§ КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ДЛИНЕ ДУГИ) 1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла I рода Пусть () – спрямляемая1) кривая в пространстве Oxyz , вдоль которой распределена масса. Определим массу кривой () , если плотность распределения массы в каждой точке M ( x, y, z ) () равна ( x, y, z ) . Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем кривую () на n дуг (1 ) , ( 2 ) , …, ( n ) . На каждой дуге ( i ) выберем произвольную точку Pi (i ; i ; i ) . Если дуга ( i ) мала, то можно считать ее однородной, с плотностью распределения массы (i ; i ; i ) . Тогда приближенное значение массы mi дуги ( i ) будет равно mi (i ; i ; i ) i , где i – длина ( i ) . Так как масса m всей кривой () равна сумме масс ее частей, то n n i 1 i 1 m mi (i ; i ; i ) i . n Причем разность m (i ; i ; i ) i будет тем меньше, чем мельче i 1 разбиение кривой () . Следовательно, точное значение массы кривой будет равно m lim 0 n (i ; i ; i ) i , (1) i 1 где – наибольшая из длин i . К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы, отвлекаясь от их конкретного содержания. 1) Кривая () называется спрямляемой, если она имеет длину. 1 2. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода Пусть () – спрямляемая кривая в пространстве Oxyz и на кривой () задана функция u f ( x, y, z ) . 1. Разобьем кривую () произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (1 ) , ( 2 ) , …, ( n ) . 2. На каждой дуге ( i ) выберем произвольную точку Pi (i ; i ; i ) и вычислим произведение f ( Pi ) i f (i ; i ; i ) i , где i – длина дуги ( i ) . n Сумму I n ( i , Pi ) f ( Pi ) i назовем интегральной суммой i 1 для функции f ( x, y, z ) по кривой () (соответствующей данному разбиению кривой () и данному выбору точек Pi ). Очевидно, что интегральная сумма I n ( i , Pi ) зависит от способа разбиения кривой () и выбора точек Pi и, следовательно, для функции f ( x, y, z ) по кривой () можно записать множество различных интегральных сумм. Пусть – наибольшая из длин i . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число I называется пределом интегральных сумм I n ( i , Pi ) при 0 (обозначают lim I n ( i , Pi ) ), если для любо 0 го 0 существует 0 такое, что для любого разбиения кривой () у которого , при любом выборе точек Pi выполняется неравенство I n ( i , Pi ) I . Если существует конечный предел интегральных сумм I n ( i , Pi ) при 0 , то его называют криволинейным интегралом I рода (по длине дуги) от функции f ( x, y, z ) по кривой () . Криволинейный интеграл I рода от функции f ( x, y, z ) по кривой () обозначают f ( x, y, z)d () ( f ( x, y, z ) называют подынтегральной функцией, () – областью интегрирования, x, y, z – переменные интегрирования, d – дифференциал длины дуги). Если существует f ( x, y, z )d , то функция f ( x , y ) называется ин() тегрируемой по кривой () . 2 Из определения следует, что криволинейный интеграл I рода не зависит от того, в каком направлении пробегается кривая () ( AB ) , т.е. f ( x, y, z)d f ( x, y, z)d . ( AB ) ( BA) Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления. Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства. СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА 1. d , где – длина кривой () . () 2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е. c f ( x, y, z )d c f ( x, y, z )d . () () 3. Криволинейный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е. f1( x, y, z) f2 ( x, y, z)d f1( x, y, z)d f2 ( x, y, z)d . () () () 4. Если кривая () разбита на две части (1 ) и ( 2 ) , не имеющие общих внутренних точек, то f ( x, y, z)d f ( x, y, z)d f ( x, y, z)d () (1 ) ( 2 ) (свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода). 5. Если всюду на кривой () функция f ( x, y, z ) 0 ( f ( x, y, z ) 0 ), то f ( x, y, z)d 0 . () f ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( f ( x, y, z ) ( x, y, z ) ), 6. Если всюду на кривой () то f ( x, y, z)d ( x, y, z)d . () () 7. (следствие свойств 6 и 1) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f ( x, y, z ) на кривой () , то m f ( x, y, z)d M , () где – длина кривой () . 3 8. (теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода) Если функция f ( x, y, z ) непрерывна на кривой () 1, то найдется такая точка P0 ( x0 ; y0 ; z0 ) () , что справедливо равенство f ( x, y, z)d f ( x0 ; y0 ; z0 ) , () где – длина кривой () . 3. Вычисление криволинейного интеграла I рода Пусть кривая () задана параметрическими уравнениями: x (t ) , y (t ) , z (t ) (где t ). (2) Если функции x (t ) , y (t ) , z (t ) имеют на [ ; ] непрерывные производные, которые не обращаются в нуль одновременно, то кривая () называется гладкой. Если функции x (t ) , y (t ) , z (t ) имеют на [ ; ] кусочнонепрерывные производные, которые не обращаются в нуль одновременно, за исключением конечного числа точек, то кривая () называется кусочно-гладкой. Справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 1. Если () – гладкая кривая, заданная уравнениями (2) и функция f ( x, y, z ) непрерывна на () , то f ( x, y, z ) интегрируема по кривой () и справедливо равенство f ( x, y, z)d f (t ), (t ), (t ) ( (t )) 2 ( (t )) 2 ( (t )) 2 dt . (3) () ДОКАЗАТЕЛЬСТВО По определению n I n ( i , Pi ) lim f (i ; i ; i ) i . f ( x, y, z)d lim 0 0 i 1 () Так как Pi (i ; i ; i ) () , то i [ ; ] такое, что 1 Функция f ( x, y, z ) называется непрерывной на кривой () , если M 0 () выполняется условие lim f ( M ) f ( M 0 ) . Если это условие выполнено в каждой M M0 M ( ) точке кривой, за исключением конечного числа точек, в которых функция f ( x, y, z ) имеет разрывы I рода, то функция называется кусочно-непрерывной на кривой () . 4 i ( i ) , i ( i ) , i ( i ) . Следовательно, () f ( x, y, z )d lim 0 n f ( i ); ( i ); ( i ) i . i 1 Найдем i . Пусть M i ( xi ; yi ; zi ) , M i 1 ( xi 1; yi 1; zi 1 ) – начало и конец дуги ( i ) . Если ( i ) мала, то можно предпо( i ) M i 1 лагать, что Pi i M i M i 1 Pi M i 1 . ⇒ i ( xi 1 i )2 ( yi 1 i )2 ( zi 1 i )2 . Mi xi 1 i (ti ) ( i ) ( i ) d ( i ) , Но d ( i ) ( i ) (ti i ) ( i ) ti . xi 1 i ( i ) ti . Следовательно, yi 1 i ( i ) ti и zi 1 i ( i ) ti . Аналогично Таким образом, i ( ( i ) ti )2 ( ( i ) ti )2 ( ( i ) ti )2 (4) ( ( i )2 ( ( i ))2 ( ( i ))2 ti . (Считаем, что ti 0 . Такое предположение допустимо, поскольку в противном случае будем считать i M i 1Pi , а для отрезка M i 1Pi тогда получим ti 0 ). Итак, получили: n f ( i ); ( i ); ( i ) i f ( x, y, z)d lim 0 i 1 () n f ( i ); ( i ); ( i ) 0 lim i 1 ( ( i ) 2 ( ( i )) 2 ( ( i )) 2 ti . Пусть t max ti . По условию кривая () – гладкая. Значит функции (t ) , (t ) , (t ) на [ ; ] непрерывны и в силу (4) t 0 при 0 . Следовательно, f ( x, y, z)d () n f ( i ); ( i ); ( i ) t 0 lim i 1 ( ( i ) 2 ( ( i )) 2 ( ( i )) 2 ti . f (t ), (t ), (t ) ( (t )) 2 ( (t )) 2 ( (t )) 2 dt . 