Математика для политол

Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» для направления 030200.62 «Политология»подготовки бакалавра
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
 Рабочим учебным планом университета по направлению 030200.62 «Политология»
подготовки бакалавра.
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математика» являются изучение разделов «Пределы
функций», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», позволяющие студенту ориентироваться в прикладных вопросах, требующих использования математического
аппарата.. . Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать теорию элементарных функций, методы дифференцирования и интегрирования, исследование функциональных рядов и методы решения дифференциальных
уравнений.
 Уметь применить аппарат математического анализа в задачах прогнозирования экономических показателей как элементов функционального ряда и использовать методы решений дифференциальных уравнений в теории массового обслуживания.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
1. Обще профессио-
нальные
тенции
2..Профильноориентированные
компетенции
компе-
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
ОК-10
Основательная теоретическая
математическая подготовка, а
также подготовка по теоретическим, методическим и алгоритмическим основам курса «Математика» позволяющего выпускникам работать с современной
научно-технической
литературой, быстро адаптироваться к новым теоретическим
и научным достижениям в области экономического моделирования.
ОК-11 Профильно-ориентированные
компетенции определяются отдельно для каждого из разделов
курса «Математика».
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Уверенно владеть теоретическим аппаратом , изложенном в курсе математического анализа:
Владеть методам и средствами решения дифференциальных уравнений.
Иметь представление о
функциональных возможностях наиболее распространенных методов Интегрирования.
Умение работать с аппаратом
исследования
функций, анализа временных рядов и теории решения
дифференциальных
Уравнений.
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
Компетенция
3. Рабочие компетенции
4.
Код по Дескрипторы – основные признаки
ФГОС/ освоения (показатели достижения
НИУ
результата)
ОК-12 Компетенций, которыми должен обладать выпускник университета с позиций работодателя. Такие компетенции определяют степень готовности выпускника выполнять те или
иные конкретные практические
работы, связанные с использованием изученного аппарата
Математического анализа.
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Умение исследовать математическую
модель
экономической задачи
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин, требующих использования математического аппарата.
5.
Тематический план учебной дисциплины
Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего
В том числе
самост.
часов лекции семинары работа
Первый модуль. Раздел 1 «Функции одной переменной»
1
Введение. Элементы теории множеств
21
4
5
12
и функций.
2
Предел и непрерывность функции од21
4
5
12
ной переменной.
3
Производная и дифференциал функ21
4
5
12
ций одной переменной.
4
Исследование дифференцируемых
23
6
5
12
функций одной переменной.
Второй модуль. Раздел 2 «Функции нескольких переменных»
5
Множества точек и последовательно21
4
5
12
сти в n-мерном пространстве.
6
Функции нескольких переменных.
21
4
5
12
7
Дифференцируемые функции несколь34
8
10
16
ких переменных.
Итого
162
34
40
88
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Текущий
Итоговый
Форма контроля
Контрольная
работа
Домашнее
задание
Экзамен
1 год
1
2
14
Параметры **
3
4
20
11
+
письменная работа 80
минут
В виде реферата
Устный экзамен
Критерии оценки знаний, навыков
По текущему контролю выдвигаются следующие критерии оценки знаний
По контрольной номер 1 студент должен продемонстрировать умение работы с функцииями, множествами и операциями над ними.
По контрольной номер 2 студент должен продемонстрировать умение исследовать
функции и решать примеры на нахождение пределов функции
По домашнему заданию студент должен уметь считать производные функции, исследовать графики с помощью производных.
6.1
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
7.
Содержание дисциплины
Раздел 1 «Функции одной переменной»
(лекции – 18 часов, семинары – 20 часа, самостоятельная работа – 48 часов)
Тема I. Введение. Элементы теории множеств и функций.
Предмет математического анализа и его роль в экономической теории.
Понятие множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств
множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Соответствие,
отношение, бинарное отношение. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры.
Элементы математической логики: логические символы, утверждение, следствие, прямая
и обратная теоремы, необходимые и достаточные условия.
