Итоговая консультация перед ЕГЭ 2012

loga x  b
a0
a 1
х0
a x
b
logaa = 1
a
loga b
=b
logc b
loga b =
logc a
r
logab = r logab
logab + logaс = logabс
logab – logaс = loga b
с
1
loga b =
logba
logab logba = 1
1
log rb = r log rb
a
a
1) Формулы приведения
Sin,сos,tg,ctg
𝜋
2
∓ 𝛼 = ! Cos,sin,ctg ,tg𝛼
Sin,сos,tg,ctg 𝜋 ∓ 𝛼 = ! Sin,cos,tg ,ctg𝛼
2) Основные
тригонометрические тождества
2
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1
1
2
𝑡𝑔 𝑥 + 1 =
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1
2
𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 1 =
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
Формулы двойного угла
sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos   sin 
2
2
sin x  1
x

2
 2n, n  Z
sin x  1
3
x
 2n, n  Z
2
sin x  0
tgx  0
x  n, n  Z
cos x  1 x  2n, n  Z
cos x  1
cos x  0
x    2n, n  Z
x

2
 n, n  Z
cos x  a
x   arccos a  2n, n  Z
x   arccos a  2n, n  Z
x   arccos a  2n, n  Z
a
sin x  a
x  arcsin a  2n, n  Z
x    arcsin a  2n, n  Z
x   1 arcsin a  n, n  Z
n
a
tgx  a
x  arctga  n, n  Z
a
Решите уравнение
(2 sin 2 x  cos x  2) log sin x x 2  0
2 sin 2 x  cos x  2  0
log sin x x 2  0
sin x  0
sin x  0
sin x  1
sin x  1
2
2
log
x
 log sin x 1
x 0
sin x
2
2
x
1
21  cos x   cos x  2  0
рад  57 0
x

1
2
 2 cos x  cos x  0
 cos x(2 cos x  1)  0
cos x  0
sin x  0
sin x  1

x  1 рад  57
0
2
3
1
–1
1
cos x  
2
sin x  0
x
2
 2n
3
2
Ответ : x  1; x 
 2n, n  Z
3
f ( x)  tg  k
На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной в точке х0.
х0
Геометрический смысл производной: k = tg α
Угол наклона касательной с осью Ох острый,
значит k >o.
х0
f'
f
+
f' f
f ( x1 )  f ( x2 ) 
 f ( x3 )  f ( x4 )  0
f (x )
f ( x5 )не сущ
x1
x2
x3
x4
x5
x3
т. мин
т. макс
x4
x5
т. излома
x2
т. перегиба
x1
т. макс
+
+
+
f (x)
1;1
2;1
3;1
4;1
5;1
6;1
1;2
2;2
3;2
4;2
5;2
6;2
1;3
2;3
3;3
4;3
5;3
6;3
1;4
2;4
3;4
4;4
5;4
6;4
1;5
2;5
3;5
4;5
5;5
6;5
1;6
2;6
3;6
4;6
5;6
6;6
Два раза:
О
О
Р
Р
О
Р
О
Р
Три раза:
О
О
О
О
Р
Р
Р
Р
О
О
Р
Р
О
О
Р
Р
О
Р
О
Р
О
Р
О
Р
Четыре раза:
О
О
О
О
О
О
О
О
О О
О О
О Р
О Р
Р О
Р О
Р Р
Р Р
О
О
Р
Р
О
Р
О
Р
О
Р
О
Р
О
Р
О
Р
Р
Р
Р
Р
О
О
О
О
Р Р О
Р Р О
Р Р Р
Р Р Р
О
Р
О
Р
f ( x)  x
n
1
f ( x) 
x
n1
f ( x)  nx
1
f ( x)   2
x
f ( x)  x
f ( x) 
1
2 x
f ( x)  sin x f ( x)  cos x
f ( x)  cos x
f ( x)   sin x
𝑥 ′
(𝑒 ) =𝑒
𝑥
1
′
(𝑙𝑛𝑥) =
𝑥
1
′
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥) =
𝑥𝑙𝑛𝑎
sin  
cos  
tg 
противолежаший катет
гипотенуза
прилежащий катет
гипотенуза
противолежаший катет
прилежащий катет
Катет равен произведению

