Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
Уфимская государственная академия экономики и сервиса
ИШТИРЯКОВА Д.К.
МАТЕМАТИКА
Часть 4
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Дифференциальные уравнения. Ряды
Учебное пособие
Рекомендовано
учебно-методическим советом УГАЭС
Уфа 2006
УДК 517.2
ББК 22.1:22.161.6 (Я7)
И 97
Рецензенты:
Еникеев Т.И., канд. физ.-мат. наук, доцент, зам. директора
по научно-методической работе Уфимского филиала
Оренбургского государственного университета,
Бакусова С.М., канд. физ.-мат. наук,
доцент кафедры экономической теории и мировой экономики
Иштирякова Д.К.
Математика. Часть 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие /
Д.К. Иштирякова. – Уфа: Уфимск. гос. акад. экон. и сервиса, 2006. – 73 с.
ISBN 5–88469–206–4
Указанные разделы представляют собой развитие и углубление предыдущих разделов математического анализа и завершают тот фундамент, на котором строится математическое образование любого инженера и экономиста.
Кроме теоретических вопросов, рассмотренных достаточно полно, дано
решение многих примеров и задач. Весь материал необходим для овладения
основами теории вероятностей и математической статистики.
В данном пособии рассматриваются дифференциальное исчисление
функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения, ряды. Пособие снабжено своим автономным оглавлением, программным материалом,
списком литературы и пр. Имеется общее оглавление, помогающее найти каждую часть рабочего учебника, цели и задачи курса, необходимый перечень
умений и навыков студента.
ISBN 5–88469–206–4
© Иштирякова Д.К., 2006
© Уфимская государственная
академия экономики и сервиса, 2006
2
МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Рабочий учебник включает разделы «Функции нескольких переменных»,
«Дифференциальные уравнения», «Ряды» и входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин. Эти разделы изучаются в первом, втором и третьем семестрах после разделов «Линейная алгебра», «Векторная алгебра и аналитическая геометрия», «Введение в матанализ», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Интегральное исчисление
функции одной переменной».
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
Все разделы данного курса представляют собой естественное развитие и
обобщение предыдущих разделов высшей математики и преследуют целью
раскрытые органической взаимосвязи между этими разделами, а также дальнейшее развитие математического кругозора и построение фундамента, на котором строятся многочисленные приложения математики, прежде всего в экономике.
Задачи данного курса:
Овладение основами теории и выработка навыков. Применение их к конкретным задачам экономики и социологии.
Овладение методами моделирования прикладных задач. Большие возможности
в этом плане представляет теория дифференциальных уравнений благодаря их
универсальности в описании процессов, протекающих в природе и обществе.
ПЕРЕЧЕНЬ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ
Курс «Функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» является составляющей общематематической подготовкой будущего специалиста-экономиста и органически связан с предыдущими разделами курса, а также является углублением и развитием таких разделов, как
«Дифференциальные исчисления функции одной переменной», «Интегральное
исчисление», и т.д. В процессе изучения этого раздела студент должен четко
уметь давать определения, соответствующие теоремы и уметь применять их на
практике, и особенно в экономической теории.
В конечном счете ценность любого раздела определяется умением применять его к решению задач.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Понятие функции нескольких переменных, область определения.
Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные и
производная по направлению. Градиент. Полное приращение функции нескольких переменных и полный дифференциал. Частные производные высших
порядков. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные
условия экстремума функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнения первого порядка:
с разделяющимися переменными;
3
однородные и приводящиеся к ним;
линейные.
Дифуравнения второго порядка. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и неоднородные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения в экономической динамике.
Числовые ряды. Основные понятия. Необходимое условие сходимости
ряда. Гармонический ряд. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
Функциональные ряды. Степенной ряд и область его сходимости. По членное
интегрирование и дифференцирование степенного ряда. Разложение функции
в степенной ряд. Применение рядов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
ВТУЗов. Т.1. – М.,1964.
4) Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М., 1972.
5) Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.1. – М.,1982.
6) Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.,
1998.
7) Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.:
Юнита, 1998. – 471 с.
8) Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курса высшей математики. – М.: Наука, 1986, 576 с.
9) В.Е. Шнейдер и др. Краткий курс высшей математики. М.: Высшая
школа, 1972, 640 с.
10)Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Наука,
1973. – 160 с.
11)Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.:
Юнити, 1998. – 471 с.
12)Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1972. – 640 с.
13)Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.
М.: Наука. – 576 с.
14)Виленкин Н.Я. и др. Ряды. – М.: Просвещение, 1982. – 160 с.
15)Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Ч.
II. – М.: Высшая математика, 1980. – 365 с.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
4
Как определяется функция нескольких переменных?
Что представляет собой график функции двух переменных?
Сформулировать определения предела функции двух переменных в точке:
а) на «языке «    »;
б) на «языке окресностей»;
в) на «языке близости» точек.
Сформулировать определение непрерывности функции нескольких переменных в точке. Как формулируется определение на «языке приращений»? Перечислить три условия, выполнение которых равносильно непрерывности функции в точке.
Дать определение производной функции по направлению и частных производных. Какая связь существует между этими понятиями?
Что представляет собой: а) полное приращение функции;
б) полный дифференциал функции?
Как связаны между собой эти величины? На чем основано применение
полного дифференциала в приближенных вычислениях?
Дать определение градиента функции. Как взаимосвязаны градиент и производная по направлению? Какова скорость изменения функции по направлению
градиента?
Сформулировать теорию о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции двух переменных. Записать всевозможные частные производные второго порядка для этой функции.
Как формулируются определения экстремума функции двух переменных в
точке? В чем заключаются необходимые условия экстремума?
В каком случае функция двух переменных: а) имеет максимум в точке; б) имеет минимум в точке; в) не имеет экстремума? В каком случае вопрос о существовании экстремума остается открытым?
Отличаются ли понятия экстремума функции и наибольшего и наименьшего
значении функции в области? Где могут достигаться набольшее и наименьшее
значения?
12. Какое уравнение называется обыкновенным дифуравнением п-го порядка? В чем отличие частного решения от общего? В чем геометрический
смысл: а) общего решения дифуравнения первого порядка; б) частного решения?
13. В чем различие между уравнением с разделяющимися переменными
и уравнением с разделенными переменными?
14. Записать общий вид линейного дифуравнения, первого порядка. Что
означает слово «линейное»?
15. Что общего между понятиями «общее решение» и «общий интеграл»
дифуравнения? В чем различие между ними?
16. В каких случаях возможно понижение порядка дифуравнения? Всегда ли сохраняется линейность при понижении порядка?
5
17. Сформулировать определения линейной зависимости и линейной независимости функции на отрезке. Почему общее решение уравнения y”- 4y’ +
4y = 0 не может быть записано в виде y = c1 e2x + c2 e2x ?
18. Из чего складывается общее решение линейного неоднородного
уравнения второго порядка?
19. В чем суть метода неопределенных коэффициентов при нахождении
частного решения линейного неоднородного дифуравнения второго порядка?
20. Будут ли линейно независимыми в  ,  функции: а) cos2x и
cos2x; б) e3x и 5e3x; в) e-x и x e-x ?
21. Чем отличается сумма ряда от частичной суммы? Что означает:
а) сходимость ряда; б) расходимость ряда? Какой числовой ряд встречается в
школьном курсе математики?
22. Перечислить свойства сходящихся рядов. В чем заключается необходимое условие сходимости ряда? Привести пример ряда, расходящегося, несмотря на выполнение необходимого условия сходимости.
23. Сформулировать необходимое и достаточное условие сходимости
ряда с положительными членами. Какие признаки сходимости основаны на
этом условии?
24. В каких случаях применяется интегральный признак Коши? Может
ли случиться, что признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости
или расходимости ряда?
25. Сформулировать признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Достаточно ли убывания членов для сходимости таких рядов?
26. Следует ли из абсолютной сходимости знакопеременного ряда его
сходимость? Справедливо ли обратное утверждение?
27. Каково строение области сходимости степенного ряда? Совпадают
ли понятия области сходимости и интервала сходимости?
an
28. Всегда ли применима формула R  lim
для нахождения радиa
n n 1
уса сходимости степенного ряда? Как поступают в тех случаях, когда эта формула неприменима?
29. В чем заключается необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора?
30. Записать разложения функции ex, sin x, cos x, ln (1 + x), arctg x,
1  х 
в ряд Маклорена, указать области сходимости этих рядов.
6
ТРЕНИНГ-ТЕСТЫ
Выбрать один правильный ответ:
(5) Найти область определения функции:
Z  x2  y2  4
а) x 2  y 2  4 ;
б) x 2  y 2  4 ;
в) x 2  y 2  4
(6) Описать поверхности, являющиеся графиками заданных функции:
1. z  x  y  1;
а) плоскость; б) эллипсоид; в) конус;
(7) Вычислить пределы:
1  x2  y2 1
(8) lim
x 0
y 0
x2  y2
;
а) 1; б)  ; в) 0;
(9) lim

sin x 4 y 2


;
x0 2
2 2
x

y
y 0
а) 0;
б)1;
в)e;
(10)Найти частные производные:
(11) z  x 2 y  xy 2  3
z x   2 xy  y 2 ;
а)
Zy   x 2  2 xy;
z x   x 2  y 2  3;
z x   x 2 y  y 2  3;
б)
в)

2
Z x   x 2  2 xy;
Zy  2 xy  y  3;
(12)Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:
1,38 2  1,012 ;
а) 1,69;
б) 1,18;
в) 2,13.
(13)Найти производную функции Z  3x 4  xy  y 3 в точке (1;2) в направлении, составляющем с осью Ох угол   60  .
11 3
а) 5 
б) 99;
в) 98.
;
2
(14)Найти производную функции Z  ln x 2  y 2 в точке М (3;4) в направлении 
 .

gradZ
а)
2
.
5
б)
3
;
5
в)
1
;
5
7

(15)Найти экстремум функции: z  x 2  xy  y 2  2 x  3 y  5
а) z
1 
б) z max  ;1  5
2 
1 3
min  ;  6
2 4
2
3
в) z min 1;2   1
(16)Проинтегрировать уравнение: х2у’ + y = 0
а) y
1
 се х ;
б) y=cex;
в) y  се

1
х.
10. Проинтегрировать уравнение: х 1  у 2  y 1  х 2 у   0
a) 1  х 2  1  у 2  с; б) 1 + x2 + 1 + y2 = c; в) x2 + y2 = c.
11. Найти частное решение уравнения (1 + x2) dy + ydx=0, удовлетворяющее
условию y(1) = 1.

arctgx

; б) у  е 3 arctg 3 ;
в) y  1  arctg (tg ) .
4
y
y
11.1 Проинтегрировать следующее уравнение: xy’cos = ycos - x
x
x
y
y
x
1
а) sin  ln x  c ; б) sin  ln ; в) sin  ln x  c;
x
x
x
y
a) y  e 4
12.
а) y  e
y’+2xy=2x2 e  x
 x2  2
2
3
2
2

 x2
= e(c + x3); в) y = cx e  x
 x  c  ; б) у
3
3

3
13.
y + y’tgx = sin2x;
1  2
1

3
2 cos x  c 
а) y 
  cos x  c  ; б) y 
sin x  3
sin x

1

в) y  sin x cos3 x  c 
3

14. Проинтегрировать следующие уравнения:
14.1
y” – 5y’ + 6y = 0
3x
а) y = c1e + c2e2x; б) y = c1e4x + c2ex; в) y = c1e-x + c2 ex
14.2
y” – 8y’ + 16y = 0
а) y = (c1 + c2)c4x + x. б) y = (c1 + c2ex)e5x; в) y = c1e4x + c2xe4x;
14.3
y” – 6y’ + 34y = 0
8
а) y = (c1 + c2ex)e5x; б) y = (c1 + c2)cos5x; в) y = e3x(c1cos5x + c2sin5x)
15. Проинтегрировать следующие уравнения:
15.1
y” – 5y’ + 6y = 13sin3x
1
а)
y = c1e2x + c2e3x + (5cos3x – sin3x)
6
1
б) y = (5cos3x – sin3x);
6
в)
y = c1e4x + c2ex;
y” – 4y’ + 4y = xe3x
15.2
1
б) y = (c1x + c2)e2x; в) y = c1 + c2 x3
6
1
1
1
1
16. Найти сумму ряда



 ...
1  2  3 2  3  4 3  4  5 пп  1п  2
1
1
1
а) .
б) ;
в) ;
3
4
2
Исследовать сходимость рядов:
2 1 1 1
1
17.    
 ...
3 3 6 12 24
4
2
а) сходится; S 
б) расходится;
в) сходится; S  .
3
3
1 1 1 1
18.     ...
4 5 6 7
а) расходится; б) сходится;
в) колеблется (расходится)
а) y  e

19. 
2x
c1  c 2 x   e 3x x  2 ;
1
2 n 1
а) сходится по признаку Даламбера;
б) сходится по интегральному признаку;
в) расходится.
п 1

20. Исследовать на абсолютную и условную сходимость:   1n 1 
n 1
а) сходится условно;
б) сходится абсолютно; в) расходится;
 3n
21. Найти радиус сходимости ряда:  n x n
n 1 5
а) R  5; б) R  e; в) R  4.
22. Вычислить приближенно cos10 0 с точностью до 0,0001
а) 0,9848; б) 0,9948; в) 0,7581
9
1
n
Правильные ответы к тренинг-тестам см. стр. 71.
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
n
Пространство R – множество, элементами которого являются всевозможные
упорядоченные наборы п действительных чисел.
Расстояние между элементами х = (х1; х2; …; хп) и у = (у1; у2; …; уп), xi, yi
 R1 , i = 1, 2, …, n, обозначается
  х, у  
n
  хi
i 1
 y i 2 .
В
  х, у  определяется формулой
частности,
для
R2
 М 1 , М 2  
х2  х1 2   у 2  у1 2 , M1 (x1; y1), M2 (x2; y2).
В пространстве R1 (числовая ось)   х, у   х  у .
График функции z = f (x, y) – множество всех точек (x; y; f(x ,y))  R 3 , (x; y)
 (Д) – область определения функции f(x ,y).
lim f  x, y   A означает, что если расстояние между M (x ,y) и M0 (x0,y0) бух  х0
у  у0
дет достаточно малым, то расстояние между переменной точкой f(x, y) и точкой A числовой оси будет меньше любого наперед заданного (сколь угодно
малого) числа.
Непрерывность f(x, y) в точке (x0,y0) означает, что lim f  x, y   f  x 0 , y 0 
х  х0
у  у0
Полное приращение функции z = f (x, y) в точке (x0,y0) при переходе от этой
точки к точке ( х 0  х, у 0  у ) обозначается  z и определяется формулой
 z = f ( х 0  х, у 0  у ) - f(x0,y0) .
Полный дифференциал функции z = f (x, y) есть главная часть  z, линейная
относительно  х и  у, т.е. z  dz  x  y ,
где x  y есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с полным дифференциалом dz, причем
dz = f’x(x0,y0)  x + f’y(x0,y0)  y. Итак,  z  dz.
8. Частные производные f’x(x0,y0) и f’y (x0,y0):
f  x0  x, y 0   f  x0 , y 0 
f’x(x0,y0) = lim
x
х0
f  x0 , у 0  y   f  x 0 , y 0 
и f’y (x0,y0) = lim
.

