Математическое моделирование многомерных квазистационарных электромагнитных полей в канале электродинамического ускорителя Галанин Михаил Павлович ИПМ им. М.В. Келдыша РАН «Научный сервис в сети Интернет» Абрау-Дюрсо, сентябрь 2015 г. 2 Доклад основан на материалах совместных работ с Юрием Петровичем Поповым, Алексеем Павловичем Лотоцким, Андреем Дмитриевичем Лебедевым, Станиславом Станиславовичем Храмцовским , Константином Константиновичем Миляевым , Сергеем Сергеевичем Уразовым 3 Содержание Введение 1. Исследование эрозии высокоскоростного электрического контакта методами математического моделирования в трехмерном случае 2. Численное моделирование качественных особенностей распределений трехмерных полей в неоднородных подобластях электродинамического ускорителя 3. Численное моделирование квазистационарных электромагнитных полей в многосвязных областях и областях с изменяющимися во времени границами 4. Методы численного моделирования квазистационарных электромагнитных полей в областях с негладкими границами проводящих и диэлектрических подобластей Заключение Публикации Благодарности Введение РАЗГОН ПРОВОДЯЩЕГО МАКРОТЕЛА В КАНАЛЕ РЕЛЬСОТРОНА Принцип ускорения. Схема рельсотрона. Генерация ускоряющей силы и принципиальная схема рельсотрона. 1 направляющий и токоподводящий рельс, 2 - ускоряемое тело (якорь или иная токовая арматура), 3 - силовой бандаж канала, 4 – изолятор 4 Математическая модель процесса электромагнитного ускорения твердых тел1 5 H rot u H E, t rot H 4σ E 4 j, div H 0 Уравнения Максвелла в квазистационарном приближении. СЭЛ - переменные, D/Dt = ∂/∂t + (v, ), ∂/∂t – эйлерова производная, D/Dt – СЭЛ, v – скорость движения области – равна скорости якоря. После введения векторного потенциала A: H rot A , E u rot A DA ( v )A , Dt DA 4 u rot A v, A rot rot A ( ) grad div A , Dt A t 0,rG 0 , 1 rot A t rГ 2 Ψt (r, t ), At rГ1 0 , div A r 0 , A n rГ 0 . 12 22 G – пространственная область, G = G1UG2 G1 - проводник, G2 – диэлектрик, ∂G1 и ∂G2 – границы G1 и G2. Здесь θ (σ) = 0 в G1, θ (σ) = 1 в G2. ∂G = Г1UГ2, Г1 – часть границы ∂G с заданным At, Г2 – часть ∂G, с заданным Ht, Г12 = Г1∩∂G2, ∂G12 = ∂G1 ∩ ∂G2, γ12 = ∂G12UГ12. 1М.П. Галанин, Ю.П. Попов. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах: Математическое моделирование. М. Наука. Физматлит. 1995. 320 с. Определение граничных условий на торцах. Ищем решение, удовлетворяющее начальным и граничным условиям, которое обеспечивает протекание через поперечное сечение заданного тока . E y dS I k S k k 1,2, N Граничный векторный потенциал – решение задачи: A 4 t S k A dS I / dS A k S t k A 0 в G , 2 A t 0 в S , k 1, 2 N, k 0, A 0 на S , A G 0. k Уравнение энергии с учетом фазовых переходов и уравнение движения якоря: D (w, ) ( j, E) div( grad T) Q fr Dt du m arm [ j, H]y dV F fr dt arm Метод конечных разностей 1 : 1 ~ 4π (0.5){[w (0.5) H]3,λ grad λ (A (0.5) , v (0.5) )3 (A λ , λ ) t } λ rog (r~ od A) θ(σ) grad (div A) (0.5) Решение-метод сопряженных градиентов с неполным разложением Холесского. 6 7 Цели работы: развитие математических моделей для описания электромагнитных полей в трехмерных физически и геометрически неоднородных областях канала ускорителей (в том числе с несвязными, негладкими или изменяющимися во времени границами подобластей); - разработка вычислительных алгоритмов для моделирования явлений в указанных областях; - проведение комплекса расчетов с использованием разработанного программного обеспечения для исследования разгона макротел в ускорителях различной конфигурации 8 1. Исследование эрозии высокоскоростного электрического методами математического моделирования в трехмерном случае контакта Экспериментальное исследование: схема и результаты 2 Величина тока и выходного напряжения при ускорении металлического якоря до 2.7 км/с. Размещение системы диагностических зондов в поперечном сечении канала. Вариант 1: ускорение до 1 км/с. 650 700 м/с задний фронт токового распределения начинает перемещаться Вариант 2: ускорение до 2.3 - 2.7 км/с. 100 - 150 мкс надежный металлический контакт, 350 мкс дуговая стадия. 2 Ю.И. Беляков, А.П. Лотоцкий, В.В. Савичев, Ю.