§3 Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Российский государственный торгово-экономический университет
Уфимский институт (филиал)
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине Математический анализ
для студентов заочной формы обучения
направления 080100.62 «Экономика»
по профилям «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит»
Уфа-2012
Бикбулатова Г.С.Математический анализ. Учебное пособие для студентов
заочной формы обучения.- Уфа: УИ РГТЭУ, 2012.-58с.
В учебном пособии приведены необходимые теоретические сведения,
графические иллюстрации, примеры решения типовых задач, задания для
контрольных работ, список рекомендуемой литературы. Пособие может быть
рекомендовано студентам очной и заочной формы обучения.
Ответственный редактор: д.э.н., проф. Муфтиев Г.Г.
Рецензенты: д.ф.-м.н., проф. кафедры «Вычислительная математика» ФГБОУ
ВПО Башкирский государственный университет Морозкин Н.Д.;
д.т.н., проф. кафедры «Информационные технологии» Уфимского
института ФГБОУ ВПО Российский государственный торговоэкономический университет Галиаскаров Ф.М.
© Бикбулатова Г.С.
© Уфимский институт ФГБОУ ВПО РГТЭУ, 2012 г.
2
Содержание
Введение
4
§1. Теория пределов
4
1. Понятие функции
4
2. Предел функции
9
Задания для контрольных работ
20
§2. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких
переменных
22
Задания для контрольных работ
38
§3. Интегральное исчисление функций
42
1. Неопределенные интегралы
42
2. Определенные интегралы
53
Задания для контрольных работ
56
Литература
58
3
Введение
По каждой теме дано краткое изложение основных теоретических
сведений, приведены примеры решения типовых задач. Предложенные в конце
методических
указаний
задания
могут
быть
использованы
как
для
самостоятельных упражнений, так и для контрольных работ, рассчитанных на
20 вариантов.
Каждому студенту при поступлении присваивается учебный шифр
(указанные в студенческом билете и зачётной книжке две последние цифры).
Номер варианта определятся по целому остатку от деления шифра на 20. Если
остаток равен 0, то номер варианта 20. Например, если шифр 15, то номер
варианта 15, если шифр 25, то номер варианта 5.
Решение задач необходимо приводить в той же последовательности, в
которой представлены контрольные задания. При этом условие задачи должно
быть полностью переписано перед ее решением.
Контрольная работа должна быть выполнена в тетради, на обложке
которой студент обязан разборчиво написать свою фамилию, инициалы,
специальность, шифр.
§1. Теория пределов
1. Понятие функции
Величина, принимающая различные числовые значения, называется
переменной.
Если каждому значению переменной величины х, принадлежащему
некоторой совокупности (множеству) Е, соответствует одно конечное значение
величины у, то у называется функцией (однозначной) от х, или зависимой
переменной, определенной на множестве Е; х называется аргументом, или
4
независимой переменной. То обстоятельство, что у есть функция от х, кратко
выражается записью: y  f x или y  f x , y  x , y  x  и т.п.
Примечание 1: в дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут
предполагаться вещественными, если явно не оговорено противное.
Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е
соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у
называют многозначной функцией от х, определенной на множестве Е.
Примечание 2: в дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать
только однозначные функции, если явно не оговорено противное.
Совокупность значений х, для которых данная функция определена,
называется областью определения функции.
Пример. Определить область существования функции y 
Решение: Функция определена, если
x2 1  0 ,
1
x 1
2
.
Таким образом, область
существования функции представляет собой совокупность двух интервалов:
   x  1 и 1  x   .
Если уравнение y  f x может быть однозначно разрешено относительно
переменного х, т.е. существует функция x  g  y  , такая, что y  f g  y  , то
функция
x  g  y  , или в стандартных обозначениях
y  g x , называется
обратной по отношению к y  f x . Очевидно, что g f x  x , т.е. функции f x 
и g x являются взаимно обратными.
В общем случае уравнение y  f x определяет многозначную обратную
функцию x  f 1  y  такую, что y  f  f 1  y , для всех у, являющихся значениями
функции f x  .
Пример. Для функции y  1  2 x определить обратную.
Решение:
y  1  2 x , или 1  y  2 x , прологарифмировав, получаем:
lg 1  y    x  lg 2
x
lg 1  y 
lg 2
5
Частное значение функции f x  в точке x0 , т.е. ее значение при x  x0
обозначают символом f x0  .
Например: Если f x   x2  3x  1 , то f 2  22  3  2  1  1 , f 0  1 и т.д.
Если функция задана одной или несколькими формулами, то говорят, что она
задана аналитическим способом.
Функцию можно задать также при помощи графика (графический способ)
или при помощи таблицы (табличный способ). Множество точек (х,у) плоскости
ХОУ, координаты которых связаны уравнением y  f x , называется графиком
функции.
Основными элементарными функциями называются следующие:
1)степенная функция y  x , где  – любое действительное число;
2)показательная функция y  a x , a  0, a  1 ;
3)логарифмическая функция y  log a x , a  0, a  1, x  0 ;
4)тригонометрическая функция y  sin x ,
y  cos x ,
y  tgx , y  ctgx а также
y  arcsin x , y  arccos x , y  arctgx , y  arcctgx .
Функция называется сложной, если ее аргумент в свою очередь есть
функция от другой переменной. Пусть y  f u  , и u   x  , тогда y  f  x есть
сложная функция или функция от функции. Например, y  sin u , u  lg x , тогда
y  sin lg x ; y  tgu , u  3x  1, тогда y  tg3x  1 .
Функция, заданная уравнением F x, y   0 , не разрешенным относительно
зависимой переменной, называется неявной. Например, уравнение x3  y 3  1
определяет у как неявную функцию от х.
Одно и то же уравнение может задавать неявно не одну, а несколько
2
2
функций. Например, уравнение x  y  1 задает неявно две функции y1  1  x 2
и y2   1  x 2 , определенные на множестве  1  x  1 .
Часто бывает полезно (например, при изучении неявных функций)
функциональную зависимость между несколькими переменными выражать
через вспомогательные переменные – параметры (в физике и механике –
6
обычно
«время»).
Выражение
переменных
через
параметры
называют
параметрическим заданием функциональной зависимости. Пусть даны две
функции аргумента t: x  f t  , y   t  , тогда одна из них есть функция другой
(как правило, она многозначна даже при однозначности x  f t  ).
Функция у от х называется элементарной, если ее можно задать одной
формулой вида y  f x для всех х из области ее определения так, что каждое ее
значение может быть получено из постоянных чисел и значения независимой
переменной при помощи конечного числа элементарных операций.
Пример: значение элементарной функции (в данном случае сложной)


y  lg x 2  5x  4 при х = 2 равно 1. Это значение найдено при помощи пяти
операций. Четырех алгебраических и одной трансцендентной. Указанное число
операций сохранится при любом х из области определения функции, т.е. если
функция элементарна, то число операций для нахождения значений функции не
зависит от ее аргумента.
Примерами неэлементарных функций могут также служить следующие:
x 3 ,
,
y  n!
y
 x  1,
если
х0
если
х0
Примечание: Произведение n первых целых чисел обозначается символом n! и
читается «n факториал», например, 3! 1 2  3  6 ; 5! 1 2  3  4  5  120 и т.д.
Функция называется ограниченной сверху (снизу) в некоторой области
значений аргумента, если существует такое число А, что f x  A  f x  A для
любого х из этой области. Функция называется ограниченной, если она
ограничена и сверху и снизу.
Пример:
1)
Функция y  sin x определена на всем множестве действительных
чисел, ограничена, т.к. при любых значениях х по абсолютной величине не
превосходит 1, т.е.  1  y  1 .
7
2) Функция y  1 в промежутке (0,1] ограничена
y
x
снизу, например, числом 1, но не ограничена сверху
(см. рис.)
1
x
0
3) Функция
1
y  tgx
на интервале    ,   не

ограничена, т.е.    y   (см. приложение).
2 2
Функция f x  называется возрастающей (убывающей) в некоторой области,
если для любой пары чисел x1 , x 2 , принадлежащей этой области, из x1  x2
следует
f x1   f x2   f x1   f x2 .
Если же из x1  x2 следует f x1   f x2   f x1   f x2  , то функция f x  называется
неубывающей (невозрастающей).
Функции, удовлетворяющие первому или второму условиям, называются
монотонными.
Пример: функция f x   x3 возрастает в интервале  ; ; функция f  x   1
x
убывает на  ;0 и 0; .
Область
определения
Е
функции
f x 
называется
симметричной
относительно начала координат, если, каково бы ни было число х из Е, число (–
х) тоже принадлежит этой области.
Функция f x  , определенная в симметричной области, называется четной, если
f x  f  x , и нечетной, если f x  f  x
Пример: функция f x   x2 - четная, т.к. f x    x 2   x 2  f x  , а функция
f x   x3 - нечетная, т.к.


f  x    x3   x3   f x  . Их сумма
f ( x)  х 2  х 3 не
является ни четной, ни нечетной (обычно говорят «функция общего вида»)
Примечание: график четной функции симметричен относительно оси ординат
Оу, а график нечетной – относительно начала координат.
8
f x 
Функция
называется
периодической,
если
существует
такое
положительное действительное число t, что для всех точек х и x  t  k
k  (1,2,...)
из области определения функции имеет место равенство
f x  t   f x . При этом число t называют периодом функции. Положительный
наименьший период, если он существует, называется основным периодом.
Например, функции sin x и cos x имеют основной период, равный 2 , а tgx и сtgx
- .
Пример: Даны две функции x  R cos t , y  R sin t . Они параметрически задают у
как двузначную функцию х (и наоборот). Из первого уравнения находим:
2
x
, так что sin t   1  x 2 . Подставляя во второе уравнение, получаем:
R
R
сost 
y   R 2  x 2 или y 2  x 2  R 2 , а это ни что иное, как уравнение окружности.
Пример: уравнение
x2 y 2

 1 , представляющее эллипс, задает двузначную
a 2 b2
функцию y   b a 2  x 2 . Для параметрического ее задания можно выразить
a
одну из переменных, например х, как через переменную t. Положив x  cos t ,
a
найдем
y
  sin t . Знак можно выбрать произвольно. Получаем одно из
b
параметрических заданий функции (если возьмем знак «+»):
x  a  cos t ,
y  b  sin t .
2. Предел функции
Функцию, заданную на множестве натуральных чисел, обычно называют
числовой последовательностью. Вместо f(n) (n = 1,2,3…) пишут x n . Числа
x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... - называют членами последовательности, а x n - общим членом
последовательности. Числовая последовательность считается заданной, если мы
знаем
закон
ее
образования.
В
частности,
закон
образования
последовательности будет известен, если ее общий член x n выражен формулой.
9
Например: Если xn  1 , то соответствующая последовательность будет иметь в
n
1 1 1
2 3 4
1
n
виду 1, , , ,, , .
Переменная x n называется бесконечно малой (бесконечно большой), если,
начиная с некоторого номера N, она по абсолютной величине становится и
остается меньше (больше) любого наперед заданного сколь угодно малого
(большого) положительного числа ε, т.е.
xn  ε
( xn  ε), для n  N (номер
зависит от ε).
Примечание: Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая и
наоборот (если xn  0 ).
Переменная хn имеет своим пределом число а, если разность между ними
есть бесконечно малая величина, т.е. если xn  a   n , где  n - бесконечно малая.
Это обозначают так: lim xn  a или xn  a при n   или xn  a  0 при
n 
n .
Замечание: запись n   обозначает, что число членов последовательности
неограниченно увеличивается. Говорят также, что последовательность x n
сходится к а. В частности, если x n бесконечно малая, то lim xn  0 (или xn  0
n 
( n   )).
Предел бесконечно малой величины равен нулю. Если x n - бесконечно
большая величина, то пишут lim xn   или xn   ( n   ).
n 
Пусть функция f x  определена в некотором интервале. Если для любой
последовательности значений х: x1, x2 ,, xn ,, , входящих в область определения
функции
и
сходящихся
к
а,
но
отличных
от
а,
соответствующая
последовательность значений функции f x  : f x1  , f x2  , f x3  ,..., f xn  ,…
сходится и притом к одному и тому же числу А, то говорят, что функция f x 
стремится к А при x  a , а число А называют пределом функции f x  в точке а.
Обозначение: lim f x   A или f x  A при x  a .
xa
10
Примечание: Предел элементарной функции в точке области ее определения
f ( x)  f (a) .
равен частному значению функции в этой точке: lim
xa
2
2
Например, lim x  2  0  2  1 .
x 0
2
2
Теоремы о бесконечно малых величинах и о пределах. Раскрытие
неопределенностей вида 0 и  .