Понятие отображения (функции), его области определения и области значений. Элементарные функции. Обратное отображение. Композиция отображений.
Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой, эквивалентность этих множеств. Свойства действительных чисел. Подмножества множества действительных чисел. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества. Наибольший (наименьший) элемент множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани. Понятие окрестности действительного числа
(точки) и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной точки точечного множества
на числовой прямой. Внутренние и граничные точки. Множества плотные в себе, совершенные
множества. Открытые и замкнутые множества.
Тема II. Предел и непрерывность функции одной переменной.
Примеры последовательностей. Предел числовой последовательности. Существование
предела у ограниченной монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследо-
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
вательности. Лемма о существовании предельной точки у ограниченного бесконечного множества на числовой оси.
Предел функции одной переменной. Односторонние и двусторонние пределы. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины и их связь с пределами функций. Функции одной переменной, не имеющие предела в точке и на бесконечности. Свойства операции предельного
перехода. Предельный переход в сложной функции. Первый и второй замечательные пределы.
Второй замечательный предел в задаче о начислении процентов. Символы о-малое и О-большое
и их использование для раскрытия неопределенностей.
Непрерывность функции в точке и на множестве. Односторонняя непрерывность. Точки
разрыва и их классификация. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность сложной функции.
Верхняя (нижняя) грань, глобальный максимум (минимум) функции в ее области определения.
Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши о непрерывной на отрезке функции. Теорема о
существовании и непрерывности обратной функции у строго монотонной функции, непрерывной на отрезке. Равномерная непрерывность функции и теорема Кантора.
Тема III. Производная и дифференциал функции одной переменной.
Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной. Уравнение касательной. Понятие о предельной полезности продукта
и предельной производительности ресурса. Понятие об эластичности функции.
Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Дифференцирование
функций, заданных параметрически. Производные основных элементарных функций.
Понятие дифференциала функции одной переменной. Геометрическая интерпретация
дифференциала. Свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их
свойства.
Иллюстрация экономического смысла второй производной.
Тема IV. Исследование дифференцируемых функций одной переменной.
Понятие об экстремумах функции одной переменной. Задача максимизации прибыли
фирмы.
Локальный экстремум (внутренний и граничный) функции одной переменной.
Необходимое условие внутреннего локального экстремума (теорема Ферма). Теоремы о
среднем значении (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши) и их геометрическая интерпретация.
Правило Лопиталя.
Формулы Тейлора и Маклорена и их использование для представления и приближенного вычисления значений функций.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на интервале. Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной.
Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие
выпуклости (вогнутости).
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.
Вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции одной переменной.
Исследование функции одной переменной с использованием первой и второй
производных и построение ее графика.
Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области
ее определения.
Решение задачи максимизации прибыли фирмы в терминах объема выпускаемой продукции, а также в случае одного ресурса.
Литература:
1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. М.: Изд- во
Моск. ун-та, 1985.
2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. М.: Дело, 2000.
Раздел 2 «Функции нескольких переменных»
(лекции – 16 часа, семинары – 20 часа, самостоятельная работа – 40 часов)
Тема V. Множества точек и последовательности в n-мерном пространстве.
Множество всех двумерных векторов. Геометрическая и экономическая интерпретация двумерных векторов. n-мерные вектора. Операции сложения n-мерных векторов и их
умножения на действительные числа. Свойства этих операций. Скалярное произведение. Понятие n-мерного евклидова пространства. Норма n-мерного вектора и ее свойства. Понятие
окрестности точки, окрестности с выколотым центром. Понятие предельной, внутренней и граничной точек точечного множества на плоскости и в п-мерном пространстве. Открытые и замкнутые множества на плоскости и в п-мерном пространстве. Понятие линейной, неотрицательной и выпуклой комбинации точек плоскости и п-мерного пространства. Выпуклые и невыпуклые множества на плоскости и в п-мерном пространстве.
Понятие расстояния. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника.
Множества связные, несвязные, ограниченные, неограниченные. Замкнутость. Компактные
множества. Понятие области. Отделимые множества. Понятие направления в точке.
