- бесконечно большая 110
- - малая 110, 149
- векторная 248
- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221
- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232
- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477
- заданная параметрически 189
- интегрируемая 439, 512
- кусочно-непрерывная 463
- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477
- логарифмическая 137
- многозначная (однозначная) 11
- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469
- - на множестве 121, 328, 332, 469
- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372
- неявная 94
- обратная 126, 130
- ограниченная 90, 145
- периодическая 14, 645
- показательная 134—136, 159
- равномерно непрерывная 334, 335, 336
- - стремящаяся к нулю 349
- рациональная 95, 131, 421
- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354
- степенная 138
- строго монотонная 125
- трансцендентная 96
- четная 14
- элементарная 332
Цепная линия 499
Циклоида 189
Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85
- иррациональные 15, 23, 86
- комплексные 15, 389, 394
- натуральные 12, 15, 43
- отрицательные 15
- рациональные 15, 23, 83
- целые 23
Число существенно комплексное 390
Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213
Эволюта кривой 283
Эйлера подстановки 424
- постоянная 587
- формулы 644
Эквивалентность отображений отрезка 259
- функций 146, 152
Экстремум 222—229
Эллипс 501
Часть 2
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 2
584 стр. М.: "Высшая школа", 1981
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
- функции 245, 273
Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфизм 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85
Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491
Интеграл Дарбу 149
- Дирихле 353, 393
- зависящий от параметра 158, 298, 303
- криволинейный 189, 192
- Лапласа 402
- несобственный 219, 303, 327
- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272
- повторный 158
- Пуассона 222
- Римана 131
- Фурье 391
- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322
- - второго рода (бета-функция) 322
Контур граничный 201
- ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
- криволинейные 184
- сферические 187, 223
- цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
- Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553
- хорд 548
Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
- Тейлора 9
- тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
- квадрируемое 115
- кубируемое 115
- ограниченное 313, 437
- плотное в пространстве 415, 444, 468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
- Коши-Буняковского 450
- - Шварца 448
- Минковского обобщенное 167
Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
- функции 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
- Лапласа 82, 218
- линейный 433, 436
- непрерывный 519, 520
- ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
- контура 198
- края поверхности 262
- поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45
- дифференцируемое 61, 68
- линейное 55
- локально гомеоморфное 71
- непрерывное 45, 46, 52, 519—520
- обратное 52
- равномерно непрерывное 49
- регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454, 579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
- гладкая 246
- дифференцируемая 234, 239
- заданная неявно 240
- кусочно-гладкая 258, 263
- неориентируемая (односторонняя) 261
- ориентированная 255, 262
- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263
Подпространство 412, 422
- натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
- - потенциальное 276, 294, 297
- - соленоидальное 291, 297
- скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая 335
- дельта-образная 516, 525
- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530
- фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
- последовательности точек 413, 516
- фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
- функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
- скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481
- гильбертово 455, 496
- линейное 421
- метрическое 411
- нормированное 426
- обобщенных функции 524, 531
- полунормированное 426
- сопряженное 519
- со сходимостью 517
- топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498
Ряд асимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
- Тейлора 19, 544
- тригонометрический 343, 346
- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484
Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
- ортогональная 471
- полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
- интегральная Римана 131, 195
- Фейера 368
- Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
- поверхности 233, 237
- - внутренняя 237
- - краевая 237
- - самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570
Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
- квадратурная 556, 558
- обращения 398
- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285
- прямоугольников 556
- Симпсона 558
- Сохоцкого 526
- Стирлинга 334
- Стокса 287, 289
- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
- трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328
- гармоническая 92
- интегрируемая 132, 219
- Лагранжа 96
- локально интегрируемая 522
- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529
- характеристическая 349
- Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
- - формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459, 565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
- отображения 424
- Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
Часть 3
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа, т. 3
352 стр. М.: "Высшая школа", 1989
Абсолютно интегрируемая функция 8
- сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
- Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
- фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное пространство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В.Я. 192
Вандермонд А.Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Вольтерра В. 113
Вполне ограниченное множество метрического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79, 80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 2\pi, 19
Действительное линейное пространство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284, 285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дичи У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
- отображения 180
- Фреше 180
Дифференцируемое в точке отображение 180
- - - по заданному направлению отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
- отображение 209
\varepsilon-окрестность 100
\varepsilon-сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159, 179
Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
- Фурье 69
- - в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316
- - Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
- - точная для многочленов данной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом пространстве 120, 121
Комплексное линейное пространство 138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное пространство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168
- Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости элементов 221
Кронекер Л. 140
Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А.М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л.Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов пространства 139
- оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов 139
- независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
- пространство 192
- - с почти скалярным произведением 192
- - со скалярным произведением 192
- - - сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
- квадратурной формулы 322
- преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
- функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии пространства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод "вилки" 309
- касательных (метод Ньютона) 312, 315
- хорд 310, 312
Метрика 96
- порожденная заданной нормой пространства 161
Метрическое пространство 96
Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
- Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111
- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
- Коши-Буняковского 192, 194
- Коши-Шварца 243
- треугольника 149, 192
n-мерное пространство 140
n-мерный вектор 140
Норма 149
- билинейного отображения 176
- порожденная скалярным произведением 193
Нормированное линейное пространство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
- элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
- - медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285
Ограниченное билинейное отображение 176
- множество 105, 158
- по полунорме (по норме) множество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического пространства 331
Определитель Вандермонда 316
- Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в подпространство 251
- система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множества 250
Ортогональные элементы 220
Ортонормированная система элементов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологического пространства 331
Отношение эквивалентности 205, 329
Отрезок в линейном нормированном пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции 10
Пикир Ш.Э. 111
Планшерелъ М. 265
Плотное множество в пространстве 116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле равномерного приближения 47
- - - - - среднего квадратичного приближения 48
- - элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное пространство 163
- метрическое пространство 102
Полный фильтр 335
Положительная определенность скалярного произведения 191
- полуопределенность почти скалярного произведения 191
Полунорма 148, 149
- порожденная почти скалярным произведением 193
Полунормированное линейное пространство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105, 106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191, 192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
- - по направлению 339
- - - фильтру 338, 340
- последовательности точек метрического пространства 100
- фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
- - обобщенной функции 297
Признак Дини 24, 26
Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113
- локализации 21
- сжимающих отображений 111, 113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств 147, 174
- фильтров 336
- элемента линейного пространства на число 138
Производная Гато 183
- n-го порядка 187, 188
- обобщенной функции 286
- по направлению 183
- Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций 283
- - - медленного роста 291
- основных функций D 280
- - - S 289, 290
- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
- Парсеваля 52
- Парсеваля-Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение 108
- ограниченное семейство функций 134
- сходящаяся последовательность отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство функций 134
Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66
- элемента пространства по базису 167
Разность элементов линейного пространства 138
Расстояние 96
- порожденное заданным скалярным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном пространстве 166
- Лейбница 31
- обобщенных функций 289
- Фурье 9, 62, 233
- - в комплексной форме 64
- - для нечетной функции 28, 63
- - - четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство 133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
Соболев С.Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278
Сохоцкий Ю.В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В.А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
- Фейера 39
- Фурье 9, 16
- элементов линейного пространства 138
Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов пространства 156
- последовательность отображений 108
- - точек метрического пространства 99
- - функционалов 277
- - функций 280, 290
Сходимость в смысле p-среднего 157
- - - среднего квадратичного 157
Сходящийся интеграл 8
- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134, 137
- о замкнутых и полных системах 239, 240
- - композиции непрерывных отображений метрических пространств 110
- - конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств 186, 187
- - линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258
- - неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113
- - пополнении линейного нормированного пространства 164, 165
- - - - пространства со скалярным произведением 201, 202
- - - метрического пространства 116, 120
- - - пространства CL_ 2, 216, 217
- - порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326
- - последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства 106, 107
- - почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54
- - - интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60
- - пределе отображения по фильтру 341, 343
- - - фильтра 338
- - представлении функции интегралом Фурье 75, 78
- - преобразовании Фурье в пространстве S 293, 295
- - - - - - S' 299
- - разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных элементов 329, 330
- - - пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255
- - существовании ортонормированных базисов 240
- - сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38
- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243
- - ортогонализации 224, 225
- - эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151, 153
- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11, 15, 16
- Фейера 42, 44
Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и
алгебраическими многочленами 45, 46, 48
- о единственности рядов Фурье 238, 248
- - компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133
- - линейных ограниченных операторах 172, 175
- - минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232
- - непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133
- - полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах
непрерывных функций 48, 50
- - преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94
- - производных отображений в линейных нормированных пространствах 182, 183
- - равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249
- - сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245
- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180
- - ортогональных проекциях 251, 254
- Планшереля 265, 268
Топология пространства 331
Точка пространства 96, 139
T-периодическая функция 9, 10
Треугольная матрица 142
Тригонометрическая система функций 6
Тригонометрический многочлен 44
- ряд 6
- - Фурье 9
Узел 322
- интерполяции 316
Упорядоченное множество 334
Условие Гёльдера 36
- Липшица 37
Фейер Л. 39, 41
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач по темам лекций.
Практическое занятие № 1 Элементы линейной алгебры.
№ 1.
 1 2 3