0
1.Сумма конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно
малая.
2.Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина
бесконечно малая.
3.Предел постоянной равен самой постоянной:
4.Если существуют конечные пределы
lim c  c
xa
lim f x   A
xa
.
и lim  x   B , то имеют место
xa
следующие теоремы:
1) lim  f x    x   A  B
xa
2) lim  f x  x   AB
xa
3) lim c  f x   c  lim f x   c  A
xa
xa
4) lim f x   A , B  0 .
xa
 x 
B
Примеры:
1. lim 3x2  2 x  7   3 lim x  lim x  2 lim x  lim 7  3  2  2  2  2  7  15
x2
x2
x2
x2
x2
2. lim
x2
x2
x  3x  1
2
Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен
нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: lim
x2
следовательно, величина
x2
0
  0,
x  3x  1 9
2
x2
есть бесконечно малая при x  2 .
x  3x  1
2
11
2
3. lim x  2 x  1
x 3
x3
Применять теорему о пределе частного непосредственного нельзя, т.к. предел
знаменателя равен нулю (при x  3 в знаменателе стоит бесконечно малая
величина). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля.
Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной
величины на бесконечно большую при x  3 (см. примечание). Поэтому
lim
x 3
x 2  2x  1

x3
.
3
2
4 lim 5 x  2 x  x
x 0
3x
Здесь также нельзя непосредственно применять теорему о пределе частного, т.к.
пределы знаменателя и числителя равны нулю и мы имеем неопределенность
вида 0 . В подобных примерах числитель и знаменатель необходимо разложить
0
на
множители,
сократить

и
затем
перейти
к
пределу:

5 x 3  3x 2  x
x 5x 2  2 x  1
5x 2  2 x  1
1
 lim
 lim

x 0
x 0
x 0
3x
3x
3
3.
lim
Следует заметить, что х стремится к нулю, но не равен, его предел равен
нулю.
5 lim 1  8 x  3
x 1
4x  2
В этом примере также имеем неопределенность вида 0 . Если под знаком
0
предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности вида
0
необходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из
0
знаменателя в числитель, а иногда и то и другое, полученную дробь сократить и
перейти к пределу.
12
lim
x 1

1  8x  3
4x  2
 lim
x 1
 1  8x  3 1  8x  3 4 x  2  lim 1  8x  9 4 x  2  lim 2 4 x  2
 4 x  2 4 x  2 1  8x  3
1  8 x  3 4 x  4 
1  8x  3
x 1
x 1
4
3
6: lim x  sin 1 .
x 0
x
При x  0 переменная х есть бесконечно малая величина, а sin 1  1 при любых
x
x  0 . Следовательно, величина x  sin
1
- произведение бесконечно малой на
x
ограниченную величину – будет также бесконечно малой величиной, поэтому ее
предел lim x  sin 1  0 .
x 0
x
3
7. lim 2 3x  x 2 1
x 
5x  2 x  1
Теорему о пределе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и
знаменатель конечного предела не имеют. В этом случае говорят: имеем
неопределенность вида  .

В подобных примерах для раскрытия неопределенности целесообразно
числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а
1
1
2 2  3
2 x3  x  1
x
x  2 , т.к. 1 , 1 , 2 при
затем перейти к пределу. lim 3
 lim
2
x  5 x  2 x  1
x 
2 1
5
x2 x3 x
5  3
x x
x   есть величины бесконечно малые.
Для раскрытия неопределенности вида 0 часто применяется первый
0
замечательный предел.
lim
sin 
 0

 1 , где угол  выражен в радианах
Пример: lim sin 4 x
x 0
sin 5 x
Преобразуем данное выражение так, чтобы задача была сведена к первому
замечательному пределу
13
sin 4 x
sin 4 x
 4x
sin 4 x
4
4 1 4
lim
 lim 4 x
 lim 4 x   
x  0 sin 5 x
x  0 sin 5 x
x

0
sin
5
x
5 1 5
 5x 5
5x
5x
Неопределенности вида    и 0   раскрываются путем преобразования и
сведения их к неопределенности 0 и  .
0



Пример: 1) lim x2  1  x .
x 
Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель:
 x  1  x x  1  x  0
lim  x  1  x   lim
2
2
2
x 
x2  1  x
x 
2) lim 2n  sin xn
n
2
Неопределенность вида 0   легко свести к неопределенности вида
Мы сведем к неопределенности вида
x
lim 2n  sin n  lim
n 
n 
2
0

или .
0

0
:
0
x
x
sin n
n
2  x lim
2  lim sin   x .
n 
 0 
x
x
n
n
2
2
x  sin
В предпоследнем равенстве мы воспользовались заменой
x
  , при
2n
x
является бесконечно малой, т.е.   0 .
2n
Пусть функция имеет такой вид: y   f x   x  .
n   величина
Если при x   ( x   ) f x  1 , а  x   , то говорят, что имеем
неопределенность вида 1 . Для раскрытия этой неопределенности пользуются
вторым замечательным пределом:
z
1
 1
lim 1    lim 1     e .
z 
 0
z

Число е иррациональное (е = 2,71828…)
Пример:
14
3
 n 1 
lim 

n  n  2


2 n 1
n 1 

 lim 1 
 1
n 
 n2 
2 n 1
3 

 lim 1 

n 
 n 2
2 n 1
n2 n2


3

3


 lim 1 
 
n  
 n 2 


 2 n 1
 е 6  1 / е 6 .
n2
 32n  1
 3  3
 6 .
Т.к. lim 1 
 e по формуле (2) и lim

z


z 
n2
 n 2
Две функции f x  и  x , одновременно стремящиеся к нулю или
бесконечно
при
x  ,
называется
эквивалентными,
если
lim
x 
f x 
 1.
 x 
Обозначение: f x  ~  x .
Предел отношения бесконечно малых величин не изменится, если
заменить их эквивалентными или бесконечно малыми величинами.
Пример: Доказать, что xln0(1  x) ~ x .
Т.к.
1
ln 1  x 
1
 lim  ln 1  x   lim ln 1  x  x  ln e  1 ,
x 0
x 0 x
x 0
x
где второе и последнее
lim
равенство следуют из свойств логарифмов, а 1  x  x  e - второй замечательный
1
предел.
Пример:
lim
x 0
cos x  cos 2 x
 lim
x 0
x2
2 sin
3x
x
3x x
 sin

2
2  2 lim 2 2  3 , т.к. sin 3 x ~ 3x , а sin x ~ x .
x 0
2
2 2
2
2
x2
x2
Пример: Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме f x   5 x 2  2 x 3  x при
x  0 . Очевидно, что при x  0 все три слагаемых будут бесконечно малыми.
Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых:
3
 2
 2
5x 2  2 x 3  x
1 2 
1

  lim 1  x 

lim
1

x

x
2
 x 0  5
x 0
x 0 
5
5x
5 x3
 5


lim
 5
5x 2  2 x 3  x
1
 lim  
1
2
x 0
x 0
 2x
2 x5
 2 x
lim
lim
x 0
5x 2  2 x 3  x
x


  



 lim 5 x 3  2 x 5  1  1
x 0
15




Следовательно, функция f x   5 x 2  2 x 3  x при x  0 эквивалентна
третьему слагаемому, т.е. x .
На практике для вычисления пределов удобно пользоваться следующими
формулами:
lim
c
 0 , если lim f x    ;
x a
f x 
lim
c
  , если lim f  x   0 ;
xa
f x 
x a
x a
f x 
 0 , если lim f  x   0 , lim   x    ;
xa
xa
x a   x 
lim
lim
x a
f x 
  , если lim f x    , lim  x   0 .
xa
xa
 x 
Если x  a , но x  a , то принято писать x  a  0 . Если x  a , но x  a , то
пишут x  a  0 . пределы (если они существуют)
lim f  x   f a  0  , и lim f  x   f a  0
x a 0
x a  0
называют соответственно пределом слева функции f x  в точке а и пределом
справа функции f x  в точке а.
Равенство
lim f x   lim f x 
x a 0
x a  0
является необходимым и достаточным
условием для существования предела функции f x  в точке а. Пределы справа и
слева называются односторонними.
Пример: Найти односторонние пределы следующих функций:
1) f x   arctg
x  1 при
1
x 1
x  1.
f 1  0  lim arctg
x 1 0
1
, отсюда видно, что если x  1 0 , то
x 1
z   .
z
y
y=f(x)
a
y=f(x)
1

 lim arctgz  ,
x  1 z 
2
x
f 1  0  lim arctg
x 1 0
1

 lim arctgz   .
x


x 1
2
Пределы
оказались
неравными,
следовательно, предела функции в точке a  1 не
существует.
16
2) f x  
1
53
f  0   lim
x  0
, ( x  0 ) при x  0 .
1
1
53
f  0   lim
x  0
1
x
1
x
 0 , т.к. lim 3 x  lim 3 z  
x 0
z 
1
1
1
5  3x
1
 , т.к. lim 3 x  lim 3 z  0 .
x 0
z 
5
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке
a  0 не существует.
Функция
y  f x 
непрерывна в точке
окрестности этой точки и существует предел
Отсюда
следует,
x 0 , если она определена в
lim f x   f x0 
x x0
lim f x0  x   f x0 
что
x 0
или
lim y  lim  f x0  x   f x0   0 , т.е. если функция непрерывна в точке x 0 , то
x 0
бесконечно малому приращению аргумента x в этой точке соответствует
бесконечно малое приращение функции y .
Справедливо и обратное утверждение:
y
если бесконечно малому приращению аргумента
f(x0+x)
y
f(x0)
x0
соответствует бесконечно малое приращение
x
x
функции, то функция непрерывна, т.к. в этом
x0+x
случае из соотношения (5) следует предел (4).
Следовательно, для того, чтобы функция f x 
была непрерывна в точке x 0 , необходимо и
достаточно, чтобы ее приращение y в этой
точке стремилось к нулю вместе с приращением
аргумента x .
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
17
Функция, непрерывная в каждой точке своей области определения,
непрерывна и во всей этой области.
Если две функции f x  и  x непрерывны в точке x 0 , то в этой же точке
непрерывны и функции f x   x ; f x   x ;
f x 
(если  x  0 ).
 x 
Если функция u   x  непрерывна в интервале a, b , а сложная функция
y  f u  непрерывна на множестве значений функции u   x  в интервале (А,В),
то y  f  x непрерывна в интервале a, b .
Если условие непрерывности функции в точке x 0 не выполнено, то
функция имеет разрыв в этой точке.
Говорят, что функция y  f x имеет разрыв в точке x 0 первого рода, если
существуют конечные пределы lim f x   f x0  0 и lim f x   f x0  0 , причем
x  x0  0
x  x0 0
1.Если f x0  0  f x0  0 , то x 0 называется неустранимой точкой разрыва.
2.Если f x0  0  f x0  0  f x0  , x 0 называется устранимой точкой разрыва,
если f x0  существует.
Функция f x  имеет в точке x 0 разрыв второго рода, если хотя бы одних из
односторонних пределов функции в этой точке не существует, либо равен
бесконечности.
Если f x0  0  f x0  0 , то разность f x0  0  f x0  0 называется скачком
функции в точке x 0 (разрыв второго рода – неустранимый).
 x 2 при x  2
имеем
при
x

