Плоск. парал. движ - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Теоретическая механика»
РПК «Политехник»
Волгоград
2006
УДК 531.8 (07)
П 39
Плоскопараллельное движение твердого тела: Методические указания
к практическим занятиям по дисциплине «Теоретическая механика» / Сост.
Н. Г. Неумоина, А. В. Белов, С. Г. Корзун; Волгоград. гос. техн. ун-т. –
Волгоград, 2006. – 24 с.
Излагаются основные способы определения скоростей и ускорений
точек тела при его плоскопараллельном движении. Разобраны примеры
решения двух типов задач разными способами. Приведены задания на
самостоятельную работу и контрольные вопросы.
Составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины
«Теоретическая механика» и предназначены в помощь студентам, обучающимся по направлениям 260700, 150900, 140200.
Ил. 26. Библиогр.: 3 назв.
Рецензент: к. т. н., доцент Я. Н. Отений
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Составители: Наталья Георгиевна Неумоина, Александр Владимирович Белов,
Светлана Григорьевна Корзун.
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. Методические указания
к практическим занятиям по дисциплине «Теоретическая механика»
Под редакцией авторов.
Темплан 2006 г., поз. № 13. Подписано в печать 25. 09. 2006 г.
Формат 60×84 1/16. Бумага листовая. Гарнитура «Times».
Усл. печ. л. 1,5. Усл. авт. л. 1,38. Тираж 100 экз. Заказ № 50.
Волгоградский государственный технический университет.
400131 Волгоград, просп. им. В.И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета.
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
© Волгоградский
государственный
технический
университет, 2006
2
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4
Тема: определение скоростей точек тела при плоскопараллельном
движении.
Цель: освоить два метода определения скоростей точек тела и угловых скоростей тел (звеньев) при плоскопараллельном движении.
Время проведения: 2 часа.
1.




ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ
изучить теоретический материал;
ответить на контрольные вопросы;
разобрать предложенные примеры решения задач;
решить самостоятельно предложенные номера задач.
2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2.1. Основные понятия и определения
Плоскопараллельным (или плоским) – называется такое движение тела, при котором все точки тела движутся параллельно некоторой плоскости.
Чтобы описать такой, достаточно сложный, вид движения применяется два различных подхода.
Первый подход основан на разложении плоскопараллельного движения
на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса.
Второй подход основан на понятии мгновенного центра скоростей и представлении плоскопараллельного движения как мгновенного вращательного вокруг
мгновенной оси вращения, проходящей через мгновенный центр скоростей.
В рамках первого подхода справедлива теорема о скоростях точек
тела и следствия из нее.
Теорема. Скорость любой точки тела при плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости
точки вокруг полюса.
(1)
v M  v A  v MA ,
где v
MA
   r – вращательная скорость точки М относительно по-
люса А. Ее модуль и направление можно определить:
 v MA    MA



v MA  AM .
3
(2)
Следствие. Проекции скоростей любых двух точек тела, совершающего плоское движение, на линию, соединяющую эти точки, равны между собой.
Для многозвенного механизма скорости отдельных точек можно
найти с помощью плана скоростей.
Планом скоростей называется диаграмма, на который из произвольно выбранного центра откладываются скорости отдельных точек, а вращательные скорости звеньев перпендикулярные звеньям (и из полюса не
выходят).
Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка сечения
(S) тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Положение этой точки в каждый момент времени определяется на пересечении перпендикуляров к скоростям (направлениям скоростей) любых двух
точек тела.
Если в уравнении (1) вместо произвольного полюса А подставить
скорость мгновенного центра скоростей, точки Р, будем иметь:
vM  vP  vMP ,
но v P  0 следовательно, vM  vMP и
 v  v MP    MP
 M
(3)


v

v

MP
.
MP
 M
То есть при плоскопараллельном движении тела скорость любой
точки тела есть вращательная скорость точки, принадлежащей сечению
(S) тела, вокруг мгновенной оси, проходящей перпендикулярно к этому
сечению через мгновенный центр скоростей (см. рис.1).
2.2. Различные случаи определения положения
мгновенного центра скоростей.
а) Допустим, что известны прямые, по которым направлены скорости двух точек плоской фигуры А и В (рис. 1). Тогда мгновенный центр
скоростей фигуры определится как точка
vB
В
пересечения перпендикуляров к этим
.
прямым, восставленным в точках А и В.
A
Зная модуль скорости точки А и опреде.
лив расстояние этой точки от мгновенного центра скоростей РА, находим углоvA
вую скорость плоской фигуры согласно
(S)
w
зависимости (3):
P
Рис. 1
4
vA
.
PA
Модуль скорости точки В можно определить из пропорциональности
скоростей точек их расстояниям до мгновенного центра скоростей по
формуле:
v B PB
,