5 ∎ НАПРИМЕР. Найти интеграл (x 2 y 2 z 2 )d , где () – один ви- () ток винтовой линии x cos t , y sin t , z t ( 0 t 2 ). x(t ) sin t , y(t ) cos t , z(t ) 1 . Имеем: Следовательно, (x 2 2 y z )d 2 2 () cos 2 t sin 2 t t 2 ( sin t )2 (cost )2 12 dt 0 2 t3 2 1 t dt 2 t 3 0 2 2 0 8 3 2 2 . 3 СЛЕДСТВИЕ 2. Если () – гладкая кривая в плоскости xOy , заданная уравнением y (x) 2 (где x [a; b] ) и функция f ( x, y) непрерывна на () , то f ( x, y) интегрируема по кривой () и справедливо равенство b f ( x, y)d f x, ( x) () 1 ( ( x)) 2 dx . a ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть x t . Тогда x t , y (t ) ( t [a; b] ) – параметрические уравнения кривой () . Следовательно, по формуле (3) b b f ( x, y)d f t , (t ) () (t ) ( (t )) dt f t , (t ) (1) 2 ( (t )) 2 dt 2 2 a a b f x, ( x) 1 ( ( x)) 2 dx . ∎ a 2 Напомним, что кривая y (x) называется гладкой на [a; b] , если функция y (x) непрерывно дифференцируема на этом отрезке. Кривая y (x) называется кусочно-гладкой на [a; b] , если функция y (x) и ее производная y (x) непрерывны на [a; b] , за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. 6 СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть () – плоская кривая, заданная в полярных координатах уравнением r r ( ) (где [ ; ] ). Если функция r ( ) непрерывно дифференцируема на [ ; ] и функция f ( x, y) непрерывна на () , то f ( x, y) интегрируема по кривой () и справедливо равенство 2 2 f ( x, y)d f r ( ) cos , r ( ) sin r ( ) (r( )) d . () ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно Подсказка: записать параметрические уравнения кривой, используя формулы перехода от полярных координат к декартовым и считая – параметром. В заключение этого пункта сформулируем теорему, которая очевидным образом следует из теорем 1 – 3. ТЕОРЕМА 4 (достаточные условия существования криволинейного интеграла I рода). Если () – кусочно-гладкая кривая и функция f ( x, y, z ) кусочно-непрерывна на () , то f ( x, y, z ) интегрируема по кривой () . 4. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов I рода 1. Длина спрямляемой кривой () может быть найдена по формуле d . ( ) 2. Пусть G – цилиндрическая поверхность, образующей которой является кривая () xOy . Тогда площадь S части поверхности G , заключенной между плоскостью xOy и поверхностью z f ( x, y ) , может быть найдена по формуле S f ( x, y )d . () (доказательство – самостоятельно) Пусть () – материальная спрямляемая кривая в пространстве Oxyz с плотностью ( x, y, z ) . Тогда справедливы следующие формулы: 3. ( x, y, z)d m – масса кривой () . () 7 4. Статические моменты кривой () относительно плоскостей yOz и xOz равны соответственно: S xy z ( x, y, z)d , S yz () S xz () y ( x, y, z)d . () S S xz , z0 xy – координаты центра тяжести кривой () . m m m 6. Моменты инерции кривой () относительно осей Ox , Oy и Oz равны соответственно: I x ( y 2 z 2 ) ( x, y, z )d , 5. x0 S yz x ( x, y, z)d , xOy , , y0 () I y ( x 2 z 2 ) ( x, y, z )d , () I z ( y 2 x 2 ) ( x, y, z )d . () 7. I o I x I y I z (x 2 y 2 z 2 ) ( x, y, z )d – момент инерции кривой () () относительно начала координат. 8