Вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон – цилиндр

Тема
A
Понятие о телах
вращения.
Тема урока
•Говорят, что фигура Ф в
пространстве получена вращением
фигуры F вокруг оси а , если точки
фигуры Ф получаются
всевозможными поворотами точек
фигуры F вокруг оси а. Фигура Ф при
этом называется фигурой вращения.
Вращение точки А
вокруг прямой а –
окружность.
Вращение
Вращение прямоугольника
окружности вокруг её
вокруг одной из его
диаметра – сфера.
сторон – цилиндр.
Вращение
прямоугольного
треугольника вокруг
одного из катетов –
конус.
Вращение окружности вокруг прямой,
лежащей в плоскости окружности и не
имеющей с этой окружностью общих
точек – тор.
Вращение трапеции,
один из углов
которой является
прямым, вокруг
боковой стороны –
усечённый конус.
Вращение эллипса
вокруг его оси–
эллипсоид
вращения.
Вращение параболы
вокруг её оси –
параболоид
вращения.
Вращение гиперболы
вокруг её оси –
гиперболоид
вращения.
Прямой круговой цилиндр
и его элементы.
Тема урока
Цилиндр это тело вращения, которое
состоит из двух кругов,
совмещаемых параллельным
переносом, и всех отрезков,
соединяющих соответствующие
точки этих кругов.
Примеры цилиндров
Слово цилиндр означает от
греческого слова
“валик”, “каток”.
Круги называются основаниями
цилиндра.
Основания
цилиндра
Отрезки, соединяющие
соответствующие точки
окружностей кругов называются
образующими цилиндра.
AB, CD – образующие цилиндра
C
A
Образующие
цилиндра
B
D
Сколько образующих имеет цилиндр?
Радиус цилиндра – это радиус его
основания.(OA)
Высота цилиндра – расстояние между
плоскостями оснований. (ОО1)
Ось цилиндра – прямая, проходящая через
центры оснований.

Ось
Радиус
O
A
Высота
O1
Цилиндр называется прямым, если
его образующие перпендикулярны
плоскостям основания.
Цилиндр, полученный вращением
прямоугольника ABCD вокруг
стороны AB
Высота
цилиндра
B
A
C
Длина образующей
– высота
цилиндра.
D
Радиус основания –
радиус цилиндра.
Радиус
цилиндра
Осевое сечение цилиндра.
Сечения цилиндра плоскостью,
параллельной и
перпендикулярной оси.
Тема урока
Осевое сечение цилиндра –
сечение цилиндра плоскостью,
проходящей через ось цилиндра.
Задание
•Осевые сечения двух цилиндров равны.
Равны ли высоты этих цилиндров?
Нет
5 см
3 см
3 см
5 см
Сечение цилиндра плоскостью,
параллельной к оси.
Сечение цилиндра плоскостью,
перпендикулярной к оси.
Теорема
• Плоскость, перпендикулярная
оси цилиндра, пересекает его
боковую поверхность по
окружности, равной
окружности основания.
Плоскость, проходящая через
образующую прямого цилиндра и
перпендикулярная осевому сечению,
проведённому через эту
образующую, называется
касательной плоскостью цилиндра.
Задача №1
Радиус основания цилиндра 2 м, высота
3 м. Найдите диагональ осевого сечения.
В
А
О
3м
D
С
О1 2м
Задача №2
Высота цилиндра 24 см, радиус
основания 4 см. Найдите площадь
осевого сечения цилиндра.
В
А
24
D
4
С
Задача №3
Площадь осевого сечения цилиндра
42 см2, высота цилиндра 7 см. Найдите
площадь основания цилиндра.
В
А
7
D
С
Задача №4
Высота цилиндра 6 см, радиус
основания 5 см. Найдите площадь
сечения, проведённого параллельно оси
цилиндра на расстоянии 4 см от неё.
D
С
6
В
А
М
5
4 О
Площадь боковой
поверхности цилиндра
Тема урока
Площадь боковой поверхности
цилиндра
h
B
A
Задание №1
•Точки А и В расположены на видимой
части боковой поверхности цилиндра.
Скопируйте рисунок и проведите отрезок
АВ. Все ли точки отрезка АВ принадлежат
боковой поверхности цилиндра?
Задание №2
•Точки А и В лежат соответственно на
нижнем и на верхнем основаниях
цилиндра, изображённого на рисунке.
Скопируйте рисунок и проведите отрезок
АВ. Определите, все ли точки отрезка АВ
лежат на поверхности цилиндра.
Площадь полной
поверхности цилиндра
Тема урока
Площадь полной поверхности
цилиндра
h
B
A
Задача
•Осевое сечение цилиндра – квадрат,
диагональ которого равна 20 см. Найдите:
1. Высоту цилиндра;
2. Площадь основания цилиндра;
3. Площадь боковой поверхности;
4. Площадь полной поверхности цилиндра.
Объём цилиндра
Тема урока
Призма, вписана в
цилиндр, если её
основания вписаны в
основания цилиндра.
Призма, описана около
цилиндра, если её
основания описаны
около оснований
цилиндра.
Объём цилиндра равен произведению
площади основания на высоту:
V = SоснH =
2
πR H
Задача №1
•Найдите объём тела, полученного при
вращении прямоугольника со сторонами
6 см и 10 см вокруг большей стороны.
C
B
10
A
6
D
Задача №2
•Найдите объём тела, полученного при
вращении прямоугольника со сторонами
6 см и 8 см вокруг прямой, которая
проходит через середины его меньших
сторон.
В
А
8
D
С
6
Задача №3
•Найдите объём тела, полученного при
вращении квадрата со стороной
7 см вокруг прямой, соединяющей
середины противоположных сторон.
В
А
7
D
С
7
Задача №4
• Свинцовая труба (плотность 11,4 г/см3)
имеет длину 5м. Масса 200г. Найдите
диаметр.
V= m: ρ
Решение задач
Тема урока
Задача №1
•Радиус основания цилиндра равен 4см,
площадь боковой поверхности вдвое
больше площади основания. Найдите
объём цилиндра.
A
4
D
Задача №2
•Радиус основания цилиндра равен 6см,
высота в 2 раза меньше длины окружности
основания. Найдите площадь полной
поверхности цилиндра.
A
6
D
Задача №3
•Осевым сечением цилиндра является
квадрат, диагональ которого равна
Найдите объём цилиндра.
В
А
О
D
С
О1
.
Задача №4
•Отрезок, соединяющий конец диаметра
нижнего основания цилиндра с центром
его верхнего основания, равен 2см и
наклонён к плоскости основания под углом
30°. Найдите площадь полной поверхности
цилиндра.
А
2
30°
С
О
D