А. Халимуллин. Исследование эрозии металлических контактов в рельсотронном ускорителе. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Фундаментальные науки. 1999. № 2. С. 46 - 60. (и[1]) 9 Алюминиевый якорь, фотография контактной поверхности (по стрелке А) со следами эрозии и результат металлографического анализа. 1 - условно прорисованная задняя граница эрозионного следа, 2 – видимая передняя граница зоны эрозии. Схема сечения рельсотрона плоскостями z = const (слева) и y = const (справа): 1 рельс, 2 - U-образный якорь Результаты численного моделирования для второго варианта ускорения Входной ток (в МА). Cкорость якоря (в км/с). Максимальная температура якоря (в К). Координата якоря (в м). По оси абсцисс на всех рисунках время в мсек. 10 11 Jy t = 0.233 мс (плавление) Jz t = 0.233 мс (плавление) Контактная плоскость. 1 – рельс, 2 – якорь, y – направление движения Hx t = 0.233 мс (плавление) 12 Jx t = 0.233 мс (плавление) Плотность тока на различные моменты времени. Контактная плоскость Jx t = 0.366 мс (начало кипения) Jx t = 0.400 мс (кипение) 13 T t = 0.233 мс (плавление) T t = 0.366 мс (начало кипения) Распределения температуры на различные моменты времени. Контактная плоскость T t = 0.400 мс (кипение) 14 T t = 0.450 мс (кипение) T t = 0.480 мс (кипение) Распределения температуры на различные моменты времени. Контактная плоскость T t = 0.499 мс (кипение) 15 Изотермы в якоре (выше 920 К) в сечениях z = const при t = 0.518 мс (конец ускорения): а - 1.04 мм (вблизи плоскости симметрии ускоряемого тела); б - 1.84; в - 2.70; г - 3.67; д - 4.72 (на краю области, занимаемой ускоряемым телом) 16 Основные результаты 1: Время существования надежного электрического контакта металлического типа, полученное в эксперименте, соответствует расчетному времени начала плавления. Момент появления кипения материала якоря соответствует моменту разрушения металлической проводимости. Получено подтверждение наличия тока на передней поверхности металлического якоря. Геометрическая картина волны испарения и скорость тела на выходе, полученные численно, согласуются с полученными в экспериментах. 2. Численное моделирование распределения трехмерных полей в областях с цилиндрической геометрией Первый вариант конфигурации якоря. ( I ) Принципиальная схема рельсотрона: (a)традиционная конфигурация каналa, (b)-рельсы замкнуты в передней части. Второй вариант конфигурации якоря. ( II ) Третий вариант конфигурации якоря. ( III ) 17 18 Основные результаты 2: Получена картина, отражающая качественные особенности пространственного распределения токов и сил Лоренца, действующих на различные элементы якоря. Показана концентрация силы Лоренца на элементах винтового крепления. Получены результаты численного моделирования ускорения якоря с односвязной и неодносвязной областью проводящей части. Исследовано влияние величины тока замыкания на компоненты магнитного поля и плотности тока в различных сечениях расчетной области. 19 3. Математическое моделирование квазистационарных полей в областях с изменяющимися во времени или несвязными границами Проблема: Потеря единственности решения в диэлектрических подобластях (для квазистационарного приближения). Возможность вырождения оператора задачи в указанных областях. Цель: Построение однородных по пространству моделей и алгоритмов, позволяющих вести описание процессов в рассматриваемых областях. I. Области с изменяющимися во времени границами ( случай испарения материала ). Двумерный случай 1 – рельс, 2 – якорь, y – направление движения. Конечно-разностные шаблоны для операторов: rot rot, rot rot - grad div, (rot rot - grad div) на 12 20 21 Испарение ячеек вдоль границы 12 . При введении для выделения единственного решения 0 –нефизический нагрев. Преобразование шаблонов. a – расчетная область после испарения материала двух ячеек (испарился материал двух ячеек с общим ребром 2, b - изменение шаблонов разностной схемы для ребер 1 - 3, c - изменение шаблона для ребра 4 (div A = 0 в G2) . Собственные значения матрицы (M) конечно-разностной аппроксимации уравнений (MA = f) Вариант Наибольшее собственное значение Наименьшее собственное значение lmax / lmin Нет кипения 52.178 1.689·10 -2 3.088·103 =10-5 52.178 2.587·10 -6 2.016·107 0 =10-10 52.178 2.587·10 -11 2.016·1012 Преобраз ованные шаблоны 52.178 1.639·10 -2 3.181·103 Вариант Наибольшее собственное значение Наименьшее собственное значение lmax / lmin Нет кипения 20.457 5.331·10 -5 3.837·105 0 = 10- 20.457 6.906·10 -9 2.963·109 20.457 5.326·10 -5 3.840·105 0 5 Преобраз ованные шаблоны 22 Двумерный случай (v = 0). Трехмерный случай (v = 0). 