v A PA

v  PB
vB  A
,
PA
или при помощи угловой скорости фигуры согласно (3):
v B  PB   .
Скорость любой другой точки плоской фигуры определяется аналогично.
б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны между
собой и перпендикулярны к АВ, то для определения положения мгновенного центра скоростей должны быть известны модули скоростей обеих
точек А и В (рис. 2, а и б).
Известно, что модули скоростей точек фигуры пропорциональны их
расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.:
v B PB

.
v A PA
Следовательно, концы скоростей точек А и В лежат на прямой, проходящей через мгновенный центр скоростей. Пересечение этой прямой с
прямой АВ определяет мгновенный центр скоростей фигуры.
откуда
vA
. A
vB
.
vA
. A
vA
vB
B
w
A
.
.
B
P
w
B
а)
B .
vB
б)
Рис.2
в)
Если скорости точек А и В плоской фигуры равны, параллельны
между собой и перпендикулярны к АВ (рис. 2, в)), то мгновенный центр
скоростей находится в бесконечности (АР = ∞). Очевидно, что в этом
случае:
5
vA vA

0.
AP 
в) Если известно, что скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны и не перпендикулярны к АВ (рис. 3), то мгновенный центр
скоростей находится в бесконечности (АР = ∞). Очевидно, что и в этом
случае:
v
v
  A  A 0.
AP 
Расстояние от всех точек плоской фигуры до мгновенного центра
скоростей, в этом случае, равны между собой:
АР = ВР = …= ∞.
Поэтому скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент
геометрически равны:



v A  v B  vC  
г) На практике часто происходит движение плоской фигуры, при котором она катится без скольжения по некоторой неподвижной линии
(рис. 4). В этом случае мгновенный центр скоростей плоской фигуры
находится в точке ее соприкосновения с линией. Действительно, при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения плоской фигуры
по отношению к неподвижной кривой равна нулю, т. е. эта точка в данный момент времени является мгновенным центром скоростей.

vA
.
A
vB
vC
.
B
P
C
Рис. 3
Рис. 4
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. К кривошипу ОА, равномерно вращающемуся с угловой скоростью ОА = 4 с -1, прикреплен шатун АВ, соединенный с коромыслом ВС.
ОА = r =0,5 м; АВ = 2r =1,0 м; ВС = r  2, м,  ОАВ = 90; АВС =
45. Определить для этого положения механизма скорость точки В шатуна, его
угловую скорость, а также скорость точки Д, лежащей на середине шатуна АВ.
6
Задачу решим двумя способами, основанными на двух различных
подходах (см. п. 2.1.).
Первый способ (основан на построении плана скоростей).
1) Определяем скорость точки А. vA = OA  r = 4· 0,5 = 2 м/с. Так
О
vA
wOA
wAB
А
Р
в
д
vД
Д
vB
45
C
45
B
а
.
45
р
Рис. 5
как точка А принадлежит к кривошипу, совершающему вращательное
движение, направлен вектор скорости точки А по направлению стрелки
OA перпендикулярно к кривошипу ОА,
2) Из произвольно выбранного полюса, точки Р, откладываем в
масштабе вектор скорости точки А (отрезок ра).
3) Точка В принадлежит двум звеньям механизма: шатуну АВ, совершающему плоское движение и коромыслу ВС, совершающему вращательное движение. Относительно коромысла ВС нам известно направление скорости точки В ( к ВС). Из полюса, точки р проводим линию перпендикулярную к коромыслу ВС.
4) По теореме о скоростях точек тела:
v B  v A  v AB ,
 v BA    AB
AB



v BA  AB.
Из точки а плана скоростей проводим линию, перпендикулярную к
шатуну АВ. На пересечении с проведенной ранее линией получим точку в
плана скоростей. Тогда отрезок вр выразит скорость точки В, а отрезок ав
– вращательную скорость шатуна АВ. Так как план скоростей представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник, из него можно
легко найти модули искомых скоростей:
7
v B  вр 
ар
22