2
1

Пример: Для функции f x   
y
4
f 2  0  f 2  0  lim x 2  4 , однако
x2
4  f 2  0  f 2  0  f 2  1 .
Следовательно, точка х = 2 является
точкой устранимого разрыва функции f x  .
2
Примечание: Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что достаточно
1
доопределить
x
или
переопределить
(пополнить)
функцию
в
точке.
f  x  , тогда функция
рассмотренном примере нужно положить в g 2  4  lim
x2
18
В
 x 2 при x  2
является непрерывной в точке x0  2 .
g x   
4 при x  2
Пример: Для функции f x  
1
1 2
точка х = 0 является
точкой разрыва,
т.к. в этой точке функция не определена ( f 0 не
f  0   lim f  x   1 ,
существует).
При
этом
x  0
y
1
1/2
f  0  lim f  x   0 .
Следовательно,
x  0
0
1
x
точка
x0  0
является
точкой
разрыва
первого
рода,
а
f  0  f  0  1 - скачок данной функции
(т.е. если мы пополним эту функцию какой-то
x
одной точкой, она все равно останется разрывной).
Замечание: Функция n переменных y  f x1 , x2 ,........., xn  может иметь не только
изолированные
точки
разрыва,
а
целые
поверхности), например, функция f x1 , x2  
множества разрывов
(линии,
x12  x 22
имеет разрыв во всех
x12  x 2 x1  3x 2 


1
3
точках параболы x2  x12 и во всех точках прямой x 2   x1 .
Пример: Исследовать на непрерывность и построить график следующей
функции:
 x  1,5 при x  2
1

f x   
при  2  x  0
x
2 x
при
x0
Функция f x  не является элементарной, определена на всем множестве
действительных чисел, тремя разными формулами на различных промежутках
изменения аргумента.
Исследуем
на
непрерывность
точки
x  2
и
x  0:
1
1
1
f  2  0   lim f  x  1,5   ; f  2  0   lim f   .
x  2  0
x


2

0
2
x
2
По условию
1
f  2    ,
2
следовательно
функция f x  непрерывна в точке x  2 .
19
f  2  0  f  2  0   2 ,
т.е.
f  0   lim f
x  0
1
  , f  0   lim f 2 x  0 , т.е. в точке х = 0 функция имеет разрыв
x  0
x
второго рода. В остальных точках числовой оси функция непрерывна.
Задания для контрольных работ
1.
Найти
указанные
пределы,
не
пользуясь
средствами
дифференциального исчисления.
3x 6  x 2  x
1  3x 2  2
;
б)
;
lim
x 1
x6  2
x2  x
г) lim x  2ln 2 x  3  ln 2 x  1 .
1. а) lim
x 
в) lim
x 0
sin 5 x
;
3x
x 0
6x 3  2x  7
2. а) lim
;
x  3 x 2  5 x 2  2
б) lim
x 3
2x  2  2
x 1  2
;
 x2  7 


в) lim
x  x 2  5 


3 2 x 2
;
г) lim x  ctg 2 2 x  sin x .
x 0
1  x  2x  6
x2  x  2
;
б) lim
;
2
x 5
x 2  5x
x  x6
г) lim x  3ln x  1  ln x  2 .
3. а) lim
x 2
в) lim
x 0
1  cos 4 x
;
1  cos 2 x
x 
1 x  2
2x 2  x  1
4. а) xlim
;
б)
; в) lim
lim
2
x 0
 1 x  5 x  6
x 3
4  3x  7
3  14  x
1  4x  x 4
;
б) lim
;
2
4
x 5
x 2  25
x  3x  2 x
г) lim 2 x  3ln x  2  ln x .
5. а) lim
x 
x
4 x 1
4 ; г) lim  3  x 
.
x  2  x
x2


sin 2
в) lim
x 0
1  cos 3x
;
x2
x 
x  8x
x5  x3  2x
1  cos 2 x
 x 5
6. а) lim
; б) lim
; в) lim
; г) lim

 .
5
x

8
x


x 
x

0
xx
x  tgx
2x  1
 x 3
x
sin 3
2
x  6 x  16
3x  1
3;
7. а) lim
; б) lim
;
в) lim
3
2
x
0
x 2
x

5
2x
x 4
3 x  4
г) lim x  2ln x  1  ln x  1 .
3x
x 
7 x 2  62 x  8
8. а) lim
;
x 
14 x 2  3x
г) lim x  ctg5 x .
б) lim
x 7
x7
2 x  11  5
x 0
20
;
 x 1
в) lim


x 
 x 
2 3 x
;
9. а) lim
x  3
3
1  cos x
3x 2  3x  36
1  1  3x 2
x .
lim
;
б)
;
в)
;
г)


lim
1

5
x
lim
2
x  0 x  sin x
x 0
x 0
x  5x  6
x 2  2x3
4 x 4  3x 2  1
2  x2
; б) lim
;
2
4
x 4
5  x  2x
3  2x  1
10. а) lim
x 
 x  2
г) lim


x  x  1


xtg3 x
;
cos x  cos 3 x
2 x 1
.
11. а) lim
x  1
2x 2  x  1
;
x 2  5x  4
12. а) lim
x 
5x 3  6 x  3
;
4  2x 2  x 3
б) lim
x 0
1 x
x
1 

lim x 2 cos  1 .
; в) lim
;
г)
x  0 sin x
x 
x
x 

3
x4  a4
;
x3  a3
б) lim
x a
4
4x 2  7 x  2
x 2
13. а) xlim
;
б)
;
lim
2
x

16
x2
x 4
14. а) lim
x 
в) lim
x 0
5x 4  2 x 2  3
;
10 x 4  x  2
б) lim
x 7
в) lim
x 0
1
sin 4 x
x  sin .
; г) lim
x 
x
sin 5 x
tg 5 x
 n 1 
в) lim
; г) lim


x 0 2 x
x  n  2


x  2  3 x  20
;
x7
в) lim
x 0
2 n 1
.
1  cossin x 
;
x2
г) lim cos 2 x sin x .
1
2
x 0
1 x 1
sin x  sin a
3x 2  14 x  5
x
1  3x .
15. а) lim
; б) lim
; в) lim
; г) lim
x

a
x 0
x

0
x 5 x 2  6 x  5
xa
x


sin  x  
1 x  1 x
x  6x  8
3

lim
16. а) xlim
;
б)
;
в)
;
lim
2

x 0
 2 3 x  5 x  2
2x
x  1  2 cos x
2
3
3
3
1  sin 3x .
г) lim
x 0
x
x2  x  6
17. а) xlim
; б) lim
 3 2 x 2  x  21
x 1
18. а) xlim
1
4
1
1  cos x
 1  3x
;
в)
;
г)
lim
lim 
 .
x 0
x 0 x  1
1  cos x


x 3  15  2
x x x
cos x  1
3x 2  x  2
1 x  x2
; б) lim
;в) lim
; г) lim
2
2
x 0
x 0
x 
3
x
3x  4 x  1
x2
x2  x  2
;
x2  x  6
1
x 2  ln cos .
г) lim
x 
x
19. а) lim
x 2
x3 3 9 x

б) lim
x 
x2 1  x
4
x xx
3
21
;
в) lim
x 0
tgx  sin x
;
x3

1
sin x
.
20. а) lim
x 
2x3  7x 2  2
;
6x3  4x  3
б) lim
x 0
3
1 x  3 1 x
cos 2 x
ln tgx
; в) lim
; г) lim
.

2x
x
x  cos 2 x
2 x
4
2
§2 Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких
переменных
Производной первого порядка непрерывной функции y  f x в точке х
называется предел отношения приращения функции y  f x к приращению
аргумента x , когда последнее стремится к нулю:
y
f ( x  x)  f  x 
 lim
x 0 x
x 0
x
lim
y
f(x+x)
Если такой конечный предел в точке
х существует, то функция называется
дифференцируемой в точке х.
Обозначения производной: y  f x ,
y=f(x)
y
f(x)
x
x+x
x
x
dy d

f  x  , y x , y t .
dx dx
Нахождение производной называют
дифференцированием функции.
Значение производной функции f x  в точке x  x0 обозначают f x0  .
Дифференциалом
независимой
dx
переменной
х
называют
её
dx  x .
приращение x
Дифференциалом dy  df x называется df x  f x  dx .
Касательной к графику функции y=f(x) в точке М(x0,y0) называют
предельное положение секущей ММ1 при произвольном стремлении точки
М1 к точке М (иначе: x  0 ).
y
f(x0+x)
y0
N
Уравнение касательной имеет вид:
y-y0 = k(x-x0), где угловой коэффициент
M1
y
касательной k  tg  lim
x 0
M

x
x0
x
x0+x
y
, т.е. k  f x0  .
x
Угол

между
положительным
направлением оси Ох и касательной
отсчитывают против часовой стрелки.
22
Если f x0    , то касательная к графику непрерывной функции f(x)
будет перпендикулярна оси Ох и имеет вид х = х0.
Если f x0   0 , то касательная параллельна оси Ох.
Уравнение нормали (перпендикуляр к касательной в точке М(х0,у0) N
имеет вид: y  y 0  
1
x  x0  .
f  x0 
Если f x0    , то уравнение нормали имеет вид у=у0.
Если f x0   0 , то
N будет перпендикулярна оси Ох и ее уравнение
будет у=х0.
y=f1(x)
y=f2(x)
y