23 II. Моделирование электромагнитных полей в многосвязных областях 1 G1 G2 Неединственное решение E в G2 в случае несвязной границы 12 , Н – единственно. 1 2 ker (rot A) – не пусто. 1 – рельс , 2 – якорь. 24 Ax Компоненты A (A = - grad f) . A = - grad f - вектор, соответствующий нулевому собственному значению матрицы M: MA0= lminA0 Az 25 Способы получения единственного решения 1. (А, А0)=0 m (MTM +A0A0T)A=MTf (MTM + T A A j j )A = MTf j1 lmin = ((MTM A, A) + (A0A0TA, A))/(A, A) = (||MA||2 + (A0, A)2)/(A,A) > 0. 2. (А, А0)=0 (M +A0A0 T)A m =f A A (M + j T j )A =f j1 lmin = ((M A, A) + (A0, A)2)/(A,A) > 0. 3. |А0(i) | >0, a >0 (M + ae e T)A* i i A=(E-A0A0T)A* m =f T (E A A j j )A* A= k 1 lmin = ((M + aeieiT)A, A)/(A, A) = ((MA, A) + a(A, ei)2)/(A,A) > 0. 26 M – связная граница (пример m – рельсов) Аm1 = - grad f1, , f = 0 (121), f = 0(122) , f = 1(123) Аm2 = - grad f2, f = 0 (121), f = 1(122) , f = 0(123) 1 – рельс , 2 – якорь. Аm1x, Аm1z Аm2x, Аm2z 27 Основные результаты 3: При моделировании испарения ячеек с перестроением разностных схем (в двумерном и трехмерном случаях) обусловленность матриц улучшается на несколько порядков. Устраняется эффект нефизического нагрева диэлектрика. Построены алгоритмы нахождения единственного нормального решения в области c многосвязными подобластями, что обеспечивает надежную сходимость итераций используемого алгоритма. 28 4. Методы численного моделирования квазистационарных электромагнитных полей в областях с негладкими границами проводящих и диэлектрических подобластей Исследование влияния конвективных слагаемых на вид решения . Преобразование математической калибровочных соотношений модели путем изменения E= - DA/Dt + (v, )A + [u, rot A] + grad f = - DA/Dt + grad (v, A) +[w, rot A] + grad f f Первый вариант калибровки Второй вариант калибровки и преобразованная модель = 0 f = - (v,A) 4 (- DA/Dt +[w, rot A]) = rot rot A - () grad div A или 4 (- DA/Dt ) = rot rot A в якоре; 4 (- DA/Dt - [v, rot A]) = rot rot A в рельсе (здесь w = u - v, w = 0 в движущейся части). 29 Ay , сетка 1 1 – рельс, 2 – якорь, f =0 Использованные в расчетах сетки: 1) Nx = 10+10, Ny = 10+10+10; 2) Nx = 20+10, Ny = 20+10+10; 3) Nx = 40+10, Ny = 40+10+10. Ay , сетка 3 f = - (v,A) Сравнение числа итераций для моделирования в двумерном случае различных 30 способов № сетки Момент времени Число шагов по времени с калибровкой φ = 0 Число шагов по времени (φ = -(v,A)) 1 t=0.755 705 25 2 t=0.524 570 22 3 t=0.432 415 35 t=0.428 681 97 3 (повышенная точность) Сетка 1 Суммарное количество итераций, калибровка f = 0. Суммарное количество итераций, калибровка f = -(v,A). Сравнение числа итераций для различных моделирования в трехмерном случае способов Вариант конфигурации 1. Вариант конфигурации 2. Число шагов по времени с калибровкой f = -(v,A) № сетки Момент времени Число шагов по времени с калибровкой f = 0 1 t=0.500 243 77 2 t=0.650 236 89 31 32 Основные результаты 4: Модель с измененной калибровкой позволяет увеличить шаг по времени, необходимый для выполнения условий сходимости итераций с учетом конвективных слагаемых. При этом устраняются экстремумы, обусловленные особенностью решения вблизи угловой точки. После проведения преобразований модель остается однородной по пространству. 33 Основные результаты : - разработаны методы математического моделирования квазистационарных электромагнитных полей в неоднородных областях канала ускорителя (в том числе с изменяющимися во времени, несвязными и негладкими границами подобластей); - построены и программно реализованы вычислительные алгоритмы для моделирования процесса электромагнитного ускорения в указанных областях; - методами вычислительного эксперимента проведено исследование эрозии металлического контакта, а также качественных особенностей распределений электромагнитных полей в канале ускорителя в процессе разгона. 