МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ. L/O/G/O

МЕТОД
ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ
ОКРУЖНОСТИ.
L/O/G/O
Выполнила: ученица 9 класса «В»
МОУСОШ № 32 Иванова Софья
Андрияновна
Учитель: Стаханова Полина
Александровна.
Цель: исследование метода вспомогательной
окружности и его свойств, применение данного
метода при решении задач.
•
Методы исследования:
1.Изучение теории по вспомогательной окружности
•
2. Доказательство признаков задач, которые могут привести к
применению вспомогательной окружности
•
3. Установление связи между методом вспомогательной окружности и
решением задач
•
4. Выполнение практической части.
Вспомогательная окружность - одно из наиболее
эстетичных дополнительных построений.
Метод вспомогательной окружности
заключается в том, что если геометрическая
фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и
т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг
неё можно описать окружность, что значительно
облегчит решение ряда задач.
Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно
описать окружность:
Первый признак:
Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то
вокруг него можно описать окружность.
Второй признак:
Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,
причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.
Третий признак:
Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда,
когда суммы его противоположных сторон равны.
a + b = c + d.
Углы, связанные с окружностью.
Угол с вершиной внутри
круга равен полусумме дуг,
заключенных между
сторонами угла.
Угол с вершиной вне круга равен
полуразности дуг, заключенных
между сторонами угла.


 
2


 
2
Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен
половине дуги, заключенной между ними.

2

Отрезки, связанные с окружностью.
Радиус перпендикулярен
хорде тогда и только
тогда, когда он проходит
через ее середину.
Равные хорды стягивают равные
дуги.
 AB  CD
A
B
C
O
O
D
Отрезки касательных,
проведенных к окружности из
одной точки, равны.
A
Произведения отрезков пересекающихся
хорд равны.
ab  c d
C
c
a
O
D
b
d
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
AB  BC  BD
2
A
B
C
D
Задача№4:
Расстояние между основаниями двух высот ВМ и
BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD.
Найдите углы ромба.
Первый случай:
Если угол В - тупой
1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.
2. BD- диаметр
3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).
4.∆MON-равносторонний
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.
Практическая часть: Решение задач с помощью метода
вспомогательной окружности.
Задача№1:
Дан прямоугольный треугольник АВС, С= 90°. На катете ВС выбрана
произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр МN на
гипотенузу АВ. Докажите, что ANC= AMC.
Задача№2:
В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК
так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота
этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС –
равносторонний.
Задача№3:
Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и Сперпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла.
основания
МВ= a, МС= b. Найдите АМ
1.Вокруг АВМС можно описать окружность;
В

3.АМ -диаметр
А
.
М

С
R
ВС
2 sin 
BC  a 2  b 2  2ab cos 
R
a 2  b 2  2ab cos 
2 sin 
a 2  b 2  2ab * cos 
AM  2R 
sin 
Задача№4:
Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD
вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.
Первый случай:
Если угол В - тупой
1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.
2. BD- диаметр
3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).
4.∆MON-равносторонний
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.
Второй случай:
Второй случай:
Если угол В – тупой.
Если угол В – тупой.
Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.
Задача№5:
Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны
10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
1. вокруг ABCD можно описать окружность.
2. AD- диаметр; R=13
3.трапеция равнобедренная, т. к. вокруг неё
можно описать окружность.
HD= 26-18=8.
СН=
S тр. =
=12
=216
Задача №7(теорема о квадрате биссектрисы):
Доказать, что квадрат биссектрисы равен разности произведений
сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит
биссектриса сторону на которую падает.
Задача№8(вспомогательная):
Дан треугольник АВС, СС1 перпендикулярна стороне АВ, АА1
перпендикулярна стороне ВС. Найти чему равен радиус?
R=
=
Задача№6:
ABCD- параллелограмм, точка О лежит внутри параллелограмма,
так что угол AOD равен углу OCD. Доказать, что угол СВО равен
углу CDO.
Задача№11(задача Брахмагупта):
Докажите справедливость формулы для треугольника АВС:
b*c=h*2R.
Задача № 9:
В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно,
что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки
пересечения высот треугольника ВМN.
С
В
В
С
N1
М1
M
Н
M
А
N
D
А
N
D
“ Высшее
проявление духа – это разум.
Высшее проявление разума – это
геометрия. Клетка геометрии – треугольник.
Он так же неисчерпаем, как и Вселенная.
Окружность – душа геометрии. Познайте
окружность, и вы не только познаете душу
геометрии, но и возвысите душу свою”.
И.Ф. Шарыгин
L/O/G/O
www.themegallery.com