B
M0
A
0
x
Под углом между кривыми у  f1 x  и у  f 2 x в
их общей точке М(х0,у0) понимается угол  ,
между касательными М0А и М0В к этим кривым
в точке М0.
По известной формуле аналитической геометрии
получаем: tg 
f 2x0   f1x0 
.
1  f1x0   f 2x0 
Замечание: если в точке х0 существует конечная производная, то функция
непрерывна в этой точке. Обратное предложение не всегда справедливо.
Например, функция F  x в точке х=0 непрерывна,
т.к. приращение функции y  x  x  x и в точке
y
х=0 y   x , стало быть, при x  0 и y  0 , а
y
0
x
производной в этой точке функция не имеет.
x
Убедимся в этом:
x
y
f 0  x   f 0 
 lim
 lim
,
x 0 x
x 0
x 0 x
x
lim
lim
x  0
x
x
 1,
lim
x  0
x
x
 1 , т.е. и производной в этой точке функция не имеет.
Если существуют односторонние пределы
lim
x 0
f x0  x   f x0 
f x0  x   f x0 
и lim
,

x


0
x
x
не равные между собой, то говорят, что существуют односторонние
производные функции в точке х0, а точку х0 называют угловой точкой
23
графика функции. В приведенном примере односторонние производные
(справа и слева) в точке х = 0 существуют.
Основные правила дифференцирования
а) (cu )   c  u ;
б) (u  v   )   u   v    ;
в) (uv )   u v  uv ;

 u  u v  uv 
г)   
, v  0;
2
v
v
 

cv 
c
д)     2 , v  0 ,
v
v
где с=const, u, v и - дифференцируемые функции.
Таблица производных.
Пусть y  f ( ( x)), u   ( x) - дифференцируемые функции от переменной
х.
1.
y  c  const
y  0
2.
y u
y  u
3.
y  u  (  const )
y   u  1  u 
4.
y
5.
y u
y 
6.
y  a u (a  1, a  0)
y   a u ln a  u 
7.
y  eu
y  eu  u
8.
y  log a u
y 
u
u ln a
9.
y  ln u
y 
u
u
10.
y  sin u
y   cos u  u 
1
u
y  
u
u2
u
2 u
24
11.
y  cos u
y    sin u  u 
12.
y  tgu
y   sec 2 u  u  
13.
y  ctgu
y    csc2 u  u   
14.
y  arcsin u
y 
15.
y  arccosu
y  
16.
y  arctgu
y 
17.
y  arcctgu
y  
u
cos2 u
u
sin 2 u
u
1 u2
u
1 u2
u
1 u2
u
1 u2
Примеры:
1. Найти производные следующих функций:


g x  
f x   2 x 3  5  7 x ,
x
x3
.

2  cos x
7
Решение:






 


f x   2 x 3  5  7 x  2 x 3  5 7 x   6 x 2  7 x  (2 x 3  5 )7 x ln 7  7 x 6 x 2  2 x 3  5 ln 7



x
x2  cos x   2  cos x  x 1 3  2  cos x  x sin x 3x 2

  1 3

g x   
x  

x 

  
2  cos x 2
2  cos x 2
7
7
 2  cos x   7 
 
2. Вычислить значение производной функции
f x  

3x 3
5
x
2


9
3
x
2
 26 x 5 в точке с абсциссой х0 = 1.

8
5
1

 135    23   56  39 85 18  53 5  16
4
2 
4
f x    3x    9 x    2 x  
x  x  x  7 x 5  6x 3  1 x 6  7 5 x8
5
3
3
5
3
5

 
 

6
2 1

1  6
5
3
3 x
x
25
f x0   7
45 8
6
2 1
7
1 
 1  6  15 .
3
5
5
3 1
15
1
3. Написать уравнение касательной к графику функции y  33 x 2  2 x  2
в точке с абсциссой х0 = -1.
Ищем ординату точки касания: y0  33 x02  2 x0  2  33  12  2 1  2  3 .
Угловой коэффициент касательной:


  2 1

2
3



k  y x0  3 x  2 x  2  3  x 3  2
 3

x0  1

2
3
1
 2  0.
Подставив х0, у0 и k в уравнение касательной, получаем:
(у – 3) = 0(х + 1), откуда
у=3
4. Какой угол образует с осью Ох касательная к кривой у = х – х2 в точке
с абсциссой х = 0?
Найдем угловой коэффициент касательной:

tg  f x0   x  x 2
  1  2 x 
x 0
 1, следовательно   45o .
Пример: найти производные следующих функций:
x 1
1. y  
 ;
 x 1
2
2. y  log 5 x 3  1 ;
3. y  sin 2 2 x  1 .
Решение:
1. Функция имеет вид у = u2, где u 
x 1
, значит y   2u  u 
x 1
или



x  1  x  1
x  1  x  1 x  1   x  1x  1
x  1 x  1   x  1
4 x  1
y  2


2


 2
2
2
x 1  x 1
x 1
x 1
x  1
x  1
x  13
2.Функция имеет вид
y  log 5 u , где u = x3 – 1, следовательно,

1
3x 2
;
y  3
 3
x  1 ln 5 x  1 ln 5

x
3




3. Функция имеет вид: у = u2, где u  sin 2x  1 , т.е.
26


y   2u  u   2 sin 2 x  1  sin 2 x  1  2 sin 2 x  1  cos2 x  1  2 x  1  2 sin 2 x  2  cos2 x  1 
 2  2 sin 22 x  1
Пример: Вычислить производную функции f ( x)  ln

1  sin x
в точке x  .
4
1  sin x
Решение: Преобразуем функцию в правой части. Получим.
f x  
1
ln 1  sin x   ln 1  sin x  . Вычислим производную:
2
f  x  

1   cos x
cos x 
1

. Полагая x  , найдем:


4
2  1  sin x 1  sin x 
cos x
1
 
f    
 2.

4
cos
4
Логарифмической производной функции у = f(х) называется производная
от логарифма этой функции, т.е.
ln y  
y
y
Нахождение производных от функций, которые допускают операцию
логарифмирования
(произведение,
частное,
возведение
в
степень
и
извлечение корня), значительно упрощается, если функции предварительно
прологарифмировать.
Пример: Найти y  , если y  x  13 5x  12 x  1 .
Решение: ln y  ln x  1  ln 5 x  1  ln x  1 ;
2
3
1
3



y
1
10
1
2 15 x 2  7 x  4
, отсюда




y x  1 35 x  1 3x  1 3 x 2  1 5 x  1
y 






2 15 x 2  7 x  4
2 15 x 2  7 x  4
2
3






x

1
5
x

1
x

1

.
3 x 2  1 5 x  1
33 ( x  1) 2 (5 x  1)

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение
продифференцировать, считая у функцией от х, и вновь полученное
уравнение решить относительно производной y  .
Пример:
27
1. y 3  3 y  2ax  0
Дифференцируем обе части по х, считая у функцией от х:
3 y 2  y   3 y   2a  0 , отсюда y  
2a
.
31 y2


2. arctgy  y  x  0
Дифференцируем обе части по х, считая у функцией от х:
y ' ( x)
 y'  1 ,
1 y2
отсюда y'  y 2 (1  y 2 )  1  y 2
Если для функции у = f(x) производная y x  0 , то производная обратной
функции x  f 1  y  (см. § 1) есть
x y 
1
y x
Пример: Найти x y , если у = х + lnх.
1
x
Имеем y x  1  
x 1
x
, следовательно, x y 
.
x
x 1
Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством
параметра
 x   t 

 y   t 
t
,
то
параметрически, имеет вид yx 
производная
от
функции,
заданной
yt
.
xt
 x  a cos t
 y  a sin t
Пример: 
y x 

a sin t t 
yt a sin t t
cos t



 ctgt .
xt a cos t   a sin t  
sin t
t
t
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Пусть функции f(x) и  x дифференцируемы в окрестности точки а,
причем производная  x  0 .
Если обе функции бесконечно малые или бесконечно большие при
x  a , т.е. если частное
0
0
или

, то

f x 
в точке а представляет неопределенность вида
 x 
f x 
f x 
 lim
, при условии, что предел отношения
x a   x 
x  a   x 
lim
производных существует (конечный или бесконечный).
28
Правило
применимо
и
для
случая,
когда
a  .
Раскрытие
неопределенностей вида    , 0   , 0 0 ,  0 , 1 при помощи алгебраических
преобразований
и
логарифмирования
неопределенностей вида
сводится
к
раскрытию
0

и .
0

Примеры:
1. lim
x 1
x 3  3x  2
3x 2  3
6x
6

lim
 lim
  1,5 .
3
2
2
x  x  x  1 x1 3x  2 x  1 x1 6 x  2 4
Здесь мы имеем неопределенность вида
0
0
и правило Лопиталя
применяли дважды.
2.
1
1
1 
x  1  ln x
x 1
1
 1
x

 lim
 lim
 lim
1
lim
  lim
x  0  ln x
1 x1 x ln x  x  1 x1 ln x  x
x  1  x 0 x  1ln x x1
ln x  x  1
x
Здесь мы имеем неопределенность вида    и правило Лопиталя
применяли трижды.
1
ln x
3. lim x  ln x  lim
 lim x  lim  x   0 .
x 0
x 0 1
x 0
x 0
1
 2
x
x
4. lim x x .
x 0
Полагаем у = хх и логарифмируем обе части этого равенства: ln y  x ln x .
ln y  lim x ln x . Из примера 3 видно: lim ln y  0 . Отсюда lim y  e 0  1 .
Найдем lim
x 0
x 0
x 0
x 0
1
5. lim
 
x 0
sin x
x
Положим
.
1
y 
 x
равенства: ln y  sin x ln
sin x
и прологарифмируем обе части полученного
1
  sin x ln x .
x
ln y   lim sin x ln x .
Найдем предел ln y : lim
x 0
x 0
29
Полученную неопределенность вида 0   преобразуем к
неопределенности вида

, а затем применим правило Лопиталя:

1
ln x
sin 2 x
 1 sin x

x
lim ln y   lim
  lim
 lim
 lim 

 sin x   1  1  0  0 .
x 0
x 0
x 0
x 0 x cos x
x 0 cos x
1
cos x
x



2
sin x
sin x
Отсюда получаем lim y  e 0  1 .
x 0
1
6. lim x x1 .
x 1
Положим
ln y 
1
y  x x 1 .
При
помощи
логарифмирования
получаем:
1
ln x .
x 1
1
1
ln x
x
x
lim ln y  lim
 lim  1, отсюда lim ln y  1 , т.е. lim y  e , т.е. lim x 1  e .
x 1
x 1
x 1
x 1 x  1
x 1 1
x 1
Производную y  от у = f(x) будем называть производной первого
порядка; производную от первой производной называют производной
второго порядка от функции у = f(x) и обозначают y  или y x  ;
производную от производной второго порядка называют производной
третьего порядка и обозначают y  или y x и т.д.
Производная от производной (n – 1)-го порядка называется производной
n-го порядка от функции у = f(x) и обозначается y n  или f n  x  .
Пример: найти производные указанного порядка от данных функций:
1. y  ln x ; y 4  = ?

