Лекция №4 часть 1

Числовые характеристики
случайных величин
Рассмотренные закон, функция и плотность
распределения являются функциональными
характеристиками случайных величин: они
задаются в виде некоторых функций
возможных значений X. Помимо этого, для
описания случайных величин применяются и
различные числовые характеристики. Каждая
из них, будучи одним числом, описывает
какую-то одну особенность случайной
величины. Но все они в целом дают какое-то
(а иногда и полное) описание случайной
величины.
Прежде всего исследователя обычно интересует
некоторое среднее значение, вокруг которого
группируются все возможные значения
случайной величины. В каждом опыте мы
ожидаем, что проявится это или близкое
значение. Мы будем записывать
математическую формулу для вычисления этой
величины, поэтому она так и называется:
среднее, или математическое ожидание
(сокращенно МО). В англоязычной литературе
применяется термин the mean. Обозначается
оно M(X), или mx, или Mx.
Математическим ожиданием или средним случайной величины X
называется сумма произведений всех возможных значений величины X на
вероятности их появления. При этом слово "сумма" должно пониматься
обобщённо: для дискретной конечнозначной величины – это обычная
сумма:
для дискретной бесконечнозначной – сумма ряда:
а для непрерывной – интеграл:
Математическое
ожидание
случайной
величины – это некоторое средневзвешенное
её значение, где в качестве весов выступают
вероятности появления тех или иных
значений.
Пример. Пусть в некотором магазине, торгующем
электробытовой
техникой,
получены
статистические данные о числе проданных
холодильников в каждый день месяца (условно
считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней).
Эти данные собраны в таблицу:
Количество проданных
холодильников
Число дней, в которые было продано
столько холодильников
0
1
2
3
4
5
3
7
8
9
2
1
Найти
математическое
ожидание
случайной величины, заданной законом
распределения
x
1
0
Р
p
q
• Математическое ожидание случайной величины
характеризует
действительное
ее
среднее
значение, однако этого недостаточно для её полной
характеристики. Необходимо знать насколько
отклоняется случайная величина от своего
математического ожидания.
• Если эти отклонения невелики, то математическое
ожидание достаточно хорошо представляет
случайную величину. Если же отклонения велики, то
есть разброс значений случайной величины (или
рассеяние) велико, то одно математическое
ожидание уже не характеризует случайную
величину существенным образом. Для этого
вводится вторая числовая характеристика дисперсия.
Дисперсия случайной величины характеризует
разброс ее значений относительно
математического ожидания.
Нельзя определить степень отклонения случайной
величины от её математического ожидания по
среднему значению отклонения, т.к. эта величина
равна 0:
Дисперсия Dx случайной величины x определяется
формулой
Dx = M(x – Mx)2.
Дисперсия случайной величины — это
математическое ожидание квадрата отклонения
случайной величины от её математического
ожидания.
Формулу вычисления дисперсии дискретной случайной
величины можно представить в таком виде:
n
D =
2


 xi  M pi
i 1
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений
случайной величины относительно её математического
ожидания. Если все значения случайной величины тесно
сконцентрированы около её математического ожидания и
большие отклонения от математического ожидания
маловероятны, то такая случайная величина имеет малую
дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и
велика вероятность больших отклонений от математического
ожидания, то такая случайная величина имеет большую
дисперсию.
Размерность дисперсии - квадрат случайной величины.
В практических задачах это неудобно. Поэтому ввели понятие
среднеквадратического
или
стандартного
отклонения
случайной величины:
Одной из важнейших характеристик является коэффициент
вариации - это безразмерная величина, использующаяся для
сравнения степени изменения случайной величины
относительно математического ожидания:
Пример 1. Случайная величина а число очков,
выпадающих при однократном бросании
игральной кости. Возможные значения а —
числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность
того, что а примет любое из этих значений,
одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон
распределения?
Законы распределения вероятностей
случайных величин
Равномерное распределение
Величина, имеющая неизменную плотность вероятности,
называется равномерно распределённой непрерывной
случайной величиной.
Погрешности
измерения
параметров
режима,
погрешности технологических параметров оборудования,
фазы высших гармоник тока и напряжения, показатели
качества электроэнергии и др. могут описываться
равномерным распределением.
Равномерным называется распределение вероятностей
случайной величины Х, если на интервале (a, b), которому
принадлежат
все
возможные
значения
X,
дифференциальная функция постоянна:
Математическое ожидание величины Х:
т.е. математическое ожидание соответствует середине интервала
границ существования рассматриваемой случайной величины.
Аналогично можно вывести выражение для дисперсии при
равномерном законе распределения
Дисперсия величины
:
Среднее квадратическое отклонение
Нормальное распределение
Вероятность отклонения распределения случайной
величины X от своего математического ожидания а:

P(| X  a |  )  2

где δ — величина отклонения.
Математическое ожидание
Дисперсия
• Пример. Определить вероятность
показания возможных значений
напряжения на шинах подстанции в
заданный интервал при нормальном
законе распределения, если числовые
характеристики равны:M(U)=10.2 кВ,
СКО=0,2 кВ. Рассмотреть на примере
интервалов:(9,5; 10,5); (0; 11); (U>9,5)KB.
Определить среднеквадратическое
отклонение показаний прибора, если
систематических ошибок он не имеет, а
случайные ошибки распределены по
нормальному закону и с вероятностью 0,79 не
выходят за пределы ±20 мм.
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
0,00
0,00000
0,50
0,19146
1,00
0,34134
1,50
0,43319
2,00
0,47725
3,00
0,49865
0,01
0,00399
0,51
0,19497
1,01
0,34375
1,51
0,43448
2,02
0,47831
3,05
0,49886
0,02
0,00798
0,52
0,19847
1,02
0,34614
1,52
0,43574
2,04
0,47932
3,10
0,49903
0,03
0,01197
0,53
0,20194
1,03
0,34849
1,53
0,43699
2,06
0,48030
3,15
0,49918
0,04
0,01595
0,54
0,20540
1,04
0,35083
1,54
0,43822
2,08
0,48124
3,20
0,49931
0,05
0,01994
0,55
0,20884
1,05
0,35314
1,55
0,43943
2,10
0,48214
3,25
0,49942
0,06
0,02392
0,56
0,21226
1,06
0,35543
1,56
0,44062
2,12
0,48300
3,30
0,49952
0,07
0,02790
0,57
0,21566
1,07
0,35769
1,57
0,44179
2,14
0,48382
3,35
0,49960
0,08
0,03188
0,58
0,21904
1,08
0,35993
1,58
0,44295
2,16
0,48461
3,40
0,49966
0,09
0,03586
0,59
0,22240
1,09
0,36214
1,59
0,44408
2,18
0,48537
3,45
0,49972
0,10
0,03983
0,60
0,22575
1,10
0,36433
1,60
0,44520
2,20
0,48610
3,50
0,49977
• Пример 2. Определить
среднеквадратическое отклонение
показаний прибора, если систематических
ошибок он не имеет, а случайные ошибки
распределены по нормальному закону и с
вероятностью 0,79 не выходят за
пределы ±20 мм.
Пример 1. В партии 10% нестандартных
деталей. Наудачу отобраны четыре детали.
Написать биномиальный закон
распределения дискретной случайной
величины X — числа нестандартных деталей
среди четырех отобранных.
X 0
1
2
3
P 0.6561 0.2916 0.0486 0.0036
4
0.0001
Пример 2. Написать биномиальный закон
распределения дискретной случайной
величины X— числа появлении «герба» при
двух бросаниях монеты.
X
0
1
P
1/4 1/2
2
1/4
Пример. Станок-автомат штампует детали.
Вероятность того, что изготовленная деталь
окажется бракованной, равна 0,01. Найти
вероятность того, что среди 200 деталей
окажется ровно четыре бракованных
Пример 2. Магазин получил 1000 бутылок
лимонада. Вероятность того, что при перевозке
бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти
вероятность того, что магазин получит разбитых
бутылок:
• ровно две;
• менее двух;
• более двух;
• хотя бы одну.