Неевклидова_геометрия

Проект по математике
Выполнил:
ученик 10 А класса
Чуриков Сергей Юрьевич
Руководитель проекта:
учитель математики
Пласкунова Надежда
Анатольевна
 Выполнил: ученик 10 А класса
Чуриков Сергей Юрьевич
 Руководитель проекта:
учитель математики
Пласкунова Надежда Анатольевна






Много веков геометрия во всех своих основах казалась наукой, совершенно
застывшей в ее древних эллинских формах.
Ученых всех времен интересовало доказательство или опровержение V постулата
Евклида, одного из основных для его геометрии. В XIX веке Николай Иванович
Лобачевский одним из первых доказал возможность существования геометрии,
отличной от Евклидовой. Его идеи привели к широкой и многообразной эволюции
геометрии.
Изучение этой геометрии способствует лучшему пониманию законов физического
пространства, т.к. геометрия Евклида описывает пространство приближенное,
идеальное. Геометрия Лобачевского более точная, она учитывает кривизну
пространства-времени.
В школе мы изучаем геометрию Евклида. А живем мы в какой геометрии?
Неевклидова геометрия - это другая геометрия, отрицающая Евклидову? Как новые
геометрические идеи повлияли на развитие естествознания? Как развиваются
неевклидовы геометрии? Исследованию этих вопросов посвящен этот проект.
В процессе работы были рассмотрены основные положения геометрии
Лобачевского, доказана её непротиворечивость, рассмотрены сферы её
применения в реальной жизни.
Для освещения основных положений изучалась специальная литература, для
доказательства противоречивости рассмотрены простейшие модели, на которых
справедлива геометрия Лобачевского.
История
развития
геометрии
Геометрия- одна из
древнейших наук.
Её возникновение
связано с
практическими
занятиями
человека.
 Основные принципы
дедуктивного построения
науки впервые были
сформулированы
Аристотелем. Он считал,
что доказывая то или иное
утверждение, необходимо
опираться на ранее
доказанные. Из этого
следует, что существуют
утверждения, с которых
начинается построение
науки. Такие утверждения
называются аксиомами и не
требуют доказательств.
 Основываясь на этих
утверждениях, Евклид
создал свой труд
«Начала», в котором
привел основные
аксиомы и постулаты.
 1.




От всякой точки до всякой точки можно провести
прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно
продолжать по прямой.
3. Из всякого центра и всяким раствором может быть
описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, падающая на две прямые, образует
внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух
прямых, то, продолженные неограниченно, эти две
прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме
меньше двух прямых.
Через точку P, не
лежащую на данной
прямой R, проходит
бесконечно много
прямых, не
пересекающих R и
находящихся с ней
в одной плоскости;
среди них есть две
крайние x, y,
которые и
называются
параллельными
прямой R в смысле
Лобачевского.
Сумма углов
всякого
треугольника
меньше pi и может
быть сколь угодно
близкой к нулю.

Если точкам и прямым на конечном
куске плоскости Лобачевского
сопоставлять точки и кратчайшие
линии (геодезические) на псевдосфере
и движению в плоскости Лобачевского
сопоставлять перемещение фигуры по
псевдосфере с изгибанием, то есть
деформацией, сохраняющей длины, то
всякой теореме геометрии
Лобачевского будет отвечать факт,
имеющий место на псевдосфере. При
этом длины, углы, площади
понимаются в смысле естественного
измерения их на псевдосфере. Но эта
модель является локальной
интерпретацией геометрии,
неспособной отобразить всю
плоскость Лобачевского.
 Плоскостью служит
внутренность круга,
прямой — хорда круга
без концов, а точкой —
точка внутри круга.
«Движением» назовём
любое преобразование
круга в самого себя,
которое переводит
хорды в хорды.
 В модели Пуанкаре в круге за
плоскость Лобачевского
принимается внутренность круга
(изображено на иллюстрации) в
евклидовом пространстве;
граница данного круга
(окружность) называется
«абсолютом». Роль геодезических
прямых выполняют содержащиеся
в этом круге дуги окружностей
(a,b,b'), перпендикулярных
абсолюту, и его диаметры; роль
движений — преобразования,
получаемые комбинациями
инверсий относительно
окружностей, дуги которых
служат прямыми.
 Сферическая
геометрия- геометрия
положительной
кривизны.
 В наши дни геометрия
Лобачевского
используется в
космонавтике для
прокладывания
дальних маршрутов,
вычисления
траектории полета, в
современной физике и
во многих других
естественных науках.
 Хотелось бы
остановиться на
эволюции принципа
относительности в
физике и её связи с
геометрией.
 Теория относительности
– теория, описывающая
универсальные
пространственновременные свойства
физических процессов.
 Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет




ничего общего с Евклидовой.
Миф второй. В теории Лобачевского параллельные
прямые пересекаются.
Миф третий. Геометрия Лобачевского единственная неевклидова геометрия.
Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не
применима в реальной жизни.
Миф пятый. Лобачевский первым создал
неевклидову геометрию.
В процессе работы рассмотрены основные положения геометрии Лобачевского,
доказана её непротиворечивость, указаны некоторые сферы её применения в
реальной жизни: в физике( в частности астрономии и космонавтике) и многих
других естественных науках. Работа показывает существование геометрии,
отличной от Евклидовой, ее суть и развитие.
 Изучая литературу я понял ,что из неевклидовой геометрии пошел новый научный
замысел. В прежние времена одна научная теория сменяла другую, стирая
прежнюю. Теперь стала действовать другая схема: теория, объясняющая явления по
существу, но все же с дефектами в отдельных пунктах, заменяется более общей,
содержащей параметры, при частных значениях которых она возвращается к
установившейся. На основе идей Н.И. Лобачевского геометрия разрослась в
огромное здание, в котором, изучаемая нами, геометрия Евклида составляет
основной камень в его фундаменте. Неевклидова геометрия почти полностью
решила задачу обоснования геометрии Евклида и дала схему обоснования всякой
дедуктивной науки. Неевклидова геометрия получила применение в анализе и
теории функций –одном из основных вопросов теории познания. Она в широком
смысле составляет базу важнейших учений современной физики. Развитие
неевклидовой геометрии продолжается.
 Поставленная перед проектом цель достигнута.

 1.








Александров П. С. Что такое неевклидова геометрия. – М.: УРСС,
2007.
2.
Башмакова И.Г. Как возникла геометрия. В кн. ДЭ, 2-е изд. Т.2 1964.
С.293-299.
3.
Иовлев Н. Н. Введение в элементарную геометрию и
тригонометрию Лобачевского. — М.-Л.: Гиз., 1930.
4.
Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. – М: Гостехиздат, 1955.
5.
Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. – М.: Изд-во
«Знание», 1984.
6.
Клайн М. Математика. Поиск истины. – М.: «Мир», 1988.
7.
Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований
геометрии. – М.: Учпедгиз, 1950.
8.
Сосов Е.Н. Геометрия Лобачевского и её применение в специальной
теории относительности. – Казань: 2012.
9.
Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения / 2-е изд. М.:
ГИФМЛ, 1961.