2. f x  sin 2x ; f 5    = ?
2
Решение:
1. найдем первую производную:
производную:
y 

1

y      x 1   x 2 .
 x
 
30
1
,
x
теперь найдем вторую
Продифференцируем еще два раза и получим производную четвертого




порядка: y   y   x 2   x 2   2 x 3 ; y 4   2 x 3   2x 3   6 x 4  
6
.
x4
2. Аналогично предыдущему примеру ищем сначала производную
первого порядка, а затем более высоких:
f x  2 cos 2x ,
f x  4 sin 2x ;
f x  8 cos 2x ;
f 4  x   16 sin 2 x ;
f 5  x   32 cos 2 x
При x 
Пример:



найдем f 5     32 cos 2   32 cos   32 .
2
2
2
Показать,
что
функция
у
=
cos2х
удовлетворяет
дифференциальному уравнению y   4 y  0 .
Решение: определяем y  и y  : y   2 sin 2 x ; y   4 cos 2 x .
y и
Подставив
y 
в
данное
уравнение,
получим
тождество:
 4 cos 2x  4 cos 2x  0 , т.е. 0 = 0.
Если функция у = f(x) дифференцируема в интервале (a,b) и имеет
положительную (отрицательную) производную
f x  , то функция f(x)
возрастает (убывает) в этом интервале.
Замечание: производная в отдельных точках интервала может равняться
нулю.
Пример: Найти промежутки возрастания и убывания следующих функций:
1. y  x 3 ;
2. y  ln x 2  2 x  3;
3. y  2 x 2  ln x ;
4. y 
1
.
x2
Решение:
1. Функция определена в интервале  ; . Найдем производную
y  3x 2 .
Производная y   0 (обращается в нуль только в одной точке х = 0),
следовательно, функция возрастает в интервале    x   (см. рисунок).
31
2. Функция определена в интервале  ; .
y
y=x
0
3
x
Находим
y 
производную
2x  2
.
x  2x  3
2
Знаменатель дроби x 2  2 x  3  0 при любых
значениях
х
(т.к.
корни
трехчлена
комплексные),
следовательно,
знак
производной совпадает со знаком числителя:
y   0 , если 2x  2  0 , т.е. x  1
y  0 ,
если
2x  2  0 , т.е. x  1 .
Функция убывает в интервале  ;1 и
возрастает в интервале  1; . В точке х = -1 убывание сменяется
возрастанием.
3. Данная функция определена при
y  4x 
x  0 . Найдем производную:
1
.
x
Функция возрастает, если 4 x   0 , т.е. 4 x 2  1  0 x  0 , или 4 x 2  1 , т.е.
1
x
x2 
1
1
, или x  .
2
4
1
x
1
4
1
2
Функция убывает, если 4 x   0 , т.е. 4 x 2  1  0 , или x 2  , т.е. x  .
Итак, в интервале 0  x 
возрастает. В точке x 
1
1
функция убывает, в интервале  x  
2
2
1
убывание сменяется возрастанием.
2
4. Точка х = 2 есть точка разрыва второго рода: y   
1
 x  2 2
 0 при
x  2.
Следовательно, функция убывает в интервалах  ;2 и 2; .
Функция у = f(x) имеет в точке х0 максимум (минимум) f(x0), если в
некоторой окрестности этой точки (при x  x0 ) выполняется неравенство f(x)
< f(x0) (f(x) > f(x0)).
32
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.
Точка, в которой функция имеет минимум или максимум, называется точкой
экстремума функции.
Необходимое условие существования экстремума: Если функция f(x) в
точке х0 имеет экстремум, то производная в этой точке равна нулю, либо не
существует.
Точки возможного экстремума функции f(x) называются критическими
точками первого рода для f(x).
Достаточные признаки существования экстремума:
1. Если при переходе (слева направо) через критическую точку х 0
производная f x  меняет знак с плюса на минус, то в точке х0 функция f(x)
имеет максимум; если с минуса на плюс, то минимум; если знака не меняет,
то экстремума нет.
Для определения экстремума функции удобно использовать следующую
схему:
- определить критические точки, т.е. найти действительные корни
уравнения
f x   0 , а затем найти и те точки из области определения
функции, в которых производная не существует;
- исследовать на экстремум каждую критическую точку по первому
достаточному признаку существования экстремума.
2. Пусть f x0   0 и в окрестности точки х0 существует конечная первая
производная, а в самой точке х0 – вторая производная f x0   0 , тогда:
- если f x0   0 , то в точке х0 имеется минимум;
- если f x0   0 , то имеем максимум;
- если f x0   0 , то этот признак ничего не дает и для решения вопроса
надо применять первый достаточный признак.
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию f x   x 4  2 x 3  3 .
1
4
33
Решение: Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем
производную, приравняем ее к нулю и определим действительные корни:

 

f x   x 3  4 x  x x 2  4 ; x x 2  4 =0.
Следовательно, х1 = 0, х2 = 2, х3 = -2 – критические точки. Теперь исследуем
знак производной в окрестности каждой из этих точек:
Так как левее точки х = -2 критических
-3 -2 -1 0
1
2
3
точек нет, то можно взять любое значение х и
x
слева
от
точки
–2,
например,
х
=
-3.
Производная в этой точке имеет знак минус
 f  3   3
3
 f  1   1
3

 4 3  27  12  15  0 , справа, при х = -1, – знак плюс

 4 1  3  0 , следовательно, в точке х = -2 будет минимум (min).
Слева от точки х = 0, как уже установлено, производная имеет знак
плюс, справа можно брать любое значение х между 0 и 2, например, при х=1
знак производной будет минус, т.е. в точке 0 мы имеем максимум (max).
Слева от точки 2, как уже известно, знак производной минус, т.е. нужно
взять любое значение х правее точки 3, т.к. справа больше нет других
критических точек, например, х = 3. f 3  33  4  3  15  0 , следовательно, в
точке х = 2 имеем минимум.
Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох, пусть у = 0, тогда
1 2
x  2 x 2  3  0 , x 4  8 x 2  12  0 . Решая это уравнение, получаем: x1  6  2,4 ;
4
x 2   6  2,4 ; x3  2  1,4 ; x 4   2  1,4 . С осью Оу имеем одну точку
пересечения у = 3 (при х = 0).
Воспользовавшись результатами, записанными в следующей таблице:
х
у
у
 ;2
<0
-2
0
min
(-2;0)
>0
0
0
max
34
(0;2)
<0
2
0
min
2; 
>0
Примечание: стрелки
(
) обозначают убывание (возрастание)
функции на некотором данном интервале.
А так же найденными точками пересечения кривой с осью Ох и Оу,
построим график функции:
y
3
1
-1
0
-2
x
2
Примечание:
ординаты
точек
экстремума
находятся
при
помощи
подстановки их абсцисс в уравнение
кривой, например:
y (2) 
-3
1 4
(2)  2  2 3  3  4  8  3  1
4
Дифференцируемая функция у = f(x) называется выпуклой (вогнутой) на
интервале (a,b), если дуга кривой у = f(x) (a < x < b) расположена ниже (выше)
касательной, проведенной в любой точке этой дуги.
Точки, в которых выпуклость изменяется на вогнутость или наоборот,
называется точками перегиба.
Точки возможного экстремума функции f(x) называются критическими
точками второго рода для f(x).
Необходимое условие существование перегиба: если М(х0,у0) – точка
перегиба графика функции у = f(x), то вторая производная f x0  0 или не
существует.
y
M(x0,y0)
Выпуклость
0
y=f(x)
x
Вогнутость
x0
Перегиб в точке M
Если на (a,b) существует f x , то
достаточным
условием
выпуклости
(вогнутости)
является
выполнение
неравенства f x  0 ( f x  0) при a < x < b.
Пример:
Найти
следующих функций:
точки
перегиба
1. y  x 4  6 x 2  5 ;
4
2. y  x 3 .
Решение:
1. Найдем вторую производную: y   4 x 3  12 x ; y   12 x 2  12 x  12x 2  1.
35
Решим уравнение 12x 2  1  0 ; x  1.
Исследуем знак второй производной в окрестности точек x1  1, х2 = 1.
При x  1 ,
y   0 и при x  1 ,
y   0 . (Знаки производных определяются
аналогично примеру из п. 3.11. данного раздела).
При x  1, y   0 и при x  1, y   0 . Следовательно, точки перегиба: М1(1;0) и М2(1;0). Результаты исследования удобнее сразу заносить в таблицу:
х
 ;1
y 
>0
вогнутость
y
-1
0
перегиб
y
M1
x
M2
1
(-1;1)
<0
выпуклость
1;
1
0
перегиб
>0
вогнутость
т.е. в интервале
 ;1 , где y   0 , кривая
вогнута; в интервале (-1;1), где y   0 , кривая
выпукла; в интервале 1; , где y   0 , вогнута.
2
1
4
4 
4
2. y   x 3 ; y   x 3  3 2 .
3
9
9 x
Производная y  нигде не обращается в нуль. Приравнивая к нулю ее
знаменатель, получаем, что в точке х = 0 вторая производная не существует.
Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки: y0     0 ,
y0     0 , где  - некоторое положительное число.
Точек перегиба нет. На интервале  ; вогнутость кривой направлена
вверх.
Пусть функция у = f(x) определена при всех х > х0, (х < x0). Если
существуют числа k и b такие, что функция f x  kx  b  0 при x  
( x   ), то прямую линию y  kx  b называют асимптотой графика функции
у = f(x) при x   ( x   ).
При этом если k  0 , то асимптоту называют наклонной, если k = 0 (тогда y =
b), то горизонтальной.
Условие
lim
1
y=f(x)
1
0
-1
–
kx
–
b
=
0
означает
 f x   kx  b   0 , и, следовательно, функция
x  
 x  
y=x-1
y=1
f(x)
f(x) при
x
36
x  
( x   )
неограниченно
приближается к прямой y = kx + b (ведет себя почти как линейная функция).
Например, на рисунке изображен график функции, имеющий наклонную
асимптоту у = х – 1 при
x  
(правая наклонная асимптота) и
горизонтальную асимптоту у = 1, при
x  
(левая горизонтальная
асимптота).
Если существуют пределы xlim
 
y  k1 x  b1
является
правой
f x 
 k1 и
x
наклонной
lim  f  x   k1 x   b1 , то прямая
x  
асимптотой
(при
k1
=
0
–
горизонтальной) графика функции y = f(x).
Если существуют пределы xlim
 
f x 
 k2 и
x
lim  f x   k 2 x   b2 ,то прямая
x  
y  k 2 x  b2 является левой наклонной асимптотой (при k2 = 0 – горизонтальной)
асимптотой графика функции y = f(x).
Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки x = x0.
Если lim f x    или
lim f x    , то прямая х = х0 является вертикальной
x  x0 0
x  x0 0
асимптотой графика функции у = f(x).
Пример: Найти асимптоты кривой y 
x2
x2 1
.
Решение: Приравнивая знаменатель к нулю, получаем две вертикальные
асимптоты: х = -1, х = 1.
Ищем
k1  lim
x 
наклонные
асимптоты.
При
x  
получаем:
y
x 2 
 lim
x x  x 2  1  x
 x2

x2  x x2 1
b1  lim  y  k1 x   lim 
 1  x   lim
 0,
2
x  
x  
x  
x2 1
 x 1

следовательно,
правой асимптотой является прямая у = х, аналогично при x   имеем:
k 2  lim
x  
y
 1 , b2  lim  y  k 2 x   0 .
x  
x
Таким образом, левая асимптота у = -х.
y
y=x
y=-x
x
37
Схема исследования функции
1. область определения функции;
2. исследование на четность, нечетность и периодичность;
3. точки разрыва;
4. точки пересечения с осями координат;
5. точки экстремума, интервалы возрастания и убывания;
6. точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости;
7. асимптоты.
В ходе построения графика по мере необходимости можно получить
дополнительно ряд значений функции при некоторых частных значениях
аргумента х, т.е. еще ряд точек графика.
Задания для контрольных работ
2. Найти производные первого порядка данных функций, используя в п.
в) логарифмическую производную, в задании д) найти производную
обратной функции или функции заданной параметрами.
1
;
x 1
б) y = sin(3x + 1);
в) y  x sin x ;
г) 2х – 3у + 1 = 0;
1. а) y 
д) найти x x , если у = 3х + х2.
x2 1
2. а) y  3 ;
x 1
б) у = (1 + 2х8);
в) y  x ;
 x  e t
д) 
2t
y  e
3. а) y 
г)
x2 y2