у
у 0
Градиент функции f(x, y) есть вектор-функция
 f f 
f
f
f
i
j   ; , причем
grad f(x, y) =
(производная в направлении
x
y
e
 x y 

вектора e ) =  gradf  e   gradf cos ,  - угол между grad f и вектором
10
e , е  1.
z = f (x, y) имеет в точке M0 (x0,y0) локальный максимум (минимум), если в
некоторой окресности точки M0 (x0,y0) при М  М 0 выполняется
f(M) <
f(M0) (f(M) > f(M0)), где M(x, y).
Уравнение y(n) = f (x, y, y’, y”, …, y(n - 1)) или F(x, y, y’, y”, …, y(n – 1), y(n)) называется обыкновенным дифуравнением n – го порядка.
Дифуравнение первого порядка имеет вид
y’ = f (x, y)
(1)
F(x, y, y’) = 0
(2)
Функция y =  (x, c) (c - производная постоянная) называется общим решением уравнения (1) или (2), если при любом с функция у =  (х, с) удовлетворяет этому уравнению.
Если найдется такое с0, что  (х0,с0) = у0, то у =  (х,с0) называется частным
решением уравнения (1) или (2). Другими словами, это решение, которое удовлетворяет начальному условию у(х0) = у0.
Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных
кривых у =  (х, с), а частное решение определенную кривую этого семейства, т.е. кривую, проходящую через точку M0 (x0,y0).
Интегрирование (решение) уравнения (1) или (2) означает отыскание функции
у =  (х, с) (общего решения) или зависимости Ф (х, у, с) = 0 (общего интеграла).
р х 
dy p x 
Если f(x,y) =
, то уравнение y ' 
можно записать в виде q (y) dy

q y 
dx q y 
= p (x) dx, которое называется уравнением с разделенными переменными, а
само уравнение y’ = f (x, y) – уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение y’+ p (x) y = q (x) называется линейным дифуравнением первого
порядка.
Если f x, y   f  x, y  , то уравнение y’ = f (x, y) называется однородным.
Линейное и однородное уравнения сводятся к уравнению с разделяющимися
переменными.
а) Уравнение F(x, y’, y”) подстановкой y’ = z (x) сводится к уравнению первого порядка F(x, z, z’) = 0
б) Уравнение F(y, y’, y”) = 0 подстановкой y’ (x) = p(y) сводится к
dp
уравнению первого порядка F(y, p(y), р ) = 0
dy
Числовой ряд с общим членом Un есть символ u1 + u2 + …+ uvt = =

 un .
n 1
Частичная сумма Sn ряда

 u n есть конечная сумма: Sn = u1 + u2 + …
n 1
11
п
+ un =
 uк .
к 1
Сходимость ряда означает существование
lim S n
 S , при этом S называется
n 
суммой ряда.
24. Расходимость ряда означает, что указанного предела не существует.
25. Условие

 un = 0
есть необходимое условие сходимости.
n 1
26. Ряд и1 – и2 + и3 – ип + … (или –и1 + и2 – и3 + …), где ип > 0 п , называется
законочередующимся.
27. Для законочередующегося ряда монотонность стремления к нулю общего
члена ип есть условие сходимости ряда.
28. Ряд а0 + а1х + а2х2 + …+ апхп+ …=

 аn х п
называется степенным;
n 0
а0, а1, а2, …, ап, … - коэффициенты ряда.
29. При х = х0 ряд

 аn х п
становится числовым. Если он сходится, то х0
n 0
называется сходимости степенного ряда. Множество точек сходимости
называется областью сходимости. Область сходимости есть либо (-R, R),
либо (-R, R], либо [-R, R), либо [-R,R].
30. Число R > 0 называется радиусом сходимости степенного ряда. Если ряд
an
содержит все степени (четные и нечетные), то R  lim
. В интервале
n a n 1
сходимости (-R, R) степенной ряд сходится абсолютно, т.е. сходится
ряд

 аn х п
n 0
f ' x0 
f " x0 
f n  x 0
2
x  x0  
 x  x0   ... 
 x  x0 n  ...
31. Ряд f  x 0  
1!
2!
n!
называется рядом Тейлора функции f(x) по степеням (x – x0), а формула
f ' x0 
f n  x 0
x  x0   ... 
 x  x0 n  rn  x 
f ( x)  f  x 0  
называется
1!
n!
формулой Тейлора; rn (x) – остаточный член. При этом для сходимости ряда Тейлора к f(x) необходимо и достаточно, чтобы lim rn  x   0 .
п 
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
12
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
При математическом описании явлении окружающей нас действительности приходится констатировать, что многие изучаемые величины зависят не
от одного, а от нескольких факторов. Если изучаемую величину U и каждый из
определяющих её n факторов можно охарактеризовать некоторым числом, то
указанная зависимость означает, что упорядоченному набору  х1, х2 ,... хn  из
n чисел ставится в соответствие число U. Дадим следующие определения.
10 . Упорядоченный набор чисел  х1, х2 ,... хn  будем называть точкой
М  х1, х2 ,... хn  n-мерного пространства R , причем  i xi  R , где R множество действительных чисел.
n
1
1
1
Геометрическим образом пространства R служит числовая ось (каждая
точка пространства имеет одну координату - абсциссу), образом пространства
R
2
- координатная плоскость (каждая точка имеет две координаты – абсциссу
3
и ординату), образом R служит трехмерное пространство, каждая точка которого имеет три координаты - абсциссу, ординату и аппликату.
2 0 . Пусть   R n . Соответствие f, сопоставляющее каждой точке
M   единственное действительной число U R1 , называется действительной функцией n действительных переменных x1 , x 2 ,.., x n и обозначается
U  f ( x1 , x 2 ,.., x n ), или U=f(M) ,причем
x1 , x 2 ,.., x n - независимые переменные;
U=f(M)-значение функции;
 - область определения;
f   множество значений; f - закон соответствия.
Если  не указано,то оно определяется из условия выполнимости операций или действий, указанных в законе соответствия f (при аналитическом
задании функции).
Замечание. Вместо U  f  x1; x2  обычно употребляется запись
Z  f  x, y  , а вместо U  f  x1 ; x 2 ; x3  употребляется U  f  x; y; z  .
Пример. Найти область определения функции двух переменных
Z  9  x2  y2 .
Решение Соответствие между x, y, z имеет смысл лишь
2
2
2
2
при 9  x  y  0 , т.е. при x  y  9 . Таким образом,
13


  M ( x, y ) x 2  y 2  9 т.е. область определения есть множество
2
2
точек плоскости, для которых x  y  9 . Геометрически:  - замкнутый
круг радиуса 3 с центром в т.(0,0) (т.е. внутренность круга, включая границуокружность)
f    0,3область значений.
Резюме. Функция U  f ( x1 , x 2 ,.., x n ) ставит в соответствие точке
M ( x1 , x 2 ,..., x n ) R n единственную точку U  R1 .
ГРАФИК ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть функция z  f  x, y  определена в области
D   R 2
и точка
M  x, y   D  . Проведем перпендикуляр к плоскости в точке М и на нем отложим расстояние f ( x, y ) - вверх, если f  x, y   0 , и вниз, если
f  x, y   0 .
Множество точек P x, y, f  x, y  образует некоторую поверхность
(рис. 1)
Z  f ( x, y )
z
Р
0
y

М
(Д)
x
Рис. 1
Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению z  f ( x, y) , называется графиком функции z  f ( x, y) .
Например, графиком функции z 
9  x 2  y 2 является верхняя полусфера
2
(рис. 2), графиком функции z   9  x  y
2
2
а уравнение x  y  z
2
2
является нижняя полусфера ,
 9 определяет полную сферу.
14
Z
3
3
у
3
х
Рис. 2
Резюме. Графиком функции является поверхность, проекцией которой
на плоскость хоу является область (Д) - область определения функции.
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
2
Пусть z  f ( x, y) определена в области (Д)  R , M ( x, y)  ( Д )
def
1о . lim f ( x, y )    (означает по определению)
x  x0
y  y0
  0
 00 

Более краткая запись:
x  x0 2   y  y0 2    f  x, y      
lim
M M0


 2 о Круг с центром в т. M 0 ( x0 , y 0 ) радиуса  будем называть
окрестностью т. M 0 и обозначать   M 0  . Интервал  A   , A    называется  - окрестностью точки A и обозначается O  A . Тогда определение 1
предела функции в точке можно сформулировать в следующем эквивалентном
виде:
0
3o .
Здесь O M 0  означает проколотую окрестность, т.е. круг с удаленным
центром. Итак существование lim f M  означает, что как только точка
o
M M0
M  x, y  попадает в проколотую   окрестность точки M 0 , то образ этой
точки, т.е. f  x, y  попадает в  - окрестность точки A .
15
Резюме. Существование конечного предела
lim
M M0
f ( M )  A означа-
ет, что если точка M «подойдет» к точке M 0 достаточно близко, а именно,
на расстояние, меньше чем  , то f (x) «подойдет» к точке А сколь угодно
близко, а именно, на расстояние, меньше чем  , где  - сколь угодно малое
положительное число.
Для функции нескольких переменных остаются в силе теоремы о пределе суммы, произведение и частного двух функций, в том числе для
x  , y  .
Примеры:
2

x 
1. Вычислить lim x  y
2
sin
y 
1
2
x y
2
.
Решение: Под знаком предела имеем неопределенность вида   0 . Положим

x 
1
2
x y
2

 t  0 при x  , y   . Имеем
lim x 2  y 2 sin
y 
1
x2  y2
2. Вычислить lim
sin t
 1.
t 0 t
 lim
x  y  2x 2  2 y 2
x2  y2
x 
y 
Решение. Перейдем к полярным координатам r ,  , причем
x  r cos , y  r sin  , r  x 2  y 2   , при x  , y   . Тогда
т.к. cos   sin   - ограниченная при r   ,
1
- бесконечно малая; по известной лемме произведение бесконечно малой на
r
ограниченную величину есть величина бесконечно малая, т.е.
1
cos   sin 
 lim
r
r
r 
lim
бес. мала
cos   sin  
ограничена
16
=0
x4  y2
3 Доказать, что lim
x  x 2
y 
y
4
не существует.
Решение. Стремление x  , y   означает, что точка M  x, y 
удаляется в бесконечность, причем способов удаления, т.е. «маршрутов» , передвижения точки M  x, y  бесконечное множество.
В случае существование предела lim f  x, y  значения f  x, y  «приx 
y 
дут» к некоторой точке A независимо от «маршрута», или «пути». Следовательно, если выбрать два различных «маршрута» и показать, что «пункты прибытия» значений f  x, y  различны, то это и будет означать, что lim f  x, y 
x 
y 
не существует, т.е. f  x, y  «не подойдет» к определенному «пункту» А.
1. Пусть M   вдоль прямой y  x ; при этом
2
2. Пусть M   вдоль параболы y  x ; тогда
lim
x 
y 
x4  y2
2
x y
 2 lim
4
 lim
x2
x  1  x 6
x4  x4
x  x 2
 2 lim
x 
x
8
 lim
x  x 2
1
1
x
2
2x 4
x
4
1  x 
6

 2  0  0.
Поскольку 1  0 нарушена единственность предела, т.е. lim f  x, y  не
x 
y 
существует.


4 0. Пусть M  x1 , x 2 ,... x n  и M 0 x1(0) , x 2(0) ,..., x n(0) функция
U  f M   f  x1 , x 2 ,..., x n  называется непрерывной в точке M 0 , если существует конечный lim f M   f M 0 
M M0
Для функции двух переменных Z  f  x, y  4 можно перефразировать
0
так:
17
Z  f  x, y  называется непрерывной в точке M 0  x0 , y 0 , если существует
конечный lim f  x, y   f  x0 , y 0  или
x  x0
y  y0
lim  f  x, y   f  x0 , y0   0.

x  x0
y  y0
Положим x  x0  x - приращение переменной x ;
y  y 0  y - приращение переменной y ;
z  z  z 0  f  x, y   f  x0 , y 0   f  x0  x, y 0  y   f  x0 , y 0 - приращение функции. Получаем эквивалентное  определение:
5 0 Функция Z  f  x, y  называется непрерывной в точке  x0 , y 0  , если lim z  0
x  0
y  0
Выполнение
lim
M M0
f M   f M 0  равносильно выполнению трех усло-
вий:
1) f M  определена как в самой точке M 0 , так и в некоторой её окрестности;
2) существует конечный lim f M 
M M0
3) этот предел равен значению f M 0 
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то точка M 0 называется
точкой разрыва функции f M  .
6 0 Если функция непрерывна в каждой точке области (Д), то она называется
непрерывной в области (Д).
Как и для функции одной переменной, для функции нескольких переменных остаются в силе арифметические свойства непрерывных функций.
Справедливы также следующие теоремы Вейештрасса
2. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция ограничена на этом множестве.
3. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своего наибольшего и своего наименьшего значений.
Пример
Исследовать на непрерывность функцию Z 
18
x2  2y  4
y 2  2x
Решение. Функция непрерывна как отношение многочленов во всех точ2
ках, в которых y  2 x  0 .Точки разрыва расположены на линии y
т.е. на параболе.
2
 2x ,
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.
ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ
Представим себе неравномерно нагретую тонкую пластинку. Очевидно,
скорость изменения температуры в различных направлениях будет различной.
у
l
M
 M0
x
0
Рис. 3
В связи с этим рассмотрим задачу об определении скорости изменения
2
функции в заданном направлении. Пусть в некоторой области (Д)  R задана
функция Z  f  x, y  . Рассмотрим точку M 0  x0 , y 0  и любую направленную
прямую l , проходящую через эту точку (рис.3). Пусть точка M  x, y  лежит
на этой прямой. Отношение f M   f M 0  есть средняя скорость изменения
функции в направлении прямой l .
f M   f M 0 
называется производной функции f  x, y  в
M 0M
M M0
f  x0 , y 0 
направлении l и обозначается
.
l
f  x0 , y0 
f M   f M 0 
Итак,
(1)
 lim
l
M 0M
M M0
- скорость изменения функции в точке M 0 в направлении l .
Положим x  x0  x, y  y 0  y и обозначим
1
0
lim
  M 0M 
x 2  y 2 . Тогда (1) запишется:
19
f  x, y   f  x 0 , y 0 
f
 lim

l   0

f  x0  x, y 0  y   f  x0 , y 0 
 lim
x  0
x 2  y 2
y  0
(1 )
0
2 При y  0 ( l параллельна оси Ох) получим
f  x0  x, y0   f  x0 , y0  f

x
x
x  0
lim
(2)
- частная производная функции по переменной x .
f  x0 , y 0  y   f  x0 , y 0  f

