Применение метода спуска и перебора в решении диофантовых

МОУ «Средняя общеобразовательная школа села Березина Речка
Саратовского района Саратовской области»
Исследовательская работа
«Применение метода спуска и перебора
в решении диофантовых уравнений»
Выполнила ученица 9 класса
Константиновская Яна
Научный руководитель
учитель математики
Кулешова Оксана Викторовна
Саратов 2011
1
Содержание
1. Введение
2. Историческая справка
3. Диофантовы уравнения
4. Описание методов: метод спуска, метод перебора
5. Оценка методов Диофанта историками науки
6. Приложение
7. Заключение
8. Литература
2
Введение
Цель работы:
исследование методов, узнать, что такое диофантовы уравнения, методы решения
уравнений, исследовать метод спуска и перебора.
Задачи:
•
•
•
•
Подобрать литературу по теме: «Диафантовы уравнения»;
Найти информацию в Интернете;
Подобрать иллюстрации, соответствующие теме;
Подобрать диофантовы уравнения, решаемые методом спуска и перебора;
Гипотеза: Диофантовые уравнения имеют два способа решения.
Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения с целыми коэффициентами
или системы таких уравнений, у которых разыскиваются целые или рациональные
решения. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с n неизвестными
называется уравнение вида
a1 x1  a2 x2  ...  an xn  b ,
где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно ai  0 .
Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово
уравнение, как ЛДУ.
Названы по имени древнегреческого учёного Диофанта (3 век до н. э.), в книге
которого «Арифметика» впервые обстоятельно исследовались такие уравнения. Задачи
диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, а проблемы решения
уравнений относятся скорее к алгебре, чем к арифметике, но они имеют свои
особенности:
1) они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными
коэффициентами. Как правило, эти системы неопределённые, т. е. число уравнений в них
меньше числа неизвестных
2) решения требуется найти только целые, часто натуральные.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить
следующие методы: способ перебора вариантов, алгоритм Евклида, цепные дроби, метод
разложения на множители, решение уравнений в целых числах как квадратных
относительно какой-либо переменной, метод остатков,
метод бесконечного спуска.
Объектом исследования являются диофантовы уравнения, методы решения и отношение
историков к диофантовым уравнениям.
3
Несмотря на то, что исследования диофантовых уравнений восходят к началу
становления математики, общая теория диофантовых уравнений до сих пор отсутствует.
Вместо этого имеется обширный набор отдельных приемов, каждый из которых полезен
при решении лишь ограниченного класса задач. Я выбрала эту тему, потому что она до
сих пор актуальна и будет интересна для изучения, ведь есть различные виды
диофантовых уравнений, многие из них изучаются в старших классах. Углубленное
изучение диофантовых уравнений поможет при сдаче Единого Государственного
Экзамена. Поэтому мне стала интересна эта тема, и я решила расширить свои знания в
этой области.
Историческая справка
Диофант Александрийский
(II – III вв. до нашей эры).
Он рассматривал уравнения, которые сегодня мы
записали бы, например, так:
ax + by = c;
где a, b и c целые числа, и ответ должен быть дан
только в целых числах.
Такие уравнения называют «диофантовыми».
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не
известно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же
области. Труды его подобны сверкающему огню среди непроницаемой тьмы.
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком,
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец,
4
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей
Достаточно решить уравнение первой степени с одним неизвестным - и мы узнаем, что
Диофант прожил 84 года.
Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляют полтысячелетия! Нижняя
грань определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант
неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в
середине 2-ого в. до н.э. С другой стороны. В комментариях Теона Александрийского к
«Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещен отрывок из сочинения
Диофанта. Теон жил в середине 4-ого в.н.э. Этим определяется верхняя грань этого
промежутка. Итак, 500 лет!
Французский историк науки Поль Таннри, издатель наиболее полного текста
Диофанта, попытался сузить этот промежуток.
В
библиотеке Эскуриала он нашел
отрывки из письма Михаила Пселла, византийского ученого Х1 в., где говорится, что
ученейший Анатолий после того как собрал наиболее существенные части этой науки
речь идет о введении степеней неизвестного и об их (обозначении), посвятил их своему
другу Диофанту. Анатолий Александрийский действительно составил «Введение в
арифметику», отрывки которой приводят в дошедших до нас сочинениях Ямблих и
Евсений. Но Анатолий жил в Александрии в середине
111-го в до н. э и даже более
точно – до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с
Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого.
Итак, если знаменитый Александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант
составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина 111-го века нашей эры.
Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из
тринадцати книг, которые были объединены в «Арифметику», стиль и содержание этих
книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры,
образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений
Архимеда
и
Аполлония.
«Арифметика»,
несомненно,
явилась
результатом
многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными.
5
Диофантовые уравнения
Диофантовы уравнения алгебраические уравнения или системы алгебраических
уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее
число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие
Диофантовы уравнения в современной математике расширено: это уравнения, у которых
разыскиваются решения в алгебраических числах.
Вид диофантовых уравнений: ax + by = 1- это самый простой вид диофантовых
уравнений. Существуют разные степени неопределенных уравнений, и чем выше степень,
тем более сложным является решение неопределенного уравнения. Мы рассмотрим
неопределенные уравнения I-ой степени двух видов:
1.) ax + by = с
2.) ax + by + cz = d
где а и b – целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и
у0 - одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n - любое целое число) тоже будут
решениями.
.
6
Метод перебора вариантов.
Рассмотрим суть метода на примере:
Задача: Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8
ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме
животных?
Решение: Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех
осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39.
Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или
отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и
у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение
39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это
возможно только при х = 3, тогда у = 3.
Ответ: (3; 3)
Метод бесконечного спуска.
Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме:
предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс,
в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться.
Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя
переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые
решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество.
Поэтому покажем еще один прием - метод «спуска».
Рассмотрим задачу :
7
Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней: в маленьких шкатулках по 15
штук в каждой и в больших – по 40 штук. Сколько было тех и других шкатулок, если
известно, что маленьких было меньше, чем больших?
Решение:
Обозначим за Х количество маленьких шкатулок, а за Y – количество больших.
15 x  40 y  300 Сокращаем на 5: 3x  8 y  60. Выражаем переменную х:
60  8 y
3
x
, x  20  2 y 
2y
,
3
2y
3
Чтобы значение дроби было целым числом, надо, чтобы 2y было кратно 3, т.е.:
x  20  2 y 
2 y  3z . Выразим переменную у и выделим целую часть:
y
3z
2
, y
z
2z  z
, y  z .
2
2
Потребуем, чтобы z было кратно 2:
z  2u .
Теперь Выразим переменные x и y
2u , y  2u  u , y  3u,
2y ,
x  20  2 y 
3
2
6u
, x  20  6u  2u x  20  8u
x  20  6u 
3
Составим и решим систему неравенств:
через u:
y  2u 
x  20  2 * 3u 
2 * 3u,
3
20  8u  0,8u  20,u  2,5,