 1;
2 2 32
.
5
;
x  x 1
б) у = sin(x + sinx);
2
3

x  1 x  2
в) y 
;
3
x  12
г) x 3  y 3  3axy  0 ;
38
д) найти x y , если у = 2х2 + х.
4. а) y 
2x 4
;
x2  x 1
б) у = 5cos(2 – 3x);
в) y  x  12 x  13 5 x  24 ;
г) x 2  y 2  5e x ;
1

 x  t  1
д) 
2 .
 y   t 

 t 1
5. а) y 
x
;
x  x 2
б) у = ctg(xsinx);
2
в) y  sin x x ;
г) x 2  5 y 2  4 xy  1  0 ;
1
2
д) найти x y , если y  x  sin x .
6. а) y  x  3 x ;
б) y  e 2 x cos 2 x ;
г) y  sin x  2 y  ;
в) y  x x ;
2
 x  2t  1
.
3
 yt
д) 
7. а) y  3 x 2  x 4 x ;
в) y 
б) y = tg(3x + 1)3;
1 x2
;
3x  5
г) х2 + у2 = 1;
x
д) найти x y , если y  2 cos x  .
2
8. а) y  x 2  x  3
б) y  6 arcsin 2 x ;
в) y  sin x ln x ;
г) у2 = 4х;
x  t
.
3
y  t
д) 
9. а) y  4 x  3
1
x
б) y 
;
в) у = хх;
cos x
;
3 sin 2 x
г) х = у + siny;
x
2
д) найти x y , если y  x  e .
39
10.а) y  x 5 x 2  5 2  ;
б) y  ln
в) y  sin x cos 2 x ;
e2x
;
1  e2x
г) x 2  xy  y 2  3 ;
2t

x
2

д)  1  t 2 .
y  1 t
1 t2

11.а) y 
1 x
1 x
б) y  cos3 x  3 x ;
;
4x 2
в) y 
5
2  x 
3
г) ye y  xex  yx  1 ;
;
д) найти x y , если y  2 x 2  x .
12.а) y 
x
x 1
;
б) y  arcsin 2 x ;
в) y  x cos 2 x ;
г) e y  xy  e ;

t2
x
д) 
t2 .
 y  cos 2t
6
x
13.а) y  8 x   3 ;
б) y  cos 2 x  sin 2 x ;
в) y  2 x x ;
г) e xy  x 2  y 3  2 ;
д) найти x y , если y  2 x  e x .
14.а) y 
x10  3
;
x11  1
б) y  e  x ;
2
г) sin 2x  3 y   2 y  0 ;
в) y  x 25x ;
 x  cost  1
.
 y  sin 2t  1
д) 
5  x2
15.а) y 
;
5  x2
б) y  ln 3 x ;
в) y  x  22 3 2 x  45 ;
г) 2 x  5 y  10  0 ;
1
2
д) найти x y , если y  sin 2 x .
40
16.а) y 
x
;
x  y3
б) y  arcsin x ;
3
в) y  x  23 5 x  24 ;
г) x 3  y 3  a 3 ;
t 1

 x  2 1  t
д) 
.
 y  tg t

2
17.а) y 
x 1
;
x 1
б) y  cos 2 x 2 ;
в) y  x x ;
г) x  y  a ;
2
д) найти x y , если y 
18.а) y  7 x 7  2 
2
.
cos x
3
;
x7
x
2
б) y  ln tg ;
в) y  x sin 3 x ;
19.а) y  4
в)
9
x
x
y
2
9
г) y 3 
3
5
б) y  log 5 x 3  1 ;
 2x 2 ;
 1 x  2
x  1
2
x y
;
x y
4
г) e y  x  y ;
;
д) найти x y , если y  0,1x  e 2 .
20.а) y 
3
3
x2 1
x 1
б) y  ln 2 x 2  3x  1 ;
;
в) y  x  12 x  23 x 2  1 ;
4
г) x y  y x ;

t t2
x


д)  2t  1 .
 y  ln t  1

t 1
6. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить указанный предел. Если
это невозможно, то вычислить его каким-либо другим способом.
41
2. lim ctgxln x .
tgxx .
1. lim
x 0
5. lim x
3
1 ln x
x 0
3. lim sin 2 x cos x .
1
x 0
.
e 3 x  e sin x
x
ln x
13. xlim
.
  x a
9. lim
x 0
x
x5  1
6. xlim
.
1 x 3  1
ln x
.
10. lim
.
x x
ln tg 2 x
14. lim
.
x 0 ln tgx

17. lim

x2
ln x
1
2 
 2  . 18. lim 10 .
x   x
 x 2 x 2
4. lim ln x  x .
1
x 
2
sin 7 x
tg 2 x  2 x
. 8. lim
.
x

0
sin 3 x
x3
ctgx
e sin x  e x
11. lim
.
12. lim
.
2
x  0 ln 2 x
x 0
x
1 
 x

15. lim x 2 e  x .
16. lim

.
x 1 ln x
x 
ln x 

2x
1
tg
x
2
3 .
19. lim  arccos x  . 20. lim
x  0 sin 4 x
x 0 


7. lim
x 0
3. Используя общую схему исследования и построения графика
функции, построить следующие кривые:
1. у 
x2
.
x 1
2
4. y  x 2  .
x
7. у 
x2  1
x2  1
8. y 
9
x 9
x 2  2x  2
13. y 
.
x 1
10. у 
2
16. y 
4
4  x2
2x
19. ó  2 .
x 1
x4
.
4
x2 1
6. у  2
.
x 1
x
.
2
x 1
1
5. y  x  .
x
3. y  x3 
2. y 
x
..
x 4
9. у  2 x 4  x 2 .
2
x 1
.
x2  4
8
15. y  2
.
x 4
2x
.
x 1
2
14. y  x 2  .
x
11. у 
12. y 
2
x2  2x  2
18. y 
.
x 1
x2
17. у 
.
x 1
.
20. y  x 
4
.
x2
§3. Интегральное исчисление функций. Приложения определенных
интегралов.
1. Неопределенные интегралы.
Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция
F(x), что F ( x)  f ( x) .
Совокупность
непрерывной
первообразных
функции
f(x)
F(x)+С,
называется
где
C=const,
неопределенным
функции f(x) и обозначается  f ( x)dx  F ( x)  C , где F ( x)  f ( x)
42
для
данной
интегралом
Функция
f(x)
называется
подынтегральной
функцией,
f(x)dx
–
подынтегральным выражением.
Свойства неопределённого интеграла
2.
 af ( x)dx  a f ( x)dx, a  const , a  0
  f ( x)  f ( x)  f ( x)dx   f ( x)dx   f
3.
 f ( x)dx  f ( x) или d  f ( x)dx  f ( x)dx
4.
 F ( x)dx  F ( x)  c или  dF ( x)  F ( x)  c,
1.
1
2
3
1
2
( x)dx   f 3 ( x)dx
c  const.
Таблица основных интегралов
1.  0  dx  c ;
8.  cos xdx  sin x  c ;
1
2.  1  dx  x  c ;
9. 
dx  ctgx  c ;
sin 2 x
1
x  1

10. 
dx  tgx  c ;
 c;
3.  x dx 
cos2 x
 1
1
dx
1
x
4.  dx  
11. 
 ln x  c ;
dx

arcsin
 c=
x
x
a
a2  x2
x
  arccos  c, a  0 ;
a
5.
1
1
x
12.  2
dx

arctg
c
x
2
a ln a
x
x

a
a
a
 x, a  0 ;
 a dx 
1
x
  arctg  c, a  0 ;
a
a
x
x
1
1
xa
6.  e dx  e  c ;
dx 
ln
 c, a  0 ;
13.  2
2
x a
2a x  a
14.
7.  sin xdx   cos x  c ;
1
dx  ln x  x 2  a  c, a  0 .
 2
x a
Непосредственное интегрирование.
Пользуясь
таблицей
интегралов
и
свойствами
неопределенного
интеграла, можно вычислить многие интегралы. При проверке результата
43
интегрирования надо помнить, что если
 f ( x)dx  F ( x)  C , то F ( x)  f ( x) ,
dF ( x)  f ( x)dx .
Примеры:
1.  x 5 dx 
x6
C
6

 x6

1
6
Проверим это:   C   ( x 6 )  C   x 5  0  x 5 , т.е.F ( x)  f ( x) .
6
6
 6

2.  3x 2 ( x  2)dx   (3x 3  6 x 2 )dx 
3
x4
x3
=  3x dx   6 x dx  3 x dx  6 x dx  3  C1  6 C 2 =  x 4  2 x 3  C
4
4
3
3x  1
3( x  2)  5
5
dx
d ( x  2)
dx  
dx   (3 
)dx  3 dx  5
 3 dx  5

3. 
x2
x2
x2
x2
x2
3
2
3
2
= 3x  5 ln x  2  C .
Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т.е. из
неправильной дроби выделили целую часть.
Примечание: любую неправильную рациональную дробь
можно
(посредством деления числителя на знаменатель «уголком») представить в
виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби,
например:
x4  x3  1
4x  1
 ( x 2  2 x)  2
2
x x2
x  x  2 , так как
x2 + x + 2
x4-x3+1
-x4+x3+2x2
x2-2x
-2x3-2x2+1
--2x3+2x2-4x
1+4x – остаток
4.
dx

2
9 
 2x
dx
9
2( x 2  )
2

1
2
dx
x2  (
3
2

)2
1
1
x
2
x 2

arctg
C 
arctg
C
2 3/ 2
6
3
3/ 2
44
Метод подстановки (замена переменной).
Пусть функция f(x) непрерывная. Полагая x=(t), dx = (t)dt, где
производная (t) есть функция непрерывная, получаем:
 f ( x)dx   f  (t ) (t )dt
Цель замены переменной достигнута, если интеграл в правой части
этого равенства проще исходного.
Для получения искомого результата в найденном интеграле с новой
переменной t переходим обратно к переменной x.
Полезно запомнить частный случай:

f ( x)
dx  ln f ( x)  C .
f ( x)
Примеры:
x

x 1
2
dx . Применим подстановку
x 2 1  t , откуда x 2  1  t 2 .
Дифференцируя, получаем 2xdx  2tdt , следовательно:
xdx



x 1
2
3

tdt
t

dt
t
1
2
  t dt 
1
dt , т.е.
5
4
1
1
1 3
3 3
5 x  2dx   3 t dt   t 3 dt   t 3  C 
(5 x  2) 4  C
5
5
5 4
20
 3x  4
40
 3x  4
40
3
2t
C
3
5 x  2dx . Полагаем 5x  2  t . Тогда dx 
1
3
3
2
sin x
dx . Полагаем 3x  4  t . Тогда 3dx  dt , dx 
dx 
1 40
1 41
1
t dt 
t C 
(3 x  4) 41  C .

