Задачи на нахождение площади сечения многогранника Подготовка к решению задач ЕГЭ Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна, учитель математики, МОУ «СОШ № 6» г. Луга Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и C1. Построим АС = СВ; СС1плоскость - общая сечения, проходящее С1 через вершины A, B и C1. Δ АСС1 = Δ ВСС1 (по двум А1 катетам) Проведем высоту КC1. Значит АС1 = ВС1 Èç ÂÊÑ1 : Δ Èç АВС1- ÂÑÑ равнобедренный 1: 2 2 2 ÊÑ ÂÑ ÂÊ ; 2 2 1 1 В1 2 BÑ1 BÑ ÑÑ1 ; BÑ1 12 12 ; 2 2 BÑ1 2; 2. А 2 1 À ÊÑ1 2 1 7 7 1 2 2 4 S ÀÂÑ1 В 2 2 С BÑ1 К 1 ÊÑ1 S ÀÂÑ1 2 12 ; 3 ÊÑ1 1 ; 4 7 ÊÑ1 . 2 2 Ответ. 2 2 7 4 Н – точка пересечения ABCD – правильная треугольная пирамидамедиан. все ребра которой Применим медиан: медианы равны 1. Найти площадь сечениясвойство пирамиды плоскостью, треугольника пересекаются в проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны отношении 2 к 1, считая от вершины АВ. Построим плоскость проходящее через точки D, C и М. СН : сечения, НМ = 2 : 1. Вся медиана СМ – это 3 части. Δ АВС - равносторонний 2 AB 3 3 2 1 ÑM= СМ (2 СН части) ÑÍ CM 3 2 2 3 3 1 3 DH 2 DC 2 CÍ 2 ; Èç = DÍC НМ СМ :(1 часть) 2 1 DH 2 12 ; 3 2 DÍ 2 ; 3 Н М DÍ Ответ. 2 4 2 . 3 1 ÑM DH 2 1 3 2 2 2 2 4 3 S DÑÌ S DÑÌ Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BB1 и DD1. АКСпроходящее Построим плоскость сечения, через вершину A и точки К и М. 1М – параллелограмм BD AC BD ( ACC1 ) BD AC1 АС КМ = BD = = 2 BD CC1 Èç KM ÀÑÑ BD 1 :KM AC1 2 2 2 Çíà÷èò ÀÊÑ Ì ÀÑ1 ÀÑ 1 ÑÑ1ðîìá ; ÀÑ1 2 2 1 ; ÀÑ1 5; 2 ÀÑ1 5 . Ответ. 6 2 2 S ÀÊÑ1Ì 2 S ÀÊÑ1Ì 1 ÀÑ1 ÊÌ 2 1 6 3 2 2 2 Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершину В и точки E и F на ребрах A1В1 и В1C1 соответственно, если В1E = 5A1E и C1F = 5В1F. Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, Е и F. Δ ВEF - произвольный 2 2 5 1 26 Èç Â1 EF : EF EB1 B1F 6 6 36 2 2 5 6 E 1 6 F 2 EF 26 6 BF 37 6 2 37 1 Èç BÂ1F : BF BB1 B1F 1 36 6 2 2 2 2 2 61 61 5 Èç BÂ1 E : BE BB1 B1 E 1 BE 36 6 6 2 2 2 По теореме косинусов: BE BF EF 2 BF FE cos BFE 2 2 2 2 BF 2 EF 2 BE 2 1 cos BFE 2 BF EF 962 sin BFE 1 cos 2 BFE 1 1 BF EF sin BEF 2 1 37 26 31 31 2 6 6 962 72 S BEF S BEF 31 Ответ. 72 1 31 962 962 Найти площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AD, BC и SC. Построим плоскость сечения, проходящее через точки N, К и М. KM CD KM ( SCD) KM PN 1 1 1 1 DC= КР= МN= AS = 2 2 2 ëèíèÿ SCD 2PN ñðåäíÿÿ КМ=PN АВ =1, CDPN= CN 1NS 1 1 1 ÊÍ ( KM PS ) 1 DP2 PS 2 2 4 KDP Èç ÊÐÍ : MCN (ïî äâóì ñòîðîíàì 1 è óãëó S KPSM PS KM PH 2 2 ÐÍìåæäó ÊÐíèìè ÊÍ) 2 ; KP MN 2 2 2 11 3 1 1 2 КPSМ – равнобедренная трапеция S 1 ÐÍ ; KPNM 22 4 2 4 ÐÍ 1 2 1 4 2 ÐÍ 3 ; 16 S KPNM 3 3 16 3 . 4 Ответ. 3 3 16 Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, C и D1. Построим плоскость сечения, проходящее через точки A, C и D1. ÀÑD AC 1F1 3 ïàðàëëåëîã ðàìì ACÀFF AF : Èç 1 AC ( AA1F ) AC AF AC2 AA1 2 2 ÀF1 ÀF FF1 ; Çíà÷èò ÀÑD1F1 ïðÿìîóãîëü íèê ÀF1 12 12 ; 2 ÀF1 2; 2 ÀF1 2 . S ÀÑD1F1 ÀÑ AF1 S ÀÑD1F1 3 2 6 Ответ. 