Задания для самостоятельной работы по дисциплине «Физика, математика» (математика) для студентов 1 курса медико-профилактического факультета (180, 181 группы) Тема 1. Матрицы и определители Матрицы 1.3. Найти матрицу , если: 1 0 , а) 2 3 1 3 2 , 2, 3; 5 7 3 8 2 1 1 , , 3, 2; б) 4 1 0 0 3 5 1 0 2 в) 1 1 0 , 3 0 1 3 2 1 2 0 0 , 5, 1. 1 2 1 1.4. Умножить матрицы: 2 1 3 0 ; 5 4 2 1 2 1 3 0 1 ; 1 1 5 2 3 а) б) 4 5 7 1 0 1 ; в) 3 1 1 0 2 0 1 5 1 0 1 1 5 3 2 1 0 ; г) 6 2 7 0 3 2 6 2 0 3 1 1 1 1 ; д) 4 0 1 1 1 2 1 0 4 7 1 11 2 3 0 е) 1 2 1 1 5 ; 1 4 0 7 0 0 1 3 ж) 0 1 2 1 1 1 10 1 13 1 5 6 3 1 4 1 1 0 0 2 10 . 1 0 0 Определители 1.1.1. Вычислить определитель: а) 1 2 ; 0 1 б) 1 2 ; 2 1 в) 2 3 ; 4 6 г) 7 5 ; 10 7 ж) к) 1 1 1 3 1 3 4 д) з) ; 2 2 3 ; 100 100 1 1 2 12 3 13 0,1 1 е) и) ; 0,01 ; 0,1 5 25 1 15 5 ; ab a b ab ab Тема 1. Системы линейных уравнений. Система линейных уравнений. Метод Крамера 1.1. Решить систему методом Крамера: x 2 y 3 z 14 2x y z 1 3 x 2 y 3 z 13 а) 2x 3 y z 0 б) 5x y 2z 1 x yz 3 3x1 x 2 2 x3 13 x1 3 x 2 x3 3 2 x1 x 2 2 x3 0 в) г) 5 x1 3x 2 7 x3 28 2 x1 x 2 4 x3 5 4 x1 2 x 2 5 x3 10 Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Понятие производной. Вычисление производных Исходя из определения производной, найдите производную функции: 2.1. y 2x 3. 2.2. y 1 - 5x. 2.4. y (x 1) 2 . 2.5. y x 1. 1 2 1 x . 2 4 1 2.6. y . x-2 2.3. y Вычислить производные: 2.7. 1) x 2 - 6x 8; 1 ; x 6) 7) 3) - 1 - x -1 - x -2 ; 1 ; x 1 1 9) 2x - 2 3 ; x x 2 10) x5 . 5 4) 2x 2 x ; 5) 3 x 3 2; 3 x 3 ; x 2) 1 x x 2 x 3 ; 8) x 3 2.8. 1) sin x - cos x; 4) x - arctg x; 1 1 ; sin x cos x 3) x - arcsin x; 5) tg x ctg x; 2) 6) cos x arccos x. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций: 2.9. y=cos (x2 +2x - 4). 2.10. y=sin (x3 - 3x +5). 2.11. y=sin ex. 2.12. y=cos ln x. 2 2x-3 2.13. y=e . 2.14. y=e x . 2.15. y=etgx . 2.16. y=esinx. 2.17. y= ln(1+2 x ). 2.18. y= ln( 2x2 +4x -1). Составить уравнения касательных к графикам функций: 2.19. y=x2 - 3x + 2 в точке (3;2). 2.20. y= x в точке (4;2). 2.21. y= ln x в точке пересечения с осью Оx. 2 2.22. y= x - 5x + 6 в точках пересечения с осью Оx. 7x 2.23. y=e в точке пересечения с осью Оy. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков Найти дифференциалы функций: 2.24. y= x3 - 3ln x. 2.25. y= cos x ex. 2.26. y= sin 3x. 2.27. y= tg ln x. 2.28. y= x2 arctg x. 2.30. y= 2.29. y= sin x . 1 cos x 1 sin x . 1 sin x 2.31. y= sin 2x 2x x . 2.32. Найти приближенно приращение у: 1) функции у= 1 x , если х= 4, х= 0,08; , х= 0,02; 3 Найти дифференциалы 2-го порядка от функций: 2.33. y= x3 - 3x2 + x + 1. 2.34. y= (0,1x+1)5. 2.35. y= xcos2x. 2.36. y= sin2x. 2) функции у= sinx, если х= Найти производные 3-го порядка от функций: 2.37. y=ex cosx. 2.38. y= x2 ex . 2.39. y=ln(2x+5). 2.40. y= xlnx. Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных. Частные производные 1-го и 2-го порядка. Дифференциал функции 3.1. Вычислить: 1) значения F(2,3), F(1,2), F(2,1), F(a,0), F(0,a), если F x , y y 2) значения F(2,4), F(4,2), F(1,a), если F (x , y ) x y 2x 6 . Найти частные производные 1-го порядка функции: 3.2. z=x2-2xy-5y3. 