3
3  41
123
cos xdx . Полагаем sin x  t , имеем cos xdx  dt
sin x
t
 3 cos xdx   3 dt 
 sin
3
1
dt .
3
3t
3sin x
C 
C .
ln 3
ln 3
x cos xdx . Применим замену sin x  t , т.е. dt  cos xdx
3
3
 sin x cos xdx   t dt 
t4
1
 C  sin 4 x  C .
4
4
45
(2 x  1)dx
. Здесь числитель дроби равен дифференциалу знаменателя.
2
 x 1
(2 x  1)dx
 ln( x 2  x  1)  C .
Имеем:  2
x  x 1
x
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид
 UdV  UV   VdU , где
U(x) и V(x) – дифференцируемые функции.
Примеры:
1.  ( x  2) ln xdx
Пусть U  ln x , dV  ( x  2)dx , тогда
dx
x2
x
, V   ( x  2)dx 
 2 x  x(  2) , следовательно:
x
2
2
x
x
dx x
x2
(
x

2
)
ln
xdx

x
(

2
)
ln
x

x
(

2
)

(
x

4
)
ln
x

 2x  C .

 2
2
x 2
4
2.  arccos xdx . Полагаем U  arccos x , dV  dx , тогда
dU 
 arccos xdx  x arccos x  
 xdx
1 x2
.
Интеграл правой части найдем способом подстановки:

xdx
1 x2
 
tdt
  dt  t   1  x 2 .
t
 arccos xdx  x arccos x 
Исходный
1-x2 =t2; xdx = -tdt
интеграл
равняется:
1 x2  C .
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
Mx  N
dx ,
2
 bx  c
 ax
Для вычисления интегралов вида


Mx  N
ax 2  bx  c
dx ,
ax 2  bx  c dx , содержащих квадратный трехчлен, применяют прием
выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и преобразовывают
его в квадратный двучлен:
ax 2  bx  c  a( x 2 

b
c
b
c b2 
x  )  a ( x  ) 2   2   a(t 2  m 2 ) . После этого
a
a
2a
a 4a 

применяют уже известные методы интегрирования.
Выражения, содержащие
a2  x2
( x 2  a 2 ), можно интегрировать с
помощью тригонометрических подстановок x  a sin t или x  a cos t ( x  tgt
46
или x  arctgt ). Выражения, содержащие
подстановок x 
Интеграл
x 2  a 2 , интегрируются с помощью
a
a
или x 
.
cos t
sin t

в зависимости от знака коэффициента a
ax 2  bx  c dx
легко свести к интегралу

t 2   dt или

 2  t 2 dt , каждый из которых
можно вычислить с помощью тригонометрических подстановок либо
методом интегрирования по частям.
x3
dx . Полагая x  2  t , имеем x  t  2 , dx  dt , тогда
 4x  1
x3
x3
t 1
tdt
dt
1 dt 2
dt
dx

dx

dt



 x 2  4 x  1  ( x  2) 2  5  t 2  5  t 2  5  t 2  5 2  t 2  5   t 2  5 
Примеры: 1.

x
2
1
1
t 5
1
1
x2 5
ln t 2  5 
ln
 C  ln x 2  4 x  1 
ln
C .
2
2
2 5 t 5
2 5 x2 5
x3  2x 2  x  1
 3  2 x  x 2 dx . Подынтегральная дробь неправильная. Выделим
2.
целую
часть
путем
деления
числителя
на
знаменатель:
x  2x  x  1
4x
.
 x 
2
3  2x  x
3  2x  x 2
4x
xdx
x2
   ( x 
)
dx


xdx

4


 41 . Найдем интеграл 1 .

 3  2x  x 2
2
3  2x  x 2
xdx
t 1
tdt
dt
1 d (t 2  4)
dt
1  
  2
dt    2
 2
  2
 2

2
2 t 4
4  ( x  1)
t 4
t 4
t 4
t 4
1
1 t2
1
1 x3
x  t  1,
  ln t 2  4  ln
 C   ln x 2  2 x  3  ln
 C , ( x 1  t ,
2
4 t2
2
4 x 1
3
2
dx  dt ) . Следовательно,   C 
x2
x 3
.
 2 ln x 2  2 x  3  ln
2
x 1
3.  x 2  2 x  1dx .
   x 2  2 x  1   ( x  1) 2  2dx   t 2  2dt , где t  x  1, dx  dt . Последний
интеграл вычислим способом интегрирования по частям, полагая U  t 2  2 ,
dV  dt ,
откуда
t
Следовательно,
dt ,V  t .
t2  2
t
t2  2  2
t2  2
2
2
2
2
  t t  2  t 
dt  t t  2  
dt  t t  2  
dt  
dt 
2
2
2
2
t 2
t 2
t 2
t 2
 t t 2  2    2 ln t  t 2  2 ,
dU 
откуда
2  t t 2  2  2 ln t  t 2  2  2C
47
или
t 2
t  2  ln t  t 2  2  C .
Учитывая,
2
x 1 2

x  2 x  1  ln x  1  x 2  2 x  1  C .
2

что
t  x  1,
получаем
Интегрирование рациональных дробей.
1. Если подынтегральная рациональная дробь
E ( x)
Q( x)
неправильная
(степень числителя больше или равна степени знаменателя), то при помощи
деления ее надо представить в виде суммы целой рациональной функции
R (x ) и правильной дроби
Целая
P( x)
, т.е.
Q( x)
рациональная
n
n 1
n
 (a0 x  a1 x  ...  a dx)  a0
E ( x)
P( x)
 Q( x)   R( x)dx   Q( x) dx .
функция
интегрируется
x n1
xn
 a1
 ...  a n x  C .
n 1
n
непосредственно:
Следовательно,
задача
интегрирования неправильной дроби сводится к задаче интегрирования
правильной дроби.
2.
Если
знаменатель
правильной
раскладывается на множители вида
рациональной
P( x)
Q( x)
дроби
( x  a) ( x  b)  ...( x 2  px  q)  , где корни
трехчлена комплексные, то правильная дробь раскладывается на сумму
простых
дробей:
B
A
A
A2
B
B2
M x  N1
P( x)
 1 
 ... 
 1 
 ... 
 ...  2 1

2

2

Q( x) x  a ( x  a )
x  b ( x  b)
( x  a)
( x  b)
x  px  q
M  x  N
M x  N2
. 2 2
 ...  2
.
2
( x  px  q)
( x  px  q) 
Для вычисления коэффициентов в этом разложении обычно применяют
метод неопределенных коэффициентов:
а) по виду дроби
P( x)
(по виду знаменателя этой дроби) выписываем
Q( x)
разложение на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами,
48
б) в правой части этого разложения приводим простейшие дроби к
общему знаменателю, которым будет Q (x) , складываем их и получаем
правильную дробь,
в) знаменатели в левой и правой частях отбрасываем и получаем
тождество с неопределенными коэффициентами: P( x)  a0 x n1  a1 x n 2  ...  a n1 ,
г) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и
правой частях последнего тождества, получаем систему из n уравнений с n
неизвестными, решив которую находим искомые коэффициенты.
Примеры: 1.
x
2
x 1
dx . Данный интеграл можно вычислить при помощи
 x6
выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.
Найдем интеграл при помощи разложения правильной дроби на
простейшие. Знаменатель дроби имеет корни: x1  2, x2  3 . Следовательно,
x 2  x  6  ( x  2)( x  3) . Напишем разложение:
x 1
A
B


.
x  x6 x2 x3
2
Дроби приводим к общему знаменателю и, освободившись от него,
находим: x  1  A( x  3)  B( x  2)  ( A  B) x  3 A  2 B .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и
правой частях тождества, получаем систему из двух уравнений с двумя
неизвестными
x1  A  B  1

x 0 3 A  2 B  1
1
4
B .
откуда: A  ,
5
5
при
при
Подставляем найденные коэффициенты и получаем разложение:
x 1
A
B
1
1
4
1


 
 
.
2
x  x6 x2 x3 5 x2 5 x3
Следовательно,
x
2
15
45
x 1
1
4

dx  
dx  ln x  2  ln x  3  ln C  ln C 5 ( x  2)( x  3) 4 .
x2
x3
5
5
 x6
2.
x
3
2x  5
dx .
 3x  4
Разложим знаменатель дроби на множители:
x 3  3x 2  4  ( x 3  2 x 2 )  ( x 2  4)  ( x  2)( x 2  x  2) .
49
Корни трехчлена x 2  x  2 есть –1 и 2, поэтому окончательно получаем:
x 3  3x 2  4  ( x  2) 2 ( x  1) .
Напишем разложение:
2x  5
A
B
C



.
2
2
x  2 x 1
x  3 x  4 ( x  2)
3
Корень x  2 имеет кратность, равную двум, поэтому ему в разложении
и соответствуют два слагаемых. Теперь приведем это разложение к общему
знаменателю, и, освободившись от него, получим:
2 x  5  A( x  1)  B( x  2)( x  1)  C ( x  2) 2  ( B  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  A  2B  4C .
Из этого тождества определяем коэффициенты А, В, С. Приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, получаем систему
x2 
BC  0
1 
x  A  B  4C  2
x 0  A  2 B  4C  5
при
при
из трех уравнений с тремя неизвестными: при
, откуда
A  1 3
B7 9 .
C  7 9
Окончательно
2x  5
1
7
7



.
2
2
9( x  2) 9( x  1)
x  3 x  4 3( x  2)
получаем:
3
Следовательно,
2x  5
1
7
7 dx
1
7
7
dx
dx
 
 

 ln x  2  ln x  1  C
dx   
2
2
( x  1)
3 ( x  2)
9 ( x  2)
9 x  1 3( x  2) 9
9
 ( x  2)
Интегрирование иррациональных функций.
p
s


q
ax

b
ax

b


t 
 x, 
R
,

,

 dx , где R - рациональная
   cx  d 
 cx  d  


Интегралы вида
функция; p, q,, s, t - целые числа, находятся с помощью подстановки:
tm
ax  b
(а), где m - наименьшее общее кратное чисел q,, t .
cx  d
Рассмотрим два частных случая:
1) если в интеграле

 R  x, x   
p
q
с=0,
то
он
будет
иметь
вид:
a
b

, , x    dx , где   ,   . Интегра находится с помощью
d
a

s
t
подстановки t  m 2 x   (б);
50
p
s 

q

2) если a  d  1 , то интеграл примет вид  R x, x ,, x t dx . Интеграл




m
находится с помощью подстановки t  x (в).
Примеры:

dx
x  t , откуда
x x
t 2

dx
4t 3 dt
t 2 dt
1
x  t 4 , dx  4t 3 dt 


4

4
(
t

1

)
dt

4

t

ln
t

1

C 
 t 2  t  t 1 
t 1
2
x 4 x


 x 4

 4
 x  ln 1  4 x   C
 2


2.
1.
x  1 x
3
1 x
.
4
Применим
подстановку
(в):
4
dx
Применим подстановку (б). Наименьшее общее кратное показателей
корней подынтегрального выражения m  6 , поэтому t  6 1  x , откуда
1 x  t ,
dx  6t dt и 
x  t  1,
6
6
5
x  1 x
3
1 x
t 6 1 t 3 5
dx  
6t dt  6 (t 9  t 6  t 3 )dt 
2
t
1 x
 t 10 t 7 t 4 
1 x 1 
 6
    C  63 (1  x) 2 