 2 ,82 м/с,
cos 45
2
v BA  aв  ap  2 м/с.
Угловая скорость  AB  v AB / АВ  2,0 / 1,0  2c 1 .
Скорость точки Д определим из пропорции в соответствии с ее положением на звене АВ (см. рис. 5). Модуль скорости точки Д равен
vД 
ap2  ab / 2 2
 2 2  12  2 ,24 м / с.
Скорость точки Д на плане скоростей определяется отрезком рд.
Второй способ (основан на понятии мгновенного центра скоростей).
1) Построим мгновенный центр скоростей звена АВ, восстановив
перпендикуляры к скоростям точек А и В. Получим АВР прямоугольный
и равнобедренный с углом 45 у основания. Определим стороны треугольника по известным углам и длине катета АВ:
АР = АВ = 2r = 1,0 м,
AB
1,0
BP 

 1,41 м.
cos 45 0 ,7
ДР  АР2  АД 2  12  0 ,5 2  1,12 м.
2) Определим угловую скорость звена АВ в его вращательном
движении относительно МЦС точки Р. Для этого скорость точки А разделим на расстояние АР:
v
2,0
 AB  A 
 2 c 1 .
AP 1,0
Покажем направление АВ стрелкой относительно точки Р.
3) Определим модуль скорости точки В:
vB = AB  BP = 2,0  1,41 = 2,82 м/с.
Направлен вектор скоростей точки В перпендикулярно к ВР по
направлению стрелки АВ.
4) Определим модуль скорости точки Д:
vД = AB  ДP = 2,0  1,12 = 2,24 м/с.
Направлен вектор скоростей точки В перпендикулярно к ДР по
направлению стрелки АВ.
Сравнение результатов решения задачи двумя способами показывает, что они идентичны.
Проиллюстрируем здесь также применение следствия из теоремы.
Для скоростей точек А и В в проекции на звено АВ можно записать
v A  cos 0  vB  cos 45
8
Откуда
vA
2 ,0

