ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ (с решениями) №1 Какое предельное разрешение можно получить на электронном микроскопе с ускоряющим напряжением 100kV, 400kV если все ошибки за исключением дифракционной равны нулю. Угловая апертура объективной линзы 610-3 рад. Решение rD 0.61 12, 26 12, 26 / 105 0,039Å E 12, 26 / 4 105 0,0193Å 12, 26 E 1 09788 106 E 0.039 3.965 A 6 103 0.019 0.61 1.932 A 6 103 0.61 Å №2 Определить длину волны электронов с учетом релятивистских поправок и без них в электронном микроскопе с ускоряющими напряжениями 100kV, 400kV. Какую ошибку вносит отсутствие релятивистских поправок. Решение h ; 2meE h 2meE 1 eE 2mc 2 12.26 = 0.039 100000 12.26 5. 10 1 = 0.037 0.9788. 10 6. 5 10 E - в вольтах, - в ангстремах E (kV) E=100kV E=400kV E=600kV (Å) =0.039Å =0,019Å =0,016Å релятив (Å) релятив=0.037Å релятив=0,016Å релятив=0,0159Å №3 Рассчитать необходимую ширину щели коллиматора для выделения К1 линии в методе Ланга. Исследуемый кристалл - кремний, а=5,4306Å; отражение (220); расстояние от источника до выходной щели коллиматора 450мм; источник - точечный. Длины волн K1=0,70926Å; K2=0,71354Å Решение 2d sin 1 1 2d sin 2 2 2d cos tg 2 1 D sin tg cos 0.711 2 5.4306 1 0.711 2 / 5.4306 2 0.188 (0.71354 0.709926) 0.188 450 0.509mm 0.711 №4 Определить экстинкционную длину для отражения (220) кремния для излучения MoK1 и CuK1 . Фурье-компанента поляризуемости для этого случая для MoK (220)=(2.04+i0.017)10-6. Фурье-компанента поляризуемости для этого случая для CuK (220)=(9.74+i0.340)10-6. Параметр решетки для кремния а=5,4306Å, длины волн соответственно равны MoK1=0.70926Å, CuK1=1.54051Å Решение 2 cos K c H H 2d sin sin 1 d2 2d cos 1 sin 2 1 , 2 4d h k l 2 2 2 1 2 h2 k 2 l 2 4a 2 2 a2 Для MoK 0.7112 8 0.902 4 5.4306 0.902 0.711 3.144 105 Å = 3.144 10-5 м 31, 44 мкм 2.04 106 cos 1 Для CuK 1.542 8 0.355 4 5.4306 0.355 1.54 5.615 103 Å = 5.615 10-7 м 0.5615 мкм 9.74 106 cos 1 №5 Определить количество экстинкционных полос которое будет наблюдаться на топограмме кристалла кремния с клиновидным срезом на краю. Толщина кристалла 450мкм, поверхность кристалла перпендикулярна вектору [111], топограмма снята на отражении (220) перпендикулярном поверхности кристалла на излучении MoK1 (=0,70926Å). Фурье-компанента поляризуемости кристалла для этого случая (220)=(2.04+i0.017)10-6. Параметр решетки для кремния а=5,4306Å. Решение 0.7112 8 0.902 4 5.4306 0.902 0.711 3.144 105 Å = 3.144 10-5 м 31, 44 мкм 6 2.04 10 t 450 n 14.3 31.44 cos 1 №6 Оценить пространственное разрешение на рентгеновской топограмме снятой по методу Ланга. Излучение MoK1 (=0,70926Å), расстояние образец - фотопластинка l=10мм, размеры источника x=30мкм, расстояние источник - щелб L=450мм, используемое отражение (220), фурье-компанента поляризуемости кристалла для этого случая (220)=(2.04+i0.017)10-6. Решение x xg xD f x l D , D tg xD tg , f cos дифракционное. уширение c H l x геометрическое. уширение.( уширение.за.счет.фокального.пятна) L 2d sin sin tg спектральное. уширение 2 h2 k 2 l 2 a sin 1 sin 2 0.711. 2 = 0.185 5.4306 0.185 1 = 0.188 2 0.185 0.71354 0.70926 = 0.003 0.711. 2 0.188. 0.003 = 5.64 10 4 4 5.64. 10 . 10 = 0.006 31.44. 0.188 = 5.911 0.564 5.911 = 6.475 №7 Оценить толщину кристалла кремния при которой соотношение амплитуд нормальной и аномальной волн для симметричного отражения (220) на излучении MoK будет составлять 1/10. Фурье-компанента поляризуемости кристалла для этого случая (220)=(2.04+i0.017)10-6. Фурье-компанента поляризуемости кристалла для этого случая 0=(3.156+i0.0162)10-6. Параметр решетки для кремния составляет, а=5,4306Å. Решение 1,2 0 0 ih 1 c cos i 0 2 i0 I1 I 0 exp 1t I 2 I 0 exp 2t ln I1 / I 2 2 1 t 2 1 2i 0 ih 1 c ih 1 c cos i0 i0 4 c ih cos ln( 10 ) . 0.711. 1 4. . 0.017. 