34 Публикации: 1. М.П. Галанин, Ю.П. Попов. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах. Математическое моделирование. М., Наука, Физматлит, 1995, 320 с. 2. М.П. Галанин, В.П. Игнатко, Ю.П. Попов, С.С. Храмцовский. Пространственно трёхмерные расчеты электродинамического ускорения проводящих макротел // ЖТФ. 1995, т. 65, вып. 6, с. 9-20. 3. Галанин М.П., Храмцовский С.С., Плеханов А.В., Попов Ю.П. О влиянии параметров внешнего проводящего экрана на ускорение тела в электромагнитном ускорителе // Журнал технической физики, 1996, том 66, вып. 10, стр. 198-206. 4. Галанин М.П., Плеханов А.В., Савичев В.В. Исследование поведения металлического контакта при электродинамическом ускорении проводящего твердого тела // Теплофизика высоких температур, 1996, том 34, вып. 2, стр. 293-298. 5. М.П. Галанин, В.В. Савичев. Особенности электромагнитного поля и их проявления при моделировании электрического контакта проводящих тел в электродинамическом ускорителе типа рельсотрон // Теплофизика высоких температур, 1997, т. 35, № 4, с. 517-523. 6. M.P. Galanin. S.S. Khramtsovsky, A.V. Plekhanov, and Yu.P. Popov. The use o currents induced within a conducting shield for railgun performance control // IEEE Transaction on Magnetics, Vol. 33, 1, 1997, pp. 544-548. 7. М.П. Галанин, А.П. Лотоцкий, Ю.П. Попов, С.С. Храмцовский. Численное моделирование пространственно трехмерных явлений при электромагнитном ускорении проводящих макротел // Математическое моделирование. 1999. Т. 11. N 8. С. 3-22. 8. A.P. Lototsky, Yu.A. Kareev, A.A. Nikolashin, Yu.A. Halimullin, E.P. Polulyah, M.P. Galanin, S.S. Khramtsovsky. Recent Muzzle-Fed Railgun Experiment on Metal Armature for Arcless Acceleration // IEEE Trans. On Magn., 1999, V. 35. N 1. P.p. 79-85. 9. M.P. Galanin, A.D. Lebedev, K.K. Milyaev. An Investigation of the Effects of Some Properties of Materials on the Characteristics of Armature Acceleration in a Railgun // IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 37. N. 1. January 2001. P.p. 411 – 415. 10. А.П. Лотоцкий, Ю.А. Халимуллин, М.К. Крылов, В.В. Кузнецов, В.В. Савичев, М.П. Галанин. Магнитная конфигурация канала рельсотрона с обращенным токоподводом. Перенос тока в зоне якоря // Препринт ТРИНИТИ № 0083 – А. г. Троицк Моск. обл. 2001 г. 24 с. 11. М.П. Галанин. Компьютерное моделирование в задачах конвертирования электромагнитной и кинетической энергии. Задачи и модели // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2002. - № 4. - С. 109 - 123. 12. M.P. Galanin, Yu.A. Khalimullin, A.P. Lototsky, К.К. Milyayev. 3d Modelling of Electromagnetic Fields in Application to Electromagnetic Launchers // IEEE Transactions on Magnetics. - 2003. - Vol. 39, №. 1. - P. 134 – 138. 13. М.П. Галанин. Компьютерное моделирование в задачах конвертирования электромагнитной и кинетической энергии. Решение задач // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2003. - № 1 - 2. - С. 112 – 127. 14. М. П. Галанин, А. П. Лотоцкий, С. С. Уразов Моделирование эрозии металлического контакта в ускорителе типа рельсотрон // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2004. № 4(15). С. 81 – 97. 15. М.П. Галанин, Ю.П. Попов, С.С. Уразов Математическое моделирование электромагнитных и тепловых полей в многосвязных областях и областях с изменяющимися во времени границами // Мат. моделирование. 2007. Т.19. №4. С. 3-18 . 16. М.П. Галанин, А.П. Лотоцкий, С.С. Уразов. Исследование теплового режима высокоскоростного электрического контакта методами математического моделирования // Инженерно-физический журнал. 2007. Т.80. №3. С.169-176. 17. М. П. Галанин, С. С. Уразов. Численное моделирование квазистационарных электромагнитных полей в областях с негладкими границами проводящих и диэлектрических подобластей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2007. – № 4. – С. 45 – 56. Благодарности Организаторам за приглашение Всем присутствующим за внимание Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-01-03073) Галанин Михаил Павлович galan@keldysh.ru