КОНТРОЛЬНАЯ № 1

ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Для студентов специальности «менеджмент организаций!
Произведение событий, теорема умножения для зависимых и независимых событий.
Сумма событий. Теорема сложения для несовместных событий и для совместных событий (с доказательством)
Противоположные события и их вероятности, события полной группы и их вероятности.
Независимые события, доказательство независимости событий A и B , A и B , A и B при
условии независимости A и B.
Полная вероятность и формула Байеса.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа (формулировки, свойства функций  и , применение)
Оценка отклонения относительной частоты (формулу знать и уметь вывести и применить).
Биномиальный закон распределения дискретной случайной вели чины(постановка задачи, общие
формулы, проверка суммарного значения вероятности, построение закона распределения в конкретных
случаях,).
Геометрический закон распределения дискретной случайной величины (постановка задачи, общие
формулы, проверка суммарного значения вероятности, построение закона распределения в конкретных
случаях).
Гипергеометрический закон распределения дискретной случайной величины (постановка задачи, общие формулы, построение закона распределения в конкретных случаях).
Определения и основные свойства математического ожидания и дисперсии (перечислять для случаев
дискретной и непрерывной случайной величины, уметь применять, уметь доказать для дискретной случайной величины).
Определения и основные свойства дисперсии (перечислять для случаев дискретной и непрерывной
случайной величины, уметь применять, уметь доказать для дискретной случайной величины).
Биномиальный закон распределения (постановка задачи, общие формулы, вывод формул для математического ожидания и дисперсии).
Теоретические моменты (определения начальных моментов к-го порядка, центральных моментов
к-го порядка, примеры из числовых характеристик случайных величин, вывод формул для вычислений центральных моментов 2-го и 3-го порядков через начальные моменты и проведение вычислений).
Непрерывная случайная величина (НСВ),ее функция распределения (понятие и основные свойства, с
доказательствами).
НСВ, ее плотность распределения (понятие, связь с функцией распределения, основные свойства, с
доказательствами).
Равномерное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения,
математическое ожидание и дисперсия – с доказательствами).
Экспоненциальное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия – с доказательствами).
Нормальное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения,
математическое ожидание и дисперсия – с доказательствами).
Вероятность попадания нормально распределенной НСВ в числовой интервал, вероятность того, что
отклонение нормально распределенной НСВ по модулю меньше заданного числа, правило трех сигм.
ПРИМЕРЫ БИЛЕТОВ
Вариант № 1
1. Полная вероятность и формула Байеса (определения). В одном ящике 15 шаров, из них 7 белых; во
втором 10 шаров, из них 6 белых. Из первого во второй переложены два шара. Извлеченный после этого из
второго ящика шар оказался белым. Какова вероятность, что во второй были положены два черных шара?
2. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины (выписать плотность распределения, функция распределения и вывести формулы математического ожидания и дисперсии).
3. Плотность распределения вероятностей (дать определение, перечислить и обосновать свойства).
4. Найдите математическое ожидание и дисперсию для нормально распределенной случайной величины X, заданной плотностью f ( x) 
1
5 2
e ( x 3)
2
/ 50
., а также вероятность того, что X(5,8).
Вариант № 2
1. Совместные и несовместные события. Сформулировать теоремы сложения, доказать теорему для
совместных событий
2. Биномиальный закон распределения (постановка задачи, вывод формул для математического ожидания и дисперсии).
3. Перечислить свойства математического ожидания. Для случайных величин X, Y, заданных табличными законами распределения, найти M(2X-XY+4Y).
X
P
1
0,6
2
0,3
3
0,1
Y
P
-1
0,5
2
0,3
4
0,2
4. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать,
что отклонение относительной частоты появления числа «6» от вероятности появления этого числа по абсолютной величине не превосходит 0,01?
Вариант № 3
1. Дайте определения начальных и центральных моментов k-го порядка, докажите формулу
 3   3  3 2 1  2 13 .
2. Вероятность того, что стрелок попадает в цель при одном выстреле, равна 0,6. Сколько выстрелов
должен сделать стрелок, чтобы попасть в цель хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей чем 0,8?
3. Экспоненциальный закон распределения непрерывной случайной величины (плотность распределения, функция распределения). Вывести формулу математического ожидания.
4. Перечислите свойства дисперсии дискретной случайной величины, найдите D(X-3XY+5Y), если
D(X)=2,5; D(Y)=3.