 2 ,82 м / с.
cos 45 0 ,7
Данный результат также совпадает с полученным выше решением.
Задача 2. Цилиндр радиусом r = 0,4 м катится по плоскости без
скольжения. Скорость точек его оси vc = 0.4 м/с. Диск радиусом R = 0,5 м
жестко соединен с цилиндром в сечении, где плоскость не препятствует
его движению. Определить угловую скорость системы цилиндр-диск, а
также скорости точек А, В, Д, Е, расположенных на двух перпендикулярных диаметрах диска.
Определяем угловую скорость диска как отношение скорости точки
С к расстоянию от точки до МЦС (мгновенный центр скоростей находится в точке контакта цилиндра радиусом r с неподвижной поверхностью):
v
0 ,4
 c 
 1 c 1 .
r 0 ,4
Далее решаем задачу двумя способами.
Первый способ (основан на теореме о скоростях точек тела).
Скорости точек А, В, Д, Е определяем, как геометрическую сумму
скорости полюса (точки С) vC и вращательной скорости каждой из точек
относительно полюса:
v A  vC  v AC ,
vB 
vB  vC  vBC ,
v Д  vC  v ДC ,
v E  vC  v EC .
Так как расстояние от точек А, В, Д, Е до полюса одинаково и равно
R, то модули вращательных скоростей будут равны между собой.
v AC  v BC  v ДC  v EC    R  1  0 ,5  0 ,5 м / с .
Направлены эти векторы перпендикулярно соответствующим радиусам (см. рис. 6). При сложении составляющих векторов скоростей точек
В, Е видим, что они направлены друг к другу под прямым углом. Следовательно, результирующий вектор можно определить по правилу параллелограмма, а его модуль по теореме Пифагора:
2
v B  vC2  v BC
 0 ,4 2  0 ,5 2  0 ,64 м / с ,
2
v E  vC2  v EC
 0 ,4 2  0 ,5 2  0 ,64 м / с .
Составляющие скоростей точек А и Д лежат на одной прямой, поэтому
модуль результирующего вектора скорости точки можно определить при
9
алгебраическом их сложении с учетом направления:
v A  vC  v AC  0,4  0 ,5  0,1 м / с ,
v Д  vC  v ДC  0 ,4  0 ,5  0 ,9 м / с .
Знак «минус» у скорости точки А показывает направление вектора
скорости этой точки, по отношению к скорости полюса.
Второй способ (основан на понятии мгновенного центра скоростей).
По направлению скорости точки С относительно МЦС точки Р определяем направление угловой скорости диска. Применение понятия
«мгновенный центр скоростей» позволяет рассматривать плоскопараллельное движение твердого тела как мгновенное вращательное относительно оси, проходящей через МЦС. Угловая скорость диска в данной задаче уже определена, необходимо определить расстояния от точек А, В,
Д, Е до точки Р (МЦС):
AP = R – r = 0,5 – 0,4 = 0,1 м,
ДP = R + r = 0,5 + 0,4 = 0,9 м,
BP  EP  R 2  r 2  0 ,5 2  0 ,4 2  0 ,64 м .
Скорости точек по модулю и направлению определяем в соответствии с системой (3):
vA = ω  AP = 1,0  0,1 = 0,1 м/c,
vB = ω  BP = 1,0  0,64 = 0,64 м/c,
vД = ω  ДP = 1,0  0,9 = 0,9 м/c,
vЕ = ω  ЕP = 1,0  0,64 = 0,64 м/c.
vC
Д
vДС
vД
Д
vД
vB
vBC
В
vC
vC
E
vEC
P
vC
B
.
vC
E
.
vE
P
vAC
vA
A
vC
vA
A
w
Рис. 6.
Сравнение результатов решения задачи двумя способами показывает,
что они идентичны.
10
vE
4.
ЗАДАНИЕ НА САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ
По изложенной в методических указаниях теме в соответствии с рабочей программой предусмотрена самостоятельная работа. Задание на
самостоятельную работу студент получает от преподавателя на занятии.
Чтобы выполнить самостоятельную работу необходимо решить следующие задачи по 3: 16.1 – 16.30.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Дайте определение плоскопараллельному движению. Приведите
примеры.
Сформулируйте теорему, в соответствии с которой можно определить скорость любой точки тела при плоскопараллельном
движении.
Что такое вращательная скорость токи М вокруг полюса А? Как
определить ее модуль и направление?
Сформулируйте следствие из теоремы о проекциях скоростей
двух точек тела при плоскопараллельном движении?
Что такое план скоростей?
Что такое мгновенный центр скоростей?
Как можно представить плоскопараллельное движение твердого
тела, если известно положение МЦС?
Что надо знать для определения положения мгновенного центра
скоростей?
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5
Тема: определение ускорений точек тела при плоскопараллельном
движении.
Цель: освоить два способа определения ускорений точек тела при
плоскопараллельном движении.
Время проведения: 2 часа.
1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ




изучить теоретический материал;
ответить на контрольные вопросы;
разобрать предложенные примеры решения задач;
решить самостоятельно предложенные номера задач.
11
2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2.1. Основные понятия и определения
Определить ускорения точек тела при плоскопараллельном движении можно двумя способами.
Первый способ основан на следующей теореме.
Теорема. Ускорение любой точки тела при плоскопараллельном
движении равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения
точки в ее вращательном движении вокруг полюса:

a M  a An  aA  a
MA  aMA ,
n
где a A , a A – нормальное и тангенциальное ускорение полюса;
aAB
a
A
aA
B
aB
a
aA
Q
(4)

Рис.7.

a
MA , aMA – центростремительное и
вращательное ускорение звена АМ.
Перечисленные
составляющие
ускорения точки М определяются по
формулам:
2
a An  OA
 OA ,
aA   OA  OA ,

aMA   MA  MA ,
2
(5)
(6)
(7)

aMA
  MA  MA ,
(8)
где ОА, ОА – угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА,
на котором располагается точка А;
BА, BА – угловая скорость и угловое ускорение звена АМ.
Применение теоремы – см. далее пример.
Второй способ определения ускорений точек тела при плоскопараллельном движении основан на понятии и определении положения мгновенного центра ускорений – точки Q (рис. 7). Далее подробно рассмотрено определение положения мгновенного центра ускорений при различных исходных данных задачи.
2.2. Различные случаи определения положения
мгновенного центра ускорений.
Все задачи на определение положения мгновенного центра ускорений плоской фигуры можно свести к трем указанным ниже основным
12
случаям, каждому из которых, очевидно, соответствует ряд частных случаев, зависящих от характера движения плоской фигуры.
2.2.1. Случай А. По условию задачи известна точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта
точка и является мгновенным центром
E
ускорений.
D
Рассмотрим, например, качение без
F
aE
aF
скольжения колеса по прямолинейному

