Диагонали трапеции равны 6 и 8, а средняя линия

№1. Диагонали трапеции равны 6 и 8, а средняя линия равна 5. Найдите площадь трапеции.
Решение
Пусть h – высота трапеции ABCD с основаниями AD и BC и
диагоналями AC=6 и BD=8 , l – средняя линия трапеции. Через вершину C проведём
прямую параллельно диагонали BD до пересечения с продолжением основания AD в
точке M . Тогда четырёхугольник BCMD – параллелограмм, поэтому
CM=BD=8, DM=BC, AM=AD+DM = AD+BC = 2l = 10.
Значит, треугольник ACM – прямоугольный ( AM2=AC2+CM2 ). Его площадь равна
половине произведения катетов, т.е.
SΔ ACM = AC· CM = · 6· 8 = 24.
Следовательно,
SABCD = lh = (AD+BC)h = (AD+DM)· h=
= (AD+BC)· h = AM· h = SΔ ACM=24.
Ответ:24.00
№2.
Прямая, проведённая через вершину C трапеции ABCD параллельно диагонали BD , пересекает
продолжение основания AD в точке M . Докажите, что треугольник ACM равновелик
трапеции ABCD .
Решение
Пусть высота трапеции равна h . Четырёхугольник BCMD – параллелограмм,
поэтому DM=BC . Следовательно,
SΔ ACM = AM· h = (AD+DM)· h= (AD+BC)· h = SABCD.
Условие
В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Найдите среднюю линию трапеции.
Подсказка
Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную
диагонали.
Решение
Первый способ.
Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведём прямую,
параллельную диагонали BD. Пусть M — точка пересечения этой прямой с продолжением
основания AD, CK — высота трапеции.
Поскольку CM = BD = AC и ACM = 90o, то CMK = 45o и KM = CK. Следовательно,
средняя линия трапеции равна
=
= AM = MK = CK = 10.
Второй способ.
Пусть P и Q — середины оснований соответственно BC и AD, а R и S — середины
боковых сторон соответственно AB и CD данной трапецииABCD. Стороны
четырёхугольника PSQR параллельны диагоналям трапеции как средние линии
соответствующих треугольников, поэтому PSQR— прямоугольник. Его
диагональ PQ равна высоте трапеции, а диагональ RS — средней линии трапеции.
Поскольку диагонали прямоугольника равны, то RS = PQ = 10.
Ответ:10.
№3.
Найдите косинусы углов трапеции с основаниями 3 и 7 и боковыми сторонами 2 и 5.
Подсказка
Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведите прямую,
параллельную боковой стороне AB, и примените теорему косинусов к полученному
треугольнику.
Решение
Пусть прямая, проходящая через вершину C меньшего основания BC = 3
трапеции ABCD параллельно боковой стороне AB = 5, пересекает большее основание AD =
7 в точке K. Тогда
KD = AD - AK = AD - BC = 7 - 3 = 4, CK = AB = 5.
Из треугольника CKD по теореме косинусов находим, что
Тогда
cos CDK =
=-
cos CKD =
=
,
.
cos BCD = cos(180o -
CDA) = - cos CDA =
cos BAD = cos CKD =
cos ABC = cos(180o Ответ:±
,±
,
,
BAD) = - cos BAD = -
.
.
№4.
Один из углов трапеции равен 30o, а прямые, содержащие боковые стороны
трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите длину меньшей боковой
стороны трапеции, если её средняя линия равна 10, а одно из оснований равно 8.
Подсказка
Проведите через вершину меньшего основания трапеции прямую, параллельную боковой
стороне.
Решение
Второе (большее) основание AD трапеции ABCD по теореме о средней линии равно 12.
Через вершину C меньшего основания BC проведём прямую, параллельную боковой
стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке K. Треугольник KCD —
прямоугольный ( KCD = 90o). Поэтому
AB = KC =
KD =
=
= 2.
Ответ:2.
№5.
Противолежащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом.
Большая боковая сторона трапеции равна 8, а разность оснований равна 10. Найдите
меньшую боковую сторону.
Подсказка
Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную боковой
стороне.
Ответ:6.
№6.
Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого.
Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей
трапеции.
Подсказка
Пусть K — середина большего основания AD трапеции ABCD, в которой AB = BC =
Тогда ABCK — ромб.
AD.
Решение
Первый способ.
Пусть K — середина большего основания AD трапеции ABCD, в которой
AB = BC = AD.
Тогда ABCK — ромб, поэтому CK = AK = KD. Следовательно, AC
CD.
Второй способ.
Пусть E — середина большего основания AD трапеции ABCD, в которой
AB = BC = AD.
Тогда ABCE — параллелограмм, поэтому
CE = AE = ED.
Значит, медиана CE треугольника ACD равна половине стороны AD. Следовательно,
ACD = 90o.
Третий способ.
Достроим трапецию ABCD до параллелограмма ABMD (см. рис.). Тогда ABC + CMD
= 180°. Поскольку треугольники ABC и CMD — равнобедренные, то BCA = 90° ABC/2 и MCD = 90° - CMD/2, следовательно, BCA + MCD = 180° - ( ABC +
CMD)/2 = 90°.
Четвертый способ.
Достроим трапецию до треугольника AFD (см. рис.). Поскольку BC:AD = 1:2, то и BF:AF
= FC:FD = 1:2, следовательно, BC — средняя линия этого треугольника. Также CAD =
BCA = BAC, то есть, AC — биссектриса и медиана треугольника AFD, следовательно,
она является и высотой.
№7.
Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой равны 6 и 8, а основания равны 4 и
14.
Подсказка
Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную боковой
стороне. Эта прямая отсекает от трапеции треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Этот
треугольник — прямоугольный.
Ответ:
.