.
y
y
y  0
Аналогично lim
(3)
Будем рассматривать теперь частные производные в произвольной точке
 x, y .
Обозначим f  x  x, y   f  x, y    f - частное приращение функx
ции по переменной x ,
f  x, y  y   f  x, y    f - частное приращение по y .
y
Тогда (2) и (3) можно записать:
 f
 f
f

f
y
x
 lim
,
 lim
x x  0 x
y y  0 y
f f
,
Наряду с обозначениями
употребляются обозначения
x y
f   x, y , f   x, y  , т.е.
x
y
f
f
 f x ,
 f y  , или z x  , z y 
x
y
f
 f x   z x  , аналогично по переменной у.
Итак,
x
Для функции n переменных U  f  x1 , x 2 ,... x n  частная производная
по переменной xi определяется как
 f
f
xi
 lim
, где  f  f  x1 ,..., xi  xi ,..., x n   f  x1 , x 2 ,..., x n 
xi xi  0 xi
xi
частное приращение функции f .
20
Из определения
f
f  x  x, y   f  x, y 
 lim
x x  0
x
следует, что поскольку приращение получает только переменная x , то y
можно временно считать фиксированным, т.е.
правилам дифференцирования, считая
нахождении
f
можно найти по обычным
x
y постоянным. Аналогично при
f
считается постоянным x .
y
Примеры
f
f
1. z  f  x, y   x 3 y 7 ;
 3x 2 y 7 ;
 7x3 y 6 ;
x
x
f
2. U  f  x, y, z   x 2 y 3 z 6 ;
 2 xy 3 z 6 ,
x
f
f
 3y 2 x2 z6;
 6z 5 x 2 y 3
y
z
Рассмотрим функцию z  f  x, y  . Найдем
z  f  x  x, y  y   f  x, y - полное приращение функции.
3 . Функция называется дифференцируемой в т.  x, y  , если выполнены
условия:
0
2. существуют конечные
 z z
и
в этой точке;
 x y
3. z представимо в виде
z 
z
z
x  y + x  y
x
y
(1)
главная часть z
(4)
(2)
бесконечно малая высшего
порядка по сравнению с (1).
Где   0,   0 при x  0, y  0
Из (4) видно, что z можно рассматривать как сумму двух слагаемых
(1) и (2). Слагаемое (1) линейно относительно x и y , слагаемое (2) не линейно относительно x и y .
21
4 0 Главная часть полного приращения функции, линейная относительно
x и y , называется полным дифференциалом функции и обозначается dz .
Итак,
dz 
z
z
x  y,
x
y
(5)
z  dz + x  y
и
главная часть z
«мелочь» по сравнению с dz .
Замечание. Можно показать, что x  y   ,
где   x   y  ,   0 при   0 .
Таким образом, при малых x и y , можно считать (если отбросить
«мелочь»), что z  dz , т.е.
f  x  x, y  y   f  x, y   dz , или
f  x  x, y  y   f  x, y   dz. В точке  x0 , y 0 :
2
2
f  x0  x, y 0  y   f  x0 , y 0   dz
(6)
Формула (6) позволяет по назначению f  x0 , y 0  в т.  x 0 , y 0  находить
приближенно значение в близкой к  x 0 , y 0  точке  x0  x, y 0  y  .
На этом основано применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислим приближенно 0,97
2,02
.
Решение. 1. Рассмотрим функцию z  f  x, y   x
Взяв x0  1, x  0,03, x0  x  0,97 , и
y
y 0  2, y  0,02, y 0  y  2,02, можем воспользоваться формулой (6).
y
2
3. Найдем f  x0 , y0   x0 0  1  1.
1. Найдем dz  f x  x0 , y0 x  f y  x0 , y0 y;
f   x, y   yx y 1 , f   x, y   x y ln x ;
x
y
f y   x0 , y0   x0 y0 ln x0  12 ln 1  0.
f x   x0 , y 0   y 0 x0 y0 1  2  1  2 ;
dz  2   0,03  0  0,02  0,06;
Ответ:
22
Для функции g  x, y   x имеем dg  dx  x ; аналогично
y  dy .Тогда (5) можно записать в виде: dz 
z
z
dx  dy (7)
x
y
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ
Теорема. Если f  x, y  дифференцируема в точке M 0  x0 , y 0 , то она
имеет в этой точке производную по любому направлению l , причем
f  x0 , y 0 
f  x0 , y 0  cos 
f
 x0 , y 0  
cos  
,
(1)
l
x
y
где  ,  - углы, образованные направлением прямой l соответственно с положительными направлениями осей Ох и Оу (рис.4)
y
l
М
y
y0
M0


х0
0
х
х
рис. 4
Доказательство. Обозначив x  x0  x, y  y 0  y,
  M 0M 
x  x0

 x  x0 2   y  y0 2 , имеем
 cos  ,
y  y0

 cos  ,
23
f  f M   f M 0   f  x, y   f  x0 , y 0  

f
 x0 , y0 x  f  x0 , y0 y   
x
y

f
 x0 , y0  x  x0   f  x0 , y0  y  y0    ,   0 при   0
x
y
(см. замечание после 40 п.4)
Отсюда
f M   f M 0  f  x0 , y0  x  x0 f  x0 , y0  y  y0




 .
M 0M
x

y

Переходя к пределу при M  M 0 , т.е.   0, получим:
f  x0 , y 0 
f
 x0 , y0   f  x0 , y0  cos  
cos  , cos   sin
l
x
y
Замечание Для случая U  f  x, y, z  имеем:
f
 x0 , y 0 , z 0  
l
f
f
f
  x0 , y 0 , z 0  cos    x0 , y 0 , z 0  cos    x0 , y 0 , z 0  cos 
x
y
z
где  ,  ,  - углы, которые составляют направление l с положительными
направлениями осей Ox , Oy , Oz соответственно.
Пример. Найти производную в точке 3,1 функции z  x  y  xy в
направлении, идущем от точки 3,1 к точке 6,5 .
2
Решение.
 6  32  5  12  5
x  x0 6  3 3
5 1 4
cos  

 , cos  
 ,

5
5
5
5
Имеем

 x  x 0 2   y  y 0 2
24
2
f
f
f
 2 x  y,  2 y , 3,1  2 x  y   7
x
y
x
x 3
y 1
f
3,1  2 y  x 
y
 5,
x 3
y 1
f
3,1  7  3  5  4  41
l
5
5 5
1 Градиентом функции z  f ( x, y) в точке M 0  x0 , y 0  называется
вектор
0
 f  x , y  
f
0 0
grad z  grad f  x0 , y 0    x0 , y 0  i 
j
x
y


(2)

grad f

M0
l

e
Рис. 5
Рассмотрим единичный вектор (рис.5)
(3)
 

Скалярное произведение  e , grad f  с учетом (2) и (3) равно




 
 f
f  x0 , y0  cos  f
 e , grad f    x0 , y0  cos  
(4)


 x

y

l


С другой стороны,
 
 e , grad



  

f   e  gradf cos   gradf cos 

Приравняв правые части ( 4) и (5), получим

f
 grad f cos  .
l
25
(5)
Если   0 , то есть направление прямой l совпадает с направлением
градиента, то cos   1 ,т.е.
f
имеет наибольшее значение, и
l
2
2

 f 
 f 
 f 

gradf
      .
 
 l  max
 x 
 y 
Резюме. Скорость изменения функции будет наибольшей в направлении
градиента функции.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Рассмотрим функцию . Частные производные
 z z
и
, вообще говоря,
 x y
также являются функциями тех же переменных х и у, которые также могут
иметь частные производные, которые будем называть вторыми частными производными (производными второго порядка).
  z   2 z
(дэ два z по дэ икс дважды)
1 .  
x  x  x 2
2z
0   z 
(дэ два z по дэ икс дэ игрек)
2 .  
y  x  xy
0
  z   2 z
3 .   
(дэ два z по дэ игрек дэ икс )
x  y  yx
0
  z   2 z
4 .   
y  y  y 2
0
В
(дэ два z по дэ игрек дважды).
определениях
20 и 30 порядок следования символов
x и y или у и х  указывает на то, что функция продифференцирована
сначала по одной из переменных, и полученный результат продифференцирован по другой переменной.
2z
Например,
означает, что z продифференцирована по х ( х на
xy
первом месте), результат продифференцирован по у.
Найденные вторые производные также могут иметь частные производные. Например,
   2 z 
3z

, и так далее.
x  y 2  y 2 x
26
Вообще, частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная от частной производной n  1 - порядка той же функции.
 2 z  2 z  2 z 3z
,...
В отличие от
,
,
,
2
3
2
3
y x y
x
3z
2z 2z
3z
производные
,
,
,
,...
2
xy yx xy xyx
Будем называть смешанными частными производными.
2 f
2 f
Употребляются также обозначения
,
, Z x 2   x, y , Z xy  , так что,
x 2 xy
2z 2 f
например

 Z xy   f xy  .
xy xy
Пример. Найти частные производные второго порядка функции
z  x3 y 4 .
Решение.
z
z
 3x 2 y 4 ,
 4 y3 x3 ,
x
y
2
2z
  z 
  z 
2 3  z


 6 xy 4 ,
   12 x y ,


xy y  x 
x 2 x  x 
2
2z
  z 
  z 
2 3  z

   12 x y ,

   12 y 2 x 3 .
2
yx x  y 
y  y 
y
2z
2z

Мы видим, что
, и это не случайно.
xy yx
Оказывается, справедлива следующая теорема (о равенстве смешанных
частных производных второго порядка):
если z  z  x, y  имеет в окрестности точки M  x, y  частные производные
2z
2z
и
, которые непрерывны в самой точке M , то в этой точке
 x y  y x
2z
2z

.
xy yx
27
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Пусть функция z  f  x, y  задана в некоторой области Д  R2, точка
 x0 , y 0   Д .
z
у
0
  x0 , y 0 
х
Рис. 6
10. Точка  x 0 , y 0  называется точкой максимума функции f  x, y  , если
всюду в некоторой окрестности этой точки f  x, y   f  x0 , y 0  (рис 6).
z
0
y
(x0,y0)
х
Рис. 7
2 .Если всюду в некоторой окрестности точки
 x0 , y0  f  x, y   f  x0 , y0 , , то  x0 , y 0  называется точкой минимума
0
функции f  x, y  (рис. 7).
Значение функции в точках max и min и называется максимумами и минимумами, или, короче, экстремумами.
Понятие экстремума носит локальный (местный) характер. Некоторые
минимумы могут оказаться больше некоторых из максимумов. Не надо смешивать экстремумы с наибольшими и наименьшими значениями.
28
 x0 , y 0  - точка максимума. Тогда в некоторой
окрестности этой точки f  x, y   f  x0 , y 0 . В частности,
f  x, y 0   f  x0 , y 0 . для всех x из некоторого интервала  x0   , x0    .
Это значит, что функция одной переменной f  x, y 0  имеет в точке x 0 макПусть, например,
симум, следовательно, в точке x 0 выполняется необходимое условие экстре-

мума, а именно, f x  x0 , y 0   0 или не существует.
f  x0 , y , получим,
Аналогично, рассматривая
что
в
точке
f y   x0 , y0   0 или не существует. Итак, доказана следующая теорема (необходимые условия экстремума). Если f  x, y  , в точке  x 0 , y 0  име-
 x0 , y 0 
ет экстремум, то в этой точке
 f  x , y   0
 x 0 0
либо 
,

 f y  x0 , y0   0
либо хотя бы одна из частных производных не существует.
Примеры 1. Функция z  f  x, y   x  y
2
так как f 0,0  0, и f  x, y   0, если x  y
z
2
2
2
имеет min в точке 0,0 ,
 0 (рис.8)
у
x

Рис. 8



При этом f x  x, y   2 x, f y  x, y   2 y, f x 0,0  f y 0,0  0
2. f  x, y   1 
x 2  y 2 имеет в точке 0,0 max , f max  f 0,0  1, т.к.
1  x 2  y 2  1.
29
x

При этом f x  x, y   
2
x y

и f y  x, y   
2
y
2
x y
2
в точке (0,0)
не существуют.
30. Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Следующий пример показывает, что не всякая критическая точка является точкой экстремума функции.



