Документ 5108087

ВТОРАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ— наименьшая скорость, которую
необходимо придать объекту (например,
космическому аппарату), масса которого
пренебрежимо мала по сравнению с
массой небесного тела (например,
планеты), для преодоления
гравитационного притяжения этого
небесного тела и покидания замкнутой
орбиты вокруг него. Предполагается, что
после приобретения телом этой скорости
оно более не получает
негравитационного ускорения (двигатель
выключен, атмосфера отсутствует).
ВТОРАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ
Если некоторому телу сообщить скорость, равную первой
космической скорости, то оно не упадет на Землю, а станет
искусственным спутником, движущимся по околоземной круговой
орбите. Напомним, что эта скорость должна быть перпендикулярна
направлению к центру Земли и равна по величине
𝑽𝑰 = 𝒈𝑹= 7,9 км/с,
где g = 9,8 м/с2 − ускорение свободного падения тел у поверхности
Земли, R = 6,4 × 106 м − радиус Земли.
А может ли тело и вовсе порвать цепи тяготения, «привязывающие» его к
Земле? Оказывается, может, но для этого его нужно «бросить» с еще
большей скоростью.
Минимальную начальную скорость, которую необходимо
сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное
притяжение, называют второй космической скоростью. Найдем ее
значение 𝑉𝐼𝐼 .
При удалении тела от Земли сила притяжения совершает
отрицательную работу, в результате чего кинетическая энергия
тела уменьшается. Одновременно с этим уменьшается и сила
притяжения. Если кинетическая энергия упадет до нуля до того, как
станет равной нулю сила притяжения, тело вернется обратно на
Землю. Чтобы этого не произошло, нужно, чтобы кинетическая
энергия сохранялась отличной, от нуля до тех пор, пока сила
притяжения не обратится в нуль.
А это может произойти лишь на бесконечно большом расстоянии
от Земли.
Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической
энергии тела равно работе действующей на тело силы. Для нашего
случая можно записать:
0−
𝑚∙𝑉𝐼𝐼2
2
= A,
или
𝑚∙𝑉𝐼𝐼2
2
= −A,
где m − масса брошенного с Земли тела, A − работа силы
притяжения.
Таким образом, для вычисления второй космической скорости нужно
найти работу силы притяжения тела к Земле при удалении тела от
поверхности Земли на бесконечно большое расстояние.
Как это ни удивительно, но работа эта вовсе не бесконечно
большая, несмотря на то, что перемещение тела как будто бы
бесконечно велико. Причина тому − уменьшение силы притяжения по
мере удаления тела от Земли. Чему же равна работа силы
притяжения?
Воспользуемся той особенностью, что работа силы тяготения не
зависит от формы траектории движения тела, и рассмотрим самый
простой случай : тело удаляется от Земли по линии, проходящей через
центр Земли. На приведенном здесь рисунке изображен Земной шар
и тело массой m, которое движется вдоль направления, указанного
стрелкой.
Найдем сначала работу А1, которую совершает сила притяжения на
очень малом участке от произвольной точки N до точки N1. Расстояния этих
точек до центра Земли обозначим через r и r1, соответственно, так что
работа А1 будет равна
A1 = −F(r1 − r) = F(r − r1).
Но какое значение силы F следует подставить в эту формулу? Ведь
𝐺𝑚𝑀
оно изменяется от точки к точке: в N оно равно 2 (М − масса
Земли), в точке N1 −
𝑟
𝐺𝑚𝑀
.
𝑟12
Очевидно, нужно взять среднее значение этой силы. Так как
расстояния r и r1, мало отличаются друг от друга, то в качестве
среднего можно взять значение силы в некоторой средней точке,
например такой, что
rcp2 = rr1.
