Основные законы преобразования алгебры логики. Наиболее простые и необходимые истинные связки между мыслями выражаются в основных законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания. Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее важными. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства. Первые из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания Г. Лейбницем. Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе. Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать. Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третье не дано. Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована. Последний закон говорит о том, доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. При решении логических задач часть приходится упрощать формулы. Упрощение формулы в булевой алгебре производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы. В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул. Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную. Основными законами являются четыре: А = А – закон тождества; Закон тождества: Всякая мысль тождественна самой себе, т.е А есть А, где А – любая мысль. Этот закон означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки. например: Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера конченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев. Это рассуждение неверно, так как первое и второе слова “язык” обозначают разные понятия. А & А = 0 - вторая формула закона непротиворечия; Закон непротиворечия: не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. А & A = 1 То есть если высказывание А – истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным. A & А = 0. Это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений. Иногда этот закон формируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. А А = 1 – закон исключенного третьего; В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. А = А – закон двойного отрицания. Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Свойства констант: 1) 0 = 1 – отрицание лжи есть истина. А0=A А1=1 2) 1 = 0 – отрицания истины есть ложь А&0 = 0 А&1 = A Законы идемпотентности: АА = А (отсутствие коэффициентов) А&А = А (отсутствие степени) Законы коммутативности: АВ = ВА; А&В = В&А Законы ассоциативности: А(ВС) = (Ав)С А&(B&C) = (A&B)&C Законы дистрибутивности: А(В&С) = (Ав)&(АС) (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции) А&(ВС) = (А&B)(А&С) (дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции). Законы поглощения А(А&В) = А А&(АВ) = А Законы де Моргана 1) A B A & B (отрицание вариантов вместе) 2) A & B A B (отрицание одновременной истинности) Словесные формулировки законов де Моргана: дизъюнкции конъюнкция отрицание есть отрицаний. конъюнкции дизъюнкция Замена операций импликации и эквивалентности: Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди операций конкретного компьютера или транслятора языка программирования. Однако для решения задач эти операции необходимы. Существуют правила записи данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. Вместо импликации: A B A B Для замены операции эквивалентности: A B ( A & B) ( A & B) A B ( A B) & ( A B) Интересны и следующие правила: A B B A; A B ( A B) & ( B A)