Даны матрицы А =  2 1 4  ; B =
 3 2 3


 2 4 6


2А =  4 2 8  ,
 6 4 6


1 3 4


 5 7 8  , найти 2А + В.
1 2 4


 3 7 10 


2А + В =  9 9 16  .
 7 6 10 


№ 2.
 1 0 3
1
  1


 
 
Даны матрицы А =  2 4 1  , В =  3  , С =  2  и число  = 2. Найти АТВ+С.
 2
1
 1  4 2
 
 


1 2 1 
 1 2 1   1   1 1  2  3  1 2   9 



   
  
T
T
A =  0 4  4 ;
A B =  0 4  4    3  =  0 1  4  3  4  2  =  4  ;
3 1 2 
 3 1 2   2   3  1  1  3  2  2  10 



   
  
  2
 9    2  7 
 
     
Т
C =  4  ;
А В+С =  4  +  4  =  8  .
 2 
10   2  12 
 
     
№ 3.
1
 
Найти произведение матриц А =  4  и В = 2 4 1 .
 3
 
1
 1 2 1 4 11   2 4 1 
 

 

АВ =  4   2 4 1 =  4  2 4  4 4  1   8 16 4  .
 3
 3  2 3  4 3  1  6 12 3 
 

 

1
 
ВА = 2 4 1   4  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.
 3
 
№ 4.
3 4

Найти произведение матриц А= 1 2 , В = 
5 6
3 4
 = 3  10 4  12 = 13 16 .
АВ = 1 2  
5 6
№ 5.
 1 2 1


Вычислить определитель матрицы А =  0  2 3 
 3 1 1


1 2 1
2 3
0 3
0 2
0  2 3  1
 2
 1
 (2  1  1  3)  2(0  1  3  3)  (0  1  3  2) 
1 1
3 1
3 1
3 1 1
= -5 + 18 + 6 = 19.
№ 6.
1 2
5 2
 , В = 
 . Найти det (AB).
Даны матрицы А = 
3 4
1 3
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;
det B = 15 – 2 = 13;
det (AB) = det A det B = -26.
 1 5  2 1 1  2  2  3   7 8 
  
 ,
2- й способ: AB = 
3

5

4

1
3

2

4

3
19
18

 

– 152 = -26.
det (AB) = 718 - 819 = 126 –
№ 7.
 1 2
Дана матрица А = 
 , найти А-1.
 3 4
 a11 a12   x11

 
 a21 a22   x21
x12   1 0
 
.
x22   0 1
a11 x11  a12 x 21  e11  1
a x  a x  e  0
 11 12
12 22
12

a 21 x11  a 22 x 21  e21  0
a 21 x12  a 22 x 22  e22  1
 x11  2 x 21  1
x  2x  0
 12
22

3x11  4 x 21  0
3x12  4 x 22  1
 x11  2

 x12  1

 x21  3 / 2
 x22  1 / 2
1 
 2
Таким образом, А-1= 
.
 3 / 2  1 / 2
№ 8.
3 2
 , найти А3.
Дана матрица А = 
1 4
 3 2   3 2  11 14 
 
 = 
 ;
А2 = АА = 
A3 =
 1 4   1 4   7 18 
 3 2  11 14 

 
 =
 1 4   7 18 
 47 78 

 .
 39 86 
 3 2  11 14 
 и 
 являются перестановочными.
Отметим, что матрицы 
 1 4   7 18 
1 0 3 4
2 1 1 2
Пример. Вычислить определитель
.
0
3 2 1
2
1
4 3
1 0 3 4
1 1 2
2 1 2
2 1 1
2 1 1 2
= -1 3 2 1  3  0 3 1  4  0 3 2
0
3 2 1
1 4 3
2 1 3
2 1 4
2 1 4 3
1 1 2
3
1
2 1 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
4 3
2 1 2
0
2
3
1
2 1 1
0  2 1
1 = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
1 = 0 3
2 1
3
3
0 2 3
0 3 2= 0 3
2 = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
2 1 4 2 1
4
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
№ 9.
Решить систему уравнений:
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

 x
0
 5  1  1
 
 


Х =  y  , B = 14  , A =  1 2 3 
z
16 
4 3 2 
 
 


