Правила вычисления производных, производная сложной

1
Лекция 5.
Тема: «Правила вычисления производных,
производная сложной функции, производная
тригонометрической функции».
1. Правила вычисления производных.
а) основные правила дифференцирования:
U(x0)=U, V(x0)=V, U/(x0)=U/, V/(x0)=V/.Краткая запись.
Правило 1.
Если функция U и V дифференцируемы в точке х0, то их сумма
Дифференцируемо в этой точке и (U+ V)/= U/+ V/.
Доказательство:
1)∆ (U+ V) = U(х0+∆х) + V(х0+∆х)-(U(x0)+V(x0))=( U(х0+∆х) − U(x0))+
(V(х0+∆х)- V(x0))=∆𝑈 + ∆𝑉;
2)
)∆ (U+ V)
∆𝑥
=
∆𝑈
∆𝑥
+
∆𝑉
∆𝑥
;
3) Функции U и V дифференцируемые в точке х0, то есть при ∆х → 0
∆𝑈
∆𝑥
→ 𝑈/ и
Тогда
∆𝑉
/
→
𝑉
;
∆𝑥
∆ (U+ V)
∆𝑥
→ U/+ V/.
Итак (U+ V)/= U/+ V/.
Лемма:
Если функция f дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в
этой точке: ∆𝑓 → 0 при ∆х → 0, то есть 𝑓 (х0+∆х) → 𝑓(𝑥0 ) при
∆х → 0.
2
∆𝑓 =
∆𝑓
∆𝑥
/
∆𝑥 → 𝑓(𝑥0 ) × 0 при ∆х → 0, так как
∆𝑓
∆𝑥
/
→ 𝑓(𝑥0 ) , а ∆х →
0.
Правило 2.
Если функция U и V дифференцируемы в точке х0, то их произведение
дифференцируемо в этой точке и (U* V)/= U/* V+ U V/.
Доказательство:
1)∆
(U*
V)
U(х0+∆х) ∗
=
V(х0+∆х)-(U(x0)*V(x0))=(U(х0)+∆U) ∗
(V(х0 ) + ∆V) − U(x0)* V(х0)= U(x0)* V(х0) +∆𝑈 × 𝑉(𝑥0 ) + 𝑈(𝑥0 ) × ∆𝑉 +
∆𝑈 × ∆𝑉)) - U(x0)* V(х0)= +∆𝑈 × 𝑉(𝑥0 ) + 𝑈(𝑥0 ) × ∆𝑉 + ∆𝑈 × ∆𝑉)).
2)
)∆ (U∗V)
∆𝑥
=
∆𝑈
∆𝑥
V(x0 ) +
∆𝑉
∆𝑥
U(x0 ) + ∆𝑈
∆𝑉
∆𝑥
;
3) Функции U и V дифференцируемые в точке х0, то есть при ∆х → 0
∆𝑈
∆𝑥
∆𝑉
/
→
𝑉
;
∆𝑥
→ 𝑈/ и
Тогда
∆ (U∗V)
∆𝑥
→ U/ V(x0) + U(x0)V/+0×V/= U/ V(x0) + U(x0)V/
Итак (U* V)/= U/ V+ U V/.
Следствие.
Если функция U дифференцируема в точке х0, а с- постоянная, то
функция С U дифференцируема в этой точке и (С 𝑼)/ =С U/.
(С 𝑼)/ = С/ U + СU/=0 U+ СU/= СU/.
Правило 3.
Если функция U и V дифференцируемы в точке х0 и Функция V≠ 0 в
этой точке, то частное
U /
( ) =
V
U/ V− U 𝑉 /
𝑽/
.
𝑈
𝑉
также дифференцируемо в х0.