3. f  x, y   x  y ; f x  x, y   2 x, f y  x, y   2 у f x 0,0  0,
2
2
f y  0,0  0  0,0 - критическая, f 0,0  0 . Но в любой окрестности точки (0,0) f  x, y  принимает значение как  0
(при x  y ), так и  0 (при x  y ), то есть критическая точка (0,0) не является ни точкой max , ни точкой min
Резюме. Равенство нулю или не существование хотя одной из частных
производных является только необходимым, но не достаточным условием
наличия экстремума функции в точке.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть в точке M 0  x0 , y 0  f x  x0 , y 0   0, то есть выполнены необходимые условия экстремума функции z  f  x, y  . Обозначим
A
 2 f  x0 , y 0 
x 2
 2 f  x0 , y 0 
 2 f  x0 , y 0 
,B
, C
и составим выраже2
xy
y
2
ние   AC  B . Тогда:
1. если   0 , то f  x, y  имеет в точке M 0 экстремум, а именно максимум
при A  0 и минимум при A  0 ;
2. если   0 , то в точке M 0 экстремума нет;
3. если   0 , то вопрос остается открытым, т.е. в точке M 0 может быть экстремум, а может и не быть.
Пример Найти экстремумы функции
z  x 2  xy  y 2  3x  6 y
Решение. Найдем
Найдем критические точки из системы
 f   x, y   0
2 x  y  3  0
 x
т.е.
из
системы

 
x  2 y  6  0
 f y  x, y   0
находим x  0, y  3; M 0 0;3 - критическая.
30
2 f
2 f
2z
 2,
 1,
 2, т.е. A  2, B  1, C  2 ;
2
2

x

y
x
y
  AC  B 2  2  2  1  3  0  0;3- точка экстремума.
A  0 , то согласно 1. 0;3 - точка
Так как
z min  z 0;3  9.
минимума,
.
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ОБЛАСТИ
Пусть z  f  x, y  непрерывна в ограниченной замкнутой области Д и
дифференцируема внутри (Д). Тогда по второй теореме Вейсрштрасса (п.4)
она достигает в области своего наибольшего и наименьшего значений, либо
внутри области, либо на её границе. Если эти значения достигаются во внутренних точках (Д), то эти точки будут точками экстремума функции. Таким
образом, точки, в которых f  x, y  имеет наибольшее и наименьшее значения,
будут либо точками экстремума, либо граничными точками области (Д).
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z  x 2  xy  y 2  4 x в замкнутой области, ограниченной прямыми
x  0,
y  0, 2 x  3 y  12  0 ,
Решение
1. Найдем точки экстремума внутри области (Д) (рис. 9)
А
4
2
(Д)
M0
В
0
2
4
6
Рис. 9
Решая систему:
2 x  y  4  0
8
4
, находим x  , y 

3
3
 x  2 y  0
16
8 4
8 4
M 0  ,    Д , z ,   
3
3 3
3 3
I.
Рассмотрим значения функции на границе области.
31
1) OA : x  0, z 0, y   y - возрастает на отрезке
0  y  4, z0,0  0 , z 0,4  16
2
2) OB : y  0, z x,0  x  4 x, z  x   2 x  4  0,
2
x  2; z 2;0  2 2  4  2  -4
2
3) AB : 2 x  3 y  12  0, y  6  x ,
3
4
19 x 2  120x  144
2 2
2
z  x  x6  x   36  12 x  x  4 x 
;
3
9
9

z  x  

1
19  2 x  120  0, x  60 ;
9
19
 60 
z  
 19 
19 
3600 120  60

 144
9
869
192
19

 5
171
9
171
1. Среди значений 
16
3
,
0
, 16 , -4 ,  5
9
171
выбираем наибольшее и наименьшее.
16
8 4
z наим  z ,    - достигается внутри области;
3
3 3
z наиб  z 0,4   16 - достигается на границе области.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Принятые обозначения
Нумерация определений - сплошная, т.е. O1 – определение первое, O2 - определение второе и т.д.
Нумерация теорем – сплошная, т.е.T1 – теорема первая и т.д.
Нумерация формул, уравнений и т.д. – сплошная: (1), (2), и т.д.
Нумерация примеров – сплошная, т.е. П1 – первый пример, П2 - второй пример
и т.д.
Для сокращения текста использованы символы А  В (из А следует В), 
(существует, найдется),  (для любого, для каждого)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
32
Всеобщая изменчивость («все течет, все изменяется»), присущая всем
явления окружающего нас мира, была замечена в глубокой древности. Конкретный характер этой изменчивости раскрывается с помощью таких понятий,
как масса, скорость и ускорение, траектория и т.д. То, что подвержено изменению, может быть массой, концентрацией вещества, координатной точки и т.д.,
т.е. охватывая всевозможные случаи, можно сказать, что это функция одной
или нескольких переменных. Но скорость изменения чего-либо – это производная, а скорость изменения скорости, т.е. ускорение – это вторая производная. Так мы приходим к понятию дифференциального уравнения.
О1 Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее
производные от искомой функции.
Если неизвестная функция – от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным. Если уравнение содержит функцию нескольких переменных и её частные производные, то оно называется уравнением частных производных. Впредь будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (слово «обыкновенные» будем опускать), т.е. уравнения вида
F(x, y, y’,y”,…,y(n))=0
(1)
Уравнение (1) есть дифуравнение п – го порядка. Таким образом, порядок уравнения есть порядок старшей производной искомой функции.
Примечание. Уравнение, вообще говоря, может и не содержать у или х.
Например, у’’’ = x – дифференциальное уравнение третьего порядка, y” + 4y
= 0 – уравнение второго порядка.
Итак, дифуравнение, непременно содержит производные искомой функции.
Рассмотрим подробнее дифуравнение первого порядка F(x, y, y’)=0 (2)
или, если удается выразить y’ явно через х и у,
y’=f(x,y)
(3)
Допустим, нам удалось решить (проинтегрировать) уравнение (2) или
(3). Будет ли это решение единственным ? Обратимся к простейшему дифуравнению y’=f(x).
Как известно,
у =  f x dx   x   c , где с = сonst.
Итак, в результате интегрирования даже простейшего уравнения мы получаем не одно, а бесконечное множество решений (семейство решений).
О2 Общим решением уравнения (2) или (3) называется семейство функции
у =   х,с ,
(4)
заданных на некотором множестве (например, на отрезке [a,b] ) обращающих
уравнение (2) или (3) в тождество.
О3 Решение
y =   х,с0 
(5)
назывется частным.
Таким образом, частное решение (5) получается из общего решения (4)
при с = С0.
33
Геометрически (4) представляет собой бесконечное семейство линийсемейство интегральных кривых, а частное решение (5) – одну, определенную
кривую этого семейства (рис. 10)
y
M0 ( x0 y0 )






0
y =   х, с 0 
y =   х, с 
x
Рис. 10
Для выделения частного решения из общего задают начальные условия:
у х  х0  у 0
(6)
(иногда (6) записывают в виде у ( х0 ) = у0 ). Геометрически это означает, что
для выделения кривых надо задать точку М0 (х0 у0 ), через которую проходит
эта кривая. На рис.1 график частного решения у    х,с0  изображен жирной
линией.
О4 Задача нахождения решения (5), удовлетворяющего условиям (6),
называется задачей Коши.
Примечание. Результат интегрирования уравнения (2) или (3), т.е. зависимость между у, х и с не всегда удается записать в виде (4). Эта зависимость,
записанная в виде
Ф (х, у, с) = 0
(7)
называется общим интегралом уравнения (2) или (3). Ясно, что общее решение и общий интеграл имеют один и тот же смысл.
Поясним физический смысл общего и частного решения на примере
уравнения радиактивного распада
m’ (t) = - k m,
(8)
в котором m = m (t) - наличное количество, т.е. масса радиактивного вещества в момент времени t. Уравнение (8) выражает тот факт, что скорость распада пропорциональна наличному количеству вещества. Величина К – коэффициент пропорциональности и для каждого конкретного вещества имеет
определенное значение. Знак “ – “ указывает на то, что происходит убыль
(распад) вещества.
34
Запишем уравнение (8) в виде
dm
dm
 kdt.
 km, или
m
dt
Последнее равенство есть равенство дифференциалов двух функции, а
именно d ln m  d  kt  . Но если дифференциалы двух функции равны, то эти
функции отличаются только константой, т.е.
ln m  kt kt  ln c ,
откуда имеем т  се  кt - общее решение. По нему мы не можем сказать, что
оно однозначно определяет данный процесс, поскольку неизвестно, каково
было количество вещества в какой-то начальный момент времени t  t 0 .
Пусть известно, что
т t t 0  m0 , т.е. заданы начальные условия.
Тогда имеем т0 = с е  кt 0 и c  m0e kt0 ; подставив полученное значение с в общее решение, т = с е –кt, получим, m = m0 е кt 0  е
 кt
или
т  т0е  к t t 0  . Тем самым имеем вполне определенный процесс, т.е. располагая полученным частным решением. Можно узнать , каково будет в любой
момент времени.
Приведем без доказательства теорему о существовании и единственности решения задачи Коши Т1 Пусть - G область определения функции f (x, y).
f
Если f (x, y ) непрерывна в области Д  G и имеет ограниченную
в облаy
сти Д, то  достаточно малое h  0 такое, что на отрезке [ x0  h, x0  h]  Д
уравнение (3) имеет единственное решение задачи Коши.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Общего метода интегрирования уравнения (3) не существует, поэтому
рассмотрим частные типы уравнений, интегрирование которых приводится к
вычислению неопределенных интегралов, или, как говорят, приводится к
квадратурам.
УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЕННЫМИ И РАЗДЕЛЯЮЩИМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
Рассмотрим дифуравнение (3), где f ( x, y ) = f1 (x) f2 (y),
dy
т.е. уравнение вида
(9)
 f1  x  f 2  y 
dx
Предполагая, что f 2  0 запишем его в виде
35
dy
(9’)
 f1  x dx
f2 y
Равенство (9’) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть попеременной , а правую по , получим:
dy
(10)
 f  y    f1 x dx  c
2
Соотношение (10) можно привести к виду (7), т.е. (10) представляет собой общий интеграл уравнения (9).
О5 Дифуравнение
M (x) dx + N (y) = 0
(11)
типа (9’) называют уравнением с разделенными переменными.
Общий
интеграл
уравнения
(11)
по
доказанному
есть
 М хdx   N  y dy  c
П1 Дано уравнение с разделенными переменными
xdx + ydy = 0
x2 y2

 c , или x2 + y2 = 2c1  0 ; положим 2 c1 =
Интегрируя, получим
2
2
c2. Тогда x2 + y2 + c2 – общий интеграл (концентрических окружностей с центром (0; 0) и радиусом с).
О6 Уравнение вида M1 ( x ) N1 (y) dx + M2 (x) N2 (y) d y = 0
(12)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Его можно преобразовать к виду
М1  х 
N  y
dx  2 dy  0 , т.е. к уравнению вида (11) (преобразование заМ 2 х
N1  y 
конно только в той области, где M 2  x   0 и N1  y   0 ).
П2 Решить уравнение
dy
y

dx
x
Решение Разделяем переменные:
dy
dx

y
x
dy
dx
c
Интегрируем:     ln c , или ln y   ln x  ln c , y  - общее
x
y
x
решение (семейство равносторонних гипербол).
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
О7 Функция f  x, y  называется однородной функцией п-го измерения
относительно х и у, если для любого  выполняется


f  x ,  y   n f  x, y .
36

П3
f  x, y   xy  y 2 - однородная функция второго измерения, т.к.

   
f  x ,  y   x   y   y 2   2 f  x, y 
П4
x2  y2
f  x, y  
xy
-
однородная
нулевого
измерения,
т.к.

 x 2   y 2
f  x,  y  
x2  y2

  0 f  x, y  .
 x y
xy
О8 Уравнение y   f  x, y  называется однородным, если f  x, y  есть однородная функциянулевого измерения относительно х и у.
Пусть y   f  x, y  - однородное дифуравнение,т.е. f  x,  y   f  x, y  .
1
 y
Полагая   , получим f 1,   f  x, y  , и уравнение примет вид
x
 x
dy
 y  y
 f 1,   q 
(13)
dx
 x  x
y
Введем новую искомую функцию Z  x   , отсюда y  xZ  x ,
x
dy
dz
 Z x  x
dx
dx
Уравнение (13) примет вид
dz
dx
dz
Z + x  q z  , или
(14)

dx
q z   z x
- уравнение типа (9’), т.е. с разделенными переменными.
у
Интегрируя (14) и подставляя вместо Z отношение , получим общий
х
интеграл уравнения (13).
П5 Найти интегральную кривую уравнения x2 – y2 + 2 x y y’= 0, проходящую через точку M ( 1;1 ).
Решение: Преобразуем уравнение к виду
2
 у
  1
у2  х2 1  х 
у 
 
у
2 ху
2
х
Тогда y = xz, y ‘ = z + xz’ и
z2 – 1.
и положим
у
 Z x .
х
1 z2 1
z  xz   
, или 2z ( z + xz’ ) =
2
z
37
Упростим:
2 zdz

z 2 _1
2 zdz

z2 1
2z2 + 2xzz’ = z2 – 1, 2xzz’ = - ( z2 + 1), 2xz


dz
  z2  1,
dx
dx
- уравнение типа (9’) . Интегрируем:
x
 
dx
 c1,
x
ln z 2  1   ln x  ln c ,
c1  ln c  ,
c
z2 1  ;
x
y
y2
c
подставим z  , тогда
 1  , или y 2  x 2  cx - семейство окружноx
x
x2
стей.
Воспользуемся тем, что искомая интегральная кривая проходит через
точку M 1;1 , т.е. y x 1  1, что дает 1 + 1 = c, т.е. c = 2, следовательно y2 +
x2 = 2x, или ( x – 1 )2 + y2 = 1 - окружность с центром в точке (1;1) радиуса 1.
 а х  в1 у 

Заметим, что уравнение y’ = f  1
(15)
 а2 х  в2 у 
- однородное уравнение, т.е. типа (13)
Рассмотрим уравнения, приводящиеся к однородным:
 a x  b1 y  c1 
dy

 f  1
y’ =
(16)
dx
 a2 x  b2 y  c2 
где f- непрерывная функция.
При c1 = c2 = 0 уравнение (16) является уравнением типа (15) и является однородным. Пусть теперь c1 и c2 (или одно из них) отличны от нуля.
Введем новые переменные s и t, полагая
х  s  
(*)

y

t



dy dt
Тогда
(17)

dx ds
dy
Подставляя в (17) выражения для x, y и
, получим (с учетом (16))
dx
 a s  b1t  a1  b1  c1 
dt

 f  1
(18)
ds
 a2 s  b2t  a2  b2   c2 
Подберем  и  так, чтобы выполнялось
а1  в1  с1  0 
(19)
,
а2  в2   с2  0
т.е. определим  и  как решения системы уравнении (19). При выполнении
(19) уравнение (18) становится однородным:
 a s  b1t 
dt
 , т.е. уравнение вида (16).
 f  1
ds
 a2 s  b2t 
38
Решив это уравнение и перейдя снова к x и y по формулам (*), получим решение уравнения (16).
Система (19) не имеет решения, если
а1 в1
 0 , т.е. а1 в2 = а2 в1
а2 в2
а
в
Но тогда 1  1   , т.е. а1   а 2 , в1   в 2 и уравнение (16) привоа2 в2
дится к виду
  a 2 x  b2 y   c1 
dy
 , и подстановкой Z  a2 x  b2 y уравнение (16) бу f 
dx
a
x

b
y

c
 2
2
2 
дет иметь вид:
z  c1
1 dz a
, т.е. уравнение с разделяющимися переменными.
 
b dx b  z  c 2
П6 Решить уравнение
dy x  y  3

dx x  y  1
Решение: Положим х = s +  , y = t +  .
dy dt s  t     - 3
Имеем
 
.
dx ds s  t   -  - 1
    3  0
Решая систему
находим  = 2,  = 1.
,
   1 0 
Получаем однородное уравнение
t
1
dt
dt s  t
s