Последовательность точек на плоскости и в n-мерном пространстве. Понятие ограниченной и неограниченной последовательности точек. Взаимосвязь с покоординатной сходимостью.
Теорема Больцано-Вейерштрасса. Лемма о предельной точке.
Тема VI. Функции нескольких переменных (ФНП).
Функции двух переменных. Понятие о множестве (линии) уровня функции двух переменных. Карта множеств уровня функции двух переменных, взаимное расположение линии
уровня функции двух переменных. Обобщение на случай функций нескольких переменных
Экономические иллюстрации (функции спроса и предложения, функция полезности, производственная функция).
Предел функции нескольких переменных. Арифметические операции над функциями,
имеющими конечные предельные значения. Предел функции по направлению. Повторные предельные значения. Теорема о существовании повторного предела.
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
Непрерывность функции нескольких переменных в точке и на множестве. Точки непрерывности и точки разрыва функции. Непрерывность функции в точке и по направлению. Взаимосвязь между непрерывностью функции по совокупности переменных и по каждому отдельному направлению. Арифметические операции над непрерывными функциями. Понятие о
сложной функции. Непрерывность сложной функции. Теоремы Вейерштрасса и БольцаноКоши. Равномерная непрерывность.
Тема VII. Дифференцируемые ФНП.
Частные производные и частные дифференциалы. Градиент ФНП. Дифференцируемость
ФНП. Главная линейная часть приращения ФНП. Полный дифференциал ФНП. Достаточное
условие дифференцируемости ФНП. Геометрическая и экономическая интерпретация частных
производных. Эластичности. Касательная плоскость к графику ФНП. Дифференцируемость
сложных ФНП. Инвариантность формы дифференциала ФНП. Однородные функции. Теорема
Эйлера об однородных функциях и ее применение в экономической теории. Производная по
направлению. Ортогональность градиента и множества уровня ФНП в точке ее дифференцируемости. Частные производные и дифференциалы порядка выше первого. Теорема о равенстве
смешанных частных производных. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
Матрица Гессе и гессиан.
Тема VIII. Теория неявных функций.
Теоремы о существовании и гладкости неявных функций и их геометрическая интерпретация. Формулы для частных производных и дифференциалов неявных функций. Теорема о
существовании и гладкости обратной функции как частный случай теоремы о неявной функции.
Зависимость и независимость функций. Общая теорема о зависимости и независимости
совокупности функций. Матрица Якоби и якобиан.
Экономические иллюстрации теоремы о неявной функции.
Литература:
1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. М.: Изд- во
Моск. ун-та, 1985.
2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. М.: Дело, 2000.
8.
Образовательные технологии
Образовательные технологии для данного курса не используются
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1 Тематика заданий текущего контроля
Текущий контроль состоит из 8 контрольных работ. Примерные виды заданий Контрольных будут следующими
По контрольной №1
1. Вычислить формулу
2. Доказать тавтологию
F = [ ( P1   2   3 ]  1  3
[  1  2   1 ]  [ 2    1  2  ]
3. Доказать тождество
По контрольной №2
XY + X Y + Y ( Х + X ) = X + Y


Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
1. Построить график функции y  3 sin(
x
 )  0.5
2
2. Найти область определения функции, обратной данной
3. Найти предел последовательности
Lim
y  x  2 1
(n  1) 3  n 3  3n
4n 2  2n  5
при n  
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
9.2
1.Теорема о первом замечательном пределе (с доказательством).
2. Предел для монотонных последовательностей. Второй замечательный предел.
3. Односторонние пределы функции (определение Гейне и Коши).
4. Непрерывность функции в точке (определение Гейне и Коши).
5. Точки разрыва и их классификация (устранимые, неустранимые - разрыв 1 и 2 рода).
6. Бесконечно малые величины и их связь с пределами функций.
7. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
8. Геометрическое значение производной. Уравнение касательной.
9. Понятие об эластичности функции. Эластичность функции спроса.
10. Производная обратной функции (с доказательством).
11.Понятие дифференциала функции одной переменной. Геометрическая интерпретация
дифференциала
12. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их
свойства.