3
Доказательсто:
1
1
V
V(х0+∆х)
1)∆ =
1
2)
∆( )
V
∆х
−
1
V(х0
=
)
V(х0 )−V(х0+∆х)
=
V(х0+∆х)V(х0)
−
V(х0+∆х)V(х0)
∆V;
∆𝑉
=
− ∆𝑥
При ∆х → 0
1 /
V/
V
V2
( ) =
;
V(х0+∆х)V(х0
∆𝑉
∆𝑥
1
/
→𝑉 ;
∆(V)
∆х
=
−V/
∆х
=−
V/
V2
, то есть
;
U /
𝟏 /
𝟏
𝟏 /
𝑼/
V
𝑽
𝑽
𝑽
𝑽
( ) = (𝑼 ) = 𝑼/ × + 𝑼 × ( ) =
+𝑼×(
−𝑽/
U/ V− U 𝑉 /
𝑽
𝑽/
𝟐 ) =
.
2.Производная степенной функции.
Доказать, что (𝑥 𝑛 )/ =n× 𝑥 𝑛−1 .
Доказательсто:
(𝑥 2 )/ = (𝑥 1 × 𝑥 )/ = (𝑥 1 )/ × 𝑥 + 𝑥 1 𝑥 / = 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥;
(𝑥 3 )/ = (𝑥 2 × 𝑥 )/ = (𝑥 2 )/ × 𝑥 + 𝑥 2 𝑥 / = 2𝑥 × 𝑥 + 𝑥 2 × 1 =
2𝑥 2 + 𝑥 2 = 3𝑥 2 ;
(𝑥 4 )/ = (𝑥 3 × 𝑥 )/ = (𝑥 3 )/ × 𝑥 + 𝑥 3 𝑥 / = 3𝑥 3 + 𝑥 3 × 1 = 4𝑥 3 ;
(𝑥 4 )/ = (𝑥 3 × 𝑥 )/ = (𝑥 3 )/ × 𝑥 + 𝑥 3 𝑥 / = 3𝑥 3 + 𝑥 3 × 1 = 4𝑥 3 ;
для 𝑛 = 2, 3, 4 формула доказана. Докажем, что она верна
для 𝑛 > 4. Допустим, что для 𝑛 = к (𝑥 к )/ =n× 𝑥 к−1 это верно.
Докажем, что тогда формула верна при 𝑛 = к + 1.
(𝑥 к+1 )/ = (𝑥 к × 𝑥 )/ = (𝑥 к )/ × 𝑥 + 𝑥 к 𝑥 / = к𝑥 к−1 + 𝑥 к × 1 =
к𝑥 к +𝑥 к =(к+1) 𝑥 к .
4
Если 𝑛 = 1 или 𝑛 = 0, то при х ≠ 0 (х1 )/ = 1х1−1 = 1х0 = 1
(х0 )/ = 0х0−1 =0.
Пусть 𝑛 целое отрицательное число, тогда 𝑛 =
−𝑚, где 𝑚 − натуральное число .
(х
𝑛 )/
= (𝑥
−𝑚 )/
1
/
(𝑥 𝑚 )/
= ( 𝑥 𝑚 ) = − (𝑥 𝑚 )2 = −
𝑚𝑥 𝑚−1
𝑥 2𝑚
1
= −𝑚 𝑥 𝑚+1 =
−𝑚𝑥 −𝑚−1 = 𝑛𝑥 𝑛−1 . , что и требовалось доказать.
Для любого целого 𝐧 и любого х (х ≠ 𝟎, при 𝐧 ≤
𝟏) выполняется (𝐱𝐧 )/ =n× 𝐱 𝐧−𝟏 .
3.Производная сложной функции.
1)рассмотрим пример учебника.
Z=h(x)=√1 − 𝑥 2
Y=f(x)=1-𝑥 2
Z=q(y)=√𝑦
Функция f ставит в соответсвие числу х число у, а функция q-числу у
число z. Говорят, что h есть сложная функция, составленная из
функций q и f, и пишут h(x)=q(f(x)).
