Скачать_Лекция №3 Дифференциальные уравнения

Кучина О.М.
Дифференциальные уравнения.
Опред: Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение,
связывающее независимые переменные, их функцию и производную этой функции
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 , ) = 0
Опред: Решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая
дифференцируемая функция 𝑦 = 𝜑(𝑥), которая при подстановке в уравнение вместо
неизвестной функции обращает его в верное числовое равенство.
Опред: Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется
интегрированием.
Опред: Условия 𝑦 = 𝑦0 при 𝑥 = 𝑥0 , в силу которых функция 𝑦 = 𝜑(𝑥) принимает
заданное значение 𝑦0 в заданной точке 𝑥0 , называют начальными условиями решения.
Опред: Общее решение дифференциального уравнения – это семейство функций
y=𝝋(𝒙, 𝑪), удовлетворяющее этому уравнению при произвольном значении постоянной С.
Опред: Частное решение дифференциального уравнения – это решение, получающееся из
общего решения при конкретных определенных значениях постоянных y=𝝋(𝒙, 𝑪𝟎 ). Для
нахождения частных решений задают дополнительные условия.
Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка.
Виды дифференциальных уравнений:
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Опред: Уравнения вида
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦), где 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑦) - непрерывные функции,
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
1. Собрать переменные, содержащие 𝑥 в одной стороне, а 𝑦 – в другой, то есть
𝑑𝑦
разделить переменные. Учесть, что 𝑦 , = 𝑑𝑥
2. Проинтегрировать обе части, прибавив постоянную интегрирования 𝐶 только к
одной части.
3. Применить правило: если в решении дифференциального уравнения содержится
натуральный логарифм (𝑙𝑛), то постоянную интегрирования 𝐶 тоже записывают в
виде 𝑙𝑛𝐶.
𝑎
4. Применить свойство: 𝑙𝑛𝑎 − 𝑙𝑛𝑏 = 𝑙𝑛 𝑏
5. Применить основное логарифмическое тождество для натурального логарифма:
𝑒 𝑙𝑛𝑥 = 𝑥.
6. Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения.
7. Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения нужно использовать
начальные условия.
Кучина О.М.
Линейные дифференциальные уравнения
Опред: Уравнения вида
𝒅𝒚
= 𝒑(𝒙)𝒚 + 𝒈(𝒙), где 𝑝(𝑥) и 𝑔(𝑥) - непрерывные функции,
𝒅𝒙
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Общее решение линейного дифференциального уравнения будем искать по формуле:
𝒚 = 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 (𝒄 + ∫ 𝒈(𝒙)𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 𝒅𝒙)
Применение дифференциальных уравнений.




для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца
(эхокардиография), определения вязкости крови и других параметров
гемодинамики;
для
описания
медико
–
биологических
приложений
ультразвука:
эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и
кардиография;
для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и
работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и
животных.
Для исследования различных биологических популяций (например, популяции
болезнетворных бактерий) и исследования химических реакций в организме
(например, ферментативных).
Решение типовых заданий.
Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися
1.
𝟐
переменными 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙
Решение.
2
Проинтегрируем обе части равенства, используя таблицу интегралов: ∫ 𝑦 3 𝑑𝑦 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥.
Получим:
Мы
3
5
3
5
𝑦 3 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶, где 𝐶 произвольная постоянная.
5
пришли
к
неявно
заданной
функции
5
3
𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶, которая является общим решением дифференциального уравнения с
разделяющимися
переменными.
Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно
выразить явно через аргумент x. Итак,
3
5
5
3
5
3
5
5
3
5
𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 → 𝑦 = (− 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶) . То есть, функция 𝑦 = (− 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶) является
общим решением исходного дифференциального уравнения.
2.
В воде с температурой 𝟐𝟎 𝟎 С в течение 10 минут тело охлаждается от
𝟏𝟎𝟎 𝟎 С до 𝟔𝟎 𝟎 С. До какой температуры охладится тело за 30 минут, если по закону
Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и
охлаждающей среды?
Кучина О.М.
Решение:
Пусть T t  - температура тела в момент времени t . В силу закона Ньютона (скорость
охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды) можем
записать:
dT
 k T  20  , где k - коэффициент пропорциональности, не зависит от времени.
dt
Решим это уравнение методом разделения переменных:
dT
 kdt ;
T  20
dT
 T  20  k  dt ;
После интегрирования получим:
ln T  20   kt  ln C ;
При t  0 , T  100 0 C ; ln 100  20   k  0  ln C , C  80
При t  10 , T  60 0 C ; ln 60  20   10  k  ln 80
ln 40  10  k  ln 80
 10  k  ln 2
1
k   ln 2
10
Таким образом,
ln T  20   
1
t ln 2  ln 80
10
Пропотенцируем обе части равенства:
e
ln T  20 
e

1
t ln 2  ln 80
10
Используя основное логарифмическое тождество, получаем:
T  20  80e

1
t ln 2
10
;
t
 1 10
T  20  80   
2
t
 1 10
T  20  80   
2
При t  30 минут получим:
30
 1  10
T  20  80    ;
2
3
1
T  20  80    ;
2
Кучина О.М.
1
T  20  80    ;
8
T  20  10 ;
T  30 ;
При t  30 минут тело охладится до T  30 0 C .