Черемных Юрий Николаевич ДИНАМИЧЕСКИЙ РОСТ И ДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ Экономический факультет

Черемных Юрий Николаевич
Экономический факультет
МГУ, г. Москва
ДИНАМИЧЕСКИЙ РОСТ И ДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
Динамическая модель в матричной форме (ДММФ), предложенная Дж. фон
Нейманом, состоит из двух сфер: производственной (ПС) и монетарной (МС). Понятия
модели: основной производственный процесс (для краткости, процесс), интенсивность
(кратность), его использования, продукт и цена продукта. В модели реализован принцип
«затраты – выпуск».
Предполагается, что существует конечное число (скажем, n ) основных
производственных процессов. В каждом основном производственном процессе продукты
затрачиваются и выпускаются в определённых количествах. Формально основной
производственный процесс Qi (i  1,..., n) представляет собой 2m  мерный вектор-строку
(ai , bi )  (ai1 ,..., aim ; bi1 ,..., bim ), где m  число продуктов G j ( j  1,..., m). Вектор-строка
ai  (ai1 ,..., aim ) называется вектором затрат, вектор-строка bi  (bi1 ,..., bim )  вектором
выпуска. Число aij (i  1,..., n; j  1,..., m) показывает, сколько единиц продукта G j
затрачивается в основном процессе Qi (если продукт G j в процессе Qi затрачивается, то
aij  0, если не затрачивается, то aij  0). Аналогично, число bij (i  1,..., n; j  1,..., m)
показывает, сколько единиц продукта G j выпускается в основном процессе Qi (если
продукт G j в процессе Qi выпускается, то bij  0, если не выпускается, то bij  0).
Количества затрачиваемых и выпускаемых продуктов «привязаны» к одному
периоду времени («атому» времени), который называется производственным периодом и
может, например, равняться одному году, т.е. время предполагается дискретным.
Упорядоченная совокупность (производственных) периодов t называется временным
промежутком ДММФ. Число T периодов временного промежутка называется
временным горизонтом ДММФ. Предполагается, что число основных процессов n, число
m продуктов и количества затрачиваемых и выпускаемых в каждом процессе продуктов
от периода к периоду не меняются.
Если два основных процесса Qi и Qk используются одновременно, то каждый
продукт G j теперь затрачивается в количестве aij  akj единиц и выпускается в количестве
bij  bkj , т.е. использование основных процессов Qi и Qk можно толковать как процесс
Qi  Qk , который равен покоординатной сумме процессов Qi и Qk .
Если основной процесс Qi используется с интенсивностью (кратностью) zi  0, то
каждый продукт G j теперь затрачивается и выпускается в количествах zi aij и zi bij единиц
соответственно, т.е. основной процесс Qi , используемый с интенсивностью zi , можно
толковать как процесс zi Qi , который равен покоординатному произведению процесса Qi
1
на число zi . Если процесс Qi не используется, то его интенсивность zi  0, верно и
обратное.
Допустимый процесс Q определяется как неотрицательная линейная комбинация
z1Q1  ...  znQn основных процессов Q1 ,..., Qn с неотрицательными коэффициентами
z1 ,..., zn . Векторы затрат и выпуска этого допустимого процесса Q соответственно имеют
вид zA и zB, т.е. Q  ( zA, zB). Здесь z  ( z1 ,..., zn ) неотрицательный вектор-строка, а
(n  m)  матрицы A и B составлены из строк ai и bi (i  1,..., n) соответственно. Матрица
A  0 называется матрицей затрат, матрица B  0  матрицей выпуска.
Множество всех допустимых процессов ( zA, zB ) образует неотрицательный конус
C N в неотрицательном ортанте пространства 2 m , конус C N натянут на основные
процессы (a1b1 ),...,(an , bn ). Этот конус называется технологическим множеством ПС
ДММФ или технологией ПС ДММФ.
Предполагается, что смежные периоды t и t  1 между собой связаны следующим
образом
z (t  1) A  z (t ) B, t  0,1,..., T  1,
(1)
где
z (t  1)  ( z1 (t  1),..., zn (t  1))
и
z (t )  ( z1 (t ),..., zn (t ))
векторы
интенсивностей
использования основных процессов Q1 ,..., Qn в периоды t  1 и t соответственно.
Векторное неравенство (1) означает, что в следующем периоде t  1 можно затратить
каждого продукта G j в количестве z (t  1)a j не большем, чем его было выпущено в
предыдущем периоде t в количестве z (t )b j , j  1,..., m. Здесь a j и b j  j  е столбцы
матриц A и B соответственно.
Формально ПС ДММФ представляет собой систему линейных неравенств
z (1) A  z (0) B,
(2)
z (t  1) A  z (t ) B  0, t  0,1,..., T  1,
(3)
z (t )  0, t  0,1,..., T  1,
(4)
Равенство z (0)  z 0 (z 0  заданный вектор) называется начальным условием.
Упорядоченная совокупность векторов интенсивностей z (1),..., z (T ) называется
допустимой траекторией интенсивностей ПС ДММФ (с начальным условием z (0)  z 0 ).
Очевидно, модельное время ПС ДММФ совпадает с реальным временем.
К неравенствам (2) – (4) можно добавить максимизируемую целевую функцию
f ( z (1),..., z (T )) (max).
(5)
Тогда получится задача математического программирования, размерность которой
будет зависеть не только от чисел n и m, но и от временного горизонта T ПС ДММФ.
Допустимая траектория z (1),..., z (T ) интенсивностей, максимизирующая целевую
функцию, называется оптимальной траекторией интенсивностей ПС ДММФ (с
2
начальным условием z (0)  z 0 ). Оптимальная траектория интенсивностей обозначается
символом z (1),..., z (T ) (символ штрих к производной отношения не имеет).
