РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ В

реклама
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
В МНОГОГРАННИКАХ
РАЗРАБОТКА
УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
РЕПКИНОЙ Е.А.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ
1.
Использование свойств
параллельных прямых и плоскостей
2. Метод следов
3. Метод внутреннего проектирования
Использование свойств параллельных
прямых и плоскостей
Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD
проведите плоскость, параллельную плоскости грани
DBC.
1. Анализ.
Допустим, что задача решена и
D
соответствующее сечение МКТ
построено.
Т.к. (МКТ) || (DBC), то грани ADC,
М
ADB и АВС пересекают
параллельные плоскости по
параллельным прямым.
К
В
А
Значит, МК || DB, МТ || DC и
ТК || ВС.
Т
Это даёт возможность выполнить
С
построение.
Использование свойств параллельных
прямых и плоскостей
Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD
проведите плоскость, параллельную плоскости грани
DBC.
2. Построение.
Проведём через точку М
D
в плоскости ADC прямую МТ || DC
(Т АС),
М
а в плоскости ADB – прямую
МК || DB (К АВ)
и соединим точки Т и К.
К
Тогда МКТ - искомое сечение.
В
А
Т
С
Использование свойств параллельных
прямых и плоскостей
Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD
проведите плоскость, параллельную плоскости грани
DBC.
3. Доказательство.
D
По построению МТ || DC и
MK || DB, тогда (MKT) || (DBC)
по признаку параллельности
М
плоскостей.
4. Исследование.
Задача всегда имеет
К
В
А
единственное решение, так как
каждый шаг можно выполнить
Т
однозначно.
С
Использование свойств параллельных
прямых и плоскостей
Задача 2. Постройте сечение прямоугольного
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, которая проходит
через точки К, М, N, где МАА1, NВВ1, К лежит в грани DCC1D1.
В1
С1
А1
D1
N
М
В
А
К
С
D
Ориентир.
Если данный многогранник
содержит
параллельные
грани, которые пересекает
плоскость
сечения,
то
линии пересечения секущей
плоскости с этими гранями
параллельны.
/Свойство
параллельного
проектирования/
Использование свойств параллельных
прямых и плоскостей
Задача 2. Постройте сечение прямоугольного
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, которая проходит
через точки К, М, N, где МАА1, NВВ1, К лежит в грани DCC1D1.
В1
С1
А1
N
М
Т D1 К
В
А
1. Точки М и N принадлежат секущей
плоскости и лежат в одной грани
АВВ1А1, поэтому их можно соединить
отрезком MN.
Е 2. Т.к.
С
D
Решение.
DCC1D1||АВВ1А1,
то
секущая
плоскость пересекает грань DCC1D1 по
прямой ТЕ, проходящей через точку К
параллельно MN.
3. Соединив точки М, Т, Е и N получим
искомое сечение – четырёхугольник
МТЕN.
Метод следов

Содержание метода
а
А
с

С
b
Для
получения
следа
(т.е.
прямой b) плоскости  на плоскости

достаточно
найти
точки
пересечения
двух
прямых
плоскости  с плоскостью  (т.к. две
точки, например А и С, однозначно
определяют прямую b).
Необходимо помнить, что точка
пересечения какой-либо прямой а
плоскости  с плоскостью  всегда
лежит на следе плоскости  на
плоскости  (т.е. на прямой b).
Метод следов