Найдем обратную матрицу А-1.
5 1 1
 = det A = 1 2
3  5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
4
3
2
M11 =
2 3
= -5;
3 2
M21 =
1 1
= 1;
3
2
M31 =
1 1
= -1;
2
3
M12 =
1 3
 10;
4 2
M22 =
5 1
 14;
4 2
M32 =
5 1
 16;
1 3
M13 =
1 2
 5;
4 3
M23 =
5 1
 19;
4 3
M33 =
5 1
 11;
1 2
5
;
30
10
 ;
30
5
 ;
30
a111 
1
a 21
1
a31
1
1
;
a131  ;
30
30
14
16
1
1
a 22
 ;
a 23
 ;
30
30
19
11
1
1
a32
 ;
a33
 ;
30
30
a121 
1
 1

30
 6
1
7
-1


A = 
 3
15
 1
19

30
 6
1 

30 
8 
;
15 
11 
 
30 
Cделаем проверку:
 5

 5  1  1 30

 10
AA-1 =  1 2 3  

 4 3 2  30

 5

 30
Находим матрицу Х.
1
30
14

30
19
30
1 

30 
 25  10  5 5  14  19 5  16  11 

16  1 
  5  20  15 1  28  57 1  32  33  =E.
30  30 

11 
 20  30  10 4  42  38 4  48  22 
 
30 
1
 1

30
 x
 6
 
1
7

Х =  y  = А-1В =  
 3
15
z
 1
19
 

30
 6
1 

30   0 
8   
 14  =
15   
11  16 
 
30 
14 16 
 1

 0

30 30   1 
 6
  1 0  98  128    2  .
 
 3
15 15   
1
266 176   3 

 0

30
30 
6
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
№ 10.
Найти решение системы уравнений:
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

5 1 1
 = 1 2 3 = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
4
3
2
0
1 1
1 = 14
3 = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
2
2
3
16
x1 = 1/ = 1;
5
0
2 = 1 14
1
4 16
3 = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
2
5 1
0
x2 = 2/ = 2;
3 = 1
4
2
3
14 = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
16
x3 = 3/ = 3.
Как видно, результат совпадает с результатом, полученным матричным методом.
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое
решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При  = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
 x  3 y  6 z  12

3x  2 y  5 z  10 ;
2 x  5 y  3z  6

Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.
№ 11.
Решить систему методом Гаусса.
5 x  y  z  0

 x  2 y  3z  14
4 x  3 y  2 z  16

Составим расширенную матрицу системы.
3
14   1 2
3
14 
 5  1  1 0   1 2 3 14   1 2

 
 
 

 1 2 3 14  ~  4 3 2 16  ~  0  5  10  40  ~  0  5  10  40 
 4 3 2 16   5  1  1 0   0  11  16  70   0 0
6
18 

 
 
 
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
 x  2 y  3z  14

 5 y  10 z  40 , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
6 z  18

Практическое занятие № 2 Теория множеств. Элементы алгебры логики высказываний.
№ 1.
Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать
тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.
A \ B  A \ ( A  B)
Из записанных выше соотношений видно, что
A \ ( A  B)  ( A \ A)  ( A \ B)    ( A \ B ) = A \ В
Что и требовалось доказать.
№ 2.
Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами,
доказать тождество.
A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C)
Если некоторый элемент х  А \ (В  С), то это означает, что этот элемент
принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.
Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не
принадлежащих множеству В.
Множество А \ С представляет собой множество элементов множества А, не
принадлежащих множеству С.
Множество (A \ B)  (A \ C) представляет собой множество элементов, которые
принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.
Таким образом, тождество можно считать доказанным.
№ 3.
С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы  и
.
  p  ( p  r)
  p  (p  r)
Составим таблицы истинности для каждой формулы:
p
И
И
Л
Л
p
И
И
Л
Л
p
Л
Л
И
И
r
И
Л
И
Л
r
И
Л
И
Л
p
Л
Л
И
И
(pr)
И
Л
Л
Л
r
Л
И
Л
И
p  ( p  r)
И
И
Л
Л
(p  r)
Л
И
И
И
p  (p  r)
И
И
И
И
Данные формулы не являются эквивалентными.
№ 4.
С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы  и
.
  ( p  q)  r
  ( p  q)  (q  p)  r
Составим таблицы истинности для заданных формул.
p
И
И
И
И
Л
Л
Л
Л
p
И
И
И
И
Л
Л
Л
Л
q
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
r
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
q
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
pq
И
И
Л
Л
И
И
И
И
r
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
qp
И
И
И
И
Л
Л
И
И
pq
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
(pq)r
И
И
И
Л
И
Л
И
И
(pq)(qp)
И
И
И
И
И
И
И
И
(pq)(qp)r
И
И
И
И
И
И
И
И
Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.
Практическое занятие № 3 Производная и интеграл.
№ 1.
Найти производную функции f ( x)  ( x 2  3x) x cos x .
v  x cos x;
По полученной выше формуле получаем: u  x 2  3x;