aD
рельсу с постоянной скоростью центра vC
C vC a K K
B aB
(рис. 8).
Q w
Мгновенный центр скоростей Р нахоaA
aL
дится в точке соприкосновения колеса с
aP
рельсом. Поэтому:
L
A
w
vC = PC  ω = R·ω,
P
где R – радиус колеса.
Рис. 8.
Угловая скорость вращения колеса:
vC

 const .
R
Центр колеса движется равномерно по прямой, следовательно, его
ускорение:
аС = 0,
т. е. центр колеса является мгновенным центром ускорений.
Так как колесо вращается равномерно, то ускорения всех точек колеса равны центростремительным ускорениям этих точек в их вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений. Например, ускорения точек обода определяются:
vC 2
.
R
Ускорение каждой точки колеса направлено к мгновенному центру
ускорений. В рассмотренном примере наглядно видно, что мгновенный
центр скоростей Р и мгновенный центр ускорений Q является различными
точками плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей, не имея в данный

момент скорости, имеет ускорение a P , мгновенный центр ускорений, не

имея в данный момент ускорения, имеет постоянную скорость vC .
2.2.2. Случай В. Известны модуль и направление ускорения какой
либо точки А плоской фигуры a A , а также угловая скорость  и угловое ускорение  фигуры.
Определим положение мгновенного центра ускорений.
a A  a B  a D  a P  Ra 2 
13
а) Неравномерное вращение: ω ≠ 0; ε ≠ 0. В этом случае мгновенный
центр ускорений находится на отрезке, составляющем с направлением

ускорения a A , угол
  arctg

,
2
(9)
который отложен от ускорения точки в сторону  , на расстоянии от
точки А, равном:
aA
AQ 
(10)
2
  4 .
На рис. 9 показан случай ускоренного вращения плоской фигуры, а
на рис. 10 – случай замедленного вращения.
w
e
e
w
aB
A
A
aA
Q
Q
Рис. 9
Рис. 10
Как видно, направление вращения на построение угла  не влияет и
угол  всегда откладывается от направления ускорения в сторону  .
б)Равномерное вращение: ω ≠ 0, ε = 0 (также момент, когда ε = 0 при
неравномерном вращении) (рис. 11).
w
A
w
aA
.
A
aB
Q
Q
Рис. 11
Рис. 12
В этом случае:
tg 

 0 и  = 0,
2
т. е. ускорения всех точек направлены к мгновенному центру ускорений.
Расстояние от точки до мгновенного центра ускорений определяется по
формуле:
14
a
AQ  A .
2
в) Момент, когда угловая скорость становится равной нулю: ω = 0,
ε ≠ 0. В этом случае:
tg 

2
  ,  = 90,
т. е. ускорения всех точек направлены перпендикулярно к отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром ускорений (рис. 12).
Расстояние от точки до мгновенного центра ускорений определяется
по формуле:
a
AQ  A .
(11)

Угловая скорость фигуры обычно обращается в нуль при изменении
направления вращения фигуры.
г) Момент, когда угловая скорость и угловое ускорение становится
равными нулю при непоступательном движении ω = 0, ε = 0.
В этом случае ускорения всех точек плоской фигуры в данный момент геометрически равны, так как ускорение любой точки равно ускорению полюса (рис. 13).




a
a A  a B  a D   AQ  A   .
0
e
a AB
B
A
a
A
aB
aA
a
D
aA
aD
Рис.13.
a
Q
B
aA
Рис. 14.
2.2.3. Случай С. Известны модули и направления ускорений двух точек плоской фигуры. Допустим, что известны ускорения точек А и В


плоской фигуры a A и a B (рис. 14).
Примем точку А за полюс, тогда на основании (4) можно получить:



a B  a A  a AB .
Построим при точке В параллелограмм ускорений по заданной диа

гонали a B и одной из сторон a A . Другая сторона параллелограмма опре15

делит ускорение a AB во вращении точки В фигуры вокруг полюса А.


Ускорение a AB составляет угол   arctg 2 с отрезком АВ, соединяю-

щим точку В с полюсом А.

