Комплексные числа -минимальные условия; -определения; -арифметические операции; -свойства. Основные числовые системы: Числовая система Допустимые алгебраические операции Натуральные Сложение и умножение. числа, N Целые числа, Z Сложение и умножение; вычитание. Рациональные Сложение и умножение; вычитание и числа, Q деление. Действительные Сложение и умножение; вычитание и числа, R деление; извлечение корня из х≥0 Комплексные Любые операции числа, C Построение множества С комплексных чисел: N ZQ R C Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: С(1) Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 С(2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С(3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяют законам арифметических действий(сочетательному, переместительному, распределительному) Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается i • Это обозначение предложил Леонард Эйлер в 18 веке. Таким образом: 2 i =-1, i-мнимая единица • Так как, по условию, множество С содержит всё множество R, то имеет смысл рассматривать выражения вида: i; 2i; -3i; 0,6i Такие произведения называются чисто мнимыми. 3i+5i=8i (сложение) 3i-5i=-2i (вычитание) 3i·5i=15i ( умножение) 3 2 (3i)=27i ·i=-27i (степень) Правила арифметических операций с чисто мнимыми числами: ai+bi=(a+b)i ai-bi=(a-b)i a(bi)=(ab)i (ai)(bi)=abi =-ab 2 (a и b – действительные числа) 0· i=0 (0 – одновременно является и действительным, и чисто мнимым числом) Решаем № 32.5; 32.7; 32.8; 32.10; 32.11 Определения комплексных чисел: Комплексным числом называется сумма действительного числа а и чисто мнимого числа bi z= a +bi С <=> a R, b R, i Э мнимая единица Э Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части. a +bi=c +di <=> a=c, b=d Арифметические операции над комплексными числами: Z +Z = I. (сложение) 1 2 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+(b+d)i Z – Z= II. (вычитание) 1 2 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(bi-di)=(a-c)+(b-d)i III. (произведение) Z ·Z= 1 2 2 (a+bi) (c+di)=ac+adi+cbi+bdi =ac+(ad+cb)i-bd= =(ad-bd)+(ad+cb)i Решаем № 32.19; 32.20; 32.21. Самостоятельная работа Вариант 1. 1). Вычислите: (-i)(-2i); 12i·(-0,5i) Вариант 2. 1). Вычислите: (-3i)(-0,2i); -1,2i·(-5i) 2). Найдите действительные числа а и в, для которых верно равенство z=az1- bz2 если z1=-2, z2=1-3i, z=4+i 2). Найдите действительные числа а и в, для которых верно равенство z=az1+bz2, если z1=-2i, z2=4, z=-2+3i 3) Назовите действительную и мнимую части числа -23-45i 3) Назовите действительную и мнимую части числа 2,3i-56 Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряжённое данному. Z=a+bi –комплексное число - сопряжённое число Найдите сопряженные данным числа: 13+2i 1-23i 3i-14 -5i+2 18i 21-i -i-1 -3+2i 4i+2 -2,7i Свойства операции перехода к сопряжённому числу: Свойство 1. Если z=x+yi, то · z= К примеру: x2+9= (x+3i)(x-3i) Свойство 2. Свойство 3. Свойство 4. Свойство 5. Свойство 6. n Решаем: • № 32.32 • №32.33 • №32.35 • №32.22 Домашнее задание: • • • • Учить §32(определения и свойства) №32.27 №32.28 №32.34