Национальный исследовательский Томский политехнический университет Лектор Новосельцева Мария Викторовна Ассистент кафедры Теоретической и прикладной механики Кручение Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T . Этот вид деформации возникает при приложении к брусу пар сил, плоскости действия которых перпендикулярны его оси. Такие брусья принято называть валами. ПРИМЕР К стальному валу постоянного поперечного сечения приложены четыре внешних скручивающих момента: M1 1,5кН м; M 2 5,5кН м; M 3 3,2кН м; M 4 1,8кН м Длины участков стержня: a 1,5 м; b 1,5 м; c 1,5 м; d 1,5 м; Требуется: • построить эпюру крутящих моментов; • построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня; • построить эпюру напряжений. M1 MA а M3 M2 b c M4 d Определение момента сил в заделке Определяем момент сил в заделке: M A M1 M 2 M 3 M 4 0 или M A M1 M 2 M 3 M 4 2кН м Определение крутящих моментов Сечение 1-1 : Т1 М 4 1,8кН м M1 MA а M3 M2 b c I I d M4 Сечение 2-2 : Т 2 М 4 М 3 5,0кН м M1 MA M2 II II а b c M3 I I d M4 Сечение 3-3 : Т 3 М 4 М 3 М 2 0,5кН м M1 MA а III III b M2 II II c M3 I I d M4 Сечение 4-4 (рассматриваем левую часть) : Т 4 М А 2кН м MA IV M1 III IV III b а M2 II II c M3 I I d M4 MA IV M1 III IV III b а 2,0 T, кН м M2 II M3 II I M4 I d c 2,0 + 0,5 Эпюра крутящих моментов 0,5 5,0 1,8 5,0 1,8 Определение напряжений Наибольшие касательные напряжения возникают в точках на поверхности вала: max где Wp Jp r Tr T J p Wp (7) - полярный момент сопротивления (моментом сопротивления при кручении) Полярный момент инерции для круглого сечения: d 4 Jp 0,1d ; d = 7 см 32 4 J p = 240,1 Полярный момент сопротивления: Wp Jp r W p = 240,1/3,5= 68,6 𝜏1 = 𝑇1 𝑊𝑝 = 𝜏2 = 𝑇2 𝑊𝑝 𝜏3 = 𝑇3 𝑊𝑝 𝜏4 = 𝑇4 𝑊𝑝 −180 68.6 = −2,63 = −500 68.6 = 50 68.6 = 200 68.6 = −7,29 = 0,72 = 2,91 MA IV M1 III IV III b а 2,0 T, кН м M2 II II M4 I d c 2,0 0,5 + Эпюра крутящих моментов 0,5 2,91 𝜏 I M3 5,0 2,91 + 0,72 1,8 1,8 5,0 0,72 Эпюра напряжений 7,29 2,63 7,29 2,63 Определение углов закручивания Полярный момент инерции для круглого сечения: 4 d 4 Jp 0,1d 32 Вычисляем крутильную жесткость: GJ p 0,8 10 0,1 7 192 10 кН см 4 4 4 2 Углы закручивания на участках: - участок АВ T4a 200 150 AB 0,0156 рад 4 GJ p 192 10 MA IV M1 III C B A IV а M2 II III b M3 I E D II c M4 I d Углы закручивания на участках: - участок ВС T3в 50 200 0,0052 рад 4 GJ p 192 10 ВС MA IV M1 III C B A IV а M2 II III b M3 I E D II c M4 I d Углы закручивания на участках: - участок CD T2c 500 100 CD 0,0260 рад 4 GJ p 192 10 MA IV M1 III C B A IV а M2 II III b M3 I E D II c M4 I d Углы закручивания на участках: - участок DE DE T3в 180 120 0,0113 рад 4 GJ p 192 10 MA IV M1 III C B A IV а M2 II III b M3 I E D II c M4 I d Угол закручивания в заделке равен нулю: A 0 Поэтому: B A AB 0 0,0156 0,0156 рад С B BC 0,0156 0,0052 0,0208 рад D C CD 0,0208 0,0260 0,0052 рад E D DE 0,0052 0,0113 0,0165 рад MA IV M1 III IV III b а 2,0 II II M4 I d c 0,5 Эпюра крутящих моментов 0,5 2,91 𝜏 I M3 2,0 + T, кН м M2 1,8 2,91 0,72 + 0,72 5,0 5,0 Эпюра напряжений 0,0156 0,0208 1,8 2,63 2,63 7,29 Эпюра углов закручивания 𝜑 0,0052 0,0165