Глава I: Из истории подобия.

•
•
•
•
•
•
Оглавление
Введение.
Глава I Из истории подобия.
Глава II Автоподобные фигуры.
Глава III Практическая часть.
Заключение.
Геометрия – одна из наиболее древних математических наук.
Название науки “геометрия” древнегреческого
происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих
слов geo – “Земля” и metreo – “измеряю”.
Цель данной работы: Узнать что такое подобие, где в жизни
встречается и применяется подобие.
Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой
древности. Об этом свидетельствуют древнеегипетские
храмы, детали гробницы Менеса и знаменитых пирамид в
Гизе (III тысячелетие до н. э.), вавилонские зиккураты
(ступенчатые культовые башни), персидские дворцы и другие
памятники древности.
Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры
встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В
сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II
имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью
которых на стену перенесены в увеличенном виде рисунки
меньших размеров.
Подобие фигур по 2 углам
• ПОДОБИЕ - геометрическое понятие, характеризующее
наличие одинаковой формы у геометрических фигур,
независимо от их размеров. Две фигуры F1 и F2
называются подобными, если между их точками можно
установить взаимно однозначное соответствие, при
котором отношение расстояний между любыми парами
соответствующих точек фигур F1 и F2 равно одной и той же
постоянной k, называемой коэффициентом подобия. Углы
между соответствующими линиями подобных фигур равны
F1
M1
F
M
N1
О
N
Подобие сохраняет порядок точек на прямой, т. е. если точка
лежит между точками , — соответствующие их образы при
некотором подобии, то также лежит между точками.
Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в
точки, не лежащие на одной прямой.
Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в
луч, угол в угол, окружность в окружность.
При подобии угол сохраняет величину.
Подобие с коэффициентом k≠1, преобразующее каждую прямую в
параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом.
Подобие называется собственным (несобственным), если
движение является собственным (несобственным). Собственное
подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное —
изменяет ориентацию на противоположную.
Подобие фигур
по 2 сторонам и углу
Подобие фигур
по 3 сторонам
Глава II: Автоподобные фигуры.
• Самоподобной геометрической фигурой называют
фигуру, которую можно разрезать на конечное
число одинаковых фигур, подобных ей самой.
Самоподобными, например, являются
правильный треугольник и квадрат (рис.). Однако
и самоподобные фигуры весьма причудливых
очертаний. На рисунке показаны первые
несколько стадий построения «веточки». Это
простейшая самоподобная фигура, имеющая
неограниченное число элементов.
Автоподобные фигуры, т. е. фигуры, части которых подобны
целому, всё больше и больше привлекают к себе внимание не
только математиков, но и учёных самых различных областей.
Пропорциональность проявляется в подобном строении дерева и
его ветвей, в формах кристаллов и снежинок, в сохранении одной
клеткой живого организма всей информации о целом и т. д.
Примером автоподобной фигуры является золотая, иначе
логарифмическая спираль. В форме золотой спирали
закручиваются раковины многих моллюсков, улиток, рога
архаров. Природа повторяет свои находки как в малом, так и в
большом, например, семечки в подсолнухе располагаются по
золотой спирали точно также, как закручиваются многие
галактики, в частности, галактика Солнечной системы.
• Другим геометрическим свойством золотой спирали
является то, что в любой её точке угол между касательной к
ней и радиусом – вектором сохраняет постоянное
значение. Именно это свойство золотой спирали
используется в различных технических устройствах.
Например, при изготовлении вращающихся ножей, что
позволяет сохранять при вращении постоянный угол
резания. В гидротехнике по логарифмической спирали
изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям
турбины, благодаря чему напор воды используется с
наибольшей производительностью.
• Для доказательства напомним, что касательной к кривой в
точке А называется предельное положение секущей
АА1при А1, стремящейся к А. Пусть точки В, В1, получены
поворотом лучей ОА1и ОА на угол . (см. рис.). Тогда
треугольники ОАА1и ОВВ1подобны, и поэтому углы ОАА1и
ОВВ1– равны. При А1, стремящейся к А, эти углы дадут
углы между касательными и радиусами - векторам и в
точках А и В соответственно. Следовательно, угол между
касательной и радиусом –вектором не зависит от
положения точек на золотой спирали, т. е. сохраняет
постоянное значение.
• Фрактал (лат. fractus — дробленый, сломанный,
разбитый) — термин, означающий сложную
геометрическую фигуру, обладающую свойством
самоподобия, то есть составленную из нескольких
частей, каждая из которых подобна всей фигуре
целиком.. Фрактал (fractus) в переводе с латинского
означает изломанный, дробный, и основным его
свойством является автоподобность.
Множество Мандельброта —
классический образец фрактала
Фрактальная форма подвида
цветной капусты (Brassica cauliflora)
• Мы измеряем высоту тополя, который растёт перед
школой. Для этого воспользуемся шестом в 1,5 м.
• Измерим длину тени шеста (ЕК).
• Измерим длину тени тополя (АС)
• Треугольник ВАС подобен треугольнику FEK (по двум
углам).Отсюда AB = AC , AB = EF * AC = … в метрах.
EF EK
EK
• Итак, высоту тополя мы определили с помощью шеста.
•
•
•
•
Высоту деревьев определяли при помощи вешки (шеста).
Для этого мы воспользуемся шестом, длина которого 2м.
Воткнём шест в землю отвесно на некотором расстоянии от дерева.
Отойдём от шеста назад, по продолжению Dd до того места А, с которого,
глядя на вершину дерева я вижу на одной линии с ней верхнюю точку b шеста.
• Не меняя положения головы, смотрим по направлению горизонтальной
прямой аС, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол и
попрошу помощника сделать в этих местах пометки.
• Измерим длины ас, аС, DC.
• На этом моё наблюдение окончено.
• Так как треугольник авс подобен
треугольнику аВС по двум углам,
ас
вс

то ВС аС , отсюда ВС= вс * аС .
ас
и BD = BC+ CD
На рисунке изображен способ определения
ширины АВ озера. Прямая CD
провешивается параллельно АВ. Объясните,
как найти искомую ширину (АВ).
Р е ш е н и е.
Из подобия треугольников ABE и СDE
имеем:
AB/CD=BE/DE, откуда AB=CD*BE/DE;
так как длины CD, BE и DE можно измерить,
то нетрудно вычислить искомую ширину
(АВ) озера.
• Для практики всегда имели большое
значение сравнительно простые и
общедоступные методы построения
подобных фигур. Одним из них является
“Способ палетки” (рисунок), который
обычно применяется при копировании
рисунков, картин и портретов. Желая
сделать копию рисунка, мы накрываем
его палеткой, т.е. прозрачной
пластинкой или бумагой с нанесённой
на неё сеткой квадратов. На месте,
предназначенном для копии, чертится
временная квадратная сетка, которая
по окончанию работы стирается.
• Отношение стороны квадрата
временной сетки к стороне квадрата
палеточной сетки коэффициентом
подобия.
• Выполнив эту работу, я расширил свои знания в области
геометрии, а именно, в теме: «Подобие».
• Из данной работы я узнал, что математические формулы и
задачи находят свое применение на практике, и порой они
могут заменить собой тяжелы человеческий труд.