Примеры решений заданий по дискретной математике 1. Упростить выражение: A (A \ B) (A \ B) Решение. Выразив операцию разности двух множеств через их пересечение и дополнение, получим: A (A \ B) (A \ B) A (A B) (A B) далее используем закон 19 отрицания отрицания: A (A B) (A B) затем на основании дистрибутивного закона 5 получим: A (( A A) B) применив закон 11 А А= U и закон 14 U В = В, получим: A ( U B) A B на основании закона 7 де Моргана получим окончательно: AB AB Очевидно, что полученное выражение упростить нельзя. 2. В группе занимается 40 человек, из них 20 человек изучают французский язык, 20 человек - английский язык, 14 человек немецкий язык; английский и французский языки -9 человек; немецкий и английский языки - 7 человек; немецкий и французский - 5 человек, все три языка - 2 человека. Сколько человек не изучают ни одного языка. Решение. Решение задачи осуществим с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рис. 1.5). Рис. 1.5. Введем обозначения: А - множество человек, изучающих английский язык; В - множество человек, изучающих французский язык; С - множество человек, изучающих немецкий язык. Тогда, мощности А, В и С равны: m(А) = 20, m(В) = 20, m(С) = 14. Из условия задачи известно, что все три языка изучают 2 человека. Следовательно, n(A В С) = 2. Определим число человек, изучающих только два языка: m( A В С) = m(B С) - m(А B С) = 5-2 = 3, m(А B С) = m(А С) - m(А B C) = 7-2 = 5, m(А В C ) = m(А В) - m(А B C) = 9-2 = 7. Таким образом, только французский и немецкий языки изучают 3 человека, только английский и немецкий языки - 5 человек, только английский и французский языки - 7 человек. Число человек, изучающих только по одному языку: m(A B C )=m(A)-m(A B)-m(A B C)=20-9-5=6, m( A B C )=m(B)-m(A B)-m( A B C)=20-9-3=8, m( A B C)=m(C)-m(A C)-m( A B C)=14-7-3=4. откуда получаем, что 6 человек изучают только английский язык, 8 человек - только французский язык, 4 человека -только немецкий язык. Тогда, число студентов, не изучающих ни одного языка: m( A B C ) = m(U) - m(А) - m(В\А) - m(C\A\B) = m(U) - m(A)-( A B C) m( A B С) = 40-20-11-4 = 5 . 3. Построить истинностную таблицу сложного высказывания, заданного формулой: S = (A→C) B (A B) Очевидно, истинностная таблица будет содержать 23 = 8 строк. Скобки применяются, если нарушается естественный порядок операций: отрицание, конъюнкция, импликация, двойственная импликация. Скобки (А→С) указывают на то, что сначала нужно выполнить импликацию, а затем найти (А→С) В. Скобки в выражении (A B) можно опустить. Заключительной операцией в построении истинностной таблицы для S будет дизъюнкция двух высказываний: (А→С) В и (A B) . Построим таблицу: A 1 1 1 1 0 0 0 0 C 1 1 0 0 1 1 0 0 B 1 0 1 0 1 0 1 0 A→ (A→C) C B 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 B A↔ B (A B) 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S 1 0 1 0 1 1 1 1 4. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с помощью основных законов алгебры множеств. А) A B A ( B \ A) B \ A B A A B A ( B A) Применим дистрибутивный закон A B ( A B) ( A A По закону исключения третьего A A U A B ( A B) U По закону идемпотентности пересечение множества с общим множеством дает это же множество A B A B Б) ( A B) ( B \ A) (C \ B) B C ( A B) ( B A) (C B) B C B ( A A) (C B) B C B U (C B) B C B (C B) B C ( B C) ( B B) B C (B C) U B C B C B C В) ( A B) \ C ( AB) C ( A B) C ( AB) C ( A B) C ( AB) C ( A \ B) ( B \ A) C ( AB) C ( A B) ( B A) C ( AB) C (( A B) B)(( A B) A) C ( AB) C (( A B) U ) ( B A) C ( AB) C ( A B) ( B A) C ( AB) C ( A B) ( B A) C ( AB) C ( B \ A) ( A \ B) C ( AB) C ( AB) C ( AB) C Г) A \ ( B C ) ( A \ B) \ C A ( B C) ( A \ B) \ C A ( B C) ( A \ B) \ C Применим ассоциативный закон ( A B) C ( A \ B) \ C ( A \ B) \ C ( A \ B) \ C 5. Построить таблицы истинности для формул: A | A| B | B ; А|A А В 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 B|B 1 1 0 0 A | A| B | B 