Производные этих функций: u  2 x  3; v  cos x  x sin x;
Окончательно:
f ( x)  x cos x  ( x 2  3x) x cos x 1  (2 x  3)  ( x 2  3x) x cos x (cos x  x sin x) ln( x 2  3x)
№ 2.
Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может
быть найдена следующим образом:
y  tgx;
x  arctgy;
1
;
cos 2 x
По приведенной выше формуле получаем:
1
y 
;
d (arctgy) / dx
Известно, что y   (tgx) 
d (arctgy)
1

dy
1 / cos 2 x
1
 1  tg 2 x  1  y 2 ; то можно записать окончательную формулу для производной
2
cos x
арктангенса:
1
(arctgy ) 
.
1 y2
Т.к.
№ 3.
1
Найти производную функции y  x cos x sin x  cos 2 x .
2
1
1
sin 2 x  cos 2 x
2
2
1
1
1
1
y   sin 2 x  x 2 cos 2 x  2 cos x( sin x)  sin 2 x  x cos 2 x  sin x cos x  x cos 2 x.
2
2
2
2
Сначала преобразуем данную функцию: y 
№ 4.
2
x 2e x
Пример. Найти производную функции y  2
.
x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
(2 xe x  x 2 2 xe x )( x 2  1)  (2 x) x 2 e x
2 x 3 e x  2 x 5 e x  2 xe x  2 x 3 e x  2 x 3 e x
y 


( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
2
2 xe x ( x 4  1  x 2 )

( x 2  1) 2
№ 5.
Пример. Найти производную функции y  ln tg
x
x

2 sin x
1 sin x  x cos x
1
sin x  x cos x sin x  sin x  x cos x





2
x
x
x
sin x
sin 2 x
sin 2 x
2 x 2
tg
cos
2 sin cos
2
2
2
2
x cos x

sin 2 x
y 
1

1

№ 6.
Найти производную функции y  arctg
2x 4
1  x8
8 x 3 (1  x 8 )  (8 x 7 )2 x 4 (1  x 8 ) 2 (8 x 3 8 x11  16 x11 ) 8 x 3  8 x11



(1  x 8 ) 2
(1  x 8 ) 2 (1  x 8 ) 2
(1  x 8 ) 2

4x8 
1 

8 2 
(
1

x
)


3
8
8 x (1  x )
8x 3


(1  x 8 ) 2
1  x8
1
y 

№ 7.
2
Найти производную функции y  x 2 e x ln x

y  x 2e x
2
 ln x  x e
2
x2


2
2
2
2
2
1
 2 xe x  x 2 e x 2 x ln x  xe x  2 xe x (1  x 2 ) ln x  xe x 
x
2
 xe x (1  2 ln x  2 x 2 ln x)
№ 8.
Найти неопределенный интеграл

sin x cos xdx .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

t dt   t 1 / 2 dt 
2 3/ 2
2
t  C  sin 3 / 2 x  C.
3
3
№ 9.
Найти неопределенный интеграл
Замена t  x 2  1; dt  2 xdx; dx 
3/ 2
t
 x( x
2
 1) 3 / 2 dx.
dt
; Получаем:
2x
dt 1 3 / 2
1 2
t 5/ 2
( x 2  1) 5 / 2
  t dt   t 5 / 2  C 
C 
 C.
2 2
2 5
5
5
№ 10.
u  x 2 ; dv  sin xdx; 
2
2
x
sin
xdx


   x cos x   cos x  2 xdx 

du  2 xdx; v   cos x


u  x; dv  cos xdx;
2
2

   x cos x  2 x sin x   sin xdx   x cos x  2 x sin x  2 cos x  C.
du

dx
;
v

sin
x


№ 11.
u  e 2 x ; du  2e 2 x dx; 
2x
2x
 e cos xdx  dv  cos xdx; v  sin x  e sin x   sin x  2e dx 
2x