, или
- однородное уравнение. Введем новую

ds 1  t
ds s  t
s
t s 
dt
dz
искомую функцию Z s  
, тогда t = s Z ( s ),
 Z s   s
s
ds
ds
dz 1  z
dz 1  z
и Z+s 
 z,
, s 
ds 1  z
ds 1  z
dz 1  z 2
s 
,
ds 1  z
1  z dz  ds
1  z2
s
- уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем:

1  z dz 
1  z2
1 dz 2
ds




 s  ln c ,
1  z2 2 1  z2
dz
39


1
t
или arctgZ  ln 1  Z 2  ln s  ln c  arctgZ  ln  cs 1  Z 2 . Подставляя
2


s
вместо Z и s = x – 2 ,получим


t
y  12 

arctg  ln c x  2 1 
, или
2

s
 x  2 

c
 x  2
2
  y  1  e
2
arctg
y 1
x2
- общий интеграл.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
О9 Уравнение вида y’ + p ( x ) y = q ( x )
(20)
называется линейным, уравнением первого порядка (перед y’ может быть какой-либо множитель). Слово «линейное» означает, что уравнение содержит
искомую функцию y (x) и y’ (x) в первой степени. Функции p (x) и q (x) предполагаются непрерывными.
Решение уравнения (20) будем искать в виде y ( x ) = u ( x ) v ( x ), или,
короче,
y=uv
(21)
Найдем y’ = u’ v + u v’
(22)
И подставим (21) и (22) в (20):
u’ v + u v’ + p ( x ) uv = q ( x ), или u’ v + u ( v’ + p ( x ) v) = q ( x ) (23)
Поскольку уравнение (23) содержит две неизвестные функции u ( x ), v
( x ), то на одну из них, например, на v ( x), мы вправе наложить дополнительное условие. А именно, потребуем, чтобы выполнялось
v’ + p ( x ) v = 0
(24)
Тогда в силу (24) уравнение (23) примет вид u’ v = q ( x ),
(25)
где v была найдена из (24) и v = v ( x ) означает какое-либо частное решеq x 
ние уравнения (24). Так как из (25) следует, что и  
dx  c , то y = u v,
v
найденное по (21), даст общее решение уравнения (20).
П7 Решить уравнение xy’ + 2y = x2
Решение. Полагаем y = u (x) v(x), находим y’ = u’v + uv’. Подставим
вместо y и y’ соответствующие выражения в исходное уравнение:
x (u’v + uv’) + 2uv = x2, или
xu’v + u ( xv’ + 2v ) = x2.
(*)
dv
Подберем v = v ( x ) так, чтобы xv’ + 2v = 0, или х  2v , откуда
dx
dv
dx
dv
dx
1
 2 ; интегрируя, имеем   2 , или ln v  2 ln x ,
v
v
x
v
x
x2
Уравнение (*) примет вид:
х4
du
3
3
 с,
 x , du = x dx, u =
u’v = x, или u’’ = x, отсюда u’ = x ,
2
4
dx
x
1
3
40
 х4
 1
х2
с


 с  , или у 
у = u (x) v (x) =
- общее решение.

2
 4
 х2
4
х


По разобранной схеме решается и уравнение Бернулли у’ + p (x) y = q
(x) у ,
где  - действительное,   0 и   1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифуравнение второго порядка имеет вид
F (x, y, y’, y”) = 0
(26)
или
y” = f (x, y, y’ )
(27)
Для (26) или (27) также существут общее и частное решение. Рассмотрим сначала пример.
П8 Найти решение уравнения y” = 2, удовлетворяющее условиям
y(1) = 2, y’ (1) = 1.
Решение: Имеем (y’)’ = 2, отсюда y’ = 2x + c1. Интегрируя, получим
у   2 х  с1 dx  x 2  c1x  c2 .
Из условия y’ (1) = 1 получим 1 = 2  1  c1 , т.е. c1 = -1 и y = x2 – x + c2.
Из условия у (1) = 2 находим с2: 2 = 1 – 1 + с2, т.е. с2 = 2.
Итак, у = х2 – х + 2.
Пусть для (27) получено решение
у =  ( х, с1, с2)
(28)
Оно называется общим, если:
с1 и с2 (28) является решением уравнения (27).
Из (28) можно получить любое частное решение, удовлетворяющее условиям
(29)
у
 у0
у
 у0 ,
х  х0
х  х0
у
Г
41
0
М0
0
х
Рис. 11
Геометрически общее решение (28) представляет собой бесконечную
совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров с1 и с2. Через каждую точку плоскости М 0  х0 , у0  проходит пучок интегральных кривых (рис. 11). Поэтому, чтобы из семейства (28) выделить одну определенную кривую Г, недостаточно указать точку М 0  х0 , у0  , через
которую должна проходить эта кривая, а следует указать ещё направление, в
котором кривая Г проходит через точку М0, т.е. задать тангенс угла  0 , образованного касательной к этой кривой в точке М0 с положительным направлением оси Ох.
Если обозначить tg  y  , на основании (28) имеем
0
0
y0    x0 , c1, c2 , 

(30)


y0   x  x0 , c1, c2 

Из системы (30) можно определить с1 и с2 и тем самым найти решение
y    x  , удовлетворяющее условиям (29).
ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Уравнения вида y” = f (x) решаются последоательным интегрированием.
П9 Решить уравнение y” = sinx.
Решение Имеем (y’)’ = sinx, отсюда y’ =  sin xdx   cos x  c1 . Далее,
y   ydx    cos x  c1 dx   sin x  c1x  c2 .
Итак, y = - sinx + c1x + c2 - общее решение.
Уравнение вида y” = f (x, y’)
(31)
Полагая y’ (x) = Z (x), приведем (31) к виду (поскольку y” (x) = Z’ (x) )
Z’ = f (x, Z) - уравнение первого порядка.
П10 Решить уравнение ( 1 + x2 ) y” – 2xy’ = 0
Решение: Положим y’ (x) = Z (x). Тогда y” = Z’ и (1 + x2) Z’ – 2xZ
dZ
= 0, (1 + x2)
= 2xZ
dx
dZ 2 xdx
dZ
2 xdx

,

,
Z 
Z 1  x2
1  x2
42



Z  c1 1  x 2  y x 
ln Z  ln 1  x 2  ln c1 ,


x 3 
 c - общее решение.
Тогда y = c1  1  x 2 dx , или y  c1  x 

 2
3


Уравнение вида y” = f (y, y’)
(32)
Не содержит х в явном виде.
Порядок уравнения (32) можно понизить, если за независимую переменную взять у, т.е. ввести функцию y’ (x) = p (y) - сложная функция х. Дифференцируя, получим:
Y” (x) = p’ (y)  у  х  = p’ (y) p (y), тем самым (32) примет вид
p’ (y) p(y) = f (y, p (y)) - уравнение первого порядка.
П11 Решить уравнение 1 + y’2 = 2 y y”.
Решение: Положим y’ (x) = p (y). Тогда y” (x) = p’ (y) p (y), и исходное
уравнение примет вид
dp
2 pdp dy
1 + p2 (y) = 2yp’ (y) p (y), или ! + p2 = 2yp ,
 .
2
y
dy
1 p
Интегрируем:
2 pdp
dy
ln 1  p 2  ln y  ln c1 ,
1 + р2 = с1 у,
 ,

2
y
1 p
dy
,
dx
пусть с1 у – 1 = t2,
р=

с1 у  1 
dy
 dx,
c1 y  1
c1dy = 2tdt.
dy
2tdt 2


c1 y  1  x  c2 ;
c1t c1
c1 y  1

dy
  dx;
c1 y  1
Тогда
c12  x  c2 2
c1 y  1 
,
4
c12  x  c2 2  4
- общее решение.
y
4c1
ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
(ЛОДУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Это уравнение имеет вид
y” + ay’ + by = 0,
y = y (x),
(33)
где a и b - действительные числа .
Пусть y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) - частные решения уравнения (33).
О10 Два решения y1 и y2 называются линейно-зависимыми, если можно
подобрать постоянные числа c1 и c2, не равные одновременно нулю, такие,
что c1 y1 + c2 y2  0
(34)
43
В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения y1 и
y2 называятся линейно-независимыми. Другими словами, если y1 (x) и y2(x)
линейно независимы и имеет место тождество (34), то c1 = c2 = 0.
Будем искать решение уравнения (33) в виде y = ekx (35)
Дифференцируя, получим y’ = kekx, y” = k2 ekx
(36)
Подставим (36) и (35) в уравнение (33):
k2 ekx+ a kekx + b ekx = 0,
или ekx (k2 + ak + b) = 0.
Поскосльку ekx  0 ни в одной точке, то
k2 + ak + b = 0
(37)
Уравнение (37) называется характеристическим уравнениeм уравнения
(33). Для корней уравнения (37) возможны следующие случаи. Пусть Д=а2–4в.
Д > 0, т.е. уравнение (37) имеет два различных действительных корня
а Д
и
к1 
2
а Д
к2 
.
2
Можно доказать, что в этом случае у1  е к1х и у2  е к 2 х являются линейно-независимыми частными решениями уравнения (33).
а
Д = 0, т.е. к1  к2  к   .
2
Линейно-независимыми частными решениями будут
у1 = ekx
и
y2 = х ekx
Д < 0, т.е. уравнение (37) имеет сопряженные комплексные корни к1    i
и к 2    i .
Линейно-независимые частные решения:
y1  e αx cos βx и
y2  ex sin  x.
Справедлива следующая теорема.
Т2 Если y1 (x) и y2(x) - линейно-независимые частные решения уравнения
(33), то общее решение этого уравнения имеет вид
у = с1 у1 (х) + с2 у2 (х)
(38)
Таким образом, для случаев 1,2 и 3 общее решение имеет вид:
1. Д > 0, у = с1 е к1х + с2 е к 2 х ;
2. Д = 0, у = с1 е кх + с2х е кх ;
(39)
(40)
3. Д < 0, y  с1eαx cos βx + с2ex sin  x.
(41)
П12 Найти частное решение следующих уравнении при указанных
начальных условиях:
a) y” – 3y’ + 2y + 0,
y (0) = 3,
y’ (0) = 4;
б) y” – 2y’ + y = 0,
y (0) = 1,
y’ (0) = 0;
в) у” – 2y’ +2y = 0,
y (0) = 1,
y’ (0) = 1.
44
Решение: а) характеристическое уравнение k2 – 3k + 2 = 0 имеет корни
k1 = 1, k2 = 2. Тогда общее решение согласно (39) имеет вид у = с1 е х +с2 е 2 х .
Так как y (0) = c1 + c2 и y’ (0) = c1 + 2c2, то имеем систему
с1  с2  3

с1  2с2  4
oткуда c1 = 2, c2 = 1.
Искомое частное решение: y = 2e x + e2x
б) решая характеристическое уравнение k2 – 2k + 1 = 0, находим
k1=k2=1. Согласно (40) общее решение имеет вид y = (c1 + c2 x) ex.
Так как y (0)=1, то c1=1, поскольку y’ = y + c2 ex и y’ (0) = 0, то c2 = -1.
Окончательно ичкомое частное решение:
y = (1-x) ex.
в) характеристическое уравнение k2 – 2k + 2 = 0, имеет корни k1 = 1 + i,
k2 = 1 - i, т.е.   1,   2 и согласно (41) общее решение
y = c1 ex cosx + c2 ex sinx
Из условия y(0)=1 получаем y(0)=c1=1; имеем y’ = (ex cosx + c2ex sinx)’
= ex (cosx – sinx) + c2ex(sinx + cosx), тогда y’ (0) = 1 + c2 = 1, c2 = 0. Итак, искомое частное решение
y = ex cosx.
ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
(ЛНДУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Это уравнение имеет вид
y” + ay’ + by = f (x), f(x)  0
(42)
Решение уравнения (42) основывается на следующей теореме Т3 Если
y* – некоторое частное решение уравнения (42) и у – общее решение уравнения (33), то общее решение уравнения (42) имеет вид
y = у + y*
(43)
то есть общее решение ЛНДУ = общее решение ЛОДУ + частное решение
ЛНДУ.
Укажем правило нахождения y* по методу неопределенных коэффициентов.
Пусть f(x) = b0 x2 + b1 x + b2; тогда:
а) y* = Ax2 + Bx + C, если нуль не яляетя корнем уравнения (37) (характеристического);
б) y* = Ax3 + Bx2 + Cx, если нуль является простым корнем уравнения (37);
примечание:
если b0 = 0, то полагается A = 0;
4
в) y* = Ax + Bx3 + Cx2, если нуль является двукратным корнем уравнения(37).
Пусть f(x) = A е х ; тогда:
45
а) y* = B е х , если число  не является корнем уравнения (37);
б) y* = Bx е х , если  является простым корнем уравнения (37);
в) y* = Bx2 е х , если  является двукратным корнем уравнения (37);
Пусть f(x) = ех (M cos  х + N sin  х ); тогда:
а) y* = ех (A cos  х + B sin  х ); , если число    i не является корнем
уравнения (37);
б) y* = x ех (A cos  х + B sin  х );, если число    i является корнем характеристического уравнения (37)
П13. Найти общее решение уравнения
y” + y’ = 8x – 6
(44)
Решение. Найдем у – общее решение уравнения y” + y’ =0. Характеристическое уравнение:
k2 + k = 0, отсюда k1 = 0, k2 = -1. Согласно (39) у  c1 + c2 e-x – общее решение ЛОДУ.
Сравнивая правую часть (44) с правой частью 1) настояшего п. 3.4., замечаем, что b0 = 0, т.е. f(x) = в1 х  в2 . Согласно п. а) 1) y* cледует искать в
виде y* = Cx2 + Bx. Подберем С и В так, чтобы y* было решением уравнения
(44). Для этого найдем y*’ = 2Cx + B, y*” = 2C и подставим выражение для
y*” и y*’ в (44). Получим:
2C + 2Cx + B = 8x – 6, или
2Сх + (В + 2С) = 8х – 6.
Согласно методу неопределенных коэффициентов, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях последнего уравнения.
х1
2С  8