Содержание метода
а
А
с

С
b
Для
получения
следа
(т.е.
прямой b) плоскости  на плоскости

достаточно
найти
точки
пересечения
двух
прямых
плоскости  с плоскостью  (т.к. две
точки, например А и С, однозначно
определяют прямую b).
Если рассматривать параллельное
(или центральное) проектирование,
то, для того, чтобы найти точку
пересечения прямой с плоскостью
проекции, достаточно найти точку
пересечения прямой с её проекцией
на эту плоскость.
Метод следов
Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно
скрещивающихся рёбрах куба.
В1
L
А1
К
А
С1
D1
В
L1
С
D
М
Решение.
1. Построим проекции точек K, L, M на
плоскость
основания
ABCD.
Проекциями
будут
соответственно
точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.
Метод следов
Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно
скрещивающихся рёбрах куба.
В1
L
С1
А1
К
А
Р
D1
В
L1
С
D
М
Решение.
1. Построим проекции точек K, L, M на
плоскость
основания
ABCD.
Проекциями
будут
соответственно
точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.
2. Построим точку Р пересечения LK и
L1А.
Метод следов
Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно
скрещивающихся рёбрах куба.
В1
L
С1
А1
К
А
Р
L1
В
Н
Решение.
1. Построим проекции точек K, L, M на
плоскость
основания
ABCD.
Проекциями
будут
соответственно
D1
точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.
2. Построим точку Р пересечения LK и
L1А.
3. Прямая МР – след секущей плоскости
С
на плоскости основания, а точка Н –
точка пересечения МР и АD и ещё одна
М
точка сечения куба.
D
Метод следов
Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно
скрещивающихся рёбрах куба.
В1
F
L
С1
А1
К
А
Р
D1
Н
4. Далее,
используя
параллельность
противоположных граней куба, строим
LF || МН.
Соединяем F и К.
Строим МЕ || FК.
L1
В
Е
Решение.
С
D
М
Соединяем полученные точки сечения
и получаем шестиугольник КНМЕLF –
искомое сечение.
Метод внутреннего проектирования
Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно
скрещивающихся рёбрах куба.
L
В1
С1
А1
К
А
D1
В
L1
Х1
D
М
Решение.
1. Построим проекции точек K, L, M на
плоскость
основания
ABCD.
Проекциями
будут
соответственно
точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.
2. Будем искать точку Е пресечения
секущей плоскости с ребром СС1:
проекцией точки Е на плоскость
С
основания является точка С. Соединим
четыре точки-проекции отрезками АС
и L1М, обозначим точку пересечения Х1.
Метод внутреннего проектирования
Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно
скрещивающихся рёбрах куба.
L
В1
С1
А1
D1
Х
К
А
В
L1
С
Х1
D
М
Решение.
2. * Точка Х1 – проекция некоторой точки
Х секущей плоскости, в которой
пересекается прямая LM с пока ещё не
определённой прямой КЕ. Проведём
через Х1 прямую ХХ1 || LL1, в
пересечении ХХ1 и ML получим точку
Х.
Метод внутреннего проектирования
Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно
скрещивающихся рёбрах куба.
L
В1
F
С1
А1
D1
Х
К
А
В
L1
Х1
D
М
Решение.
3. Теперь проводим прямую КХ до
пересечения с ребром СС1 и получаем
точку Е.
Е 4. Дальнейшие построения опираются на
параллельность
противоположных
граней
куба,
которые
секущая
плоскость пересекает по параллельным
С
прямым:
Соединяем М и Е.
Строим КF ||МЕ.
Соединяем Е и L.
Метод внутреннего проектирования
Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно
скрещивающихся рёбрах куба.
L
В1
F
С1
А1
D1
Х
К
А
В
H
L1
Х1
D
М
Решение.
3. Теперь проводим прямую КХ до
пересечения с ребром СС1 и получаем
точку Е.
Е 4. Дальнейшие построения опираются на
параллельность
противоположных
граней
куба,
которые
секущая
плоскость пересекает по параллельным
С
прямым:
Строим MH || FL.
Соединяем К и Н, L и Е и получаем
шестиугольник КНМЕLF – искомое
сечение.
Применение методов построения сечений
многогранников при решении заданий С2
Задача 4 (ЕГЭ, 2012). Точка Е – середина ребра АА1 куба
ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью C1DЕ,
если рёбра куба равны 2.
Решение.
С1 1. Т.к. точки Е, D и D, С1 попарно
В1
К
А1
D1
Е
С
В
А
D
Ответ: 4,5
принадлежат одной грани, можем
соединить их отрезками.
2. Т.к.
DCC1D1||АВВ1А1,
то
секущая
плоскость пересекает грань АВВ1А1 по
прямой ЕК, параллельной DC1.
3. Соединяем К и С и получаем
четырёхугольник ЕКC1D – искомое
сечение.
Дальнейшее решение строится на
рассмотрении вида четырёхугольника
ЕКC1D.
Применение методов построения сечений
многогранников при решении заданий С2
Задача 5 (№161, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев).
Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону
основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры
оснований)
проведена плоскость. Найдите площадь сечения
призмы этой плоскостью.
L1
А1
С1
Решение.
Т
М1
Применим
метод
проектирования:
Е
S
В1
L
А
М
С
O
В
внутреннего
1. Проекцией точки S на плоскость
основания является точка О.
Точки Е и Т сечения будут лежать на
линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1.
Точки Е и Т сечения будут результатом
пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и
лежать на соответственных гранях
призмы.
Применение методов построения сечений
многогранников при решении заданий С2
Задача 5 (№161, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев).
Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону
основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры
оснований)
проведена плоскость. Найдите площадь сечения
призмы этой плоскостью.
D L1
А1
С1
Решение.
К М1
Т
Е
S
В1
L
А
М
С
O
В
2. Через точки В и Е, С и Т проведём
линии сечения на гранях призмы до
пересечения с рёбрами верхнего
основания и получим четырёхугольник
ВКDС – искомое сечение.
Дальнейшее решение строится на
рассмотрении вида четырёхугольника
ВКDС.
𝟒𝒂𝟐 𝟑
Ответ:
𝟗
Применение методов построения сечений
многогранников при решении заданий С2
Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В
правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF
сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К –
середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.
Решение.
S
Для начала нужно построить секущую
плоскость КDF.
Применим
метод
внутреннего
проектирования:
К
F
А
Е
В
С
D
Применение методов построения сечений
многогранников при решении заданий С2
Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В
правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF
сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К –
середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.
Решение.
S
К
F
А
В
М
Х
О
Р
С
D
1. Проекцией точки К на плоскость
основания является точка Р.
Проекция вспомогательной точки Х,
принадлежащей секущей плоскости,
будет результатом пересечения ОС и
PD.
Проведём KD и линию, параллельную
SO до пересечения с KD – получим
Е
вспомогательную точку Х.
FX  SC = М – искомая точка секущей
плоскости.
Применение методов построения сечений
многогранников при решении заданий С2
Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В
правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF
сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К –
середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.
Решение.
S
2. Проекция вспомогательной точки Y,
принадлежащей секущей плоскости,
будет результатом пересечения ОA и
PF.
Проведём KF и линию, параллельную
SO до пересечения с KF – получим
вспомогательную точку Y.
DY  SA = L – искомая точка секущей
Е
плоскости.
К LY
F
А
В
О
Р
С
D
Применение методов построения сечений
многогранников при решении заданий С2
Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В
правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF
сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К –
середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.
Решение.
S
Соединив полученные точки L и M с К,
D и F, получим искомую плоскость
КDF,
(MКLDF – пятиугольник,
изображающий искомую плоскость).
Дальнейшее решение строится на
нахождении расстояния от точки А до
плоскости пятиугольника MКLDF.
L
К
F
А
М
В
Е
О
Р
С
Ответ:
D
𝟓 𝟑𝟗
𝟏𝟑𝟗
Применение методов построения сечений
многогранников при решении заданий С2
Задача 6 (Пример 52, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев).
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра
которой равны 1, найти угол между прямой АВ1 и плоскостью АСЕ1.
А1
А1
Решение.
А1
А1
С
D
В
Е
F
А
Для начала нужно построить секущую
плоскость АСЕ1.
Применим
метод
внутреннего
проектирования:
1. Проекцией точки Е1 на плоскость
основания является точка Е.
Точки Е и Т сечения будут лежать на
линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1.
Точки Е и Т сечения будут результатом
пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и
лежать на соответственных гранях
призмы.
Источники информации
 Нелин Е.П. Комплексная подготовка к ЕГЭ и
ГИА. Геометрия. 7-11 классы. – 2-е изд., испр. –
М.:ИЛЕКСА, 2012
 www.alexlarin.net – сайт по оказанию
информационной поддержки студентам и
абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению
в ВУЗы и изучении различных разделов высшей
математики (Пособие для решения заданий С2,
авт. Корянов А.Г., Прокофьев А.А.)
Скачать