Конспект урока

Конспект урока
Тема урока: «Четырехугольники»
Цели урока: 1. Обобщение и систематизация знаний учащихся.
2. Развитие логического мышления, умения сравнивать.
3. Развитие математической речи, умения рассуждать.
4. Развитие творческих способностей учащихся.
Ход урока
Прежде, чем мы приступим к повторению материала, представляется
необходимым обратиться к геометрии древних времен, в частности, в той ее
части, которая касается изучаемой темы.
В древних египетских и вавилонских математических документах
встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты,
прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения и был введен
Евклидом.
Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий
математик, автор первого из дошедших до нас
теоретических трактатов по математике.
Сведения об Евклиде крайне скудны.
Достоверным можно считать лишь то, что его
научная деятельность протекала в Александрии
в III веке до н. э. Евклид – первый математик
александрийской школы. Его главная работа
«Начала» (в латинизированной форме –
«Элементы») содержит изложение планиметрии,
стереометрии и ряда вопросов теории чисел ; в ней он подвел итог
предшествующему развитию греческой математики и создал
фундамент дальнейшего развития математики.
Из других сочинений по математике надо отметить работу «О
делении фигур», сохранившуюся в арабском переводе, четыре
книги «Конические сечения», материал которых вошел в
произведение того же названия Аполлония Пергского, а также
«Поризмы», представление о которых можно получить из
«Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид –
автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.
Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в
древности вращающееся тело, веретено, юлу.
«Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик». В
«Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в
другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм).
«Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у
древнегреческого математика Посидония(1в.)
Посидоний — математик и астроном,
родился в Апамее в Сирии в 135 г., умер в
Риме в 50 г. до Р. Хр. Жил долго в Родосе.
Был учителем Цицерона. Известен второй
попыткой определить размеры земного шара
(первая принадлежит Эратосфену).
Предложение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме
ее оснований, было известно древним египтянам, оно содержится и
в трудах Герона Александрийского.
Герон Александрийский; Heron, I в. н. э.,
греческий механик и математик. Время его
жизни неопределенно, известно только, что он
цитировал Архимеда (который умер в 212 г. до
н. э.), его же самого цитировал Папп (ок. 300 г.
н. э.). В настоящее время преобладает мнение,
что он жил в I в. н. э. Занимался геометрией,
механикой, гидростатикой, оптикой; изобрел
прототип паровой машины и точные
нивелировочные инструменты. Наибольшей
популярностью пользовались такие автоматы
Г., как автоматизированный театр, фонтаны и
др. Г. описал теодолит, опираясь на законы
статики и кинетики, привел описание рычага,
блока, винта, военных машин. В оптике сформулировал законы отражения
света, в математике — способы измерения важнейших геометрических фигур.
Основные произведения Г. — это Иетрика, Пневматика, Автоматопоэтика,
Механика (фр.; произведение сохранилось целиком по-арабски), Катоптика
(наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. Г.
использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда,
Стратона из Лампсака. Его стиль простой и ясный, хотя порой бывает чересчур
лаконичен или нестроен. Интерес к сочинениям Г. возник в III в. н. э. Греческие,
а затем византийские и арабские ученики комментировали и переводили его
произведения.
Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной
математики. Работы его дошли до нас не полностью. Из его работ известны "Механика",
"Книга о подъемных механизмах", "Пневматика", "Книга о военных машинах", "Театр
автоматов", "Метрика".
1.Повторение: определений изученных четырехугольников, их видов,
признаков и свойств, формул площадей.
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех
точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При
этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а
соединяющие их отрезки не пересекаются.
Две несмежные стороны четырехугольника называются
противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними,
называются также противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).
Виды четырёхугольников
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны
попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма квадратов диагоналей равна сумме
квадратов всех сторон:




d12+d22=2(a2+b2).
Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если:
1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны
параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны
— боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется
средней линией.
Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны
равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Свойства трапеции




ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать
окружность.
Признаки трапеции
Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника


все свойства параллелограмма;
диагонали равны.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если:
1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого
все стороны равны.
Свойства ромба