противолежащего угла
sin
Гипотенузы на
cos прилежащего угла
Другого катета на
tg
противолежащего угла
к искомому катету
1
S  ah
2
b

h
1
S  ab sin 
2
a
1
S  ab
2
b
a
S
a
2
4
3
b

S  ah
h
S  ab sin 
a
1
S  d1d 2
2
S  ab
S
S  a2
1
S  ( a  b) h
2
6a
2
4
3
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований
а
ab
l
2
b
Вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается
C
1
АСВ   АВ
2
О
АOВ   АВ
A
B
В прямоугольном
треугольнике центр
описанной
окружности является
серединой
гипотенузы
𝑎 3
ℎ=
2
Сумма углов любого четырехугольника 360
Сумма противоположных углов четырехугольника ,
вписанного в окружность 180
A
C
Дан треугольник
2
3
S1
5
S2 3
S- ?
S3 2
5
1см
S = Sкв– S1 – S2 – S3
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура
(см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
В ответе запишите
.
S

Sкр   r 2
900
радиус
450
Найдем площадь всего круга.
2
кр
S    3  9
S сек
.
5
 9   5,625
8
Полезные формулы
a 3
Sполн  6a
2
куба
a 2
d куба  a 3
d грани  a 2
куба
Площадью полной поверхности призмы
называется сумма площадей всех граней, а
площадью боковой поверхности призмы –
сумма площадей ее боковых граней.
S полн  Sбок  2Sосн
Sбок  Росн h
h
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
равна половине произведения периметра основания на
апофему.
S бок
1
 Росн  h
2
1
S полн  Росн  h  Sосн
2
Р
h
А6
А1
А5
А4
Н
А2
А3
Площадь боковой поверхности
цилиндра- площадь ее развертки
Sбок  2RH
Sбок  rl
S полн  r  rl
2
R – радиус основания конуса,
l – образующая конуса.
V  So  h
V a
V  So  h  r h
2
3
F
Н
1
V = SoH
3
E
A
D
B
C
1
1 2
Vк  So  h  r h
3
3
S  4r
4 3
V  r
3
2
Площадь поверхности шара
Объем шара
От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная
пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю
линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
V1=
1
𝑆осн1
3
∙ ℎ1
V2=
1
𝑆осн2
3
∙ ℎ2
1
Sосн2= Sосн1
4
h2=h1
1
4
V2= ∙ 12 = 3
27115
V2=
1
3
В 11
1
Sосн1
4
3
∙ ℎ1
3
10 х
х
Площадь поверхности
пирамиды
уменьшится в 4 раза
Все ребра пирамиды
уменьшили в 2 раза
Объем пирамиды
уменьшится в 8 раз
А
А1
M
α
D
C
B
Угол между
скрещивающимися
прямыми АВ и СD
определяется как угол
между пересекающимися
прямыми А1M и СD.
при этом А1M|| АВ
А
а
М
Н
Расстояние от
точки до прямой –
длина перпендикуляра
М
Н

Расстояние от точки до
плоскости – длина
перпендикуляра
64
1) Длина их общего перпендикуляра
А
a
АВ  а, АВ  b
 (а, b)  AB
b
В
65
2) Расстояние от одной прямой до плоскости, содержащей
вторую прямую и параллельной первой прямой
А
 (а, b)  AB
a
b
а 
b
В

АВ  
66
3) Расстояние между параллельными плоскостями,
каждая их которых содержит одну из скрещивающихся
прямых
a
В
b
А


 (а, b)  AB
а  ,b  
АВ  
АВ  
 
Алгоритм построения линейного угла.
Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
D
Градусной мерой двугранного
угла называется градусная мера
его линейного угла.
O
Р
К
E
Плоскость линейного угла ( РОК )  DE
А
Угол между
прямой
и
М
Н
плоскостью
угол между
прямой и ее
AM   AM  HM  AMH проекцией на
эту плоскость
АН- перпендикуляр
АМ- наклонная
HM- проекция наклонной