u  e 2 x ; du  2e 2 x dx; 
2x
2x
2x
2x

  e sin x  2  e cos x    cos x  2e dx  e sin x 
dv  sin xdx; v   cos x;
 2e 2 x cos x  4 cos xe2 x dx
Практическое занятие № 4. Элементы теории вероятностей.
№ 1.
Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти
вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна
червонная карта.
Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы
одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность
события С = А + В.
Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает
появления другого.
Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.
При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни
26
25
24
бубновой карты равна
, при вытаскивании второй карты , третьей , четвертой 52
51
50
23
.
49
Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных
26 25 24 23
   .
равна P(C ) 
52 51 50 49
Тогда P(C )  1  P(C )  0,945
№ 2.
Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков
появится хотя бы на одной из костей?
Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна
что не выпадет 6 очков -
1
. Вероятность того,
6
5
. Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни
6
3
125
5
разу 6 очков равна p    
.
216
6
Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна 1 
№ 3.
125
91

.
216 216
В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке.
Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти
вероятности хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек.
Вероятность выстрела при первом нажатии на курок (событие А) равна P( A) 
4
,
6
2
. Вероятность выстрела при втором нажатии на курок зависит
3
от результата первого нажатия.
Так если в первом случае произошел выстрел, то в барабане осталось только 3
патрона, причем они распределены по 5 гнездам, т.к. при втором нажатии на курок напротив
ствола не может оказаться гнездо, в котором был патрон при первом нажатии на курок.
3
Условная вероятность выстрела при второй попытке - P ( B / A)  , если в первый раз
5
4
был выстрел, P ( B / A )  - если в первый раз произошла осечка.
5
2
Условная вероятность осечки во второй раз - P ( B / A)  , если в первый раз
5
1
произошел выстрел, P ( B / A )  - если в первый раз была осечка.
5
Рассмотрим вероятности того, что во втором случае произойдет выстрел (событие В)
или произойдет осечка (событие В ) при условии, что в первом случае произошел выстрел
(событие А) или осечка (событие А ).
вероятность осечки - P ( A ) 
4 3 6
 
 0,4 - два выстрела подряд
6 5 15
1 4 4
P( B)  P( A ) P( B / A )   
 0,267 - первая осечка, второй выстрел
3 5 15
4 2 4
P( B )  P( A) P( B / A)   
 0,267 - первый выстрел, вторая осечка
6 5 15
1 1 1
P( B )  P( A ) P( B / A )   
 0,067 - две осечки подряд
3 5 15
Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна
единице)
Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела
6
4
4 14