3u  0;
u  0; u  0;
Выпишем целые решения: 1; 2;
Теперь найдем значения x и y при u =1; 2;
1) x1  20  8 1  20  8  12
2) x2  20  8  2  20 16  4
y1  3 1  3
y2  3  2  6
, ОТВЕТ: 4 маленькие шкатулки; 6 больших шкатулок.
Рассмотрим работу обеих методов на примере первой задачи:
У осьминога 8 ног, а у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них
39 ног?
Теперь я решу эту задачу, но уже решая ее методом спуска:
Осьминог  8 ног

х

39 ног (одна нога )
морская звезда  5 ног 
у

8 х  5 у  39;
у
39  8 х
;
5
40  1  10 х  2
у
;
5
3

u

3



5
;

3
u 

8
x  4u  2  1  u;
x  4u  3;
y  8  2(5u  3) 
2(5u  3)  1
;
5
8

2х 1
у  8  2х 
;
5
2 x  1  5 z;
5z  1
x
;
2
x
4z  z  2 1
;
2
y  8  10u  6 
10u  6  1
;
5
y  2  10u  2u  1;
3
3
u
5
8
х  3;
y  3;
y  3  8u;
5u  3  0
;

3

8
u

0

ответ: 3,3
Мое внимание привлекло еще несколько задач, которые я рассмотрела в приложении 1.
Оценка методов Диофанта историками науки
Важную роль сыграли идеи и методы Диофанта в истории математики, ими пользовались
математики от Виета и Ферма. Между тем большинство историков науки, в
противоположность математикам, до сих пор недооценивали труды Диофанта. Многие из
них считали, что Диофант ограничивался нахождением только одного решения и
применял для этого искусственные приемы, различные для разных задач. Такого мнения
придерживался, например, Г. Ганкель, который писал: «современному математику после
изучения 100 решений Диофанта трудно решить 101-ю задачу... А вот строки о Диофанте
из книги О. Беккера и И.Гофмана: «Диофант не дает никакого общего метода, но
применяет, по-видимому, для каждой новой задачи новый неожиданный искусственный
прием, напоминающий восточные». Обычно Диофант удовлетворяется каким-нибудь
одним решением, не делая различия, будет ли оно целочисленным или дробным. Его
метод меняется от одного случая к другому. Более правильную оценку Диофанта мы
находим у Г. Г. Цейтена: «Вообще говоря, Диофант старается найти какое-нибудь одно
решение задачи, не отыскивая общего решения ее, которое включает в себя все
возможные частные решения, но не следует придавать особенного значения этому факту,
если желать понять полученные Диофантом результаты.»
9
Заключение.
Во многих случаях тот или иной метод решения диофантовых уравнения, не может
помочь нам решить задачу, и получить ответ. Более сложным является метод спуска, и как
показывают примеры более трудоемкий, чем метод перебора вариантов. Для меня более
удобным способом стал метод перебора.
Также эта работа принесла мне базовые знания диофантовых уравнений, более сложные
виды будут изучаться в старших классах, и там я слогу показать свои знания начальных
уровней диофантовых уравнений при решении задач. Я считаю, что мои цели были
достигнуты: я научилась решать диофантовые уравнения первой сложности, я узнала
больше о методах решения задач, так же узнала некоторую информацию о Диофанте.
В заключительной части своей работы мне особенно хотелось подчеркнуть, что изучив
специальную литературу, посвященную диафантовым уравнениям, я расширила свои
математические навыки и получила дополнительные знания о самом Диофанте, его
последователях, а также о влиянии его научных трудов на дальнейшее развитие научной
математической мысли. Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры.
Поэтому история диафантова анализа показалась мне особенно интересной. Диофантовы
уравнения это актуальная и наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач,
сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных,
встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ. А ведь именно
Диофант положил начало этому математическому разделу. И в этом его большая заслуга.
10
Литература.
1. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: «Наука», 1972 г. - 68 с.
2. Бухштаб А. А. Теория чисел. - М.: Государственное учебно-педагогическое
издательство министерства просвещения РСФСР, 1960. - 378 с.
3. Виноградов И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие. 11-е изд. – СПб.:
Издательство «Лань», 2006. - 176 с.
4. Гаусс Карл Фридрих Труды по теории чисел. Под общей ред. Виноградова И.М. –
М.: Изд. академических наук СССР, 1959 г. - 980 с.
11
Приложение 1:
Задача 1. Н а складе имеются гвозди в ящиках
по 16, 17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать
100 кг гвоздей, не вскрывая ящика?
Решение
17 кг
40 кг
16 кг
Решение.
Пусть ящиков по 16 кг х штук, по 17 кг – у штук, по 40 кг – z штук.
Всего выдано 100 кг, отсюда уравнение:
16 х + 17 у + 40 z = 100
Ящиков по 40кг не может быть больше двух.
Два быть не может, т.к. 100 – 80 = 20, а 20 кг можно набрать, только вскрыв один
ящик.
12
Задача 3. У мальчика было 50 р., на которые он хотел
купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4
р. и по 3 р., но у киоскера совсем не было сдачи.
Помогите мальчику и киоскеру выйти из
создавшегося затруднения.
a+c = a + c
Решение.
b b b
Пусть марок по 4 р. х штук,
по 3 р. – у штук.
Всего имеется 50 р., отсюда
Эта задача имеет не
уравнение: 4 х + 3 у = 50
одно, а несколько
у = (50 - 4 х) : 3
решений.
у = (48 - 3 х) : 3 + (2 – х) : 3 х
2
5
8
11
у = 16 - х + (2 – х) : 3
у
14
10
6
2
Задача 4: Для настилки пола шириной в 3 метра имеются доски шириной в 11 см и 13 см.
сколько нужно взять досок того и другого размера?.
Решение. Очевидно, что если х - число досок шириной в 11 см, а у – количество досок
шириной 13 см, то нам надо решить уравнение 11х+13у=300 в натуральных числах.
Попробуем сначала это уравнение решить в целых числах, а затем уже в натуральных.
Можно подобрать решение, но где гарантия того, что решение это – единственное?
Итак, х, у – целые числа.
13у=300-11х, у=300\13-11х\13, у=23+(1-11)/\13.
Т.к. у-целое число, то и (1-11х_\13 – целое число.
13
Пусть (1-11х)\13=к1, 11х=1-13к1, х=(1-2к1)\11-к1. к1- целое число, значит и
(1-2к1)/11 – целое число.
Пусть (1-2к1)/11=к2, где к2- целое. Тогда 1-2к1=11к2, к1=(1-к2)/2-5к2.
Пусть остаток (1-к2)/2=к, тогда к2=1-2к, где к – любое целое число.
Подставим в формулу к1 вместо к2 его значение, получим к1=11к-5.
Теперь выразим х через к х=6-13к.
Зная х, найдем у у=18+11к.
6-13к>0, 18+11к>0. решим систему этих неравенств, получим к=-1, к=0.
Найдем значения х, у , подставив вместо к сначала -1, а затем 0.
Получим х=19, у=7 или х=6, у=18.
Вывод: для застилки пола нужно взять 6 досок шириной в 11 см и 18 досок шириной 13
см. первое решение не подходит, так как здесь нужно взять 26 досок.
Ответ: 6 и 18 досок.
Задача5
У Мити есть две кружки 314 мл и 159 мл. Может ли он набрать ровно 1 л воды в котел для
приготовления манной каши? Если «да» то, как набрать?
Решение:
Пусть количество набранных кружек по 314 мл будет равно а, а по 159 мл равно в. Тогда
314а=159в=1000. Понятно, что а и в – целые числа и других условий нет. Выясним,
решаемо ли уравнение в целых числах. Так как НОД(з14; 159)=1, да, существуют целые
решения. Выразим в через а.
b
46  155a
1000  314a
46  155a
 6a
, пусть m 
;
159
159
159
159m + 155a=46;
155а= 46-159m;
à
46  159m
46  4m
 m 
;
155
155
Пусть p 
46  4m
;
155
a  91  159 p

