L_r_15 - Учебники в электронном виде

Лабораторная работа № 15
Волны де Бройля и дифракция электронов
Цель работы: Изучение дифракции электронов и определение межплоскостных
расстояний в поликристаллах графита.
Теоретическая часть
Гипотеза де Бройля
Волны де Бройля – название некоторого волнового процесса, описывающего состояние микрочастиц. Это понятие было введено в 1923 г. французским физиком Луи де
Бройлем. Дальнейшее уточнение этой концепции придало волнам де Бройля смысл волновой функции и сделало эту концепцию основой современной квантовой механики.
К тому времени в физике уже сложилась необычная, но подтвержденная опытом
ситуация: в одних явлениях (интерференция, дифракция) свет ведет себя как волны. Другие явления (фотоэффект, тормозное рентгеновское излучение, эффект Комптона) с неменьшей убедительностью показывают, что он ведет себя как частицы. Де Бройль поставил вопрос, не распространяется ли такой корпускулярно-волновой дуализм и на обычные
частицы? Он предположил, что движение каждой частицы обладает волновыми свойствами. Причем длина волны свободной частицы равна
 Бр 
h
,
p
(1)
где h – постоянная Планка, p – импульс частицы.
Переход от волн де Бройля к последовательным представлениям квантовой механики состоит в том, что рассматривается не только свободное движение частицы, но и более общий случай движения во внешних полях. При этом для описания движения исполь
зуется комплексная волновая функция  (r , t ) .
Представление о волнах де Бройля, в частности, поясняет отбор допустимых орбит
(стационарных состояний) в атоме водорода Бора, исходя из требования, чтобы для
устойчивого движения на орбите укладывалось целое число длин волн. В этом случае
волна при обходе ядра будет каждый раз возвращаться в исходную точку с той же амплитудой и фазой, что как раз и соответствует стационарной орбите.
1
Аналогично дискретный набор состояний частицы в потенциальной яме определяется теми состояниями, для которых на ширине ямы укладывается целое число длин полуволн де Бройля.
Открытие дифракции электронов подтвердило гипотезу де Бройля. Однако физиче
ский смысл волновой функции  (r , t ) был выяснен после работ В. Гейзенберга, Э. Шредингера, Н. Бора, М. Борна.
Дифракция электронов на кристалле
Дифракция электронов при отражении от кристаллов была фактически обнаружена,
но не понята еще до появления гипотезы де Бройля. Произведя опыты по рассеянию электронов тонкими металлическими фольгами в 1921-1923 годах, Дэвиссон и Кэнсман
наблюдали выраженную зависимость интенсивности рассеянного пучка от угла рассеяния.
При этом положение и величина получающихся максимумов на кривой рассеяния существенно зависела от скорости электронов.
Происхождение максимумов и минимумов на кривых рассеяния оставалось непонятным, пока их не истолковали как результат интерференционного отражения волн де
Бройля от соответствующих атомных плоскостей. Это было подтверждено в 1927 г. целенаправленными опытами Дэвиссона и Джермера, в которых гипотеза де Бройля была подвержена количественной проверке. В этих опытах использовался метод Брэгга, хорошо
известный в теории дифракции рентгеновских лучей.
Рассмотрим плоскую волну, падающую на фрагмент кристалла под углом скольжения φ, как это показано на Рис.1а. Взаимодействие рентгеновских лучей с атомами кристалла приводит к появлению волн, распространяющихся в различных направлениях, в
том числе направлении зеркального отражения от атомных плоскостей кристалла, показанных на Рис.1 пунктиром. Вычислим разность хода двух волн, зеркально отразившихся
от соседних атомных плоскостей. На рисунке 1б видно, что она равна
  AB  BD  2 BC sin   2d sin 
где d – межплоскостное расстояние. Если эта разность кратна целому числу длин волн, то
эти волны усиливают друг друга, в результате чего и возникает отраженная волна. Это
требование называется условием Брэгга-Вульфа:
2dsin   m, m  1, 2, 3,
(2)
Необходимым условием такой трактовки отражения является малость длины волны:
 m 

