Автор: Костин Егор Сергеевич ученик 5 «Б» класса Руководитель: Путанова Светлана Владимировна Тема исследования: составление магических квадратов. Объект исследования: магический квадрат. Цель исследования: раскрыть «секреты» магического квадрата. Задачи исследования: проанализировать литературу по теме исследования познакомиться с историей появления магических квадратов изучить виды магических квадратов рассмотреть способы построения магических квадратов научиться составлять магические квадраты Гипотеза: я думаю, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка. 1.Вводные определения Магический квадрат – это набор целых чисел, расположенных в форме квадрата таким образом, что суммы чисел, стоящих в одной (любой!) строке, в одном (любом!) столбце и на одной (любой!) диагонали, имеют одно и то же значение. Магическая константа Порядок n Sn 3 4 5 6 7 8 9 10 15 34 65 111 175 260 369 505 2.История появления магических квадратов Согласно легенде, из вод реки Ло в XXIII в.до н.э. всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы. С того времени и вплоть до X в. этот магический квадрат был мистическим символом огромного значения. Четные числа древние китайцы отождествляли с «инь» - женским началом, нечетные с «ян» - мужским. Число 5 соответствовало земле, числа 4 и 9 символизировали металл, 2 и 7 – огонь, 1 и 6 – воду и 3 и 8 – дерево. Девять порядковых чисел размещены в девяти клетках квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей одинаковы (основное свойство магического квадрата). Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат немецкого художника Альбрехта Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия». Интересно отметить, что средние числа в последней строке квадрата Дюрера – 15 и 14 – год создания гравюры (1514). 3.Наименьший магический квадрат (3×3) 4 3 8 9 5 1 2 7 6 Рис. 1 Составив один магический квадрат (рис. 1), находим ряд новых магических квадратов при помощи поворотов и отражений. 8 1 6 6 7 2 2 9 4 3 5 7 1 5 9 7 5 3 4 9 2 8 3 4 6 1 8 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 8 3 4 6 1 8 4 9 2 2 7 6 1 5 9 7 5 3 3 5 7 9 5 1 6 7 2 2 9 4 8 1 6 4 3 8 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 Методы построения магических квадратов для квадратов нечетного порядка n=2k+1 Индийский метод Метод Баше (метод террас) для квадратов четно-четного порядка n=4k Метод квадратных рамок Метод РаусБолла для квадратов четно-нечетного порядка n=4k+2 Метод четырех квадратов 4.1 Построение магических квадратов нечетного порядка Индийский метод 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 Применим этот метод на 46 6 8 17 26 35 37 примере построения магического 5 14 16 25 34 36 45 квадрата 7-го порядка, 13 15 24 33 42 44 4 т.е. квадрата из 49 клеток . 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20 Построение магических квадратов нечетного порядка Метод Баше (метод террас) Построим магический квадрат 5-го порядка (квадрата из 25 клеток). 4.2 Построение магических квадратов четно-четного порядка Метод квадратных рамок 4 5 6 3 Рассмотрим построение данным методом магического квадрата 1 8-го порядка. 1 16 58 23 22 59 45 36 44 37 19 62 63 2 21 7 20 8 19 22 16 23 24 15 35 25 34 14 53 33 26 54 13 48 55 27 56 47 36 18 9 38 10 17 52 11 39 32 12 51 31 40 30 50 41 42 49 37 8 18 9 24 15 35 60 61 38 10 17 25 34 14 53 52 11 39 32 33 26 54 13 12 51 31 40 48 55 27 4 5 30 50 41 56 47 3 28 29 6 42 49 57 2 46 21 20 43 7 64 57 28 29 46 43 45 58 44 63 62 59 60 61 64 Построение магических квадратов четно-четного порядка Метод Раус-Болла На примере магического квадрата 4-го порядка. 1 2 3 4 16 2 3 13 1 15 14 4 5 6 7 8 5 11 10 8 12 6 7 9 9 10 11 12 9 7 6 12 8 10 11 5 13 14 15 16 4 14 15 1 13 3 2 16 Метод Раус-Болла Построим магический квадрат 8-го порядка. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1 1 63 62 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 24 42 43 21 20 46 47 17 57 58 59 60 61 62 63 64 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64 4.3 Построение магических квадратов четно-нечетного порядка Метод четырех квадратов На примере магического квадрата 6-го порядка. 2 7 6 20 25 24 29 7 6 20 25 24 9 5 1 27 23 19 9 32 1 27 23 19 4 3 8 22 21 26 31 3 8 22 21 26 29 34 33 11 16 15 2 34 33 11 16 15 36 32 28 18 14 10 36 5 28 18 14 10 31 30 35 13 12 17 4 30 35 13 12 17 Построение магических квадратов нечетного порядка Метод Баше (метод террас) Построим магический квадрат 5-го порядка (квадрата из 25 клеток). Вывод В результате исследовательской работы я подтвердил гипотезу о том, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно построить магический квадрат любого порядка. По результатам проведённого мною исследования и полученного материала можно сделать следующие выводы: Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n × n, заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Каждый квадрат, определённого порядка строится по своей методике. Построение магических квадратов является интересным и увлекательным занятием и одновременно служит хорошей гимнастикой для ума, а так же способствует большему интеллектуальному развитию учащихся; Спасибо за внимание Автор работы Костин Егор Руководитель: Путанова Светлана Владимировна, учитель математики МБОУ «Лицей»