10 2 0.185 6 6 = 7.531 10 в Å или 7,53110-4м=7.531102мкм №8 Какой контраст (экстинкционный или бормановский) будет наблюдаться на топограмме монокристалла кремния толщиной 900мкм на отражении (220) на излучении а)-MoK1 oi 0,0162 , б)-CuK1 oi 0,351 . Решение 0 2 i 0 2 0, 0162 106 9 107 1, 432 107 9 107 12,888MoK 0, 711 2 0,351 106 9 107 1, 432 106 9 107 128,88CuK 1,54 №9 Рассчитать структурную амплитуду для гранецентрированной кубической решетки. Определить закон погасания рефлексов для этой структуры. Решение 11 1 1 11 Базис 000, 0, 0 ,0 22 2 2 2 2 f1=f2=f3=f4=f F (hkl ) N f j exp2 i u j h v j k w j l j 0 F (hkl ) f 1 exp i h k exp i k l exp i l h f 1 cos h k cos k l cos l h четные если hkl одновремнно F=4f нечетные если hkl смешанные F=0 №10 Рассчитать структурную амплитуду для объемоцентрированной кубической решетки. Определить закон погасания рефлексов для этой структуры. Решение 1 1 1 Базис 000, 2 2 2 f1=f2=f F hkl f 1 exp i h k l f 1 cos h k l если h+k+l если h+k+l четное число нечетное число F=2f F=0 №11 Какое оптимальное разрешение можно получить на электронном микроскопе с ускоряющим напряжением 100kV, если учесть дифракционную ошибку и сферическую аберрацию. Угловая апертура объективной линзы 610-3 рад. Коэффициент сферической аберрации Cs=0,17мм. Решение r rd rs rd 0.61 h 2meE 1 eE 2mc 2 rs Cs 3 r rd rs 0, 61 0.61 Cs 3 0.61 h 2meE 1 eE 2mc 2 Cs 3 0, 039 6 2 3 1, 7 10 2 10 3,965 13, 6 Å 6 103 12. На рентгеновской топограмме кристалла с поверхностью (111), полученной по методу Ланга, наблюдаются прямолинейные дислокации. Они лежат в плоскости ( 1 11) вдоль направления [0 1 1]. Изображение гаснет при отражении от системы плоскостей ( 4 22). Определить тип этих дислокаций. gb g xbx g yby g z bz 0 g g x 4; g y 2; g z 2 b bx 0; by 1; bz 1 13. Определить величину ускоряющего напряжения, начиная с которого разница длин волн с учетом и без учета релятивистской поправки будет составлять 15 процентов. h 2meE rel h 2meE 1 eE rel 2mc 2 12, 26 E 1 0,9788 106 E rel 1 100 1 100 6 1 0,978 10 E 14. На щель шириной a падает плоская волна. Рассчитать распределение излучения за этой щелью. (Дифракция на узкой щели). Решение 0 f x 1 x a/2 x a/2 Вспоминая, что a / 2 e 2 iux dx a / 2 e ax F u f x e 2 iux a / 2 dx e 2 iux dx a / 2 1 dx eax и обозначая a 2 iu можно записать a a 2 iu 1 2 iu a2 2 e e 2 iu 1 cos ua i sin ua cos ua i sin ua 2 iu sin ua 1 2i sin ua 2 iu u 0 f x 1 g x x a/2 x a/2 f x x a / 2 x a / 2 d f x x a / 2 x a / 2 dx G u e a 2 i u 2 e a 2 i u 2 2i sin 2 ua sin au u d G u F f x 2 iu F u dx F u 2i sin au sin au 2 iu u 15. Определить коротковолновую границу тормозного спектра рентгеновского излучения для ускоряющего напряжения 20kV, 40kV, 60kV. Решение hc 12394 h max eV min V (в вольтах) λ (в V min V=20000v λ=0,620Å ангстремах) V=40000v λ=0,309Å V=60000 λ=0,206Å 16. Рассчитать структурную амплитуду, структурный фактор и определить законы погасаний для решетки алмаза. Координаты базиса [[000,1/4,1/4,1/4]]. i h k l 1 exp i h k exp i h l exp i k l F hkl f 1 exp 2 Решение т.е. F hkl fF1 F2 Если hkl – числа разной четности, то F2=0. Если hkl – числа одинаковой четности, то F2=4. 2 2 2 Тогда для h+k+l=4n F 64 f 2 ; для h+k+l=2n+1 F 32 f 2 ; для h+k+l=4n+2 F 0 ; Погасания наблюдаются для hkl разной четности и при h+k+l=4n+2. 17. При съемке на дифрактометре в медном излучении в качестве селективного фильтра используется никель. Определить, насколько уменьшится интенсивность K и K излучений. Толщина фильтра 0,0021см, NI=8,9*103 кг/м3. Решение В области длин волн =1,5Å в никеле наблюдается резкий скачек коэффициента 275 . Используя значение Ni поглощения. В связи с этим 45,9 и CuK CuK определяем для CuK и CuK излучений. Из закона поглощения I I 0 e d найдем I I I 0, 42 ; 0, 0058 . e d . Подставив значения и d получим I0 I 0 CuK I0 18. Длина волны K-серии меди K=1,540Å. Определить длину волны K-серии молибдена, если zCu=29, zMo=42. Решение B Запишем закон Мозли c z или в виде здесь C, B и константы, 2 z причем 1 . Тогда приближенно можно записать MoK CuK zCuK 1 zMoK 1 MoK zCuK 1 или CuK zMoK 1 19. Определить число атомов в элементарной ячейке железа кристаллизующегося в кубической системе; ребро куба, а=2,87Å, атомный вес железа 55,84; плотность =7,8 Решение Применяя формулу плотности к элементарной ячейке находим 7,8 2,87 1024 N 2 т.е. на элементарную ячейку приходится 2 атома. A mH 55,84 1, 65 1024 A – атомный вес mH – масса атома водорода a3 3 20. Показать, что вектор обратной решетки Hhkl перпендикулярен плоскости прямой решетки с индексами (hkl). Решение (см. приложение 1). 21. Показать, что модуль вектора обратной решетки равен обратной величине 1 межплоскостного расстояния для плоскосей с индексами (hkl) т.е. H . d Решение (см. приложение 1).