;
b  186  314 p
14
Если p= 0, то а = -91, в= 186, то есть Митя должен сначала налить в котел 186 кружек по
159 мл, а потом вычерпать оттуда 91 кружку по 314 мл. в котле останется ровно 1 литр.
Данный способ решения математически верен, но приводит к невозможному в
действительности результату. В самом деле, пока Митя будет лить воду, каша уже не
понадобится.
Можно потупить иначе. Заметим, что если налить в котел две кружки по 159 мл, а потом
эту воду вылить в кружку по 314 мл, то в котле останется 4 мл воды. Так 1000 : 4 = 250,
то повторив эту операцию 250 раз, можно достичь желаемого результата. Однако и это
решение не реально.
Задача 6
Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно
определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда
водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено
76000 р.
Решение:
Пусть х – стоимость 1 т дизельного топлива, а
у – оплата труда водителей.
Тогда 4х + 2у – затрачено на выполнение рейса.
А по условию задачи затрачено 76000 р.
Получим уравнение:
2 x  4 y  76000
Выразим переменную у через х:
y 
76000  2 x
4
Выделив целую часть, получим:
y  19000 
2x
4
2x
4
было целым числом, нужно, 2х было кратно 4 Т.е. 2х = 4z, где z - целое число. Отсюда:
x 
4z
 2 z.
2
Значение х подставим в выражение (1):
y  19000 
2x
 19000  z
4
15
Итак:
x  2z ,
y  19000  z. Т.к х,
у >0, то 19000 > z > следовательно, придавая z целые
значения от 0 до 19000, получим следующие значения x и y:
z
0
1
2
…
18999
19000
x
0
2
4
…
37998
38000
y
19000
18999
18998
…
1
0
Если x = 33,
y = 32,
z = 6,
то t = 4.
Проверим:
33  177  33  4  2  6
33  177  132  12
33  33
32  8  4
32  32
16