Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет технологий и управления им К.Г. Разумовского» Кафедра «Информационные технологии» Рунге- Кутта Выполнила: Скребцова О.А Студентка 3 курса специальности 230100.62 Руководитель: Николаева С.В Москва 2015 1 Рунге 2 Рунге Карл Дави́д Тольме́ Ру́нге (Carl David Tolmé Runge) (30 августа 1856 — 3 января 1927) — немецкий математик, физик и спектроскопист. Первые годы своей жизни провёл в Гаване, где его отец Юлиус Рунге был датским консулом. Позже семья перебралась в Бремен, где его отец умер (в 1864 году). 3 Рунге Учился в Берлинском университете, в 1880 году получил степень доктора философии по математике, с 1886 года — профессор математики в Ганноверском университете. В 1904 году по инициативе Феликса Клейна приглашён в Университет Георга Августа в Гёттингене и возглавил вновь открытую кафедру прикладной математики. Считается исторически первым немецким математиком по этой дисциплине. 4 Ещё в Ганновере внёс вклад в спектроскопию. Совместно с Г. Кайзером исследовал спектры, интенсивность спектральных линий, различие между искровыми и дуговыми спектрами, установил серии линий для многих элементов, в частности для щелочных и щелочноземельных, открыл ряд закономерностей в их спектрах. В Гёттингене, совместно с М. Куттой разработал методы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений — методы Рунге — Кутты. Исследовал поведение полиномиальной интерполяции при повышении степени полиномов — Феномен Рунге. В области функционального анализа исследовал аппроксимируемость голоморфных функций — теорема Рунге. Известна его работа в области векторного анализа — Вектор Лапласа — Рунге — Ленца. Его именем назван Кратер Рунге на Луне. 5 6 Кутта 7 Кутта Ма́ртин Вильге́льм Ку́тта (нем. Martin Wilhelm Kutta, 3 ноября 1867 — 25 декабря 1944) — немецкий математик. Является соавтором известного семейства методов приближённого интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (методов Рунге — Кутты). Также известен благодаря аэродинамической поверхности Жуковского — Кутты и аэродинамическому условию Кутты, теорема Жуковского в зарубежной литературе называется теоремой Кутты — Жуковского. 8 Кутта Родился в Пичене, Верхней Силезии (современной Бычине, Польша). Учился в Бреславском университете с 1885 по 1890 годы и продолжил обучение в Мюнхене до 1894 года, где стал ассистентом В. Дика (нем.). С 1898 проводит год в университете Кембриджа. Кутта стал профессором в Штутгарте в 1911 году, где продолжал работать до выхода на пенсию в 1935 году. В 1901 году разработал известное семейство методов приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Умер в Фюрстенфельдбруке, Германия. 9 Методы Рунге-Кутты — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. 10 Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков. 11 Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты. Рассмотрим задачу Коши Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле: 12 Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка Вычисление нового значения проходит в четыре стадии: где h- величина шага сетки по x Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок (ошибка на каждом шаге порядка ) 13 Прямые методы Рунге — Кутты Семейство прямых методов Рунге — Кутты является обобщением метода Рунге — Кутты четвёртого порядка. Оно задаётся формулами где h величина шага сетки по и вычисление нового значения проходит в этапов: 14 Неявные методы Рунге-Кутты Все до сих пор упомянутые методы Рунге-Кутты являются явными методами. К сожалению, явные методы Рунге-Кутты, как правило, непригодны для решения жестких уравнений, из-за малой области абсолютной устойчивости. Этот вопрос особенно важен при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Нестабильность явных методов Рунге-Кутты мотивирует развитие неявных методов. Неявный метод Рунге-Кутты имеет вид где 15 Произношение Согласно грамматическим нормам русского языка, фамилия Ку́тта склоняется, поэтому говорят: «Метод Ру́нге — Ку́тты». Правила русской грамматики предписывают склонять все мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный. Единственное исключение — фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге типа Дюма́, Золя́. Однако, иногда встречается несклоняемый вариант «Метод Ру́нге — Ку́тта»