Отсчитывая полученный угол  от ускорения a AB к отрезку АВ,
получаем направление  , в данном случае противоположное направлению вращения часовой стрелки. Определив угол  и направление  , отложим этот угол от ускорений точек А и В по направлению  . Две полученные полупрямые продолжим до пересечения в точке Q, которая и будет мгновенным центром ускорений.
Этот способ определения положения мгновенного центра ускорений
не требует определения угла  путем вычислений. Если положение
мгновенного центра ускорений по этому способу определяется графически, то ускорения точек должны быть отложены в масштабе по их истинным направлениям.
e
e
A
aB
Q
a
A
aB a
aA
Q a
a
B
aA
Рис.15
Рис. 16
Рассмотрим случаи, когда ускорения точек плоской фигуры параллельны. Положение мгновенного центра ускорений в этом случае определяется на основании того, что:
 модули ускорений точек пропорциональны длинам отрезков, соединяющих точки с мгновенным центром ускорений:
a A QA

a B QB
 ускорения точек составляют с отрезками, соединяющими точки с
мгновенным центром ускорений, один и тот же угол
  arctg

.
2
На рис. 15 и 16 выполнено построение для случая:
0 <  < 90, т. е. ω ≠ 0, ε ≠ 0.
Рис. 17 и 18 соответствуют случаю α = 90,
tg 

  , ω = 0, ε ≠ 0.
2
16
e
e
B
A
.
.
aB
.
Q
A
Q
.
aB
B
aA
aA
Рис.17.
Рис. 18.
На рис. 19 и рис. 20 построен мгновенный центр ускорений для случая:
 =0, tg 

2
, ε = 0, ω ≠ 0.

В случае a A  aB (рис. 21) мгновенный центр ускорений находится в
бесконечности, а ускорения всех точек плоской фигуры геометрически равны.
A
.
aA
B
.
A
Q
aB
.
Рис. 19
Q
aA
.
aB B
Рис. 20
aA
aB
A
B
Рис. 21
3.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Для заданной схемы механизма и следующих исходных
данных: ОА =4 с-1; ОА =4 с-2;ОА = r =0,5 м; АВ = 2r; ВС = r2;  ОАВ
= 90;  АВС = 45, определить ускорение точки В.. Задачу решить двумя
способами (при решении использовать результаты, полученные в подобной
задаче на предыдущем занятии).
17
Первый способ.
1. Определяем ускорение полюса точки А:
a A  a An  aA ,
2
a An  OA
 OA  4 2  0 ,5  8 м/с2,
2.
3.
aA   OA  OA  4  0 ,5  2 м/с2.
Определяем центростремительное ускорение звена АВ:
2
2
2
a
AB   AB  AB  2  1,0  4 м/с .
Определяем центростремительное ускорение точки В в ее вращательном движении относительно точки С:
v 2 2,822  2,82 м / с 2 .
v 
a B   BC  BC   B   BC  В 
ВС
2 ,82
 BC 
В данный задаче ускорение точки В можно определить путем
решения системы векторных уравнений:
a  a n  a  a   a 
 B
A
A
BA
BA
(12)

a B  a Bn  aB .
2
n
4.
2
Необходимость решения системы уравнений связана с тем, что во-первых,
угловое ускорение звена АВ АВ невозможно в данном случае определить аналитически, (т. е. невозможно определить модуль вращательного ускорения звена

АВ a BA
) , а во-вторых, не известно направление ускорения точки В.
Построение начинаем с первого уравнения системы (12). В точке В
(рис.22) последовательно откладываем нормальное и тангенциальное
ускорение полюса точки А, затем параллельно звену АВ по направлению
от точки В к полюсу А откладываем центростремительное ускорение звена АВ a BA и перпендикулярно к нему проводим прямую (I - I), на кото
рой будет лежать вращательное ускорение звена АВ a BA
. Так как модуль
этого вектора неизвестен, переходим ко второму уравнению системы (12)
и из точки В откладываем нормальное ускорение a Bn . Перпендикулярно к
нему проводим прямую (II - II), которая при пересечении с прямой (I - I)
дает конец вектора ускорения точки В. Таким образом, на прямой (I - I)
получаем вектор a BA , а на прямой (II - II) – вектор aB , тогда вектор,
проведенный из точки В в точку пересечения прямых (I - I) и (II - II) будет вектором ускорения точки В. Измерив длину вектора аВ, и переведя
ее в масштабе, получим значение модуля вектора, равное 11,7 м/с 2.
18
Измеряем длину
ускорение звена АВ:
вектора aBA  17 ,6 м/с
2
и определяем угловое
aBA 17 ,6