Целевая функция (5) может быть как терминальной
z (T )u (max) ,
(6)
так и интегральной.
ПС ДММФ и экстремальные задачи, построенные на её основе, имеют широкий
класс содержательных областей на микро- и макроэкономическом уровнях. Каждый
основной процесс ПС ДММФ может описывать производственный способ фирмы,
которую тогда следует толковать как совокупность основных производственных
процессов, которые могут конкурировать между собой. Каждый основной
производственный процесс ПС ДММФ может описывать отрасль национальной
экономики, производственную сферу которой тогда следует толковать как совокупность
своих отраслей. Основной производственный процесс может описывать процесс хранения,
транспортировки продуктов. Если продукт G j является капиталом, то его можно
включить в вектор выпуска bi с учётом годовой нормы износа  j : bij  (1   j )aij .
Каждый продукт G j в периоде t имеет цену p j (t )  0, j  1,..., m. Тогда скалярные
произведения ai p (t ) и bi p(t ) представляют собой общую «стоимость» затрат и общую
«стоимость» выпуска в период t соответственно. В связи с тем, что вектор выпуска bi
фактически используется в следующем после выпуска периоде t  1, естественно,
прибыль, которую даёт процесс Qi , определить так
(7)
bi p(t  1)  ai p(t ).
Поскольку в условиях чистой конкуренции в долговременном промежутке прибыль
фирмы равна нулю, постольку естественно предположить, что прибыль (7) процесса Qi
неположительна:
bi p(t  1)  ai p(t )  0, i  1,..., n.
(8)
Формально МС ДММФ представляет собой систему линейных неравенств
Ap(t )  Bp(t  1)  0, t  0,1,..., T  1,
(9)
Ap(t )  Bp(T  1),
(10)
p (t )  0, t  0,1,..., T .
(11)
Равенство p(T  1)  p 0 ( p 0  заданный вектор) называется начальным условием.
Упорядоченная совокупность векторов называется допустимой траекторией цен МС
ДММФ (с начальным условием p(T  1)  p 0 ). Формальная структура МС ДММФ такова,
что её модельное время противоположно реальному времени.
К неравенствам (9) – (11) можно добавить терминальную целевую функцию
z (0) Bp (1) (min).
(12)
Если u  Bp(T  1), то задача линейного программирования (12), (9) – (11) будет
сопряжённой к задаче линейного программирования (6), (2) – (4).
3
Допустимая траектория цен p(T ),..., p(1), минимизирующая целевую функцию
(12), называется оптимальной траекторией цен МС ДММФ (с начальным условием
p(T  1)  p 0 ). Оптимальная траектория цен обозначается символом p(T ),..., p(1) (в
модельном времени) или символом p(1),..., p(T ) (в реальном времени).
Динамическая модель в матричной форме (ДММФ) представляет собой
объединение своих производственной и монетарной сфер.
ПС ДММФ охватывает в качестве частных случаев широкие классы динамических
межотраслевых моделей (ДМОМ) с лагом капитальных вложений продолжительностью в
один год и более одного года. Содержательными областями ДМОМ являются
национальные и региональные экономики, так что с точки зрения содержательных
областей ДМОМ – это модели макроэкономические. С точки зрения структурноматематической ДМОМ относятся к моделям микроэкономики подобно тому, как модель
общего экономического равновесия также относится к моделям микроэкономики.
Динамическим равновесием (ДР) динамической модели в матричной форме
(ДММФ) называется пара стационарных траекторий интенсивностей и цен
z (t )  c1 ( )t s , t  1,..., T ,
(13)
p (t )  c2 ( )T 1t r , t  1,..., T
(14)
таких, что основные характеристики ( , s ), ( , r ) этих траекторий удовлетворяют
условиям
 sA  sB,
(15)
 Ar  Br ,
(16)
  0,
(17)
s  0,
(18)
s 1
(19)
r  0,
(20)
r  1.
(21)
Таким образом ДММФ находится в ДР, если развитие в ней осуществляется по
стационарным траекториям (т.е. по траекториям сбалансированного развития)
интенсивностей и цен.
Система неравенств и уравнений (15) – (21) называется моделью динамического
равновесия (МДР) ДММФ. Теория динамического равновесия (ТДР) анализирует свойства
МДР. Траектория (13) называется траекторией интенсивностей ДР, траектория (14)
называется траекторией цен ДР.
Коэффициент  называется коэффициентом роста ДР, векторы s и r  векторами
интенсивностей и цен ДР. Для краткости ДР ДММФ называется набор из коэффициента
роста  и векторов s и r интенсивностей и цен ДР, что символически показывается
так:  ( )   ; s ; r  .
ДР с коэффициентом роста  называется невырожденным, если
4
s Br  0
(22)
s Br  0.
(23)
и вырожденным, если
Для данного коэффициента роста  могут быть ДР как невырожденные, так и
вырожденные. Содержательный интерес представляют коэффициенты роста  , для
которых обязательно существуют невырожденные ДР. Для этих коэффициентов 
вырожденные ДР также могут быть.
Если ДР  ; s ; r  невырожденное, то s Br  0, откуда следует, что
z (t ) Bp (t )  c1 ( ) s B(c2  )T 1t r  c1c2 ( )T 1 s Br  0, т.е. «общая стоимость» z (t ) Bp (t )
в ценах равновесия p (t ) выпуска z (t ) B равновесия положительна и постоянна во
времени, что означает, что в случае роста интенсивностей равновесия цены равновесия
должны падать в реальном времени: постоянство денежной массы в условиях
экономического роста означает необходимость падения цен во времени.
5