9.3
Примеры заданий итогового контроля
1. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе и гессиан.
2. Формулы вычисления дифференциалов высших порядков.
3. Теоремы о существовании и гладкости неявных функций.
4. Теорема о существовании и гладкости обратной функции как частный случай теоремы
о неявной функции.
5. Неявные функции определяемые системой функциональных уравнений. Матрица
Якоби и якобиан.
6. Теорема о существовании и гладкости неявных функций определяемых системой
функциональных уравнений.
7. Зависимость и независимость функций. Теорема (необходимое условие зависимости
функций) (с доказательством).
8. Следствие 1, следствие 2 теоремы о необходимом условии зависимости функций.
9. Локальный экстремум ФНП. Необходимое условие локального экстремума (с доказательством).
10. Формула второго дифференциала функции.
11. Достаточное условие локального экстремума.
12. Выпуклые и строго выпуклые функции. Достаточные условия, чтобы функция была
выпуклой (строго выпуклой).
13. Необходимое и достаточное условие локального минимума.
14. Допустимое множество, целевая функция, условный экстремум.
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
15. Теорема (множители Лагранжа для задачи на условный экстремум) (с доказательством).
16. Определение первообразной. Теорема о первообразной (с доказательством).
10. Порядок формирования оценок по дисциплине
По курсу предусмотрены 2 контрольные работы и домашнее задание, как формы текущего и промежуточного контролей и контроль текущей работы в течение четырех модулей.
Студенты, не выполнившие контрольные работы, к зачету и экзамену не допускаются, в экзаменационную ведомость проставляется оценка неудовлетворительно.
Форма промежуточного контроля второго модуля – письменный зачет, к которому допускаются студенты, выполнившие контрольные работы.
Форма итогового контроля четвертого модуля – экзамен, который оценивается по результатам текущего и промежуточного контроля в течение учебного года.
Все формы контроля оцениваются в 10-балльной шкале.
. Для получения результирующей оценки итогового контроля используются следующие
весовые множители:
 Q1 - оценки за 1 контрольную работу – 20% итоговой оценки
 Q2 - оценка за 2 контрольную работу – 20% итоговой оценки
 Q3 – оценка за домашнее задание – 10% итоговой оценки
 Q4 – оценки за экзамен – 50% итоговой оценки

Результирующая оценка
Q = 0.2Q1 + 0.2Q2 + 0.1Q3 + 0.5Q4
Полученный после округления этой величины до целого значения результат и выставляется как результирующая оценка по 10-балльной шкале по учебной дисциплине "Линейная алгебра" в экзаменационную ведомость (оценкам 1, 2, 3 в 10-балльной системе соответствует
оценка «неудовлетворительно » в пятибалльной системе, оценкам 4, 5 – «удовлетворительно »,
оценкам 6, 7 – «хорошо », оценкам 8, 9, 10 – «отлично »).
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1. Базовые учебники
1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. М.: Изд- во
Моск. ун-та, 1985.
2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. М.: Дело, 2000.
11.2. Основная литература
1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:
Наука, 1997.
2. Математический анализ для экономистов. / Под ред. А.А. Гриба и А.Ф. Тарасюка. М.:
ФИЛИН, 2000.
3. Щипачев В. С. Математический анализ: Учебное пособие для ВУЗов. М.: Высшая
школа,1999.
11.3. Вспомогательная литература
1. Шилов А.В. Курс математического анализа. М. Изд-во Наука, 1983.
2. Фехтенгольц Б.С. Курс математического анализа. М. Изд-во Наука, 1983.
Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математика» направления 030200.62 «Политология» подготовки бакалавра
11.4 Справочники, словари и энциклопедии
Справочники, словари и энциклопедии не используются
11.5
Программные средства
Компьютерное программное обеспечение отсутствует
11.6
Дистанционная поддержка дисциплины
Дистанционная поддержка дисциплины отсутствует
12. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально-техническое обеспечение курса отсутствует
Автор программ:
к.т.н., доцент Рейнов Ю.И.