  С  4, В  14 .
0 В  2С  6
х
Тогда у* = 4х2 – 14х.
Согласно (43) у = у + у* = с1 + с2 е-х + 4х2 – 14х - общее решение
уравнения (44).
П14 Найти общее решение уравнения
y” – 2y’ –3y = - 2ex
(45)
Решение Соответствующее однородное уравнение
y” – 2y’ –3y = 0
(46)
2
Имеет характеристическое уравнение k -2k - 3 = 0, корни которого
k1 = 3, k2 = -1 действительны и различны. Сoгласно (39) ,
у = с1 е к 3 х + с2
е  х - общее решение уравнения (46). Найдем теперь y*. Имеем f(x) = - 2ex.
Так как   1 не является корнем характеристического уравнения, то согласно
п. 2) а) y* = B е х , y*’ = B е х , y*” = B е х .
46
Подставив y*, y*’, y*” в (45), имеем B е х - 2 B е х -3 B е х = -2 е х , или -4
1
B е х = -2 е х  4B = 2, B = .
2
1
1
Итак, у* = ех. Согласно (43) у = с1 е3х + с2 е-х + ех - общее реше2
2
ние уравнения (45).
П15 Найти общее решение уравнения
y” + 4y = 4 sin2x
(47)
Решение Однородное уравнение: y” + 4y = 0
(48)
2
xарактеристическое уравнение: к + 4 = 0, отсюда к1 = 2i, k2 = - 2i, т.е.
  0,   2 (cм. 41). Oбщее решение у уравнения (48) имеет вид у = c1
cos2x + c2 sin2x.
Так как f(x) = 4 sin 2x = 0  соs2 x + 4sin2x, то  i  2i совпадает с корнем
характеристического уравнения. Тогда согласно п. 3. б) y* = x (A cos 2 х + B
sin 2 х ). Далее,
y*’ = Acos2x + Bsin2x - 2x (A sin 2 х - B cos 2 х ),
y*” = -4Asin2x + 4Bcos2x - 4x (A cos 2 х - B sin 2 х ).
Подставляя y*, y*’, y*” в (47), имеем после упрощений -4Asin2x +
4Bcos2x = 4sin2x.
Приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x в обеих частях полученного равенства, имеем
-4A = 4, 4B = 0, т.е. A = -1, B = 0, y* = -x cos2x, и
y = у + y* = c1 cos2x + c2sin2x – xcos2x eсть общее решение уравнения (47).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ
Дифференциальные уравнения являются универсальными в том смысле,
что дифуравнение определенного типа описывает различные процессы и явления. Например, дифуравнение второго порядка с постоянными коэффициентами описывает как механические колебания (груз, подвешенный на упругой пружине) так и электрические колебания в цепи, состоящей из омического
сопротивления, конденсатора и катушки индуктивности.
В п. 1 (Основные понятия) рассматривалось уравнение радиактивного
распада (8), смысл которого в том, что скорость распада пропорциональна
наличному количеству (к моменту времени t ) вещества. Следующая задача
макроэкономической динамики в принципе совпадает с уравнением радиактивного распада (8)
Задача Пусть y(t) - объем продукции некоторой отрасли, реализованной
к моменту времени t.
Примем условие ненасыщаемости рынка, т.е. положим, что все производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене
p. Тогда доход к моменту времени t составит
47
Y(t) = py(t).
Пусть J(t) - величина инвестиции, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиции, т.е.
y’(t) = l J(t)
(49)
Полагая, что величина инвестиции J(t) составляет фикироанную часть
дохода, получим
J(t) = m Y(t) = mpy(t),
(50)
где коэффициент пропорциональности m ( так называемая форма инвестиции) – постоянная величина, 0 < m < 1. Подставляя J(t) из (50) в (49), получим уравнение
y’ = ky,
(51)
где k = mpl.
Уравнение (51) – с разделяющимися переменными и в принципе совпадает (по типу) с уравнением радиактивного распада (8), которое было проинтегрировано в п. 1.
Заметим, что уравнение (51) описывает так же рост народонаселения
(демографический процесс), динамику роста цен при постоянной инфляции.
РЯДЫ
Принятые обозначения.
1. Определения будем обозначать 1о, 2о, и т.д., то есть 1о - определение первое,
2о - определение второе, и т.д.
2. Теоремы будем обозначать Т1, Т2,…
Следствие из теорем - С1, С2,…
Начало доказательства - Д
Принята сплошная нумерация формул
Для сокращения записи используются символы математической логики: ,,,

x - для любого, для всякого, для каждого x;
 - существует;
AB - из утверждения (формулы) А следует утверждение (формула) В;
АВ - для выполнения А необходимо и достаточно выполнение В (А равно-
сильно В)
П1, П2, … Означает пример 1, пример 2, … (нумерация сплошная)
n
u  u  u
k 1
k
1
2
 ...  un
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СХОДИМОСТЬ
В математике и её приложениях большую роль играют суммы бесконечного множества слагаемых (бесконечные суммы). Вспомним, например, что
 f ( x)dx  lim  f  k 
b
a
n
n  k 1
max xk  0
(определение определённого интеграла)
48
Другой пример, знакомый по школьному курсу математики, бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия:
2
n 1
a  aq  aq  ...  aq

n 1
 ...   aq
n 1

a
1 q
Оказывается, не все бесконечные суммы подчиняются законам, которые
верны для конечных сумм. Поэтому возникает необходимость построения
строгой теории бесконечных сумм (рядов).
Рассмотрим последовательность действительных чисел:
u1, u2 ,u3 , …, un, …, где u1=f(1), u2=f(2), …, un=f(n), …, un - функция натурального аргумента.

u1  u2  ...  un  ...   un (1) называется числовым рядом.
1о Выражение
n 1
Числа u1, u2, …, un, … называются членами ряда, а un=f(n) - общим или n-м
членом ряда.
Образуем
последовательность
S1=u1,
S2=u1+u2,
S3=u1+u2+u3,
Sn=u1+u2+…+un, …, или, короче, последовательность {Sn}, где
n
S n   uk
k 1
о
2 Числа S1, S2, …, Sn, ……….
(2)
называются частичными суммами ряда (1)
Возможны три случая:
1.  конечный lim S n  S в этом случае ряд (1) называется сходящимся, число
n 
S называется его суммой.
2. lim S n   ряд (1) - собственно расходящийся.
n
3. Не существует конечного lim S n и Sn? (не стремиться к бесконечности);
n
ряд (1) – расходящийся (колеблющийся).
П1. Найти сумму ряда
1
1
1
1


 ... 
 ...
1 2 2  3 3  4
n(n  1)
(3)
1
1
1
найдём
 

n(n  1) n n  1 un
1 1 1
1 1
1 
1

 1
S n  u1  u2  ...  un  1  2    2  3   ...   n  1  n    n  n  1   1  n  1 ; отсюда
Решение.
С учётом тождества
1 

  1 , т.е. ряд сходится и его сумма S=1
lim S n  lim 1 
n 1
n 
n  

Примечание. Для сходящегося ряда с суммой S пишут S   un , так что
n 1
в данном примере

1
 nn  1  1
n 1
49
П2.
Исследовать
n 1
2
a  aq  aq  ...  aq
сходимость
 ... , (4)
геометрического
ряда
(прогрессии)
n
a 1  q 
 a  a  n
где a  0 . Известно, что S n  
q
1 q
1 q 1 q
а) пусть q  1 ; тогда
n
q
 0 при n   , следовательно lim S n 
n 
a
1 q
б) q  1 ; при этом q   , lim S n   , ряд расходится
n
n
в) q=1, ряд (4) принимает вид: a  a  ...  a  ... , тогда
S
n
 na , lim S n   , ряд
n
расходится
г) q  1 , ряд (4) принимает вид: a  a  a  a  ...  1n1 a  ...

0 при n чётном

S n a при n нечётном

Ясно, что Sn не имеет предела при n   , ряд расходится.
Итак, геометрический ряд (4) сходится при q  1 и сумма его при этом
S
a
; при q  1 ряд расходится.
1 q
3о. Ряд, полученный из данного отбрасыванием его первых n членов,
называется n-м остатком ряда.
Пусть ряд (1) сходящийся.
Тогда остаток ряда  n  un 1  un 2  ...  S  S n , (*) и можно сформулировать определение сходимости ряда:

4о. Сходимость  u n  lim  n  0
n 
n 1
СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
1. Если ряд u1  u2  ...  un  ... сходится и имеет сумму S, то и ряд
cu1  cu2  ...  cun  ... также сходится и имеет сумму cS.
2. Если ряды

u
n 1
то и ряд
n
и

v
n 1
n
сходятся и их суммы соответственно равны S1 иS2,

 u  v  также сходится, и его сумма равна S1+S2.
n 1
n
n
3. В результате отбрасывания конечного числа начальных членов сходящегося ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов сходимость ряда не нарушается.
Д. Пусть S  u1  u2  ...  uk  ... ,   v1  v2  vk  0  0  ...  0  ... , где v1  v 2  v k - k
слагаемых
50
По свойству 2.
v v
1
2
 ...  vk  u1  u2  ...  un  ...    S .
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД
Т. Если ряд u1  u2  ...  un  ... сходится, то lim u n  0
n 
Д. Имеем S n  u1  u2  ...  un 1  un  S n 1  un . По условию ряд сходится,
т.е. lim S n  S , и lim S n 1  положим n  1  m   lim S m  S .
n 
n 
m 
Тогда lim u n  lim S n  S n1  lim S n  lim S n1  S  S  0
n 
n 
n 
Итак, lim u n  0
n 
(5) - необходимое условие сходимости ряда,
n 
т.е. при невыполнении этого условия ряд расходится.
П3. Исследовать сходимость ряда

n
 n 1 .
n 1
Решение. Имеем
un 
n
n
 lim
, lim u n  lim
n  3 n 
n  n  3
n 
1
3
1
n
 1  0 , условие
(5) не выполнено, ряд расходится.
П4. Исследовать сходимость гармонического ряда

1
1
1
1
 n  1  2  3  ...  n  ...
n 1
Решение Имеем
u
n

1
1
, lim u n  lim  0 , необходимое условие выn n 
n  n
полнено. Покажем, что тем не менее ряд расходится.
Имеем
1 1
1
1
1
1
1 1
1
S n  1  2  3  ...  n , S 2n  1  2  3  ...  n  n  1  n  2  ...  2n или
1
1
1

 ... 
;
n 1 n  2
2n
1
1
1
1
1
1



Поскольку
,
, …,
и складывая неравенства
n  1 2n n  2 2 n
2n 2n
1
1
1
1 1
одинакового
смысла,
получим S 2 n  S n    ...   n   ,
или
2n 2n
2n
2n 2
1
S 2n  S ,
S 2n  S n  2 ; если допустить, что ряд сходится, то имеем nlim

S
2n
 Sn 
1
1
, 0  - противоречие, показывающее, что допу2
2
n 
n 
щение о сходимости ряда оказалось неверным.
Этот пример показывает, что условие (5) является только необходимым,
но не достаточным для сходимости ряда.
lim S n  S , lim S 2 n  S n  
51
РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Рассмотрим ряд

u , u
n 1
n
n
0

Т1. Сходимость  un  ограниченность сверху {Sn}.
n 1
lim S n  S , что означает: (   n0  
Д. Пусть ряд сходится, т.е. 
 nn0   SnS  . Но
n 
Sn-S   можно записать S  SnS  {Sn}
ограничена сверху. С другой стороны, {Sn} - монотонная неубывающая последовательность, т.к. S n 1  S n  un1  S n .
Поэтому, если {Sn} ограничена сверху, то по теореме о существовании
предела монотонной ограниченной переменной  lim S n  S , т.е. ряд схоn 
дится.
Т2. Пусть даны два ряда:

u
n 1
n
(I) и

v
n 1
n
(II),
u
n
 0,
v
n
 0 . Если хотя бы
начиная с некоторого n:
а) un  v n и ряд (II) сходятся, то и ряд (I) также сходится.
б) un  v n и ряд (II) расходятся, то и ряд (I) также расходится.
Д. а) Обозначим
n
S n   uk и
k 1
n
 n   vk .
k 1
По условию ряд (II) сходятся, а это по предыдущей теореме Т1 равносильно ограниченности сверху {n}. Но ввиду un  v n ясно что S n   n , т.е.
{Sn} ограничена сверху, тогда по теореме Т1 ряд (I) сходится.
б) Расходимость ряда (II) означает неограниченность сверху {n}; ввиду un  v n
ясно, что S n   n , т.е. {Sn} неограниченна сверху  ряд (I) расходится.

sin

2n .
П5. Исследовать сходимость ряда 
n
n 1 2

sin n
2  1  , ряд    1  1  1  ... Решение. Имеем u n 
 vn  n
vn
n
n
2 22
n
1
n 1 2
2
2
1
2
сходящийся геометрический ряд q   1 . Ряд

u
n 1
Т2.
П6. Исследовать сходимость ряда

1
 nn  1 .
n 1
52
n
сходится по п. а) теоремы
1
1

 vn , ряд
nn  1 n  1


1
1 1
1

   ... 
 ... представляет


v
n
2 3
n 1
n 1
n 1 n  1
Решение. Имеем

u
n
собой гармонический
(расходящийся) ряд с отброшенным первым членом 1. Ряд

u
n 1
расходится по
n
п. б) теоремы Т2.
Примечание. Если un  v n и
сти

u
n 1
n

v
n 1
- расходящийся, то вопрос о сходимо-
n
остаётся открытым. Опираясь на теорему Т2, можно легко доказать
следующую теорему.
un
 k  0 , то ряды
n  v n
Т3. Если  конечный lim

u
n 1
n
и

v
n 1
n
сходятся или
расходятся одновременно.
П7. Исследовать сходимость ряда

1
 sin n .
n 1
Решение. Имеем
un
 lim
n  v n
n 

1
1
. Возьмём для сравнения ряд  , т.е.
n
n 1 n
v
n

1
и
n
1
sin x
n   1  x  0 при n    
 1.

lim
1
x 0 x
n
n
sin
найдем lim
Поскольку
un  sin

1
- расходящийся, то и

n 1 n

1
П8. Исследовать сходимость ряда


u

n

1

n n 1
3
3
1
 sin n
- расходящийся.
n 1

n n 1
n 1
Решение. Имеем

.
.
Заметим, что при n (n3+1) "ведёт себя примерно так же, как n3", то
есть роль 1 не существенна по сравнению с n3. Отсюда следует, что бесконечно малая U n 

1

n n3  1

1
1
 2.
n  n3 n
Далее, бесконечно малая vn 
1
общий член сходящегося ряда (3)
nn  1
(см. п. 1.1).
53
Теперь найдём
2
nn  1
n 2 n 1
un
 lim
 lim
 lim
lim
n  v n
n   n n3  1
n 
n 
n n3  1