  1.
 2d 
2
(3)
Такое условие для волн де Бройля выполняется при ускоряющем напряжении в
сотни и тысячи вольт. Поэтому, даже не зная детально самого механизма отражения волн
де Бройля, можно ожидать, что оно также носит интерференционный характер. По этой
причине условие (2) может выполняться и для волн де Бройля.
d
d
φ
A
C
φ
φ
B
φ
D
а)
б)
Рис.1. Схема дифракционного отражения.
Дифракция электронов на графите
Кристаллическая решетка графита представлена на рис.2. Это гексагональная
структура, которая характеризуется сильными связями в слоях и относительно слабыми
между слоями.
Рис.2. Кристаллическая структура графита.
3
В поликристаллическом графите связи между слоями разрушаются, поэтому их
ориентация носит случайный характер. При фиксированной длине волны λ среди множества беспорядочно ориентированных слоев найдутся такие, при отражении от которых
выполняется условие Брэгга-Вульфа (2) (рис.1). Статистически совокупность таких кристалликов обладает осевой симметрией вокруг направления падающего луча. Поэтому
точки, куда попадают соответствующие лучи, должны располагаться вдоль концентрических колец.
На рис.3 представлены плоскости графита, соответствующие первым двум дифракционным кольцам.
Рис.3. Плоскости графита, соответствующие первым двум дифракционным кольцам.
Релятивистская длина волны электрона
Если ускоряющая разность потенциалов исчисляется десятками киловольт, то длина волны электронов должна рассчитываться на основе релятивистских соотношений. Кинетическая энергия в теории относительности определяется выражением
Ek 
mc2
1V c
2
2
 mc2 ,
(5)
где m - масса электрона, а V - его скорость.
Пройдя разностью потенциалов U, электрон приобретает кинетическую энергию
Ek  eU . Подставив в это выражение в (5), можно выразить из скорость электрона:
V
1
.
 1
2
c

eU 
1 

2 
 mec 
(6)
Релятивистский импульс определяется соотношением:
p
mV
1  V 2 c2
.
Учитывая (6), и подставляя в формулу де Бройля, получим релятивистское выражение для
длины волны электрона, ускоренного разностью потенциалов Ua:
4

h
 1 eU a 

2meeU a 1 
2 
 2 mec 
h
2meeU a

 1 eU a 
.
 1 
2 
 4 mec 
(7)
При U a  10 кВ поправка в скобках
 
1 eU a
4 me c 2
(8)
составляет величину  ~ 0,5% , и ею можно пренебречь, рассчитывая длину волны по
«классической» формуле, не учитывающей релятивистских поправок:
0 
h
.
2meeU a
(9)
Экспериментальная часть
Для изучения дифракции электронов и определения межплоскостных расстояний
используется экспериментальная установка, внешний вид которой представлен на рис.4. В
ее состав входят специальная электронно-лучевая трубка, источник высокого напряжения
0 – 10 кВ, универсальный источник питания, соединительные провода, штангенциркуль.
Рис.4. Экспериментальная установка для изучения дифракции электронов:
1 – электронно-лучевая трубка; 2 – источник высокого напряжения;
3 – универсальный источник питания.
Устройство специальной электронно-лучевой трубки и её схема подключения
представлены на рис.5 и рис.6. В вакуумной сферической стеклянной колбе находится
электронная пушка, позволяющая формировать сфокусированный электронный пучок из
5
электронов, испущенных катодом в результате термоэлектронной эмиссии. Электроны
этого пучка обладают одинаковой кинетической энергией, определяемой ускоряющей
разностью потенциалов Uа, которая приложена между катодом и анодом. Ускоренные
электрическим полем электроны дифрагируют на тонком поликристаллическом слое графита и формируют кольцеобразную дифракционную картину, которая визуализируется с
помощью флуоресцентного слоя, нанесенного на внутреннюю поверхность стеклянной
колбы.
Рис.5. Устройство специальной электронно-лучевой трубки.
Рис.6. Схема подключения электронно-лучевой трубки.
6
Возникновение дифракционной картины при рассеянии электронов на поликристаллах графита подтверждает наличие у них волновых свойств. Диаметр дифракционного
кольца зависит от ускоряющего напряжения, определяющего длину волны электронов.
Учитывая, что угол скольжения  при дифракции электронов в два раза меньше угла их
отклонения от направления первоначального распространения, величину  можно определить на основе геометрического построения, показанного на рис.7:

