Уравнения виды их решения и т.п Домашнее задание по

Малюты Филиппа 9Б класс
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО АЛГЕБРЕ №2
Уравнения виды их решения и т.п
ЧТО ТАКОЕ УРАВНЕНИЯ?
Уравне́ние — это равенство вида
f(x_1, x_2 \dots) = g(x_1, x_2 \dots)
Чаще всего в качестве f, g выступают числовые функции, хотя на
практике встречаются и более сложные случаи — например, уравнения
для вектор-функций, функциональные уравнения и др.
так выгледело первое печатное решение уравнения
РЕШЕНИЯ
Решение уравнения — задача по нахождению таких
значений аргументов, при которых это равенство
достигается. На возможные значения аргументов могут
быть наложены дополнительные условия
(целочисленности, вещественности и т. д.).
Аргументы заданных функций (иногда называются
«переменными») в случае уравнения называются
«неизвестными».
Значения неизвестных, при которых это равенство
достигается, называются решениями или корнями
данного уравнения.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному
уравнению.
Решить уравнение означает найти множество всех его
решений (корней) или доказать, что корней нет.
РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают.
Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.
Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно
другому, то второе уравнение эквивалентно первому.
Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно
другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство
эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются
методы их решения.
Третье важное свойство задается теоремой: если функции f,g заданы над областью целостности, то
уравнение
Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений и
позволяет находить корни частями.
СВОЙСТВА
С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не
меняют его корней, в частности:
В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на
противоположный.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному
уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям
уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и
того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем
значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному).
Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения
вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях
неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное
начальному. Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее
неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.
ВИДЫ УРАВНЕНИЙ
Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные,
дифференциальные и другие виды уравнений.
Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только
дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут
входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести
анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто
бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.
К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические
уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое
уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем
случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям
низших степеней.
Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди
них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку
нули тригонометрических функций хорошо известны.
В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы.
Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором
лежит корень, до определённого заранее заданного значения.
Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого
зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает :
Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и
параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это
уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные
тригонометрические функции.
Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции
(или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно
определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин
функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к
алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами
неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные
функции от них.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой
неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же
точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её
производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший
порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n
называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n
включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального
уравнения называется интегрированием.
КОНЕЦ