Подготовка к ЕГЭ по математике Открытый урок по теме: «Решение задач на вычисление объемов и площадей поверхностей тел». (задачи В10, В13) Учитель: Мартыненко П. А. г. Зеленокумск февраль 2014 г. Цель урока: Закрепление навыков у учащихся на решение задач на нахождение объемов и площадей поверхностей тел. Умение решать задачи на комбинацию различных тел. Ход урока 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания: № 667 решение: № 690 решение: 𝑑 = 4мм = 0,4 см; 6,8 кг = 6800 г 𝑟 = 3 см; 𝑎6 = 𝑅. 𝑚 6800 1 𝑉= = ≈ 2615см3 . Получим: 𝑅 2 = 9 + 𝑅 2 ; из уравнения 𝜌 2,6 2 𝑉 = 𝜋𝑟 𝑙 (𝑟 = 0,2; 𝑙 − длина провода) 2615 = 3,14 ∙ 0,04 ∙ 𝑙; Получим, что 𝒍 ≈ 𝟐𝟎𝟖 м. 4 𝑅 = 𝑎6 = 2√3 см. Высота боковой грани: ℎгр = √169 − 3 = √166 Площадь боковой грани: 1 𝑆гр = ∙ 2√3 ∙ √166 = √498 2 Т. О. 𝑺бок = 𝟔√𝟒𝟗𝟖 𝐻пир = √169 − 12 = √157 1 𝑆осн = ∙ 12√3 ∙ 3 = 18√3 2 1 𝑉пир = ∙ 18√3 ∙ √157 = 𝟔√𝟒𝟕𝟏 3 3. Опрос учащихся: I Устная работа по готовым чертежам: Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Ответ: 28 Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов. Ответ: 7 Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 5. Найдите объем цилиндра. Ответ: 15 Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы. Ответ: 3 II Опрос учащихся у доски (решение задач по карточкам) III Записать формулы объемов многогранников и тел вращения на доске 4. Письменная работа с учащимися на доске и в тетрадях (решение задач на закрепление изученной темы) 1. Диагональ куба равна √12 . Найдите его объем Решение: Если ребро куба равно a, то его диагональ равна 𝑎√3.Отсюда следует, что если диагональ куба равна √12 , то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8 Ответ: 8 2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба и его объем. Решение: Если ребро куба равно x, то площадь его поверхности равна 6x2. Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности будет равна 6(x+1)2. Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение 6(x+1)2 = 6x2 + 30, решая которое, находим x = 2. 𝑉 = 8. Ответ: 2; 8 3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60о и равно 2. Найдите объем параллелепипеда Решение: Площадь грани параллелепипеда, являющейся ромбом со сто√3 роной 1 и острым углом 60о, равна . 2 Высота, опущенная на эту грань, равна √3. Объем параллелепипеда равен 1,5. Ответ: 1,5 4. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы Решение: Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8 Ответ: 8 5. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Решение: Высота боковой грани пирамиды равна 12. Площадь боковой грани равна 60. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 360. Ответ: 360 6. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3 Решение: Площадь основания пирамиды равна 27, высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен 27. Ответ: 27 7. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды. Решение: Треугольник SAD равносторонний со стороной 2√3 , AB = GH =√3. Площадь прямоугольника ABCD равна 6. Следовательно, объем пирамиды равен 6. Ответ: 6 8. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. Решение: 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 1 𝑆 3 𝐴𝐵𝐶 ∙ 𝐻. ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑀𝑁𝐶 с коэффициентом подобия, равным 2. Значит 𝑆𝑀𝑁𝐶 = 1 𝑆 . Так как пирамиды имеют оди4 𝐴𝐵𝐶 наковые высоты, а площадь основания отсеченной пирамиды в 4 раза меньше площади основания данной пирамиды, то и ее объем будет в 4 раза меньше объема данной. 𝑉𝑆𝑀𝑁𝐶 = 1 𝑉 = 3. 4 𝑆𝐴𝐵𝐶 Ответ: 3 9. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду? Решение: Радиус основания вписанного конуса будет равен половине стороны основания пирамиды, т.е. 𝑎 1 𝑎2 1 𝑅вп = тогда 𝑉вп = 𝜋 ℎ = 𝜋𝑎2 ℎ. 2 3 4 12 Радиус основания описанного конуса будет равен половине диагонали пирамиды, т.е. 1 𝑎2 3 2 𝑉оп = 𝜋 зом, 𝑉оп 𝑉вп = 𝑅оп = 𝑎 √2 1 2 тогда ℎ = 𝜋𝑎2 ℎ. Таким обра6 1 𝜋𝑎2 ℎ 6 1 𝜋𝑎2 ℎ 12 = 2. Ответ: 2 5. Подведение итогов урока Вопросы учащимся Какова была тема и цель урока; Задачи какого типа решались на уроке (задачи на нахождение объемов); Каково практическое применение данного типа задач; Имеют ли место данные задачи в материалах ЕГЭ. 6. Домашнее задание: (домашняя самостоятельная работа по карточкам).