* Презентация по геометрии по теме: «Подобие фигур» Преподаватель: Петренко Валентина Ивановна Выполнили: Колесникова Анна Фомина Мария Тельных Анна *История возникновения преобразований, преобразования подобия Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. Длинная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании. Инженер и архитектор Дезарг в1630 г. впервые разработал основы математической теории перспективы. Своими трудами он положил начало изучению перспективных преобразований, под которыми в последствии стали понимать отображение фигуры, данной в одной плоскости, на другую плоскость посредствам центрального проектирования или ряда последовательных проектирований. * Растущие потребности технического прогресса требовали научной разработки теории преобразований, обеспечивающей точность отображения объектов на плоскость с соблюдением размеров. Возникшая проблема решалась усилиями многих талантливых людей. Большой вклад в дело исследования взаимнооднозначного соответствия на плоскости и в пространстве сделал немецкий геометр Мёбиус (1746-1818). Позже Ф. Клейн (18491927) положил различные группы преобразований в основу классификаций различных геометрий: аффинной (группа аффинных преобразований), проективной (группа проективных преобразований) и т. д. Частным случаем аффинного преобразования является преобразование подобия, в котором растяжение или сжатие происходит равномерно, т. е. одинаково вдоль каждой координатной оси. * Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. Учение о подобие фигур на основе теории отношении и пропорции было создано в Древней Греции в 5-6 в. в. до н.э. трудами Гиппократа Хеосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. * Символ обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S-первая буква в слове similes, что в переводе означает подобие. Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались при составлении планов, карт, при выполнение архитектурных чертежей различных деталей машин и механизмов. * *Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы. * * ЗАПОМНИТЕ! Теорема 11.1 ГОМОТЕТИЯ ЕСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ. * * Свойства * Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя. * Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками. * Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой. * Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность. * При подобии угол сохраняет величину. * Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом. * Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом. * Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную. * Два треугольника являются подобными, если их соответственные углы равны, или стороны пропорциональны. * Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов). * Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. * *ЗАПОМНИТЕ! ЕСЛИ ФИГУРА F1 ПОДОБНА ФИГУРЕ F2, А ФИГУРА F2 ПОДОБНА ФИГУРЕ F3, ТО ФИГУРЫ F1 И F3 ПОДОБНЫ. *Доказательство * Пусть точки X1 и Y1 – две произвольные точки фигуры F1. При преобразовании подобия, фигура F1 переходит в фигуру F2, при этом точки X1 и Y1 переходят в X2 и Y2 так, что X2Y2 = k1*X1Y1 * Соответственно преобразование подобия переводит фигуру F2 в F3 и X3Y3 = k2*X2Y2. * Следовательно, X3Y3 = k2*X2Y2=k2*k1*X1Y1. * Как видно, что преобразование фигуры F1 в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Значит фигуры F1 и F3 подобны. Теорема доказана. * *ЗПОМНИТЕ! * Теорема 11.2 ЕСЛИ ДВА УГЛА ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ ДВУМ УГЛАМ ДГУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ. *Доказательство Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠CAB = ∠ C1A1B1, ∠ ABC = ∠ A1B1C1. Докажем, что Δ ABC подобен Δ A1B1C1. Пусть k = AB:A1B1. Подвергнем Δ A1B1C1 гомотетии с коэффициентом k. Получится некоторый Δ A2B2C2. Δ A2B2C2 = Δ ABC по второму признаку равенства треугольников (∠ C2A2B2 = ∠C1A1B1 = ∠ CAB, ∠ A2B2C2 = ∠ A1B1C1 = ∠ABC так как преобразование подобия сохраняет углы, A2B2 = kA1B1 = AB, по условию). Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 гомотетичны, следовательно подобны. Δ A2B2C2 = Δ ABC, следовательно подобны тоже, а значит треугольники A1B1C1 и ABC подобны. Теорема доказана. * *ЗАПОМНИТЕ! * Теорема 11.3 ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ДВУМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА И УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ЭТИМИ СТОРОНАМИ, РАВНЫ, ТО ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ. *Доказательство *Признак подобия треугольников по трём сторонам *ЗАПОМНИТЕ! * Теорема 11.2 Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. *Доказательство * *Запомните! *Для подобных прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу. *Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. *Запомните! *Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. *Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. *Контрольные вопросы * Что такое преобразование подобия? * Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)? * Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. * Какие фигуры называются подобными? * Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников? * Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам. * Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. * Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам. *Контрольные вопросы *Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. *Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. *Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.