0 0 1 1 6. Получить ДНФ для формул: x y x z = XXvXZvY XvYZ б) в) x y z x = X Y Z X 7. Получить СДНФ для формул: x y | x y ~ z x x y xy (x y) ~ (z x) в) x y x y (x y)(z x) (x y)(z x) xyx y x y z x yz x y z x yz x( y y)( z z) ( x x) y z x yz ( xy x y)( z z) xyz xy z x yz xyz x y z xyz xy z x yz 8. Получить СДНФ, а затем перейти к СКНФ x y z x z y . x y z x z y ≡ xx x z xy y z xz z z y ≡ x x z xy y z xz y ≡ x y x y z xy y y y z x yz ≡ x y x y z x yz ≡ x y( z z ) x y z x yz ≡ x yz x y z x y z x yz ≡ x yz x y z . СКНФ - x yz x y z ≡ x y( z z ) ≡ x y ≡ x y z z ≡ (x y z )(x y z ) ≡ (x z )( y z )(x z )( y z ) ≡ (x y y z )(x x y z )(x y y z )(x x y z ) ≡ (x y z )(x y z )(x y z )( x y z )(x y z )(x y z )(x y z )( x y z ) ≡ (x y z )(x y z )( x y z )(x y z )(x y z )( x y z ) . 9. Построить (синтезировать) автомат по содержательному описанию. 1.10. Автомат выдает сигнал 1, если на вход поступит слово МАМА, сигнал 2, если поступит слово МАМАЛЫГА, и 0 во всех остальных случаях. Слова отделяются друг от друга пробелами. «х«/0 q0 Мама/0 « «/1 «х«/0 Q2 лыга/0 «х«/0 « «/1 Q1 Q0 Q1 Q2 Q0 Q1 Q2 мама 0 0 0 мама Q1 Q0 Q0 лыга 0 0 0 лыга Q0 Q2 Q0 «« 0 1 2 «« Q0 Q0 Q0 Х 0 0 0 Х Q0 Q0 Q0 10. Бросают три игральные кости (с шесть гранями каждая). Сколькими способами они могут упасть так, что либо все оказавшиеся вверху грани одинаковы, либо все попарно различны? 6 вариантов, когда все одинаковы и 6*5*4=120, когда все попарно различны Итого: 126 вариантов 11. Предложить алгоритм бесповторного перечисления всех (n,n) перестановок чисел 1,2,…,n. Может быть n вариантов первой цифры, n-1 второй и т.д. Следовательно число вариантов равно 1*2*3*…*n=n! 12. Записать следующие графы матрицами инцидентности и смежности.(Рис.3.). Х1 Х1 Х5 Е1 Е1 Е2 Е2 Х3 Е3 Х4 Е4 Х2 Е3 Е4 Х1 Х5 Х2 Е1 Е4 Х3 Х4 Х5 Е3 Х4 Х3 Е2 Х2 а) б) а)матрица инцидентности Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Е1 1 1 0 0 0 Е2 0 0 0 1 1 Е3 0 0 1 1 0 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Е2 0 1 1 0 0 Е3 0 0 1 1 0 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Е4 0 0 0 1 1 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Е2 0 +1 -1 0 0 Е3 0 0 +1 -1 0 Е4 0 0 0 +1 -1 Х1 0 1 0 0 0 Х2 1 0 1 0 0 Х3 0 1 0 1 0 Х4 0 0 1 0 1 Х5 0 0 0 1 0 матрица смежности Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 в)матрица инцидентности Е1 -1 +1 0 0 0 матрица смежности Е4 0 1 1 0 0 б)матрица инцидентности Е1 1 1 0 0 0 в) Х1 0 1 0 0 0 Х2 1 0 1 0 0 Х3 0 1 0 1 0 Х4 0 0 1 0 1 Х5 0 0 0 1 0 матрица смежности Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х1 0 0 0 0 0 Х2 1 0 1 0 0 Х3 0 0 0 1 0 Х4 0 0 0 0 1 Х5 0 0 0 0 0 13. Даны графы типа дерева на рис.7. Для каждого графа выполнить следующее задание. Сколько вершин максимального типа имеется в данном графе? Какое цикломатическое число графа? Чему равно цикломатическое число графа G', являющегося лесом и представленного двумя одинаковыми деревьями рассматриваемого типа графа? Построить ориентированное дерево с корнем 0, являющимся вершиной максимального типа. Рис. 7 Цикломатическое число v(G)= m-n+1 m- кол-во ребер n- кол-во вершин G1)v(G)=20-20+1 =1 G2)v(G)=18-19+1 =0 => G2 уже дерево G3)v(G)=18-19+1 =0 => G3 уже дерево Кол-во вершин максимального типа: G1)7 G2)4 G3)2 Цикломатическое число леса: G1)1*2=2 G2)0*2=0 G3)0*2=0 Ориентированные деревья: 14. Найти ядро графа с помощью алгоритмов Магу (рис. 4.12). 1.Найдем множества внутренней устойчивости: 1 2 3 4 5 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 (1v3)(1v4)(2v4)(2v5)(3v5) Перейдем к ДНФ 123v125v145v234v345 Для каждой конъюнкции выписываем недостающие вершины, образующие множества внутренней устойчивости. {4,5},{3,4},{2,3},{1,5},{1,2} 2.Найдем множества внешней устойчивости: 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 (1v3)(2v4)(3v5)(1v4)(2v5) Перейдем к ДНФ 123v125v145v234v345 {1,2,3}{1,2,5},{1,4,5},{2,3,4},{3,4,5} Совпадающих множеств нет.