Группой Ли

ГРУППА ЛИ


Группой Ли над полем K ( или ) называется
группа G, снабжённая структурой
дифференцируемого (гладкого)
многообразия над K, причём отображения и
, определённые так:
являются гладкими (в случае поля требуют
голоморфности введённых отображений).

Всякая комплексная n-мерная группа Ли
является вещественной группой Ли
размерности 2n. Всякая комплексная группа
Ли по определению является
аналитическим многообразием, но и в
вещественном случае на любой группе Ли
существует аналитический атлас, в котором
отображения mul и inv записываются
аналитическими функциями.

Названы в честь Софуса Ли. Группы Ли
естественно возникают при рассмотрении
непрерывных симметрий. Например,
движения плоскости образуют группу Ли.
Группы Ли являются в смысле богатства
структуры лучшими из многообразий и, как
таковые, очень важны в дифференциальной
геометрии и топологии. Они также играют
видную роль в геометрии, физике и
математическом анализе.


Группы Ли классифицируются по своим
алгебраическим свойствам (простоте,
полупростоте, разрешимости,
нильпотентности, абелевости)
а также по топологическим свойствам
(связности, односвязности и компактности)

Говорят, что группа Ли G действует на гладком
многообразии M, если задан гомоморфизм
групп a: G → Diff M, где Diff M — группа
диффеоморфизмов M. Таким образом,
каждому элементу g группы G должно
соответствовать диффеоморфное
преобразование ag многообразия M, причём
произведению элементов и взятию обратного
элемента отвечают соответственно композиция
диффеоморфизмов и обратный
диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о
каком действии идёт речь, то образ ag(m) точки
m при диффеоморфизме, определяемом
элементом g, обозначается просто gm.




Группа Ли естественно действует на себе
левыми и правыми сдвигами, а также
сопряжениями. Эти действия традиционно
обозначаются l, r и a:
lg(h) = gh
rg(h) = hg
ag(h) = ghg−1


Другим примером действия является
действие группы Ли G на множестве
смежных классов этой группы по какойнибудь подгруппе Ли N ≤ G:
g (hN) = (gh)N

Действие группы Ли G на дифференцируемом
многообразии M называется транзитивным,
если любую точку M можно перевести в любую
другую посредством действия некоторого
элемента G. Многообразие, на котором задано
транзитивное действие группы Ли. называется
однородным пространством этой группы.
Однородные пространства играют важную
роль во многих разделах геометрии.
Однородное пространство группы G
диффеоморфно G / st x, где st x —
стабилизатор произвольной точки.


Голоморфная функция — функция
комплексного переменного, определённая
на открытом подмножестве комплексной
плоскости и комплексно
дифференцируемая в каждой точке.
В отличие от вещественного случая, это
условие влечёт, что функция бесконечно
дифференцируема и может быть
представлена сходящимся к ней рядом
Тейлора.
Ма́риус Со́фус Ли (норв. Marius Sophus Lie; 17 декабря 1842,
Нордфьордейд, Норвегия — 18 февраля 1899, Христиания, ныне Осло,
Норвегия) — норвежский математик.

Дата рождения:
 17 декабря 1842
 Место рождения:
 Нордфьордейд, Норвегия
 Дата смерти:
 18 февраля 1899 (56 лет)
 Место смерти:
 Осло, Норвегия
 Научная сфера:
 теория групп
 Альма-матер:
Marius Sophus Lie
 Университет Осло
 Известен как:
 создатель теории групп Ли и алгебр Ли

назад

Простая группа — группа, не имеющая
нормальных подгрупп, отличных от всей
группы и единичной подгруппы.
назад

Полупростая группа Ли — связная группа
Ли, не содержащая нетривиальных связных
разрешимых (или, что равносильно,
связных абелевых) нормальных делителей.
назад

В алгебре группа называется разрешимой,
если в ней существует цепочка вложенных
коммутантов, последний из которых
состоит из нейтрального элемента.
назад

ильпотентная группа ― группа G,
обладающая центральным рядом от G0 = {e}
до Gn = G конечной длины.
назад

Абелева или коммутативная группа есть
группа, в которой групповая операция
является коммутативной; то есть группа (G,
* ) абелева если a * b = b * a для любых
двух элементов a, b ∈ G.

Связное пространство — топологическое
пространство, которое невозможно разбить
на два непустых непересекающихся
открытых подмножества.
назад

Односвязное пространство — линейно связное
топологическое пространство, в котором любой
замкнутый путь можно непрерывно стянуть в
точку. Пример: сфера односвязна, а поверхность
тора не односвязна, потому что круги на ней,
показанные красным на рисунке, нельзя стянуть в
точку.

Компа́ктное простра́нство — это
топологическое пространство, в любом
покрытии которого открытыми
множествами найдётся конечное
подпокрытие.
назад