 0,933
равна сумме P1   
15 15 15 15
P( B)  P( A) P( B / A) 
Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на
курок барабан раскрутили и опять нажали на курок.
4
2
Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - P( A)  , P ( A )  .
6
6
Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив
ствола может оказаться то же гнездо, что и в первый раз.
Условная вероятность выстрела при второй попытке - P ( B / A) 
был выстрел, P ( B / A ) 
3
, если в первый раз
6
4
- если в первый раз произошла осечка.
6
Условная вероятность осечки во второй раз - P ( B / A) 
произошел выстрел, P ( B / A ) 
3
, если в первый раз
6
2
- если была осечка.
6
Тогда:
4 3 3
   0,333 - два выстрела подряд
6 6 9
2 4 2
P( B)  P( A ) P( B / A )     0,222 - первая осечка, второй выстрел
6 6 9
4 3 3
P( B )  P( A) P( B / A)     0,333 - первый выстрел, вторая осечка
6 6 9
2 2 1
P( B )  P( A ) P( B / A )     0,111 - две осечки подряд
6 6 9
P( B)  P( A) P( B / A) 
В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна
3 2 3 8
P2      0,889
9 9 9 9
Ниже показаны диаграммы вероятностей для первого и второго рассмотренных
случаев.
2 выстрела
2 выстрела
осечка выстрел
осечка выстрел
выстрел осечка
выстрел осечка
2 осечки
2 осечки
№ 4.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при
одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В,
промах первого стрелка – событие А , промах второго – событие В .
P( A)  0,7; P( A )  0,3; P( B)  0,8; P( B )  0,2.
Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна
P( A) P( B )  0,7  0,2  0,14
Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна
P( A ) P( B)  0,3  0,8  0,24
Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна
P  0,14  0,24  0,38
Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что
оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:
P( A) P( B)  0,7  0,8  0,56; P( A ) P( B )  0,3  0,2  0,06.
Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна:
P  1  0,56  0,06  0,38.
№ 5.
Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет
бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не
бракованными.
Обозначим бракованную деталь – событие А, не бракованную – событие А .
P( A)  0,2; P( A )  0,8;
Если среди трех деталей оказывается только одна бракованная, то это возможно в одном из
трех случаев: бракованная деталь будет первой, второй или третьей.
P  P( A) P( A ) P( A )  P( A ) P( A) P( A )  P( A ) P( A ) P( A)
P  3  0,2  0,8  0,8  0,384
№ 6.
Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или
четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта
деталь находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках.
а) Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна
P  P1 P2 P3 P4  0,6  0,7  0,8  0,9  0,3024.
Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна
вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках.
P( A)  1  P  1  0,3024  0,6976 .
б) Вероятность того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух ящиках,
складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух ящиках, только в
трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом
сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность равна вероятности того, что
деталь не находится только в одном ящике и имеется вообще.
Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна
P  P1q2 q3 q4  q1 P2 q3 q4  q1q2 P3 q4  q1q2 q3 P4
P  0,6  0,3  0,2  0,1  0,4  0,7  0,2  0,1  0,4  0,3  0,8  0,1  0,4  0,3  0,2  0,9 
 0,0036  0,0056  0,0096  0,0216  0,0404
Q  1  0,0404  0,9596
Вероятность того, что нужной деталь нет ни в одном ящике, равна:
P0  q1q2 q3 q4  0,4  0,3  0,2  0,1  0,0024
Q0  1  0,0024  0,9976
Искомая вероятность равна P( B)  Q  Q0  0,9596  0,9976  0,9573.
№ 7.
Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 12 деталей, 3 из
которых - бракованные. Вторая партия состоит из 15 деталей, 4 из которых – бракованные.
Из первой партии извлекаются наугад 5 деталей, а из второй – 7 деталей. Эти детали
образуют новую партию. Какова вероятность достать из них бракованную деталь?
Для того, чтобы выбранная наугад деталь была бы бракованной, необходимо
выполнение одного из двух несовместных условий:
5
1) Выбранная деталь была из первой партии (вероятность ) и при этом она –
12
3
бракованная (вероятность ). Окончательно:
12
5 3
p1    0,1041;
12 12
2) Выбранная деталь была из второй партии (вероятность бракованная (вероятность -
7
) и при этом она –
12
4
). Окончательно:
15
7 4
  0,1556;
12 15
Окончательно, получаем: p  p1  p2  0,2597 .
p2 
№ 7.
В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают наугад два шара. Найти
вероятность того, что эти шары не одного цвета.
Событие, состоящее в том, что выбранные шары разного цвета произойдет в одном из
двух случаев:
3
5
1) Первый шар белый (вероятность - ), а второй – черный (вероятность - ).
8
7
5
3
2) Первый шар черный (вероятность - ), а второй – белый (вероятность - ).
8
7
Окончательно получаем: p 
3 5 5 3 15
    .
8 7 8 7 28
№ 8.
Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в
двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом
испытании равны и известно, что М(Х) = 0,9.
Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то
M ( X )  np  2 p  0,9;  p  0,45;
D( X )  npq  2 p(1  p)  2  0,45  0,55  0,495.
№ 9.
Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления
события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия
числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.
По формуле дисперсии биноминального закона получаем:
D( X )  npq  3 p(1  p)  0,63;
3 p 2  3 p  0,63  0
p 2  p  0,21  0;
p1  0,7; p2  0,3;
№ 10.
Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов.
Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5;
p4=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.
Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта
случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.
Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо
определить соответствующие вероятности. Примем qi  1  pi .
1) Не отказал ни один прибор.
p(0)  q1q2 q3 q4  0,7  0,4  0,5  0,4  0,084.
2) Отказал один из приборов.
p(1)  p1q2 q3 q4  q1 p2 q3 q4  q1q2 p3 q4  q1q2 q3 p4  0,302.
3) Отказали два прибора.
p(2)  p1 p2 q3 q4  p1q2 p3 q4  p1q2 q3 p4  q1 p2 p3 q4  q1 p2 q3 p4  q1q2 p3 p4  0,38.
4) Отказали три прибора.
p(3)  p1 p2 p3 q4  p1 p2 q3 p4  p1q2 p3 p4  q1 p2 p3 p4  0,198.
5) Отказали все приборы.
p(4)  p1 p2 p3 p4  0,036.
Получаем закон распределения:
x
x2
p
0
0
0,084
1
1
0,302
2
4
0,38
3
9
0,198
4
16
0,036
Математическое ожидание:
M ( X )  0,302  2  0,38  3  0,198  4  0,036  1,8.
M ( X 2 )  0,302  4  0,38  9  0,198  16  0,036  4,18.
Дисперсия:
D( X )  M ( X 2 )  M ( X )  4,18  3,24  0,94.
2
Практическое занятие №5. Элементы математической статистики
№ 1.
При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков
оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5.
Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:
xi
0
1
2
3
4
5
ni
3
6
5
3
2
1
wi
0,15
0,3
0,25
0,15
0,1
0,05
№ 2.
Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:
a sin x, при 0  x  
f ( x)  
при x  0 или x  
0,
Требуется найти коэффициент а, построить график функции плотности
распределения, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от

