УРОК – АУКЦИОН ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА Учитель Петрова В.А.

УРОК – АУКЦИОН
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА
(УРОК В 8 КЛАССЕ)
Учитель Петрова В.А.
•Вопросы по теме: «Теорема Пифагора».
1. Сформулируйте теорему Пифагора.
2. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора.
3. Как называется треугольник, у которого стороны равны 3, 4, 5?
4. Как называется прямоугольные треугольники, у которых длины сторон –
целые числа?
5. Как найти катет прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза
и другой катет?
•Вопросы по теме: «Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника».
.
1. Что называют синусом острого угла прямоугольного треугольника?
2. Что называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника?
3. Что называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?
4. Укажите два выражения с равными значениями:
, tg 300,
.
5. Из следующих выражений выберите выражения с наименьшим значением:
tg 600,
•Вопросы по теме: «Подобные треугольники».
1. Для того чтобы доказать подобие треугольников по первому признаку, необходимо
доказать, что:
•Все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого
треугольника.
•Хотя бы два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого
треугольника.
•Один угол треугольника соответственно равен одному углу другого треугольника.
2. Сформулируйте второй признак подобия треугольников.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого
треугольника, значит:
•Треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
•Такие треугольники равносторонние.
• Треугольники подобны по третьему признаку подобия треугольников.
4. Чему равно отношение периметров
подобных треугольников?
5. Чему равно отношение площадей
подобных треугольников?
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…
(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо
Заповеди Пифагора
и его учеников
•Делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не
принудит раскаиваться;
•Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему,
что следует знать;
•Не пренебрегай здоровьем своего тела;
•Приучайся жить просто и без роскоши.
Задача на 1 балл
Решение
•АВ2 = АС2 + СВ2 по теореме Пифагора
•СВ2 = АВ2 – АС2
•СВ2 = 132 – 122; СВ = 5м
Ответ: на расстоянии 5 метров нужно
отодвинуть нижний конец лестницы от
стены.
Задача на 2 балла
B
?м
C
K
8м
A
4м
D
Два дерева высотой 8 м и 4 м
находятся на расстоянии 3 м друг
от друга.
Между их верхушками натянута
веревка. Найти её длину.
3м
Решение
•КС = АД =3 м (КС и АД расстояние между двумя
параллельными отрезками)
•КА = СД = 4 м (противоположные стороны
прямоугольника)
•ВК = ВА – КА (по свойству отрезков)
•ВС2 = ВК2 + КС2 ( по теореме Пифагора)
•ВС2 = 42 + 32 , ВС = 5 м
Ответ: длина верёвки 5 метров.
Задача на 3 балла
“На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи
У тополя как велика высота?”
РЕШЕНИЕ
СД = СВ + ВД– по
свойству длин отрезков.
 СД = СВ + АВ, т. к. ВД = АВ
по условию.
 АВ2 = AC2 + ВС2 - по
теореме Пифагора.
 АВ2 = 32 + 42; АВ = 5
 СД = 3 + 5 = 8 футов.
 Ответ: высота дерева 8
футов

Решение прямоугольных треугольников с помощью
синуса, косинуса, тангенса острого угла.
Прямоугольный треугольник имеет широкое
применение в повседневной жизни, многие
геометрические и практические задачи сводятся к
вычислению элементов прямоугольного
треугольника. Решив треугольник мы сможем….
НАЙТИ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ КОРАБЛЕМ И
САМОЛЕТОМ
ИЗМЕРИТЬ ВЫСОТУ БАШНИ