 17 ,6 с -2.
AB
1,0
Чтобы решить задачу аналитически, проецируем оба векторных
уравнения системы (12), на оси Вx (проведена по звену АВ) и Вy (проведена перпендикулярно к звену АВ). После проецирования получим систему из 4-х уравнений, которая позволит найти 4 неизвестные величины:

, aB . (13)
a Bx , a By , a BA
 AB 
 a Bx  0  aA  aBA  0


 a By  a An  0  0  a BA

n

 a Bx  a B  cos 45  a B  cos 45

n

a By  a B  cos 45  a BA  cos 45
(13)
(14)
(15)
(16)
х
О
А
a BAe
А
I
a BAw
II
a Bn
wAB
I
C
a Bn
II
aAt
а An
B
Рис. 22
19
Из уравнения (13) находим аВх и подставляем в уравнение (15), откуда получаем aB :
м/с 2,
aBx  aA  a
BA  2  4  6
a Bn  cos 45  a Bx 11,3  0 ,7  6

 2 ,82 м/с 2.
cos 45
0 ,7
Затем определяем аВу из уравнения (16):
a B 
aBy  aBn  cos 45  aB  cos 45  ( 11,3  2,82 )  0 ,707  10,0 м/с 2.
Находим a BA из уравнения (14):
aBA  aBy  a An  10  8 ,0  18,0 м/с 2.
И угловое ускорение звена АВ:
a BA 18,0

 18,0 с -2.
AB
1,0
Модуль ускорения точки В можно оценить как корень квадратный из
суммы квадратов проекций:
 AB 
a B  a B2x  a B2x  6 ,0 2  10 ,0 2  11,66 м/с2.
Сравнение аналитического и графического способов решения задачи
показывают, что разница в полученных значениях не превышает 5%.
Второй способ решения задачи можно показать для точки Д, середины звена АВ. При этом воспользуемся результатами решения задачи
при определении ускорения точки В. Этот случай рассмотрен на стр. 15
(рис.14). Построим в точке В параллелограмм ускорений по уравнению:
a B  a A  a BA .
Определим угол  как угол между направлением ускорения звена
АВ и самим звеном. Отложим этот угол от векторов ускорений точек А и
В, и на пересечении этих лучей определим положение точки Q – мгновенного центра ускорений звена АВ (см. рис. 23). Ускорение точки Д отложим под углом  к линии QД.
Задача 2. Цилиндр радиусом r = 40 см катится по плоскости без
скольжения. Скорость и ускорение точек его оси в данный момент:
vC = 0,4 м/с, aC = 0,2 м/с2.Диск радиусом R = 50 см жестко соединен с
цилиндром в сечении, где плоскость не препятствует его движению.
Определить в данный момент времени ускорения концов двух диаметров
диска в точках А, В, Д, Е. Определить также положение мгновенного
центра ускорений диска (рис. 24).
20
aA
a At
a An
a
A
aД
Q
Д
aB
a BA
aA
a
a
Рис. 23
Решение. По условию данной задачи можно определить аналитиче

ски угловую скорость  и угловое ускорение  диска. Поэтому для
определения ускорений точек А, В, Д, Е диска можно применить два способа решения (см. стр. 11 и 12).
Сначала определяем ω и ε. Мгновенный центр скоростей диска Р
находится в точке соприкосновения поперечного сечения цилиндра с неподвижной плоскостью (рис. 25).
Модуль угловой скорости диска определяем как отношение скорости
полюса к расстоянию от полюса до МЦС:
v
v
0 ,4
 C  C 
 1 c 1 .
PC
r
0 ,4
Расстояние от центра диска С до МЦС точки Р при движении не изменяется, а потому угловое ускорение можно определить как производную от угловой скорости:
d
d  vC  1 dvC
1



  aC .
 
dt
dt  r  r dt
r
Подставляя в это выражение числовые значения, находим модуль:
21
aC 0 ,2

 0 ,5 c 2 .
r
0 ,4

Так как вращение диска ускоренное, то  имеет такое же направле
ние как и  (рис. 25).

e
Д аC
e
аCД
Д
aCBe
w
аCД
аB
R
aД
B
aC
C
vC
Е
В
w
a CE
aC
Е
aw C
aC
aC
CB
r
аА
aE
аwCА
e
aCE
w
P
А
e
аCА
Рис. 24.
А
aC
Рис. 25.
Первый способ. Принимаем за полюс центр диска С, ускорение которого известно, и определяем ускорения точек А,В,Д,Е по формуле (4):