   C .
10
7
4
10
7
4



3.
x
x 1
dx . Применим подстановку (а):
t2
x
, откуда x  2 ,
x 1
t 1
t
x
x
2
x
2
x 1
dx  
1
x2
dx 
 2t
dt
(t  1) 2
2
x
t (t 2  1) 2  2t
2
t 1
x 1
2
dx    4 2
dt


dt


2
t
dt


2
 C 2
C
2
2


x 1
1
x
t (t  1)
t
Интегрирование тригонометрических функций.
1. Интегралы вида
 sin ax cos bxdx,
a  b , находятся с помощью формул
1
sin( x  y)  sin( x  y)
2
1
cos x  cos y  cos( x  y )  cos( x  y )
2
1
sin x  sin y   cos( x  y )  cos( x  y ).
2
sin x  cos y 
51
 cos ax cos bxdx,
 sin ax sin bxdx ,
где
2.
Некоторые
интегралы
тригонометрические функции,
от
выражений,
содержащих
с помощью преобразований приводятся к
интегралам
вида
 f (sin x) cos xdx,
dx
 f (ctgx) sin 2 x
 f (cos x) sin xdx,
или
 f (ctgx)dx ,
dx
 f (tgx) cos 2 x
которые
или
f (tgx)dx,
находятся
соответственно
с
помощью подстановок:
sin x  t ,
cos xdx  dt
(1)
cos x  t ,
sin xdx  dt
(2)
tgx  t ,
ctgx  t ,
dx
 dt или
cos 2 x
tgx  t ,
x  arctgt ,
dx
 dt или ctgx  t ,
sin 2 x
dx 

dt  
  x 
2 
2
1 t  2
(3)
dt
0 x 
1 t2
(4)
x  arctgt , dx  
3. Интегралы вида  sin m x cos n xdx , где m и n – положительные четные
числа, вычисляются с помощью формул:
sin x cos x 
1
sin 2 x,
2
cos 2 x 
1  cos 2 x
,
2
sin 2 x 
1  cos 2 x
.
2
4. Интегралы вида  R(sin x, cos x)dx , где R- рациональная функция, можно
x
2
найти с помощью универсальной подстановки t  tg , (  x ) ,
откуда,
x  2arctgt ,
cos x 
dx 
2tg x 2
2dt
x
x 2tg x 2
2t
, sin x  2 sin  cos 


,
2
2
2
2
2 sec x 2 1  tg x 2 1  t 2
1 t
1 t 2
.
1 t 2
Примеры: 1.  cos 6 x  cos xdx 

1
1
1
(cos 5 x  cos 7 x)dx   cos 5 xdx   cos 7 xdx 

2
2
2
1
1
1
1
sin 5 x sin 7 x
cos t  dt   cos t  dt 

C.

2
5
2
7
10
14
52
(5)
2.

cos x
3  sin x
2
dx  
dt
3t
2
 ln( t  3  t 2 )  V  ln(sin x  3  sin 2 x )  C .
Применили подстановку (1).
3.  sin 5 xdx   (1  cos 2 x) 2 sin xdx   (1  t 2 ) 2 dt   (1  2t 2  t 4 )dt 

2t 3 t 5
 t C 
3
5
2
1
cos 3 x  cos 5 x  cos x  C . Применили подстановку (2).
3
5
4.
dx
x
 2  3 cos x . Воспользуемся универсальной подстановкой t  tg 2 ,
1
2
x
2
откуда dt  sec 2 dx .
x
x
sec 2 dx
sec 2 dx
dx
2
2



x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2 x
2  3 cos
 3 sin
2 sec
 3  3tg
2(tg
 1)  3  3tg
2
2
2
2
2
2
x
x
sec 2 dx
tg  5
2dt
2
t 5
5
2

  2

ln
C 
ln 2
C .
x
5
t 5
2 x
2
5
t

5
5  tg
tg  5
2
2
dx
 2  3 cos x  
2. Определенные интегралы
Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла
b
 f ( x)dx  F ( x)
имеет вид:
b
a
 F (b)  F (a) , если F ( x)  f ( x) и первообразная
a
f (x ) непрерывна на отрезке a, b .
1
x3
Пример:  x dx 
3
0
1
2
0
13 0 3 1
 
 .
3 3 3
y
y=f(x)
0
a
b
x
Определенный интеграл численно равен
площади
криволинейной
трапеции,
ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и
частью графика функции y=f(x), взятой со
знаком «+», если f(x)0, и со знаком «-»,
если f(x)0.
Свойства определённого интеграла:
53
a
 f ( x)dx  0;
1.
a
b

2.
a
f ( x)dx    f ( x)dx;
a
b
b
c
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx;
3.
c
b
b
a
a
 k  f ( x)dx  k  f ( x)dx;
4.
b
f
5.
b
b
b
a
a
a
( x)  f 2 ( x)  f 3 ( x)dx   f 1 ( x)dx   f 2 ( x)dx   f 3 ( x)dx.
1
a
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
b
b
имеет вид:  UdV  UV a   VdU .
b
a
a
Формула замены переменной в определенном интеграле имеет вид:

b
 f ( x)dx   f  t  (t )dt ,
где x   (t ) - функция, непрерывная вместе со своей
a
производной x   (t ) на отрезке   t   ,    (a),    (b) .
Пример:
 2
1.  sin 3 xdx .
0
Решение: применим подстановку cos x  t,
интервал интегрирования. Если x  0,
x

2
 2
 sin
то
,
cos
 2
3
xdx  
0
0

2
t
и t 0
то
sin xdx  dt . Определим новый
cos 0  t
и t  1 , если
. Следовательно,
1
 t3 
1 2
(1  cos x) sin xdx    (1  t ) dt   (1  t ) dt  t    1   .
3 0
3 3

1
0
0
2
1
2
y
2
Определенный
y=f(x)
равен
интеграл
численно
площади криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и
0
a
b
x
частью графика функции y=f(x), взятой со
знаком «+», если f(x)0, и со знаком «-»,
если f(x)0.
54
Примеры:
1.Найти
площадь,
ограниченную
параболой
y 2  2x
и
окружностью y 2  4 x  x 2 .
A
y
x
2
0
B
Решение: преобразуем уравнение окружности ( x  2) 2  y 2  4 , откуда следует,
что центр окружности лежит в точке C (2,0) и ее радиус R=2. Решив систему
 y 2  4x  x 2
уравнений 
y 2  2x

, получим следующие точки пересечения данных
кривых: O(0,0), A(2,2),
2
S  2
 x  2
2
4
0
B(2,-2). Из рисунка видно, что искомая площадь

3

2 2 2
2 x d x , S  2  
x
3


  2(  8 )

3
0
2
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией: y 2  x( x  1) 2 .
Решение: Функция y 2  x( x  1) 2 четная относительно
переменной y,
следовательно, фигура, ограниченная этой линией расположена симметрично
относительно оси Ох (см. рисунок). Найдем промежуток интегрирования.
Пусть y=0, тогда x1=0, x2=1.
y
0
x
1
1


1
4
S   x ( x  1)dx   x 3 2  x1 2 dx   .
2
15
0
0
Знак «-» означает, что фигура, площадь которой найдена, расположена
ниже оси Ох. Это можно было и предвидеть, т.к. x  1  0 . Таким образом,
искомая площадь S 
8
.
15
55
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x  a
a
и x  b , непрерывной кривой y  f (x) и отрезком оси
b
Ох,
определяется
по
формуле:
b
2
V    y dx
a
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной
трапеции, ограниченной прямыми
x   ( y) и
отрезком
оси
y  c,
Оy,
yd
непрерывной кривой
определяется
по
формуле:
d
2
V    x dy
c
Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной параболами у  х 2 и х  у 2 .
y  x2
Решение. Решив систему уравнений 
, получим
2
x  y
x1  0,
y2  1 , откуда точки пересечения кривых О(0,0) и
x2  1, y1  0,
В(1,1).
y
0
y  x2
B
C
D
A
Как видно из рисунка, объем тела вращения равен
разности двух объемов, образованных вращением
вокруг оси Ох криволинейных трапеций ОСВА и
x
1
 x2 x5 
ODBA: V  V1  V2    xdx    x dx      
5 0
 2
0
0
1
1
4
 1 1  3
   
.
 2 5  10
Задания для контрольных работ.
4. Вычислить следующие неопределённые интегралы:
1.
2.
x
x  2dx;
x
a  x 2 dx;
dx
;
 8x  7
(2 x  3)dx
 x 2  2x  5 ;
x
2
56
 cos 5x cos xdx;
 sin 3x sin xdx;
3.
 sin
4.

5.

6.
7.
8.

dx
;
2
5x
x
dx;
x 1
sin xdx
1  2 cos x
cos xdx
3  5 sin x
dx
1 x ;

3
sin x
10.
x
x  2dx;
11.

sin xdx
14.
15.
1  4 cos2 x
dx
 x ln 3 x ;
3
2
5
 x  2 x dx;
dx
 x ln
x
17.

19.
20.


2
;
;
x
 ( x  1) x  1dx;
16.
18.

;
x
dx
;
x(2  ln x)

13.
;
dx;
9.
12.
(2 x  1)dx
;
x 2  3x
(1  x)dx
 x  x2 ;
4dx
 3x 2  8 x  2 ;
dx


x
x

xdx
;
2
1
16  x 2 dx;
x2  9
dx;
x
x 3 dx
;
2
x 4
a 2  x 2 dx;
x  6x  5
dx
;
x(x  3)
( x  1)dx
;
2
x  4x
2
x
 cos 2 cos 3 dx;
 cos x cos3x sin 5xdx;
x
x
 sin 12 cos 3 dx;
;
 sin
3
 cos
 ctg
xdx;
5
5
xdx;
xdx;

2  x  x 2 dx;

2 x  x 2 dx;

3  2 x  x 2 dx;
dx
 cos x sin 3 x ;
x
x
 sin 3 cos 3 dx;
2
 cos 3xdx;

x 2  6 x dx;
 sin
4
xdx;

x 2  4 x  1dx;
 sin
3
x cos3 xdx;
2x  3
dx;
2
 5x  7
dx
 4x 2  4x  3 ;
(7 x  15)dx
 x 3  2 x 2  5x ;
dx
 x( x  1) 2 ;
dx
 x3  x ;
xdx
 x 2  4x  9 ;
x5  1
 16  x 4 dx;
x
5. Вычислить
а) площадь фигуры, ограниченную линиями:
57
cos x
 1  cos x dx;
dx
 sin x ;
dx
 cos x ;
dx
 sin x cos x ;
 sin

x
dx;
7
sin x
2
4  cos2 x
sin 2 x
 cos4 xdx.
dx ;
1. y = x2 ,
y = 7 x  12 ;
3. y = x2 ,
y=
2. y2 = 2x + 1, x – y - 1=0;
4. y2 = 9x , y = x + 2;
1 3
x ;
3
5. y  nx , y = 1,
y = 4;

x
2
6. y = e , x = 0 , x = 2 ;
-1
7. y = nx x , x = e , x = e;
8. y = x2,
y=
1 3
x ;
2
9. y = 2x , x = 0 , x = 2;
10. y = 9 - x2, y = 0.
б) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры,
ограниченной линиями.
2
2
11.
12. xy  4 , x  1, x  4 , y  0 ;
yx , y x
14. y  2 x  x 2 , y  x ;
13. y  xe x , x  1, y  0
15.
y
1 2
1
x , y  x2 1
4
8
16. y  cos x , x  0 , x 

17. y  sin x , y  cos x , y  0,  0  x   ;

19. y  x  1 , y  0 , x  1, x  3

;
3
18. y  e x , y  0 , y  1 ;
2
20. y  x 3 , y  x .
2
Литература:
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. В 2 т. М.: Высш. шк., 1986.
2. Шипачев В.С. Высшая математика. –М.: Высш. шк., 2000. -479с.
3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. –М.: высш. шк., 1998.304с.
58