h
НАЙТИ ШИРИНУ РЕКИ
Х
α
«Кт о хочет ограничит ься наст оящим без
знания прошлого, т от никогда его не
поймет »
Лейбниц
II в. до н.э. - Греция (Гиппарх) - без названия
IV в. - Индия (Ариабхата) - «ардхаджива» (полутетива)
«джива» (тетива)
IX в. - Арабские государства - «джайб» (впадина)
XII в. - государства Европы - «sinus» (впадина)
XVII в. - «completely sinus» (дополнительный синус) -«cosinus»
X в. - Абу-ль-Вафа, XIV в. - Региомонтан, XVI в. - Томас Финке «tangens» (касающийся) - «tg»
XVII в. - Уильям Отред, Леонард Эйлер - «sin», «cos»
В IV-V веках в трудах по
астрономии великого индийского
учёного Ариабхаты (476-ок.550).
Отрезок CB он назвал ардхаджива
(ардха –половина, джива – тетива
лука, которую напоминает хорда).
Позднее появилось более краткое
название джива. Арабскими
математиками в IX веке это слово
было заменено на арабское слово
джайб (выпуклость). При переводе
арабских математических текстов в
XIIвеке оно было заменено
латинским синус (sinus –изгиб,
кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус –
это сокращенное латинское выражение
complementy sinus, то есть «дополнительный
синус» ( или иначе «синус дополнительной
дуги»)
Тангенсы возникли в связи с решением
задачи об определении длины тени.
Тангенс, а также котангенс, введен в XI в.
Арабским математиком Абу-л-Вафой,
который составил и первые таблицы для
нахождения тангенсов и котангенсов.
Однако эти открытия долгое время
оставались неизвестными европейским
ученым, и тангенсы были заново открыты
в XIVвеке сначала английским ученым
Т.Брадвердином, а позднее немецким
математиком Региомонтаном(1467г.).
Само название «тангенс», происходящее
от латинского слова «tanger» (касаться),
появилось лишь в 1583 году.
Современный вид тригонометрии
придал крупнейший математик XVIII
столетия Леонард Эйлер (17071783),швейцарец по происхождению,
долгие годы работавший в России и
являвшийся членом Петербургской
академии наук. Именно Эйлер
первым ввел известные определения
тригонометрических функций, стал
рассматривать функции
произвольного угла, получил формулы
приведения. Всё это малая доля того,
что за долгую жизнь Эйлер успел
сделать в тригонометрии: он оставил
свыше 800 работ, доказал многие,
ставшие впоследствии
классическими теоремы.
Л.Эйлер
НАЙДИТЕ ВЫСОТУ
ДЕРЕВА
α=30°
S= 9м
Задача на 1 балл
Решение
 tg A=
 BC = АС tg A
 BC = 3
м
В

?
А
300
9м
С
Задача на 2 балла

?м
3м
Решение
=
х=
Х=
х = 30 м
Ответ: 30 метров длина эскалатора.
При проектирование торгового
центра запланирована постройка
эскалатора, для подъёма на
высоту 3м под углом к
горизонту. Найти длину
эскалатора, если
= 0,3
Задача на 3 балла
С
К
18 км
А


Решение
АК = 9 м ( по свойствам равнобедренного треугольника)
=
АС =


В
Склоны горы образуют с горизонтом угол α,
косинус которого равен 0,9.
Расстояние по карте между точками А и В
равно 18 км. Определите длину
пути между этими точками через вершину
горы.
;
АС =
АС =90 км
;
АС + СВ = 180 км ( треугольник равнобедренный)
Ответ: длина пути между этими точками через вершину 180 км.
Задача на 2 балла
ЗАДАЧА НА 2 БАЛЛА
Решение
 Пусть х метров расстояние от столба, на котором висит фонарь до
человека, тогда 10 +х метров длина тени и расстояния от столба,
на котором висит фонарь до человека. Так как на чертеже два
подобных треугольника (подобны по двум углам), то
сходственные стороны пропорциональны, имеем пропорцию:
5,1м
1,7м



10 + х = 30
10м
х = 20 м
Ответ: 20 метров расстояние от человека до фонаря.
Хм
ЗАДАЧА НА 3 БАЛЛА
Решение
Пусть х метров ширина реки NN1 ,тогда х + 49 метров длина отрезка NK.
Так как на чертеже два подобных треугольника (подобны по двум углам), то
сходственные стороны пропорциональны, имеем пропорцию:
х + 49 = 78,4
х = 29,4 м
Ответ: 29,4 метра ширина реки.
Вычислите
угол наклона
Пизанской башни.
.
60 м (длина башни)
50 м
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ.
Ф.И.
На «5»
На «4»
На «3»
18-15
баллов
14-12
баллов
11-8
баллов
В начале В конце
урока
урока