1
n n 12
n  1n2  n  1
=
1
n
nn  1
n n

 lim
1
lim
2
2
1 1
n  n  n  1
n  n  n  1
n 
1  2
n n

u
Поскольку  конечный lim n и  v n сходится, то un также сходится
n 1
n  v n
3
по теореме Т .
На практике часто используется признак Даламбера.
u
Т4. (признак Даламбера в предельной форме). Если  lim n 1  C , то ряд
n  u n
2
 lim

u
n 1
n
:
а) сходятся при С<1
б) расходятся при С>1
в) при С=1 вопрос о сходимости остаётся открытым.
 2n
9
П . Исследовать сходимость ряда  .
n 1 n
Решение.
Имеем
n
u n 1
2n
2n 1 ,
2n 1 n
 lim
 n  2 lim
 2 1  2  1,
u n  , u n 1 
lim
n
n  1 n  u n n  n  1 2
n  n  1
расходится.
П10. Исследовать сходимость ряда


n 1
n!
n
n
ряд
.
n  1! ,
n 1n1
n
n

n  1! nn
n! n  1  nn
 n 
u n 1
nn
 lim
  lim
 lim
 lim 
 
lim
n 1 n!
n
n
n  u n
n  n 1
n  n 1  n  1  n! n  n 1
n   n 1 
Решение. Имеем u n 
 lim
1
n

n!
, u n1 
n
1
 1, ряд сходится.
e
 1
 1 
 n
Во многих случаях (например, когда с помощью признака Даламбера
невозможно установить сходимость или расходимость ряда) используется интегральный признак Коши.
n 
54
Т5. (интегральный признак Коши).
Пусть f(x) - положительная, невозрастающая и непрерывная функция на
[1;+). Тогда ряд


n 1
1
 un , где un=f(n),будет сходящимся, если сходится
 f x dx ,
в противном случае - расходится.
Д. Построим на [1, n+1] график функции y= f(x) и на этом графике отметим точки (1, u1), (2, u2), …, (n+1, un+1),т.е. точки (k, f(k)), uk=f(k), k=1, 2, …, n.
(рис. 12)
M0 ( x0 y0 )
у
M0 ( x0 y
U1 U2 U3 U4
U5
0
1 2
3 4
Un
5
Un+1
n
n+1
х
Рис. 12
Тогда sn  u1  u 2  ...  u n представляется как сумма площадей "выходящих" прямоугольников, совокупность которых содержит в себе криволинейную трапецию, ограниченную графиком y=f(x) и прямыми y=0, x=1,
x=n+1, поэтому
n 1
S
n

 f x dx
1
Далее, эта трапеция содержит в себе "входящие" прямоугольники, сумма
площадей
которых
равна
u2  u3  ...  un1  S n1  u1 , следовательно,
n 1
S n1  u1 

1
f x dx . Итак,
n 1
S n1  u1 
 f x dx  S
1
55
n
.
Пусть


f  x dx сходится и равен J. Тогда
n 1
S n1  u1 

f x dx 
1
1

 f x dx
(в
1
силу положительности f(x)),отсюда S n 1  u1  J , т.е. частичные суммы ряда
ограничены сверху и по теореме Т1 ряд сходится.
Пусть теперь

 f x dx
n 1
 f x dx  
расходится т.е.
S
n
при n и подавно
1
1
  , т.е. ряд расходится. Теорема доказана.


Теорема останется в силе, если заменить
f x dx на
1

 f x dx где
m -
m
любое натуральное.
П11. Исследовать сходимость ряда


n 1
Решение. Имеем
u
n

виям теоремы на [1, +);
1

n
1

n
.
 f n  . Функция f x  
1
удовлетворяет усло-

x
b
 1
 x  1 
1

при   1
1


 / 
J     lim    lim 
lim b  1    1
1   b  
b   1 x
b       1 
1x
 
при   1
1
 dx

b dx
При =1 имеем

1
n

- гармонический (расходящийся) ряд. Итак, ряд
n 1
сходится при >1 и расходится при   1 .
РЯДЫ С ЧЛЕНАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗНАКА
Знакочередующиеся ряды.
 
5о. Ряд u1  u2  u3  u4  ...  1
называется знакочередующимся.
n 1
Т1. (признак Лейбница) Если
u
n
u u
n
 ...
n 1
(6) или  u1  u2  u3  ... , где un>0,
и lim u n  0 , то ряд (6) сходится, а его
n 
сумма S  u1 .
Д. S 2 n  u1  u2   u3  u4   ...  u2 n 1  u2 n .
Т.к. по условию каждая величина в скобках положительна, то
S 2n2  S 2n  u2n1  u2n2   S 2n , т.е. {S2n} - возрастающая последовательность. С
другой стороны, S 2 n  u1  u2  u3  u4  u5  ...  u2 n2  u2 n1  u2 n  u1 ;
Итак, {S2n} монотонно возрастает и ограниченна сверху  lim S 2n  S
n 
56
Далее,
т.к.
S
2 n 1
lim S 2n1  lim S 2n  lim u 2n1 
 S 2 n  u2 n 1 ,
n
lim u 2 n 1  0 то  lim S 2 n  S
т 
n
n
n 
Пределы частичных сумм четного и нечётного порядков совпадают, т.е.
ряд сходится и его сумма равна S, причём 0  S  u1 (7)
Из (7)  модуль остатка  n  un1  un2  un3  ...  un1 , (71)
Причем знак остатка совпадает со знаком первого из членов, не вошедших в Sn. Другими словами погрешность приближения S  S n не превышает по
модулю величины un+1.

1
П12. Исследовать сходимость ряда  1n 1 .
n
n 1
1
1
1

Решение. Имеем
и lim  0 , так что условие теоремы Т1 выn 1 n
n  n
полнены, ряд сходится.
П13. Исследовать сходимость ряда
1
2 1

1
2 1
Решение.

1
3 1

1
3 1
 ... 
1
n 1

1
n 1
 ...
n 1
1  n 1 2
 1


  при n! Расходимость


S 2n 
k  1  k 2 k  1
k 2  k  1
объясняется тем, что нарушено условие монотонности убывания членов.

П14. Исследовать сходимость ряда  1n
n 1
n
.
3n  1
n
1
  0 , т.е. Нарушено условие (5) 3
n 
n  3n  1
необходимое условие сходимости, поэтому ряд расходится.
Решение. Имеем lim u n  lim
П15. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда
1 1 1
1
   ...  1n 1
 ...
2n  1!
1! 3! 5!
Решение. Ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому S  S n   n  un1 .
Для достижения заданной точности достаточно, чтобы выполнялось

n
1
 0,01 . Это неравенство выполняется, начиная с n=3.
2n  1!
1 1 1
Итак, S  S 3     1  0,167  0,008  0,841  0,84
1! 3! 5!
 un 1  0,01 , или
57
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

u
6о. Ряд
n 1
(8) называется знакопеременным, если любой член un может
n
быть как положительным так и отрицательным.
Т2. (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд

u
n 1
(9) сходится, то сходится и ряд (8).
n


Д. Обозначим S n и S n суммы модулей членов ряда (8), входящих в него
со знаком "+" и "-" соответственно. Тогда частичная сумма данного ряда




S  S n  S n , а ряда, составленного из модулей его членов,  S  S n  S n . По
n1
n2
условию ряд (9) сходится, следовательно,  конечный lim S n2  S . Последоваn 
S 

тельности
и lim S n1  lim
n 
n 
S 
возрастающие, следовательно, 
 lim
S n ,

и
n
n
S n
n 
lim S n и
lim S n ,
n 
n 
т.е. ряд (8) сходится.
Примечание. Из сходимости ряда (8) не следует сходимость ряда (9).

1
n
Например, ряд
- расходящийся (гармонический), в то время как
n 1

n 1 1
 1
n 1
n
сходящийся по теореме Т1.
7о. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

u
n 1
этом ряд

u
n 1
n
n
(при
сходится по теореме Т2).
8о. Ряд (8) называется условно сходящимся, если ряд (8) сходится, а ряд
(9) расходится.

1
- условно сходящийся, т.к. этот ряд сходится по приn
n 1
 1
знаку Лейбница, а ряд  - расходится.
n 1 n
П16. Ряд  1n 1

П17. Ряд  1n1
n 1
1
n
2
- абсолютно сходящийся, т.к. сходится


n 1

П9), и по теоремеТ2 настоящего пункта ряд  1n1
n 1
1
2
1
n
2
(см.
также сходится.
n
Примечание. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды во многом напоминают
58
конечные суммы: их можно почленно складывать, перемножать, переставлять
местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. (*)
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
П18. S  1       ... - условно сходящийся ряд.
Переставим члены:
1
1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
 S
        ...        ...  1     ...   !
2 4 3 6 8 5 10 12
2 4 6 8 10 12
2 2 3 4
 2
S
Итак, получили S  , что подтверждает (*).
2
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД И ОБЛАСТЬ ЕГО СХОДИМОСТИ
Рассмотрим последовательность функций f1(x), f2(x), …, fn(x), …, заданных на множестве   R1 .
9о. Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (10)
Называется функциональном рядом.
При фиксированном x=x0 ряд (10) обращается в числовой ряд f1(x0)+
f2(x0)+…+fn(x0)+…, который может быть сходящимся или расходящимся. При
этом точка x0 называется соответственно точкой сходимости или точкой расходимости ряда (10).
10о. Множество точек сходимости ряда (10) называется областью сходимости ряда (10).
Составим последовательность
S1 x   f 1 x , S 2 x   f 1 x   f 2 x , ..., S n x   f 1 x   f 2 x   ...  f n x , ... .
(11)
11о. Суммой ряда (10) называется lim S n  x   S  x  , S(x) - сумма ряда,
n 
Sn(x) - частичные суммы ряда (10).
n 1
П19. Найти область сходимости ряда 1  x  x  ...  x  ...
Решение. Ряд представляет собой геометрическую прогрессию, или геометрический ряд, сходящийся при x  1, следовательно, (-1, 1) - область схо2
димости ряда. При этом сумма ряда S x  
П
20
1
1 x

x   1,1 .
n
. Найти область сходимости ряда  x
1 x
n 1
59
2n
.
Решение.
Применим
f x   1 x
x
f n 1 x 
lim
n  f n  x 
2n
n
к
ряду
признак
Даламбера.
Имеем
n 1
n
f x   1 x
x
,
n 1
 lim
n 
2 n 2
,
1  x 2n
x n 1 1  x 2n


x
;
lim
2n  2
1  x 2n  2
n  1  x
xn
если
x  1,
то
lim x n  0 , отсюда
n 
lim
n 
f n 1 x 
 x  1 , поэтому ряд абсолютно сходится; если x  1 , то
f n x 
1

2 n 1
1
x
f n 1  x 
1
 lim x
  1 и ряд снова абсолютно сходится. В точ1
x
n  f n  x 
n 
1
2n  2
x
 1n
ках x  1 ряд имеет вид 
и расходится, т.к. его общий член не стреn 1 2
мится к нулю. Итак область сходимости есть  ,1   1,1  1, .
lim
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
СТЕПЕННОЙ РЯД И ОБЛАСТЬ ЕГО СХОДИМОСТИ
12о. Ряд

 an x  a0  a1 x  a2 x
n 0
n
2
 ... 
an x
n
(12) называется степенным.
 ...
Степенной ряд общего вида.
a  a x  x   a x  x 0  ...  a x  x 0  ...
2
0
1
0
n
2
(13) подстановкой x  x0  t
n
приводится к виду (12).
Структура (строение) области сходимости ряда (12) выясняется с помощью теоремы Абеля:
Т1. (теорема Абеля) Если ряд (12) сходится при x  x0  0 , то он абсолютно сходится в каждой точке x, такой, что x  x0 .
Д. По условию ряд

a x
n 0
n
lim a n x0n  0  ограниченность
n 
Пусть x 
x
сходится  выполняется условие (5), т.е.
n
0
a x
n
. Тогда a n x 
n
0
гося геометрического ряда, т.к.
x
x
n
0
,т.е. n  M  0,
a n x0n

x
x0
n
x
M
x0
 1 (по условию).
0
60
n
ax
n
0
M.
n
- общий член сходяще-
По теореме Т2 п. 1.4. (признак сравнения) ряд

a x
n 0
n
n
сходится, т.е. ряд
(12) сходится абсолютно.
Следствие. Если ряд(12) расходится в точке x1, то он расходится в любой
точке x, такой, x  x1
Д. Если допустить противное, т.е. сходимость ряда в точке x, то ввиду x1  x
по доказанному ряд сходился бы в точке x1 (вопреки условию).
В тех случаях, когда ряд(12) имеет отличные от нуля точки сходимости
и точки расходимости (существуют также ряды сходящиеся x и ряды, расходящиеся x0)  R>0, такое, что при x  R ряд абсолютно сходится, а
при x  R расходится. При этом число R называется радиусом сходимости ряда
(12), а интервал (-R, R) - интервалом его сходимости.
В точках x=-R и x=R ряд может сходится, а может и расходится, так что
интервал сходимости и область сходимости, вообще говоря, не одно и то же.
Докажем теорему, позволяющую в большинстве случаев находить R.
Т2.
Пусть

конечный
или
бесконечный
lim
a
a
n 1
e;
тогда
n
1
 e , если 0  e  

R  , если
е0
 0, если
е

Д. 1) 0<e<+. Применяя признак Даламбера (Т4 п. 1.4.) к ряду

a x
n 0
получим:
a n 1 x n 1
a n 1

x
 x e  c;
lim
lim
n 
n  a n
an xn
1
e
тогда: а) с<1, т.е. e x  1, x  , ряд (12) абсолютно сходится;
б) с>1, e x  1,
x 
1
,
e
ряд расходится.
2) e=0, c=0<1,ряд сходится x, R=
e=, c=, ряд абсолютно не сходится ни при каком x0, R=0.
Из Т2 следует, что R  lim
n
an
a n 1
(14)

xn
.
n
n 1 n  10
1
; по формуле (14)
a n 1 
n  1 10n1
П21. Найти область сходимости ряда 
Решение. Имеем a n 
1
n 10n
61
n
n
,
R  lim
n  1 10n 1  10
n 1
 1
 10 lim 1    10  1  10 ,(-10, 10) - интерn
n  n
n  
lim
n  10 n
вал сходимости.
2. Исследуем поведения ряда на концах интервала:
а) при x=-10 получаем числовой ряд
 10 n
 1n
1 1
n1



1



...