6 Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2CM. Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, D1 и M. Сечением является параллелограмм BMD1K. 2 2 3 Èç ÂMC : ÂÌ 2 Èç MC 1 D1 : ÌD 2 3 1 10 BÑ MC 1 9 3 2 2 2 BM 10 3 MD1 13 3 2 1 3 1 2 13 C1 D1 MÑ1 1 9 3 2 2 2 По теореме косинусов: BD1 BM 2 MD1 2 BM MD1 cos BMD1 2 cos BMD1 2 2 130 sin BMD1 1 cos 2 BMD1 1 S BMD1K BM MD1 sin BMD1 S BMD1K 10 13 63 14 3 3 65 3 Ответ. 14 3 4 63 130 65 Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC. Построим плоскость сечения, проходящее через указанные точки. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника: Сечением является пятиугольник EFGD1H. Площадь проекции многоугольника ADCFE – ортогональной проекция сечения на плоскость ABCD на плоскость равна произведению его площади на 1 7 многоугольника косинус угла между плоскостью 1 ; DR 3 DB 3 и2 SADCFE =SABCD - SBEF = плоскостью проекции. 8 8 4 4 S Èç S DRD cos Èç DRD1 ïð ñå÷ 1 : 2 2 2 DR 3 RD DRìåæäó DD1 ;ïëîñêîñòüþ ãäå 1 óãîë COS DRD1 ñå÷åíèÿ RD1 17 2 è ïëîñêîñòüþ åãî ïðîåêöèè 3 2 2 2 RD1 1 ; D C 4 34 2 RD1 ; F 16 R 34 RD1 . 4 А E B По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника S EFGD1H S ADCFE 7 17 COS DRD1 24 Ответ. 7 17 24 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, B, C1. Ответ. . 2 Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 , проходящее через середины ребер AB, BC, A1B1. Ответ: 2 2 Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер CD, C1D1. Ответ. 5 . 2 Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер SA, SB и SC. Ответ. 0,25. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AA1, BB1, CC1. Ответ. 0,5. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины B, B1 и середину ребра AC. Ответ. . 3 2 Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, C и C1. Ответ. . 3 1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершины C1 и В и точку E на ребре A1В1, если В1E = 0,4 А1E. Ответ. 6 11 7 В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости основания проведена плоскость, пресекающая боковое ребро. Найти площадь сечения. Ответ. 8 2 Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1. Ответ. 6 2 Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, C и середину ребра С1D1. Ответ: 1 1 8 Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра SC. Ответ: 3 11 16 Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AB, BC и CC1. Ответ: 3 7 16 Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, D и C1. Ответ: 3 7 4 Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BC, DD1. Ответ: 3 21 16 Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1. Ответ. 3 3 4 Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и D1. Ответ: 3 Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD. Ответ. 3 21 4