Тогда получаем
𝐆 ∙ 𝐦 ∙ 𝐌 ∙ (𝐫 − 𝐫𝟏)
𝟏 𝟏
A1 =
= 𝐆 ∙ 𝐦 ∙ 𝐌( + )
𝐫 ∙ 𝐫𝟏
𝐫𝟏 𝐫
Рассуждая таким же образом, найдем, что на участке N1N2
совершается работа
𝟏 𝟏
A2 = 𝐆 ∙ 𝐦 ∙ 𝐌( + ),
𝐫𝟐 𝐫𝟏
на участке N2N3 работа равна
𝟏 𝟏
A3 = 𝐆 ∙ 𝐦 ∙ 𝐌( + ),
𝐫𝟑 𝐫𝟐
а на участке NN3 работа равна
𝟏 𝟏
A1 + A2 + A2 = 𝐆 ∙ 𝐦 ∙ 𝐌( + ),
𝐫𝟑 𝐫
Закономерность ясна: работа силы притяжения при перемещении
тела от одной точки к другой определяется разностью обратных
расстояний от этих точек до центра Земли. Теперь нетрудно найти и всю
работу А при перемещении тела от поверхности Земли (r = R) на
1
бесконечно большое расстояние (𝑟 → ∞ , 𝑟 = 0):
1
𝐺∙𝑚∙𝑀
A =𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀 0 −
=−
𝑅
𝑅
Как видно, эта работа и в самом деле не бесконечно велика.
Подставив полученное выражение для А в формулу
𝑚 ∙ 𝑉𝐼𝐼2
𝐺∙𝑚∙𝑀
= −
,
2
𝑅
найдем значение второй космической скорости:
𝑉𝐼𝐼 =
2∙𝐴
=
𝑚
2∙𝐺∙𝑀
= 2 ∙ 𝐺 ∙ 𝑅 = 11,2 км/с.
𝑅
Отсюда видно, что вторая космическая скорость в
первой космической скорости:
𝑉𝐼𝐼 = 2 ∙ 𝑉𝐼 .
2 раз больше
В проведенных расчетах мы не принимали во внимание то, что
наше тело взаимодействует не только с Землей, но и с другими
космическими объектами. И в первую очередь − с Солнцем. Получив
начальную скорость, равную 𝑉𝐼𝐼 , тело сумеет преодолеть тяготение к
Земле, но не станет истинно свободным, а превратится в спутник
Солнца. Однако если телу у поверхности Земли сообщить так
называемую третью космическую скорость 𝑉𝐼𝐼𝐼 = 16,6 км/с, то оно
сумеет преодолеть и силу притяжения к Солнцу.
Вторая космическая скорость (скорость освобождения) на поверхности некоторых
небесных тел
Масса (по отношению к
2-я космическая скорость,
Небесное
тело
Вторая космическая скорость (скорость освобождения) на поверхности некоторых небесных тел
массе Земли)
км/с
Небесное тело
Масса (по отношению к массе Земли)
2-я космическая скорость, км/с
0,0123
2,42,4
Луна Луна
0,0123
Меркурий
0,055
4,3
Меркурий
0,055
4,3
Марс
0,108
5,0
0,82
10,22
Марс Венера
0,108
5,0
Земля
1
11,2
Венера
0,82
10,22
Уран
14,5
22,0
24,0
ЗемляНептун
1 17,5
11,2
Сатурн
95,3
36,0
Уран Юпитер
14,5
22,0
318,3
61,0
Солнце
333 000
617,7
Нептун
17,5
24,0
Сириус В
325 675
10 000
666 000
200
000
СатурнНейтронная звезда
95,3
36,0
Кварковая звезда
833 500
?
Юпитер
318,3
61,0
∞ (ничто не может выйти за пределы
15
Чёрная дыра
832 500 - 5,6·10
черной
дыры - радиуса Шварцшильда)
Солнце
333 000
617,7
Сириус В
325 675
10 000
Нейтронная звезда
666 000
200 000
Кварковая звезда
833 500
?
∞ (ничто не может выйти за
Чёрная дыра
832 500 - 5,6·1015
пределы черной дыры радиуса Шварцшильда)