.
a A  aC  aCA
 aCA


aB  aC  aCB
 aCB


a Д  aC  aCД
 aCД


aE  aC  aCE
 aCE
Модули вращательного ускорения точек относительно полюса точки
С будут равны:




= aCB
= aCД
= aCЕ
aCA
  R  0 ,5  0,5  0,25 м / с 2 .
Модули центростремительного ускорения точек относительно полюса точки С будут равны:




= aCB
= aCД
= aCЕ
aCA
  2 R  12  0 ,5  0 ,5 м / с 2 .
Откладываем (рис. 25) в каждой точке векторы ускорения полюса
точки С, векторы вращательного ускорения точек относительно полюса
(направляем перпендикулярно к отрезкам, соединяющим точку и полюс
по направлению ε) и центростремительного ускорения точек относительно полюса (направляем от каждой точки к полюсу – точке С).
22
Ускорение каждой точки определяется диагональю прямоугольника,
сторонами которого являются сумма двух векторов, оказавшихся на одной прямой, и третий вектор, перпендикулярный к ним:
aA 
aB 
aД 
aE 
a  a   a
a  a   a
а  a   а
a  a   a
2
CA
C
C
CB
C
CД
CE
C
2

2
CA
2
CB
2
2
CД
2
2
CE
 ( 0 ,25  0 ,2 )2  0 ,5 2  0 ,50 м / с 2 ;
 ( 0 ,2  0 ,5 )2  0 ,252  0 ,74 м / с 2 ;
 ( 0 ,2  0 ,25 )2  0 ,5 2  0 ,67 м / с 2 ;
 ( 0 ,5  0 ,2 )2  0 ,252  0 ,39 м / с 2 .
Второй способ. Приняв точку С за полюс, находим угол  и расстояние СQ по (9) и (10) соответственно;

0 ,5
tg  2  2  0 ,5 ;

1
1
  arctg   26 34 ;
2
aC
0 ,2
CQ 

 0 ,179 м .
2
4
 
0 ,5  14
Откладываем угол  от ускорения aC по направлению  , т. е. по
направлению вращения часовой стрелки. На построенной полупрямой
откладываем отрезок СQ и получаем мгновенный центр ускорений
(МЦУ) Q (рис. 26).
Если соединить точки А,В,Д,Е с
Д
e
точкой
Q, то ускорения этих точек соw
ставят с отрезками QА, QB, QД, QE
один и тот же угол  = 2634.
a
Направление отсчета угла  от ускоaB
аД
рения точки к отрезкам, соединяюа
щим точку и МЦУ, совпадает с
C
C
a
Е
B
a
направлением  . Модули ускорений
a
аЕ
точек пропорциональны расстояниям
Q
аА
от точек до МЦУ, что видно по рис.
26, на котором ускорения точек
a
А,В,Д,Е и С отложены в масштабе, по
их истинным направлениям. ОпредеА
лив отрезки QА, QB, QД, QE, можно
Рис.26
было бы вычислить ускорения точек по
формуле (показано на примере для точки А)
23
a A  aQA  QA  2   4
но в рассмотренном примере этот способ решения требует больших вычислений, чем выполненное решение.
Необходимо отметить, что при определении ускорений точек плоской фигуры пользоваться мгновенным центром ускорений целесообразно
только в том, случае, когда положение мгновенного центра ускорений
находится легко, т. е. тогда, когда его применение приводит к упрощению (рис. 26), а не к усложнению вычислений.
4. ЗАДАНИЕ НА САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ
По изложенной в методических указаниях теме в соответствии с рабочей программой предусмотрена самостоятельная работа. Задание на
самостоятельную работу студент получает от преподавателя на занятии.
Чтобы выполнить самостоятельную работу необходимо решить следующие задачи по 3: 18.1 – 18.30.
5.
1.
2.
3.
4.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Сформулируйте теорему об ускорении точки тела при плоскопараллельном движении?
Запишите формулу для определения ускорения точки тела при
плоскопараллельном движении. Расшифруйте составляющие.
Что такое мгновенный центр ускорений?
Какие возможны различные случаи определения положения
мгновенного центра ускорений плоской фигуры?
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.П. М.: Высшая
школа, 1987. – 531с.
2. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика
в примерах и задачах. Т.2. М.: Наука, 1993. – 623с.
3. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.:
Наука, 1990. – 417с.
24