все свойства параллелограмма;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба
1.
2.
3.
4.
Параллелограмм является ромбом, если:
Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны.
Свойства квадрата


все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно
перпендикулярны, точкой пересечения
пополам и делят углы квадрата пополам.
делятся
Признаки квадрата
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
Основные формулы
1. Произвольный выпуклый четырехугольник
d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.
S = d1d2 sin
2. Параллелограмм
a и b — смежные стороны; — угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне
a.
S = aha
S = ab sin
S=
d1d2 sin
3. Трапеция
a и b — основания; h — расстояние между ними;
l — средняя линия.
S = lh
4. Прямоугольник
S = ab
S = d1d2 sin
5. Ромб
S = aha
S = a2sin
S=
d1d2
6. Квадрат
d — диагональ.
S = a2
2.Тест с взаимопроверкой.
Тест №1
1.Любой прямоугольник является:
А) ромбом;
Б) квадратом;
В) параллелограммом;
Г) нет правильного ответа.
2.Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны,
то он является:
А) ромбом;
Б) квадратом;
В) прямоугольником;
Г) нет правильного ответа.
3.Ромб – это четырехугольник, в котором…
А) диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
Б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся
пополам.
В) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;
Г) нет правильного ответа.
4.Квадрат – это…
А) параллелограмм с равными сторонами;
Б) параллелограмм, у которого все углы прямые;
В) прямоугольник, у которого все стороны равны;
Г) нет правильного ответа.
5.У какого четырехугольника диагонали равны?
А) трапеция;
Б) прямоугольник;
В) ромб;
Г) нет правильного ответа.
Тест №2
1.Любой ромб является:
А) квадратом;
Б) прямоугольником;
В) параллелограммом;
Г) нет правильного ответа.
2.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот
параллелограмм:
А) ромб;
Б) квадрат;
В) прямоугольник;
Г) нет правильного ответа.
3.Прямоугольник – это четырехугольник, в котором:
А) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;
Б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами
его углов;
В) два угла прямые и две стороны равны;
Г) нет правильного ответа.
4.Квадрат – это…
А) параллелограмм, у которого все углы прямые;
Б) параллелограмм с равными сторонами;
В) прямоугольник, у которого все стороны равны;
Г) нет правильного ответа.
5.Параллелограмм - это четырехугольник, у которого:
А) стороны параллельны;
Б) противолежащие стороны параллельны;
В) стороны равны;
Г) нет правильного ответа.
Ответы:
Тест № 1 : ВГБВБ.
Тест № 2 : ВААВБ.
3. Итоги урока
4. Математика и поэзия (детский стишок о четырехугольниках)
Один квадрат в жару и стужу
Весь день с утра смотрелся в лужу.
Ему хотелось сосчитать
Свои углы- три или пять?
Один, два, три, а дальше- стоп!
Он больше трех считать не мог.
Ему пришел на помощь брат:
"Не плачь, мой маленький Квадрат!
Ты улыбнись, братишка шире.
У нас с тобой угла- четыре!
Мы все- отличная семья
Четырехугольники-друзья.
Вот ты, хотя и маловат,
Вполне квадратненький Квадрат.
Все стороны твои равныЧто по бокам, что со спины.
Прямоугольник я- твой брат.
И быть таким я очень рад!
Без нас с тобою жизнь- беда.
Нужны мы всем, везде, всегда!
Прямоугольное окноЧтоб в доме не было темно.
Прямоугольник- шоколадка.
Кусни- и будет очень сладко!
А книги, ранец и тетрадьВсе невозможно сосчитать!
Адреса:1.http://www.college.ru/mathematics/courses/planimetry/co
ntent/scientist/eukleides.html
2.http://tmn.fio.ru/works/97x/311/geron.htm
3.www.univer.omsk.su/omsk/edu/rusanova/tetrangl.htm
4.pihtovk.chasty.ocpi.ru/p63aa1.html
5.zhurnal.lib.ru/c/churbanowa/m/detskijstishokprochetyrehugolxni
kj,shtml.