3.5. z=2x3+3x2y-y+5. 2 2 3.3. z= e x y . 3.7. z=ln(x2+y2). y . x 3.4. z= 3.9. z= 3.5. z= xy. 3.6. z= arctg( xy . 2x y 3.11. z=x2exy. x e y ). 3.13. z= arcsin y . x Найти частные производные 2-го порядка: 3.7. z= x2-2xy+5y2. 3.15. z= x y 2 . x2 . 1 2y 3.8. z= 3.17. z= ln(x2-y2). 3.9. Найти частные производные 3-го порядка для функций: 1) z=2x3+xy2-y3+y2-x; 2) z= x3 3 . y Производная по направлению и градиент функции 3.10. Найти grad z(x,y) для функции: 1) z x y tg ( y 2 ); 3) z ln( x y sin x) ; xy ; ex ey 2) z 4) z e cos( x ln y ) . Тема 4. Интегралы Неопределенный интеграл 4.1. Проверить, что: dx 1 x arctg C; 4 2 2 dx 3) 2 x C; x dx 1 5) 4 arctgx C; 2 x x x 1) 7) x 2 (x 2 4x x C; 3 1 4) e 5 x dx e 5 x C; 5 2) 2 x dx 6) dx x a 2 ln x x 2 a C ; 3x 5 2x 1 dx arctg ( x 1) C. 2 2 2 x 2) 2( x 2 x 2) Вычислить интегралы: x 2y ; y2 x2 2 4.2. (5 x 4 x 2 x )dx. x 4.4. (2 x 1) 2 dx. 4.3. ( x 3 3x 2 1 2 )dx. x2 2 x 1 2 4.5. ( )dx. 2 1- x 2 1 x ex 2 4.7. sin x(1 + 3 4ctgx)dx. 4)dx. x sin x cos x 2 x cos 2 x 3ctg 2 x 5 cos 3 x 4.8. dx. cos 2 x 4.6. cos x(2tg x + Вычислить интегралы: 4.9. 3x 7 x 2 5x 6 dx. 4.11. dx x2 1 . 3x 2 2 x 3 x( x 1)( x 1) dx. 2x 3 4.15. dx. ( x 2) 3 4.13. 4.17. 2x 1 x 2 4 x 5 dx. 4.10. x 8 x x2 x dx 2 dx. 4.12. . x 2 3x 2 x2 2 4.14. dx. x( x 2)( x 1) dx 4.16. . ( x 1) 2 ( x 1) 4x 3 4.18. 2 dx. x 2x 5 Вычислить: 9 4.22. dx x 1 4.23. e 1 2x dx. 4.25. ( x x 2 )dx. 0 0 3 4.26. (sin x cos x )dx. 0 1 4.24. 2 1 dx . 2 x 1 1 4.27. 0 3x 4 3x 2 1 dx. x2 1 Геометрические приложения определенного интеграла Найти площади фигур, ограниченных линиями: 4.28. у= ex, х=0, х=1, у=0. 4.29. у= x2+5x+6, х=-1, х=2, у=0. 4.30. у= -x2+2x+3, у=0. 4.31. у=x7, х=2, у=0. 4.32. у= ln x, х=e, у=0. 4.33. у= sin x, у=0, 0 x . Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями: 4.34. у= 4-x2, у=0, х=0, где x 0 , вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. 4.35. у= ex, x=0, x=1, у=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. 2 4.36. у= x +1, у=0, х=1, x=2 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. Тема 5. Дифференциальные уравнения 5.1. Понятие о дифференциальных уравнениях Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. 5.1. Выяснить, является ли функция у= 1 х решением дифференциального уравнения 2 у у 3 0 . 5.2. Выяснить, является ли функция у х Сх 2 решением дифференциального уравнения ху 2 у х 0. 5.3. Является ли функция у Се х х решением дифференциального уравнения 2 у 2 ху х 2 0 ? 5.4. Является ли функция уравнения у у cos x 0 ? у е sin х C cos х решением Найти общий интеграл дифференциального уравнения: 5.5. cos x (1 y 4 )dx 2 y dy. 5.6. tgx y ctgy. 5.7. x y (1 3x) y 0. 5.8. ( sin x y sin x ) y y cosx 0. 5.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка Найти общее решение дифференциального уравнения: 5.9. y 3y x 3sin x. x 5.11. y 2 y 5e . x 5.10. y ytgx 2 cos 2 x. 5.12. y 2 xy ex 2 1 x2 . дифференциального