 ... , который сходится по теореме



1


n
2 3
n
n 1 n 10
n 1 n
Т1 п. 1.4.
n 
б) при x=10 получаем расходящийся гармонический ряд

1
n.
n 1
Итак, [-10, 10) - область сходимости.
Примечание. Из формулы (14) следует, что она приемлема только к тем
рядам, которые содержат все степени x, как чётные, так и нечётные.

n2
x2n
22
 n  ... .
П Найти область сходимости ряда 
2
n 1n 1
2
Решение. 1. Формула (14) неприемлема, т.к. ряд не содержит нечётных
степеней x.
Для отыскания радиуса сходимости применим непосредственно признак
Даламбера. Имеем
n 12  x2n  2  n 12 2 n  x2
n 14  x2
u n 1  x 
a
x n 1
 lim n 1 n  lim
lim
lim
2
2 n n2 n  22
2
n  u n  x 
n 
n  n  2 
an x
2n 1
n2 x 2 n
2
Следовательно, ряд сходится, если
x
2
x
2
 1 , т.е. x2<2 и расходится, если
 2.
Условие x  2  x  2 ,т.е. R  2 ,  2 , 2  - интервал сходимости.
2. Выясним сходимость в точках x   2 .

n2
n2
 1  0 , т.е.
При x   2 получаем ряд 
,
для
которого
lim
2
2
n  n 1
n 1n 1
нарушено условие (5), ряд расходится.
Итак, область сходимости совпадает в данном случае с интервалом сходимости  2 , 2  .
2

П . Найти область сходимости ряда 
23
x  2n .
n  2n
Решение. 1. Данный ряд есть ряд общего вида, т.е. вида (13). Подстанов tn
кой x-2=t приведём его к виду 
(*)
n
n 1 n  2
n 1
62
2. Найдем R. Имеем a n 
R  lim
n 
n  1 2n1  2
n  2n
1
1
. По формуле (14)
,

a
n

1
n  12n1
n  2n
n 1
 2 , (-2, 2) - интервал сходимости ряда (*).
n  n
lim

3. При t=-2 получаем ряд 
 2n 
n 1 n  2
n



n 1
1
n
знаку Лейбница. При t=2 получаем ряд
1n , который сходится по приn
- расходящийся (гармонический).
n 1
Итак, ряд (*) сходится в полуинтервале [- 2,2), т.е. при  2  t  2 . Но t=x2, поэтому  2  x  2  2 , или 0  x  4 - область сходимости исходного ряда.
ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
СТЕПЕННОГО РЯДА
Пусть в интервале (-R,R) ряд (12), сходится и функция f(x) является его
суммой, т.е.
f  x   a0  a1 x  a 2 x  ...  a n x  ...
2
n
В математическом анализе доказывается, что справедлива следующая
теорема.
Т1. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать
в интервале его сходимости, причём проинтегрированный и продифференцированный ряды имеют тот же радиус сходимости R, что и радиус сходимости
R исходного ряда, т.е.
R

R
f ( x )dx 
R
 a0dx 
R
R
 a1 xdx  ... 
R
R
 a x dx  ...
n
R
n
(15)
и f x   a1  2 a2 x  ...  n an x  ...
ясно ,что (15) и (16) верны [a,b](-R,R).
П24. Найти область сходимости ряда
n 1
/
f x   x  x
2
2
4
x x
4
6
6
1 x
 ... 
n
n
2
(16)
2n
 ... и его сумму f(x) в интервале схо-
димости.
Решение. В предположении о существовании интервала сходимости рассмотрим ряд
f / x   1  x  x3  x5  ...  1n x2n1  ...
Начиная со второго члена, этот ряд представляет собой геометрическую
прогрессию со знаменателем q=-x2. Следовательно, ряд сходится при
2
2
2
q   x  x  x  1 , т.е. при x  1, и радиус сходимости R=1. На концах интервала
сходимости,
т.е.
при
x  1
63
исходный
ряд
имеет
вид
1 1 1

1n
 1     ...  n  ... и сходится по признаку Лейбница. Итак, его об2 4 6
2
ласть сходимости есть [-1,1]. Тогда в интервале (-1,1)
x
. Интегрируя полученную по
f / x   1  x  x3  x5  ...  1n x2n 1  ...  1 
1  x2
отрезку [0,x](-1,1), получим
x
x
x
x 1
x 
xdx
1
x

f x   1 
dx   dx  
x
 ln 1  x 2
 x  ln 1  x 2
0
2
 1 2 
0 2
2
x 
0
0
01  x




РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Пусть в интервале (x0-R,x0+R) f(x) является суммой степенного ряда вида (14), т.е.
(17)
f x   a0  a1 x  x0  a2 x  x02  ...  an x  x0n  ...
(функция f(x) разложена в степенной ряд в окрестности точки x0 по степеням
(x-x0)).
Найдём коэффициенты этого ряда.
Последовательно дифференцируя тождество (17), получим:
f x   a0  a1 x  x0  a2 x  x02  a3 x  x03  ...  an x  x0n  an1 x  x0n1  ...,
2
n1
n
f / x   a1  2 a2 x  x0  3 a3 x  x0  ...  n an x  x0  n  1 an1 x  x0  ... ,
f //  x   2  1 a 2  x  x0   3  2  1  a3  x  x0   ...  nn  1 a n  x  x0 
n2

 n  1n a n 1  x  x0 n 1  ...,
f ///  x   2  3 a3  2  3  4 a 4  x  x 0   ...  nn  1n  2  a n  x  x0 
n 3

 n  1nn  1 a n 1  x  x0 n  2  ...
f x   nn  1n  2...3  2 a  n  1nn  1...3  2 a x  x   ...
n
n 1
n
0
Полагая в этих тождествах x=x0, получим
/
//
///
f x0   a0 , f x0   a1 , f x0   2! a 2 , f x0   3! a 3 , …,
отсюда
a
0
 f x0 ,
f x  ,
/
a
1

0
1!
f x  ,
//
a
2

0
2!
 
f x   n! a
n
0
 
f x  ,
n
, …;
n
...,
a
n

0
n!
... (18)
Итак, если f(x) разлагается в ряд (17), то
 
x 
x 
x 
f
f
f

f x   f x  
x  x 

...



x  x0  ...
x

x0
1!
2!
n!
/
//
0
0
n
2
0
0
0
n
(19)
Ряд в правой части (19) называется рядом Тейлора функции f(x). В частности, при x0=0 получим:
64
f 0 x  f 0
f x   f 0 
1!
2! x
/
//
 
f 0
n
2
 ... 
n!
x
n
(20) –
 ...
ряд Маклорена функции f(x).
Оказывается, что не все функции могут быть разложены в ряд Тейлора.
Может случиться, что ряд Тейлора, составленный формально для функции
f(x), т.е. ряд , стоящий справа в (19), будет расходящимся или сходящимся не к
функции f(x).
Так же как и для числовых рядов, сумму f(x) ряда Тейлора можно представить в виде
f x   S n x    n  x  , (см. (*) п. 1.1.) где Sn(x) - n-я частичная сумма,  n  x  - n-й
остаток ряда. Тогда на основании 4о п. 1.1. получаем:
 f n x 
0
x  x0n  lim  n x   0 (21) - необходимое и доf  x   f  x0   
n
n 1 n!
статочное условие сходимости ряда Тейлора функции f(x) именно к f(x).
Примечание 1. Разложение f(x) в ряд Тейлора (если оно возможно) является единственным.
Примечание 2. При выполнении (21) остаток  n x  ряда Тейлора совпадает с остаточным членом Rn(x) формулы Тейлора.
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора некоторых функций.
/
//
n
x
x
x
f(x)=ex; имеем f x   e , f x   e , ..., f x   e , ...,
f 0  1,
f 0  1, f 0  1,
/
//
Пользуясь
2
(20),
 
f 0  1,
n
...,
запишем
... .
ряд
Маклорена
для
f(x)=ex:
n
x
1   x  ...  x  ... 
1! 2!
n!
Найдём радиус сходимости с помощью формулы (14):
1
n  1! 
an
R  lim
 n!  lim
lim n  1   , ряд сходится x, т.е. на
1
n!
n  a n 1
n 
n 
n  1!
всей числовой оси.
Используя остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа, можно
доказать, что lim R n  x   0 , поэтому
n 
2
x
e
n
x
 1   x  ...  x  ...
1! 2!
n!
(22)
 
f x   cos x, f x    sin x, f x    cos x, f x   sin x,
 
f 0  0, f 0  1, f 0  0 f 0  1, f 0  0, ... .
Ясно, что f 2n   0, f 2n 1 0  1n 1, n  1,2,...
f(x)=sin x; имеем
/
/
//
//
///
///
4
4
По формуле (20) (в предположении о выполнимости (21)) имеем:
65
... ;

1 x 2n 1
x3 x5
sin x  x    ... 
 ... (23)
2n  1!
3! 5!
Область сходимость ряда (-, +).
n 1
f(x)=cos x; Применяя формулу (16) почленного дифференцирования ряда, с
учётом (23) получим:
x2 x4
x2n
cos x  sin x /  1    ...  1n
 ...
(24)
2n !
2! 4!
f(x)=ln(1+x); Для этой функции используем другой подход. Рассмотрим геометрический ряд
1
1

 1  x  x 2  x3  ...  1n x n  ... со знаменателем q=-x, который
1  x 1   x 
сходится при q   x  x  1 . Интегрируя последнее равенство в интервале (0;
x), получим:
x dx
x
x
n n
2



ln
1

x

ln
1

х


 1  x  x  ...  1 x  ... dx , или
0
01  x
0



1 xn 1
x 2 x3
ln 1  x   x    ... 
 ... , (25)
2
3
n 1
Область сходимости ряда есть (-1; 1].
n
n=0,1,2,…
f(x)=arctg x; Используем тот же подход что и для f(x)=ln(1+x). Имеем
1
1
f x   1   1     1  x  x  x  ... Этот ряд сходится при
x
x
q   x  x  x  1 , т.е. при x  1 . Следовательно,
/
2
2
2
x
arctgx  
4
6
2
2
2
x
dx
0 1 x
2


  1  x  x  x  ... dx , или
2
4
6
0

1n 1 x 2n 1
x x5 x 7
arctgx  x     ... 
 ... (26)
3 5 7
2n  1
Область сходимости этого ряда есть [-1, 1]
Приведём без подробностей так называемый биноминальный ряд:

   1 2
   1...  n  1 n
1 x   1  x 
x  ... 
x  ... (27)
1!
2!
n!
где - любое действительное число, 0.
Область сходимости зависит от . Можно доказать, что область сходи3
 0
  1,1 при

мости   1,1 при  1    0
 1,1 при
  1

66
С помощью приведённых
здесь разложений функций ex, sin x, cos x,

ln(1+n), arctg x и (1+x) в степенные ряды можно разлагать в степенные ряды
многие функции, не прибегая к формулам (19) или (20). Рассмотрим примеры.
П25. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=sin2x
1 1
Решение. Имеем sin 2 x   cos 2 x ; (*)
2 2
2n
t2 t4
n t
 ...
Воспользуемся разложением (24): cos t  1    ...  1
2n !
2! 4!
Полагая в этом разложении t=2x, получим:

2 х 2 2 x 4
2 x 2n  ...
cos 2 x  1 

 ...  1n
2n !
2!
4!
После подстановки полученного выражения для cos2x в (*), будем
иметь:

1n 1 22n 1 x 2n
2
2 1 4
 ..., область сходимости - (-,+)
sin x  x  x  ... 
2n!
3
П26. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=xln(1+x2).

1n t n 1
t 2 t3
Решение. Согласно (25) имеем ln 1  t   t    ... 
 ...
2 3
n 1
Полагая в этом разложении t=x2, получим:
2n 2
5
7
2n 3
 2 x 4 x6

x
x
n x
n x
3
f  x   x x    ...  1
 ...  x    ...  1
 ... ,
2 3
n 1
2 3
n 1


где n=0,1,2,…
ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
1
П27. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001 значение
5
1
Решение. Имеем
5
2
3
e
e
3
3
3

 e 5 . Воспользуемся разложением (22) при x   :
5
3
n
3 1  3 1  3
1
n 3
e  1         ...  1    ...  1  0,6  0,18  0,036 
5 2!  5  3!  5 
n
5
 0,0054  0,000648  ...
Взяв выписанные шесть членов разложения, согласно (7 /) п. 1.5. мы допускаем погрешность  n , не превышающую первого отброшенного члена, т.е.


3
5
 0,0000648  0,0001 . Итак,.
n
1
5
3
 1  0,6  0,18  0,036  0,0054  0,000648  0,548752  0,5488
e
67
П28. Вычислить с точностью до 0,0001 значение 5 36
1
4

 1 5
Решение. Имеем 5 36  5 32  4  5 321    2 1  ;
 32 
 8
Воспользуемся разложением (27) при x 
1
1
и   , получим:
8
5
11 
11  1





  1
  1...  n  1
1 1 55  1
1
5 5  5

5

36  2 1   
 ... 
 ... 
2
n
 5 8

2! 8
n!
8




 2  0,05  0,0025  0,000188  0,000016  ...  2,0477
(взято 4 члена, т.к. по (7 /) п. 1.5.  n  0,000016  0,0001 ).
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
П29. Вычислить с точностью до 0,0001 интеграл
1
sin x
dx .
x
0

Решение. Соответствующий неопределённый интеграл - "не берущийся",
т.е. не может быть выражен в конечном виде через элементарные функции.
2
4
6
sin x
Пользуясь разложением (23), получим:
1 x  x  x …
x
3! 5! 7!
да, интегрируя почленно, получим:
1

0
1
sin x
1
dx  dx 
x
3!

0
1
x
0
1
dx 
5!
2
1
4
x
0
1
3
x
1
dx  ...  x  
0 3! 3
При этом погрешность

n

1
5
x
1
 
0 5! 5
1
0
 ...  1 
1
1

 ...  0,9461 .
3!3 5!5
1
1

 0,0001 .
7!7 35280
Правильные ответы к тренинг-тестам
Правильные ответы находятся в пунктах а)
Тесты см. стр. 7.
68
отсю-
СОДЕРЖАНИЕ
МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
ПЕРЕЧЕНЬ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ
ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
ТРЕНИНГ-ТЕСТЫ
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ДИФФРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
РЯДЫ
ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ К ТРЕНИНГ-ТЕСТАМ
69
3
3
3
3
4
5
7
10
13
13
34
37
42
50
71
Иштирякова Дамира Курбановна
МАТЕМАТИКА
Часть 4
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Дифференциальные уравнения. Ряды
Учебное пособие
Технический редактор: Р.Р. Ахтямова
Подписано в печать 18.04.06. Формат 60х84 1/16.
Бумага газетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 4,07. Уч.-изд. л. 4,75. Тираж 100 экз.
Цена свободная. Заказ № 48.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в издательском отделе
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (3472) 78-69-85.
70