Область определения функции h(x) х∈ [−1; 1], следовательно q(f(x))имеет область определения[−1; 1],
2) Если функция f имеет производную в точке х0 , а функция q имеет
производную в точке 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ), то сложная функция h(x)=q(f(x))
/
также имеет производную в точке х0 , причем ℎ(𝑥0 ) = (𝑞(𝑓(𝑥0 ) ×
(𝑓(𝑥0 )/)/.
5
4.Производная тригонометрической функции.
1
(sin х)/ = cos х; (cos х)/ = − sin х; (𝑡𝑞𝑥 )/ = 2 ; 𝑐𝑡𝑞𝑥 / =
cos 𝑥
1
− sin2 х.
Доказательство:
1)
∆х
2
∆ sin х
∆х
=
sin(х0 +∆х)−sin х
∆х
=
∆х
2
2 cos(х0 + ) sin
∆х
∆х
2
=
∆х
2
∆х
2
sin
cos (х0 +
) ⇒ 1 × cos х0 = cos х0 ;
2) при ∆х → 0 а)
∆х
2
∆х
2
sin
∆х
→ 1, б) cos (х0 + 2 ) → cos х0 .
Отложим на единичной окружности от точки Р0 в обе стороны
дуги Р0А и Р0В длина
|∆х|
2
. Тогда дина дуги АВ равна
∆х
|∆х|, а длина хорды АВ равна 2 |sin | при
2
малых
|∆х| длина хорды АВ практически не отличается от длины
∆х
Стягиваемой ею дуги АВ. Следовательно
|sin |
АВ
2
=
∆х
̆
Ав
| |
=|
2
∆х
2
∆х
2
sin
|=1
при ∆х → 0 длина хорды АВ меньше длины дуги АВ, то есть
2sin
|∆х|
2
<2
|cos (х0 +
∆х
|∆х|
2
.
∆х
|2 sin 4 | ≤
) − cos х0 | = |−2 sin
2
|∆х|
при ∆х → 0.
2
, но
|∆х|
2
∆х
4
(sin (х0 +
∆х
4
))| ≤
→ 0 при ∆х → 0. cos (х0 +
∆х
2
) → cos х0
6
Посмотреть все формулы нахождения
различных функций в таблице справочника.
производных
Пример 1.
f(x)=𝑥 2 + 𝑥 3 . f/(x)=2x+3x2/
Пример 2.
f(x)=𝑥 3 (4 + 2𝑥 − 𝑥 2 =4x3+2x4-x5,
. f/(x)=12x2+8x3-5x4.
Пример 3.
1+2𝑥
/
𝑦 =
Y=3−5𝑥.
2(3−5𝑥)−(1+2𝑥)(−5)
(3−5𝑥)2
=
6−10𝑥+5+10𝑥
(3−5𝑥)2
(1+2𝑥)/ ×(3−5𝑥)−(1+2𝑥)×(3−5𝑥)/
(3−5𝑥 )2
=
11
= (3−5𝑥)2 .
Пример 4.
h(x)=(3 − 5𝑥 )5 .
/
ℎ(𝑥) =((3 − 5𝑥 )5 )/ × (3-5x)/=5(3 − 5𝑥 )4 ×
(−5) = −25(3 − 5𝑥 )4
Пример 5.
1
f(x)=(5𝑥+1)3 =(5𝑥 + 1)−3 .
1
/
f (x)=((5𝑥+1)3 ) (5𝑥 + 1)/ =((5𝑥 + 1)−3 )/ × 5 = −3 × 5 ×
/
15
(5𝑥 + 1)−4 =-15(5𝑥 + 1)−4 =- (
5𝑥+1)−3 .
Пример 6.
Y=0,5+1,5sin 𝑥. 𝑦 / = 1,5 cos 𝑥.
Пример 7.
7
/
Y=2tqx-sinx. . 𝑦 =
2
cos2 𝑥
-cos 𝑥=
2−cos3 𝑥
cos2 𝑥
.