0 до .
4
Построим график плотности распределения:
0. 5
1
1. 5
2
2. 5
3
0. 1
0. 2
0. 3
0. 4
0. 5

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством
 f ( x)dx  1 .




0





0

0
0
f ( x)dx   0dx   a sin xdx   0dx  a  sin xdx  a cos x  2a  1;
1
a .
2
Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
№ 3.
Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).



 A cos 2 x, при  4  x  4
f ( x)  

0,
при x 

4
Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить
графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того,
 
что случайная величина х попадет в интервал  ; 2  .
6 
Найдем коэффициент А.


f ( x)dx 

 / 4
/ 4


 / 4
/4
 0dx 
 A cos 2 xdx 
 0dx 
A sin 2 x  / 4
 A  1.
2
 / 4
Найдем функцию распределения:
x
x

1) На участке x   : F ( x)   f ( x)dx   0dx  0.
4


2) На участке 


 x  : F ( x) 
4
4
 / 4
 0dx 

x
 cos 2 xdx 
 / 4
sin 2 x x
sin 2 x 1

 .
2  / 4
2
2
3) На участке x 

:
4
F ( x) 
 / 4
/4

 / 4
 0dx 
 cos 2 xdx 
x
 0dx 
/ 4
sin 2 x  / 4
 1.
2  / 4


при x  
0,
4



 sin 2 x  1
F ( x)  
, при   x  ;
2
4
4



при x 
1,
4




cos 2 x, при  4  x  4
Итого: f ( x)  
;

0,
при x 

4
Построим график плотности распределения:
f(x)
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
- 0. 75
- 0. 5
- 0. 25
0. 25
0. 5
0. 75
Построим график функции распределения:
F(x)
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
- 0. 75
- 0. 5
- 0. 25
0. 25
0. 5
0. 75
 
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал  ; 2  .
6 
2
/ 4
2
sin 2 x  / 4 1
3


P  x  2    f ( x)dx   cos 2 xdx   0dx 
 
 0,067;
2
2
4
6
 /6

/
6
/6
/ 4
Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:
sin(  / 3)  1 1
3


P  x  2   F (2)  F ( / 6)  1 
 
 0,067.
2
2 4
6

№ 4.
В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем
каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную
величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины,
определить ее математическое ожидание и дисперсию.
Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания
можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность
появления или непоявления события в другом опыте).
Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и
6
 0,6.
равна PБ 
10
Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не
появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз.
Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих
событий.
1) Белый шар не появился вовсе: РБ (0)  (1  РБ ) 5  0,0102.
2) Белый шар появился один раз: РБ (1)  С51 РБ1 (1  РБ ) 4 
5!
0,6  0,4 4  0,0768
1!4!
3) Белый шар появиться два раза: PБ (2) 
5!
0,62  0,43  0,2304 .
2!3!
4) Белый шар появиться три раза: РБ (3) 
5!
0,6 3  0,4 2  0,3456.
3!2!
5) Белый шар появиться четыре раза: РБ (4) 
5!
0,6 4  0,41  0,2592.
4!1!
6) Белый шар появился пять раз: РБ (5)  0,6 5  0,0778.
Получаем следующий закон распределения случайной величины Х.
х
х2
р(х)
0
0
0,0102
1
1
0,0768
2
4
0,2304
3
9
0,3456
4
16
0,2592
5
25
0,0778
M ( X )  0,0768  2  0,2304  3  0,3456  4  0,2592  5  0,0778  3,0002.
M ( X 2 )  0,0768  4  0,2304  9  0,3456  16  0,2592  25  0,0778  10,201.
D( X )  M ( X 2 )  [M ( X )] 2  10,201  9,0012  1,1998.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер
изменений в
программе
Не было
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято
данное решение
-
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
-
Подпись декана
факультета (проректора
по учебной работе),
утверждающего данное
изменение
-
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое
звание и степень
преподавателя
Учебный
год
Факультет
Специальности
2009-2010
ФФиЖ
ПиП
050300.62 – Филологическое образование
050700.62 – Педагогика