ПРОГРАММА КУРСА ЛЕКЦИЙ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II курс, 3 семестр, 2 поток Лектор: доц. А.А.Федотов Глава 1. Интегрирование и дифференциальные формы. Раздел 1. Внешняя алгебра. 1. Пространство p-векторов. Проверка аксиом линейного пространства. Вычисление размерности. 2. P-вектора и определители линейных отображений. 3. Внешнее произведение p-векторов и его свойства. 4. Пространства с внутренним произведением. Ортонормированные базисы. Линейные функционалы. 5. Внутреннее произведение p-векторов. Ортонормированный базис. 6. Оператор Ходжа и его свойства. Примеры. Раздел 2. Дифференциальные формы на области в Rn. 7. Определение и элементарные свойства дифференциальных форм. 8. Внешняя производная и ее свойства. 9. Замена переменных, индуцированное отображение и его свойства. 10. Подъем дифференциальных форм и решение уравнения dg=h. Раздел 3. Примеры применения исчисления дифференциальных форм. 11. Дивергенция, ротор и градиент: классические определения и их перевод на язык дифференциальных форм. Формулы div rot a=0 и rot grad f=0. Решение уравнений 12. rot a=b и div a=f. 13. Применения к уравнениям Максвелла (поле, создаваемое токами в вакууме). Уравнение Максвелла на языке дифференциальных форм. Условие разрешимости. Магнитный потенциал. Gauge-преобразования. Построение магнитного потенциала. Раздел 4. Классическая теория n-мерного интегрирования. 14. Интеграл Римана. 15. Множества меры нуль. 16. Интегрируемые функции. 17. Сведение к повторным интегралам (теорема Фубини). 18. Замена переменной. Раздел 5. Интегрирование дифференциальных форм по многообразиям в Rn. 19. Многообразия. Ориентируемость и ориентация. Примеры. 20. Касательные вектора и их свойства. 21. Гладкие функции и дифференциальные формы на многообразии. Примеры форм на окружности и сфере. 22. Образ куба при гладком отображении. Ориентация образа куба и его границы. 23. Интеграл от формы по образу куба. Инвариантность. 24. Формула Стокса для образа куба. 25. Цепи и границы. 26. Интегралы от форм по многообразиям и общая формула Стокса. 1 27. Практические вычисления интегралов от дифференциальных форм. Примеры. 28. Уравнение dg=h на многообразии. Теорема де Рамма. Примеры. Раздел 6. Применения и примеры. 29. Криволинейные интегралы 1-го рода и 2-го рода. 30. Формула Грина. Следствия формулы Грина. 31. Поверхностные интегралы 1-го рода и 2-го рода. 32. Формула Остроградского-Гаусса. 33. Формула Стокса. 34. Геометрический смысл дивиргенции и ротора. Их инвариантность. 35. Вычисления в криволинейных ортогональных координатах. 36. Метрика на поверхности. Первая квадратичная форма Гаусса. 37. Вторая квадратичная форма Гаусса. Кривизна. 38. Тензора на многообразии. Примеры. 39. Связь тензоров с дифференциальными формами. Глава 2. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Раздел 1. Теорема существования и единственности. 1. Автономные и неавтономные дифференциальные уравнения. Фазовое пространство, траектории решений и интегральные кривые векторных полей. 2. Теорема существования и единственности для задачи Коши. 3. Гладкость зависимости решений задачи Коши относительно начальных данных и параметров. 4. Теорема о продолжении. Глобальное существование решений для линейных уравнений. 5. Интегралы движения. Раздел 2. Устойчивость и неподвижные точки. 6. Положения равновесия и линеаризация. Характеристическое уравнение. 7. Устойчивость положения равновесия. Теорема об асимптотической устойчивости. 8. Поведение решений вблизи гиперболической особой точки. 9. Индекс кривой и его свойства. Теорема о сумме индексов. 10. Индекс неподвижной точки векторного поля. Литература: 1. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 2, т. 4 (часть 2). 2. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. 3. Шилов Г.Е., Гуревич Б.А. Интеграл, мера, производная. 4. Пункаре А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. 5. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм. 6. Фландерс Х. Дифференциальные формы и их приложения в физике. 7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 2