Стовик Олег ТП-09-2 Матрицы Основные понятия. Матрицей - называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде a 11 A a21 a m1 a12 a1n a22 a2n am2 amn или, сокращенно, А= a , где строки, j 1, n (т.е. j =1, 2, 3, …, n ) номер столбца. ij i 1, m (т.е. i = 1, 2, 3,..., m ) Матрицу А называют матрицей размера m n и пишут номер Amn . Числа aij , составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущие из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е. A B , если aij = bij , где i 1, m , j 1, n Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n n , называют матрицей n-го порядка. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называются диагональной. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E. Пример 1.1 1 0 0 E33 = 1 0 1 0 0 1 - единичная матрица 3-го порядка. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. Имеет вид 0 0 О = 0 0 0 0 0 0 0 В матричном исчислении матрицы О и E играют роль чисел 0 и 1 в арифметике. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором ( или вектор-столбец, или вектор строка соответственно). Их вид: a1 a A 2 . am Матрица размера B b1 b2 bn 1 1 , состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. 5 11 есть 5. Матрица, полученная из данной замены каждой ее строки столбцом с тем же номером , называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается AT . Сложение. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц Amn aij и Bmn bij , называется матрица Cmn cij такая, что cij aij bij i 1, m, j 1, n Пример 1.2. 2 3 0 3 3 1 5 0 1 4 5 6 2 5 4 2 0 10 Аналогично определяется разность матриц. Умножение на число Произведением матрицы Amn ( aij ) на число k называется матрица Bmn (bij ) такая, что bij k aij (i 1, m, j 1, n) . Пример 1.3 0 1 2 0 2 4 A , k 2, A k 3 4 5 6 8 10 Матрица A (1) A называется противоположной матрице A. Разность матриц A B можно определить так: A B A ( B ). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: A B B A A ( B C ) ( A B) C AO A A A O где A, B, C- матрицы, и - числа. Вычисление обратной матрицы a11 a12 a a22 A 21 an1 an 2 a1n a2 n ann 1 A A ( A B) A B ( ) A A A ( A) ( ) A Минором M ij - называют определитель матрицы, которая получается вычеркиванием в матрице Aij ( i-ой строки и j-го столбца). Пример 1.4 1 2 1 2 2 3 A= 1 1 1 2 3 M ij 2 3 1 1 1 Алгебраическим дополнением элемента aij называется: M ij (1)i j Aij Обратная матрица имеет элементы: bij Aij A A -- определитель матрицы A Декартовая система координат Прямоугольные или декартовые координаты на плоскости позволяют определить положение любой точки на плоскости путем задания пары чисел. Изоморфизм на множество V, называется – отображение множества V , взаимно-однозначно, если каждому n V соответствует только один V V . Пример 1.5 A x1; y1 B x2 ; y2 C x; y AC Найти на AB такую C, что CB l ; l 0 Выразим координаты C через A и B. Заметим , что в соответствие с теорией Фалеса (параллельные прямые делят стороны угла на AC x x1 y y1 пропорциональные части) CB x x y y l . 2 2 Имеем: x x1 x1 lx2 x x x l 2 1 l y y1 l l y1 ly2 y2 y 1 l Вектором AB , называется направленный отрезок из A в B и его координаты: AB B A ( x2 x1; y2 y1 ) , (корд. конца минус корд. начала) Вектор AA (O; O) , называется нулевым вектором и обозначается O. Каждый нулевой вектор имеет две характеристики: модуль (длина) и направление. - Модуль вектора a(a1; a2 ) равен длине отрезка AB , a a12 a22 , а направление вектора определяет его координаты. Перенося a(a1; a2 ) параллельно в каждую точку плоскости xOy , мы получим его копии вектора a . Самым удобным представителем этого класса является вектор OA a , начало которого совпадает с началом координат , а конец есть некоторая точка A (a1; a2 ) с координатами идентичному вектору. OA мы в дальнейшем и будем отождествлять с вектором a. Если два вектора имеют равные длины, лежат на параллельных прямых и имеют одинаковые направления, то они называются – равными. Принцип отложения векторов от точек является возможностью операции над векторами. Таких операций всего две: сложение и умножение на число. Векторы складываются по правила треугольника или по правилу параллелограмма ( операция сложения обладает рядом свойств). Аксиомы линейного пространства пространства: a b b a (êî ì ì óò àò èâí î ñò ü) a (b c) (a b) c(àññî öèàò èâí î ñò ü) aO a k a b k a kb, k a a O k1 k2 a k1 a k2 b; k1 , k2 k1 k2 a k1k2 a; k1 , k 2 1 a a Пример 1.6 Дано: ABC, A(4;8), B(10;2), M(5;1) Найти: 1) C; 2) Длину медианы проведенную из C. Решение 4 10 8 2 1) F- середина отрезка AB по формуле F 2 2 Тогда FM M F 5;1 7;3 2; 2 2) свойству медиан: FM 1 FC FC 3 FM (6;6) 3 2 2 Значит FC FC (6) (6) 6 2 Третья вершина C F FC (7;3) (6; 6) (1; 3) Ответ: С(1;-3), CF= 6 2 . Рассмотрим: a1 , a2 ,...ak Векторы a1 , a2 ,...a k называются линейно-зависимыми, существуют такие числа c1 , c2 ,...ck не равные нулю одновременно, что справедливо равенству: c1 a1 c2 a2 ... ck ak O Векторы a1 , a2 ,...ak линейно независимыми, если равенство выполняется только в одном случае, при c1 c2 c3 ... ck 0 Теорема Система векторов линейно-зависима если один из векторов может быть выражен через остальные. 1 d1 2 ... d k 1 k - Нулевой вектор линейно зависят - Два вектора на прямой линейно зависят - Три вектора на плоскости линейно зависят Если три вектора a, b, c приложены к одной точке, причем a , b не лежат на одной прямой. Если продолжить линии, на которых лежат a и параллелограмм. b , то получится Скалярное произведение Скалярным произведением векторов определению: aи b по a b a b cos ; угол между векторами a и b . Заметим, что в результате скалярного произведения мы получим число, а не вектор. F: 3 3 ;( F отображает 3 ( написание трехмерного пространства ) n - множество чисел. Пусть вектор a (a1 ; a2 ) b (b1 ; b2 ) , тогда: (a, b) a b cos a1 b1 a2 b2 Скалярное произведение обладает свойствами: 2 1) (a, a) a 0 2) ( a, b) (b, a ) 3) (a b, c) (a, c) (b, c) 4) (k a, b) (a, kb) k (a, b); k Также эти четыре свойства можно принять за определение скалярного произведения. С помощью скалярного произведения можем установить перпендикулярность, или ортогональность и колинеарность векторов. Утверждение: Если векторы a 0 и b 0 , тогда a b (a, b) 0 Доказательство: (a, b) 0 a b cos 0 cos 0 2 ab Утверждение: Если векторы a 0 и b 0 , тогда a b a k b Пример 1. 7 Найти угол между двумя векторами: a (3, 4) и b (1, 3) . Воспользовались формулой, получили: cos a, b a,b 3 1 4 (3) 9 25 10 5 10