1  1
2r
  arcsin ,
2 2 4
D
(10)
где D = 127 мм – внутренний диаметр стеклянной колбы, 2r – диаметр кольца, которое образуется на флуоресцирующем экране трубки.
Рис.7. Схема формирования дифракционной картины.
Методика выполнения работы
Перед выполнением работы изучите экспериментальную установку (рис.4), электрические соединения в которой соответствуют рис.6.
Включите источники питания (рис.4, поз.2, 3) выключателями, расположенными на
их задних стенках. Вращая ручки 1 и 2 универсального источника питания (рис.8) по часовой стрелке, установите напряжение на клеммах G1 и G4 электронно-лучевой трубки
(рис.5) равными:

ручка 1, клемма G1: 30 – 35 В

ручка 2, клемма G4: 250 В.
7
Рис.8. Внешний вид передней панели универсального источника питания:
1 – ручка регулировки напряжения 0 – 50 В; 2 – ручка регулировки напряжения 0 – 300 В.
Переключатель 3 источника высокого напряжения (рис.9) установите в среднее положение, при этом с верхней и нижней клемм 4 снимается напряжение, величина которого
регулируется вращением ручки 2 и измеряется вольтметром 1. Это напряжение прикладывается между катодом и анодом электронно-лучевой трубки, и его величина изменяется
при проведении эксперимента в диапазоне 7,5 – 9 кВ.
Рис.9. Внешний вид передней панели источника высокого напряжения:
1 – дисплей вольтметра; 2 – ручка регулировки напряжения;
3 – переключатель источника высокого напряжения; 4 – клеммы.
После установления указанных напряжений на флуоресцентном экране трубки образуются концентрические окружности. Занесите в таблицу показания U a вольтметра источника высокого напряжения (рис.9). Измерьте с помощью штангенциркуля диаметры
2r1 и 2r2 образовавшихся двух первых дифракционных колец (максимумов интенсивности,
m = 1) и занесите результаты в таблицу.
Плавно изменяя ускоряющее напряжение U a с помощью ручки 2 источника высокого напряжения (рис.9), выполните 3 – 5 измерений диаметров двух первых дифракционных колец. Результаты выполненных измерений занесите в таблицу.
8
Таблица
N п/п
1
2
3
4
Ua , В
2r1, мм
φ1 , °
2r2, мм
9
φ2 , °
 , пм
d1, пм
d2, пм
По формуле (10) вычислите углы скольжения  1 и  2.
По формуле (9) вычислите длину волны де Бройля электронов для каждого U a , затем на основе формулы Брэгга-Вульфа (2) рассчитайте межплоскостные расстояния d1 и
d 2 и занесите результаты в таблицу.
Вычислите средние значения d1 и d 2 и оцените погрешности измерений. Сравните
полученные результаты со справочными данными. Сделайте вывод.
При проведении вычислений используйте следующие справочные данные:
Постоянная Планка
h  6,6262  1034 Джс;
Скорость света в вакууме
с  2,9979  108 м/с;
Элементарный заряд
e  1,6022 1019 Кл;
Масса электрона
me  0,91095  1030 кг.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Что называется дифракцией?
Сформулируйте гипотезу де Бройля
Что называется длиной волны де Бройля?
Выведите формулу Брэгга-Вульфа.
Опишите опыт Дэвиссона и Джермера.
Расчетное задание
Оцените необходимость учета релятивистской поправки при расчете длины волны
электрона для ускоряющего напряжения, величина которого в киловольтах равна двузначному числу, составленному из двух последних цифр номера вашего студенческого
билета. Для этого рассчитайте поправку δλ, длину волны с учётом релятивистской поправки λ и без учета поправки λ0 (формулы 7 – 9). Рассчитайте также по формуле (6) отношение скорости электрона, ускоренного этой разностью потенциалов, к скорости света
в вакууме. Сделайте вывод.
Литература
Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Астрель, АСТ. 2001 – кн.5, §4.1.
10